Методика использования многоуровневой системы задач по теме «Проценты»
статья по алгебре по теме

Методика использования многоуровневой системы задач по теме «Проценты»

В основе методики обучения на базе разработанной многоуровневой системы задач лежит поэтапное освоение блоков ее матрицы. Основная особенность этой методики заключается в том, что на каждом уровне, т.е. при освоении соответствующего столбца матрицы, учащийся всякий раз сталкивается со всеми тремя видами учебных ситуаций, возникающих при решении задач.

Многоуровневая система задач для каждой темы курса формируется с помощью ее матричного представления, путем выделения ранжированного перечня базовых элементов содержания образования и соответствующих им базовых задач, – с одной стороны, и уровней обученности, отражающих умения решать знакомые, модифицированные и незнакомые задачи, – с другой.  Подобную матричную модель удобно представить с помощью таблицы 1.

Такая матрица системы задач темы содержит 3 строки, соответствующие трем типам учебных ситуаций, возникающих при решении задач, и N столбцов, отражающих количество базовых задач темы. Подобное табличное (матричное) представление системы задач темы помогает осуществить полноценное наполнение на каждом уровне ее математического и деятельностного (формирование УУД) компонентов и тем самым реализовать критерии предметной и деятельностной полноты (имея в виду познавательные УУД) формируемой системы учебных задач. При этом если базовые задачи выполняют в системе роль своеобразных интеграторов предметно-содержательной компоненты, то при проектировании и реализации процесса обучения аналогичную роль должны играть универсальные учебные действия (общие методы и приемы деятельности) в выделенных ситуациях.

Учебная деятельность при решении задач, входящих в первую строку матрицы, носит репродуктивный характер (используются такие общеучебные действия, как классификация, подведение под понятие, выведение следствий, действия,  построение логической цепи рассуждений, доказательство и т.д.). Используемые при этом задачи отличаются явными связями между данными и искомыми (известными и неизвестными) элементами. Ученик идентифицирует (распознает знакомые задачи в ряду подобных), воспроизводит изученные способы или алгоритмы действий, применяет усвоенные знания в практическом плане для некоторого известного класса задач и получает новую информацию на основе применения усвоенного образца деятельности

 При решении задач второй строки репродуктивная учебная деятельность сочетается с реконструктивной, в которой образцы деятельности не просто воспроизводятся по памяти, а реконструируются в несколько видоизмененных условиях (здесь проявляются такие общеучебные действия, как выделение и формулирование познавательной цели, поиск и выделение необходимой информации, знаково-символические действия, включая математическое моделирование, структурирование знания).

 Наконец, при решении задач третьей строки учебная деятельность носит исследовательский творческий характер. Ученик должен уметь ориентироваться в новых ситуациях и вырабатывать принципиально новые программы действий (выдвигать гипотезу, проверять: обосновывать или опровергать, выдвигать новую и т.д., осуществлять исследовательскую деятельность). Решение задач соответствующего блока требует от учащегося обладания обширным фондом отработанных и быстро развертываемых алгоритмов; умения оперативно перекодировать информацию из знаково-символической формы в графическую и, наоборот, из графической в знаково-символическую; системного видения курса. Вместе с тем, оно не просто предполагает использование старых алгоритмов в новых условиях и возрастание технической сложности, а отличается неочевидностью применения и комбинирования изученных алгоритмов. Задачи этого уровня имеют усложненную логическую структуру и характеризуются наличием латентных связей между данными и искомыми элементами. Такие задачи обычно предлагаются в качестве самых трудных на вступительных экзаменах в вузы с высокими требованиями к математической подготовке абитуриентов и в заданиях С3, С4, С5, С6 КИМов ЕГЭ.

Система  учебных задач дает возможность каждому ученику максимально продвинуться в своем математическом развитии ,так как обеспечивает построение индивидуальной траекторий обучения.

Существенным элементом используемой методики служит составление на первом и втором уровнях задач самими учащимися. Ученику, допустившему ошибку при выполнении контрольных, проверочных и пр. работ и индивидуальных заданий, предлагается составить задачи, которые провоцируют допущенную ошибку. Учащиеся с удовольствием составляют задачи на варьирование ЭСО. Эта деятельность способствует сознательному усвоению полученных знаний, формированию прочных умений и навыков.

Ведущим элементом методики является работа с ключевыми задачами. Эта работа выстраивается на постепенном переходе от совместных форм деятельности к индивидуальным.  На начальных этапах изучения курса предпочтение отдается фронтальному разбору отдельных ключевых задач. На следующей стадии разбор отдельных задач сменяют уроки решения ключевых задач темы. На заключительных этапах изучения курса учащиеся выполняют групповые и индивидуальные  проекты по самостоятельному решению и составлению целесообразной последовательности ключевых задач темы.

Введение новых понятий и теоретических фактов предваряется созданием проблемных учебных ситуаций, которые адекватно отражают и раскрывают содержание формируемого понятия (теоремы).

При этом перед учителем встает методическая задача, построить нужную дидактическую проекцию предметной ситуации, в которой было введено это понятие (теорема).

В одних случаях, рассмотрев задачу или серию задач, подводящих под понятие, учащиеся самостоятельно (или с помощью учителя) приходят к необходимости введения нового понятия. Теперь перед ними может быть поставлена задача, дать формальное определение этого понятия.

В других случаях, как правило, при введении новых теорем, учитель с помощью задачи (или серии задач) создает проблемную ситуацию, в которой учащиеся осознают, что их знаний для разрешения этой ситуации недостаточно. Затем проблемная ситуация тем или иным способом (в зависимости от общего уровня обученности  класса) переводится в задачную. Новая теорема, таким образом, предстает перед учащимися в виде задачи, которую нужно решить, для того чтобы справиться с ранее поставленными задачами.    Такой подход естественно и наиболее полно отражает сущность математической (и, вообще, познавательной) деятельности. Понятно, что новая теорема при таком подходе предстает перед учащимися как ключевая задача темы.

 Это позволяет представить новый теоретический материал в виде задачи или серии задач, которые нужно решить, для того чтобы справиться с проблемной ситуацией. Иными словами, изучаемый теоретический факт предстает перед учащимися в виде ключевых задач. Такой подход естественно и наиболее полно отражает сущность математической (и, вообще, познавательной) деятельности.

Составной частью используемой методики является постоянная систематизация изученного материала и соответствующая его визуализация в виде различных таблиц, схем, графов ключевых задач, которые вывешиваются для общего обозрения в классе и фиксируются учащимися в своих тетрадях. Такая деятельность способствует формированию системности знаний. Обычно работа по структурированию и визуализации учебного материала проводится учителем совместно с учениками. Это относится и к построению орграфа понятий темы, и к построению орграфа задач темы, к построению ориентировочной основы деятельности в виде методической таблицы, содержащей типы задач (уравнений), возможные приемы их решения и примеры.

Специально разработанная компьютерная технология сбора, обработки, хранения и визуализации информации об успешности учебной деятельности каждого ученика класса (параллели) позволяет вести подсчет процента решаемости определенных типов задач, накапливать данные о трудности задач из МСЗ для дальнейшего использования параметра трудности при корректировании и наполнении системы задач, а также при проектировании индивидуальных заданий. Используемая при этом отметка по 100-балльной шкале очевидна для ученика, родителей, администрации школы. Она показывает процент компетентности ученика по каждой теме курса (курсу целиком), формирует адекватную самооценку, способствует формированию саморегуляции учебной деятельности. В результате предлагаемый подход дает учителю мощный рычаг влияния на мотивацию учебной деятельности учащихся.

 Я  применяю  многоуровневую систему учебных задач  при изучении темы «Проценты». Почему я выбрала тему «Проценты»?

Проценты – это одна из сложнейших тем математики, и очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты. А понимание процентов и умение производить процентные расчёты необходимы для каждого человека. Прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни. Изучение процента продиктовано самой жизнью. Умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни. Проанализировав программу средней школы по математике, пришла к выводу, что по существующим программам решение задач на проценты предусмотрено в основном в 5-6 классах, а в последующих классах данной теме отдана незначительная часть учебного времени. Немецкий физик 18-го столетия Лихтенберг сказал: « То, что вы были принуждены открыть сами, оставляет в вашем уме дорожку, которой вы сможете снова воспользоваться, когда в том возникнет необходимость». Задачи на проценты становятся прерогативой химии, которая внедряет свой взгляд на проценты, а в математике их место только в рамках задач на повторение и задач повышенной трудности. Таким образом, учениками забываются проблемы универсальности процентов и разнообразия сфер их применения. В связи с этим является актуальным вопрос о том, чтобы задачи на проценты заняли достойное место в VII – IX  классах ,а затем и при подготовки к ЕГЭ. В этот период школьники изучают различные виды уравнений и их систем, закрепление которых ведется на текстовых задачах, а присутствие процентов в содержании текстовых задач дает возможность связать абстрактные математические понятия с реальной жизнью. Поэтому я решила и сделала подборку задач из ГИА – 9 классов, из ЕГЭ – 11 классов на банковские проценты, где применяется формула сложных процентов, а также провела несколько факультативных занятий.

Приведу примеры факультативных занятий, на которых мы с ребятами рассмотрели следующие модифицированные задачи.

ЗАНЯТИЕ №3

Задача5.  Неудовлетворительные оценки

В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила пятёрки, третья — четвёрки, половина — тройки. Остальные работы были оценены как неудовлетворительные. Сколько было таких работ?

Поскольку число школьников, получивших ту или иную оценку, всегда целое, то для решения задачи нам надо найти целое число, меньшее 50, одновременно делящееся на 7, 3, 2. Единственным возможным ответом является число 42. Это значит, что всего в классе 42 ученика; 6 из них получили пятёрки; 14 — четвёрки; 21 — тройки. Следовательно, двойку получил 1 ученик.

 Ответ :1 работа.                                                                      

Задача 6.  Уровень компота

После того, как Наташа съела половину персиков из банки, уровень компота понизился на одну треть. На какую часть (от полученного уровня) понизится уровень компота, если съесть половину оставшихся персиков?                                                                                  

Поскольку половина персиков составляет одну треть от всего компота, то половина от оставшихся персиков составляет одну шестую часть от всего компота. Учитывая, что 2/3 = 4/6, получаем ответ :1/4.

Задача 7. Доля Воробьянинова 

Остап Бендер и Киса Воробьянинов разделили между собой выручку от продажи слонов населению. Остап подумал: если бы я взял денег на 40% больше, то доля Кисы уменьшилась бы на 60%. А как изменилась бы доля Воробьянинова, если бы Остап взял себе денег на 50% больше?

 Пусть Остап взял себе x рублей, а Киса взял себе y рублей, тогда, по условию, 0,4x = 0,6y. Отсюда получим, что 0,5x = 0,75y. Следовательно, если бы доля Остапа увеличилась на 50%, то доля Воробьянинова уменьшилась бы на 75%.

 Ответ :Доля Воробьянинова уменьшилась бы на 75%.

Задача 8. Результат урожая  ржи

Посевной участок под рожь имеет прямоугольную форму. В рамках реструктуризации колхозных земель одну сторону участка увеличили на 20%, а другую уменьшили на 20%. Изменится ли в результате урожай ржи, и если изменится, то на сколько?                                                                                                                                                  Пусть a и b — исходные стороны прямоугольника. Новая площадь равна 1.2a × 0.8b = 0.96ab, т.е. площадь уменьшилась на 4%.

 Ответ: Площадь уменьшилась на 4%. На одну четверть.

ЗАНЯТИЕ №5 

№1 В двух библиотеках было поровну книг. Через год в первой библиотеке книг увеличится на 50%, а во второй в 2 раза. В какой библиотеке книг стало больше?

Действия ученика:  это незнакомая задача на % (впервые встречаются % и числа в одной

задаче)

Анализирует: Первоначально в 1 библиотеке было 100%-книг, стало 15о% книг

                        Первоначально во 2 библиотеке было 100 книг, стало 200% книг.

Вывод:        Значит, во 2 библиотеке книг стало больше.  

№2  Сахар подорожал на 30% . Сколько кг сахара можно теперь купить на те же деньги, на которые раньше покупали 3,9 кг?

 Действия ученика:  это незнакомая задача на % (задача подробно разбирается  вместе с учителем ).

До задачи необходимо включить в устный счёт две задачи вычислительные, где используется обратно пропорциональная зависимость.

Анализируем: Поскольку цена на сахар увеличилась в несколько раз, то покупатель может купить на те же деньги меньше сахара во столько же раз.

Вывод:1).130: 100=1,3 раза возросла цена

           2) 3,9: 1,3=3(кг)сахара можно купить.

Ответ:3кг

№3  Мужская рубашка стоила 8200 р. Сколько она стала стоить, когда ее цена увеличилась на 35%?

Так как 35% – это 0,35, то надо найти 0,35 от 8200 р.:

 (р.) (на столько повысилась цена).

Теперь найдем новую цену:

8200+2870=11070 (р.).

Можно рассуждать иначе. Старая цена составляет 100%, а новая – на 35% больше, т.е. она составляет 135%. Так как 135% – это 135:100=1,35, то цена увеличилась в 1,35 раза.

Имеем:  (р.).

№4  Прочитайте предложение, выразив дробь в процентах:

а) бензином заполнили  бака;

б)  учащихся школы едут в школу на автобусе;

в) масса сушеной вишни составляет  массы свежей вишни;

г) магазин продал  привезенного сахара

«… чтобы узнать, на сколько процентов увеличилась или уменьшилась данная величина, необходимо найти:

1. на сколько единиц увеличилась или уменьшилась эта величина;
2. сколько процентов составляет полученная разность от первоначального значения величины»

№5  До снижения цен холодильник стоил 250р., после снижения – 230 р. На сколько процентов снизилась стоимость холодильника?

Решение:

Узнаем, на сколько рублей изменилась цена холодильника: 250-230=20 р.

Найдем, сколько процентов составляет полученная разность от первоначальной стоимости холодильника: =0,08=8%

Ответ: стоимость холодильника понизилась на 8%..

№6  На сколько процентов 3 меньше 5?

                 Решение:  1. На сколько единиц 3 меньше 5?

                                       5 – 3 =2

                                   2. На сколько процентов 3 меньше 5?

                                       2 / 5 *100 = 40(%)

                  Ответ:  на 40 %.

  №7   На сколько процентов увеличится произведение двух  чисел, если одно из них увеличить на 50%, а другое уменьшить на 20%?

    Эту задачу полезно рассмотреть после изучения темы « Свойства сложения и умножения. Упрощение выражений».

                   Решение:  Пусть а – первое число, в – второе число, ав -  их

                   произведение; тогда  а + 0,5а = 1,5а – первое число после его

                   увеличения на 50%,  в – 0,2в = 0,8в – второе число после его

                   уменьшения на 20%;  1,5а * 0,8в = 1,2ав – новое произведение.

                   Найдем на сколько второе произведение больше первого:

                    1,2ав – ав = 0,2ав.

                   Ответим на главный вопрос задачи:  0,2ав = 0,20ав - это 20% от  ав.

                   Ответ:  на 20%.

№8   Цену товара сначала снизили на 30%, а затем новую цену снизили на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?

                Решение: Для лучшего усвоения сути решения этой задачи лучше сначала  решить ее на числовых данных. Пусть первоначальная цена товара 500 рублей.

1.     500 * 0,3 = 150(руб.) – снижена цена товара в первый раз.

2.     500 – 150 = 350(руб.) – цена товара после первого снижения.

3.     350 * 0,1 = 35(руб.) -   снижена цена товара во второй  раз.

4.     350 – 35 = 315(руб.) - цена товара после второго снижения.

5.     500 – 315 = 185(руб.) -  снижена цена товара за два  раза.

6.     185 / 500 *100 = 37(%)

Ответ:  на 37%.

      Затем решаем задачу в общем виде.

      Пусть первоначальная цена товара х рублей. После первого снижения цена товара  х – 0,3х = 0,7х. После второго снижения цена товара 0,7х – 0,1 * 0,7х = 0,7х – 0,07х = 0,63х. Итак, цена товара всего снижена на х -0,63х = 0,37х.      

            0,37 от первоначальной цены – 37%.Ответ:  на 37%.

 № 9 В России 150 миллионов жителей. 70% всех жителей – городское население. Из них 23% – дети до 16 лет. Сколько детей до 16 лет среди городского населения?

Для решения задачи можно привести рисунок (см. рис. 9). Нужно обсудить с учащимися действия решения задачи.

1. Найти число городского населения из числа всех жителей России.
2. Из числа городских жителей найти число детей до 16 лет.

Рисунок  поможет школьникам решить задачу.

Ответ: 24,15 миллионов.

Правила ограничивают учащихся, не дают им рассуждать над решением. Поэтому каждая задача на проценты становится алгоритмом и вызывает затруднения, если правило забыто. Поэтому нужно включить задачи на проценты  при изучении уравнений.  Эти задачи и предложенные способы их решения помогут учащимся старших классов осмысленно решать аналогичные, но более сложные задачи по формуле сложных процентов.  

Таким образом, мы можем разбить задачи на знакомые ( три основных вида), модифицированные (  на «потерю массы»;  на смеси , сплавы и растворы; вклады под проценты) и незнакомые ( сложные проценты).  Ученик овладевает разнообразными способами рассуждения, обогащая свой арсенал приемов и методов. Но при этом также важно, что он имеет возможность выбора и может пользоваться тем приемом, который ему кажется более удобным.     Мир задач на проценты бесконечен, эти задачи интересны, увлекательны, развивают логику, сообразительность, побуждают учащихся мыслить, но время,  отводимое в учебном плане на математику, катастрофически  падает.   Но школьный учитель – всегда оптимист, используя эффективные технологии обучения, он найдет время для развития математических способностей своих учеников путем решения задач на проценты.

Какова же результативность работы по данной технологии?

1. Учитель имеет возможность проводить всесторонний анализ учебной деятельности скользящих учебных групп, выявляются и вовлекаются в работу пассивные дети высокого интеллекта.

2. Ведётся сравнительный анализ учебной успеваемости школьников, анализ состояния индивидуализации учебного процесса, состояния дифференцированного обучения. Изучаются новые формы обучения с учетом внедрения глубокой индивидуализации.

3. Особое внимание уделяется одаренным детям, учащимся повышенного интеллекта. Выявляются дети скрытого интеллекта в учебных группах и вовлекаются в работу.

4. Планомерно ведется анализ тестовых срезов знаний и контрольных работ с целью эффективности выделения скользящих групп.

5. Деление учащихся по уровням обучения дает большой эффект: успеваемость и качество знаний учащихся по математике значительно повысились.

6. Кардинально изменилась роль учителя и ученика в ходе обучения. Мы стали действовать как равноправные партнеры.

7. Базой для реализации мною многоуровневого обучения явились основные принципы

построение обучения на высоком уровне трудности;

признание ведущей роли теоретических знаний;

      необходимость развития всех учащихся,

8. Работа по данной технологии стимулирует учителя на разработку дидактического материала нового поколения, методического обеспечения учебно-методического комплекса, разработки творческих заданий.

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется.

70%

23%

Дети до 16 лет

Городское население

Жители России

100%