Многоуровневая система задач по функциональной линии: линейная функция
статья по алгебре (7 класс)

Многоуровневая система задач по функциональной линии:

линейная функция

В данной работе используется  методика обучения математике на основе задачного подхода с возможностью построения для каждого учащегося индивидуальной образовательной траектории. Эта методика, разработанная известным автором Максютиным А.А.,   позволяет организовать  успешную подготовку учащихся как к промежуточному и  итоговому контролям, так и к итоговым экзаменам в 9 и 11 классах,   тем самым,  решить проблему качественного обучения математике в  школе.

Особенности предлагаемого подхода:

1) базовыми основаниями многоуровневой системы учебных математических задач являются:

– перечень ранжированных элементов содержания образования и иерархия взаимосвязей ключевых задач курса – это предметная составляющая;

– уровни овладения учебным материалом (умения действовать в знакомой, видоизмененной и незнакомой ситуациях) – дидактическая составляющая;

2) систематически используется аппарат теории ориентированных графов для построения связей между основными понятиями, для определения ключевых задач курса и ранжирования их по уровням, для выделения эквивалентных задач, для вычисления количественных характеристик системы задач и ее элементов (например, сложности решения задач);

3) применяется табличное (матричное) представление системы задач учебного курса для полноценного наполнения на каждом уровне ее предметного и дидактического компонентов. Матричный метод позволяет проводить качественную и количественную оценку системы учебных задач любого конкретного учебника, задачника или учебно-методического комплекта, выявлять имеющиеся в системе лакуны.  

Для полного охвата и  требуемого предметного содержания учебного курса и ситуаций, возникающих при решении задач, проектирование процесса учебной деятельности на уровне учебного материала целесообразно начать с составления перечней тематических предметных и процессуальных элементов содержания образования (ЭСО). При этом мы различаем три уровня внешней дифференциации: общеобразовательный (базовый), углублённый (профильный математический) и конкурсный (соответствующий уровню требований, предъявляемых на экзаменах в престижные вузы страны), а также внутри каждого из отмеченных уровней  учитываем три подуровня внутренней дифференциации, соответствующих умению решать знакомые, модифицированные и незнакомые задачи.

В данной работе из трех уровней внешней дифференциации мы рассмотрим только общеобразовательный (базовый) на примере  системы задач по теме «Линейная функция».

Ключевыми задачами являются следующие:

 1) построение графика линейной функции;

 2) параллельность графиков линейных функций;

 3) перпендикулярность графиков линейных функций;

 4) решение линейных уравнений;

 5) решение линейных неравенств;

 6) решение систем линейных уравнений;

 7) решение систем линейных неравенств;

 8) решение задач на составление линейных уравнений;

Составим матрицу системы задач темы.

Базовые задачи темы.

БЗ 1

ЗЗ-11                     Постройте график  функции у=2х-1.

МЗ-12        Постройте график функции у=2(х-1)+3 и найдите координаты точек пересечения графика с осями координат.

        Ответ:(0;1), (-0,5;0)

НЗ-13        Постройте график уравнения 2х-3у=5 и найдите на графике точки, у которых абсцисса и ордината равны по модулю.

 Ответ:(-5;-5), (1;-1)

БЗ 2

ЗЗ-21        Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через начало координат и параллелен прямой у=9х-3.

        Ответ: у=9х

МЗ-22        Задайте формулой линейную функцию, график которой  параллелен прямой у=-7х-2 и проходит через точку с координатами (1;-2).

        Ответ: у=-7х+5

НЗ-23        Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен прямой у=2х+11 и пересекается с графиком у=х-3 в точке, лежащей на оси ординат.

        Ответ: у=2х-6

БЗ 3

ЗЗ-31                Прямая у=кх+в проходит через точку М(-1;2) и перпендикулярна прямой у=-0,5х. Найдите числа к и в и запишите уравнение этой прямой.

        Ответ: у=2х+4

МЗ-32        График линейной функции проходит через точку А(2;7) и  перпендикулярен прямой у=-0,2х-4. Найдите координаты точки пересечения этого графика с прямой у=-5х+11.

        Ответ: (1,4;4)

НЗ-33        При каких значениях а точка А(а;2а-1) принадлежит графику линейной функции, образующему прямой угол при пересечении с графиком функции у=х+5 и пересекающему его в точке В(0;5)?

        Ответ: а=2; А(2;3)

БЗ 4

ЗЗ-41                Решите уравнение 4(0,25х-6)=8(0,125х+3)

Ответ:Ø

МЗ-42                    Решите уравнение (х+3)(2-х)= (х+4)(5-х).

Ответ:-7

НЗ-43                   Решите уравнение (|х|+2)(3-|х|)=0

Ответ:-3;3

БЗ 5

ЗЗ-51                Решите неравенство 2х+5>0.

Ответ: х>-2,5 или (-2,5;∞)

МЗ-52         Решите неравенство 3х(2х+1)-х(6х-1)≤10

Ответ: х≤2,5 или (-∞;2,5]

НЗ-53          При каких значениях а решениями неравенства

 2х(2-3х)(3х+2)≥ах-18х3 являются все неотрицательные числа?

Ответ: при а≠8

БЗ 6

ЗЗ-61                Решите систему уравнений       х+2у=5

                                                          х+3у=7

Ответ: (1;2)

МЗ-62         Решите систему уравнений       5(х+у)-7(х-у)=10        

                                                          4(х+у)+3(х-у)=51

Ответ: (7;2)

НЗ-63        Найдите значения а и в, при которых решением системы уравнений  является пара х=1, у=1

                                                                 ах+4у=6

                                                                 вх-3у=-2    

                Ответ: а=2; в=1

БЗ 7

ЗЗ-71        Решите систему неравенств         5х+13≤0

                                                         х+5≥0

                Ответ: [ -5;-2,6]

МЗ-72        Решите систему неравенств     9(2х-1)2+12х>4(1+3х)2 -23х

                                                          х(х-2)(х+1)<х2(х-1)

                Ответ:  (-∞;0,2)

НЗ-73        При каких значениях а система неравенств имеет единственное решение?

                         27х3-54х2+48х-а≥(3х-2)3+8

                         ах-12≤0

        Ответ: при а=12 решение системы х=1

БЗ 8

ЗЗ-81        Периметр прямоугольника равен 26 см. Его длина на 3 см больше ширины. Найдите стороны прямоугольника.

        Ответ: 5см, 8см

МЗ-82        Туристическую группу из 42человек расселили в двух и трёхместные номера. Всего было занято 16 номеров. Сколько среди них было двухместных и сколько трёхместных?

        Ответ:10 и 6

НЗ-83        Сумма цифр двузначного числа равна 7. Если эти цифры поменять местами, то получится число, большее данного на 45. Найдите данное число.

        Ответ:16

Литература.

1. Максютин А.А. Математика-9. Учебное пособие для подготовки к выпускным экзаменам за 9 класс и вступительным экзаменам в лицеи, гимназии, математические классы / А.А.Максютин. – Самара, 2006. –  422 с..
2. Кузнецова Л.В.; Суворова С.Б.;  Бунимович Е.А.; Колесникова Т.В. Рослова Л.О. Государственная итоговая аттестация. Алгебра. Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе. Москва «Просвещение» 2010 – С. 240
3. Кузнецова Л.В.; Суворова С.Б.;  Бунимович Е.А. ГИА – 2012. Экзамен в новой форме. Математика. 9 класс. АСТ. Астрель.  Москва.-  С. 96.
4. Мальцев Д.А. Математика 9  класс. Итоговая аттестация 2013: Москва 2013. – С – 240.
5. В.И. Жохов, Ю.Н. Макарычев, Н.Г.  Миндюк «Дидактические материалы по алгебре»  8 класс. Просвещение.
6. Л.А. Александрова. Под редакцией А.Г. Мордковича «Самостоятельные работы для общеобразовательных школ» 7 класс. Мнемозина.
7. А.П. Ершов, В.В. Голобородько, А.С. Ершова «Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии» 9 класс.