Методы решения тригонометрических уравнений.
методическая разработка по алгебре (10 класс)

«Методы решения тригонометрических уравнений»

Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий.

С малой удачи начинается большой успех.

Терпенье и труд все перетрут.

 «Для того чтобы усовершенствовать ум,

надо больше рассуждать, чем заучивать».

                                                                                                                           Р.Декарт

Цели урока:

Образовательные:  

- актуализировать знания учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;

- рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;

- закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

- познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Развивающие: 

- содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

- формировать и  развивать  общеучебные  умения и навыки:  обобщение, поиск способов решения;

- отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора  задания, соответствующего их уровню развития.

Воспитательные: 

-     вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;

- способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

Оборудование:  компьютер и мультимедийный проектор.

Структура урока:

I. Вводно-мотивационная часть.

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

II. Основная часть урока.

1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

III.Рефлексивно-оценочная часть урока.

1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

2. Информация о домашнем задании.

3. Подведение итогов урока.

Ход урока.

I. Вводно-мотивационная часть

 1.Организационный момент.

Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.

Содержание этапа:

 Приветствие.

Проверка готовности учащихся к уроку.

Озвучивание целей урока и  плана его проведения.

Тема: «Решение тригонометрических уравнений» (2ч.)

Цель: Рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения, познакомить с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Вспомнить решение линейных и квадратных уравнений, основные формулы тригонометрии.

Повторить числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомним формулы решения простейших тригонометрических уравнений.

 Решить тригонометрические уравнения по известным алгоритмам, однородные тригонометрические уравнения,  уравнения вида A sinx + В cosx = С.

Провести  разноуровневые проверочные работы,  выбирая задания самостоятельно, учитывая свои знания,  умения и навыки.

 Проверить решения, и  выставить себе оценки за каждый вид задания.  

Познакомиться  с решением симметричных тригонометрических уравнений, решением тригонометрических уравнений путем разложения на множители и методом оценки левой и правой частей.

Обсудить полученные результаты работы на уроке,  оценить  индивидуальную работу.

Рассмотреть  инструктаж по выполнению домашнего задания и подведем итоги урока.

2.Разминка:

Крассворд (работа в группах по рядам ,какая группа быстрее и правильнее тот получает первый ход в устной работе)

 Вопросы:

1) Раздел математики, изучающий тригонометрические функции?

2) Числовой множитель в произведении?

3) Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций?

4) Какая из тригонометрических функций четная?

5) Как называется верное равенство?

6) Единица измерения углов?

7) Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство?

8) Равенство с переменной?

9) Уравнения, имеющие одинаковые корни?

10) Множество корней уравнения?

Ответы:

1) тригонометрия

2) коэффициент

3) окружность

4) косинус

5) тождество

6) радиан

7) корень

8) уравнение

9) равносильные

10) решение

3. Устная работа.

Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.

Содержание этапа:

1.Решить уравнения:

 (На экране проецируется задание, затем  появляются ответы)

2. Используя основные формулы тригонометрии, упростить выражение:

(На экране проецируется задание, затем появляются ответы)

I I. Основная часть урока.

 Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

Задачи этапа: обеспечивать развитие у учащихся общеучебных умений и навыков: умение анализировать, синтезировать, сравнивать, обобщать, поиск способов решения, отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора разноуровневого задания.

Содержание этапа:

1.Вспомнить. Сформулировать свойства четности и нечетности тригонометрических функций, значения тригонометрических функций для различных углов поворота, применение формул приведения.

(Учащиеся формулируют свойства четности и нечетности, правило применения формул приведения, называют значения тригонометрических функций для различных углов поворота.)

2.Самостоятельная работа.

 Работа предлагается в 2 вариантах, после чего проверить правильность ее выполнения.

Найти значения тригонометрических выражений:

(На экране проецируется задание. )

Проверить ответы и оценить  свои работы согласно шкале:  

(На экране проецируются ответы)

3. Вспомнить.  Сформулировать  определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

(Учащиеся дают определения обратных тригонометрических функций, обращая внимание на область определения и множество значений.)

4.Самостоятельная работа.  Вычислить:

(На экране проецируется задание. )

Проверить ответы и оценить свои работы согласно шкале:                                                                                    

  (На экране проецируются ответы)

5. Решить простейших тригонометрических уравнений. 

Вспомнить формулы решения уравнений вида sinx =а,  cosx = а, tg х=а.

(Учащиеся называют формулы решения уравнений)

6.Основные методы решения тригонометрических уравнений.

А) Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.

 а) тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:

A sin2 х + В sin х + С =0 или

A sin2 х + В cos х + С =0

Решим уравнение:

sin2 х + 5 sin х - 6 =0.

(Учащиеся решают уравнение,  вводят замену sin х = z, решая квадратное уравнение)

 z2 + 5 z - 6 = 0, находят z1  = 1; z2  = -6

Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х =  π/2  +2 π k, k Z.

Уравнение sin х = - 6 не имеет решения, так как  -6 не принадлежит  Е ( sin х ),

                                                                         т.е.   -6  не принадлежит  [-1; 1]

При решении  уравнения вида A sin2 х + В cos х + С =0 вводим замену sin2 х  = 1 - cos2 х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.

Решите уравнение    2 sin2 х + 3 cos х -3 =0.

(Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin2 х  = 1 - cos2 х, получили):        

   2 (1 - cos2 х) +3 cos х -3 =0.

 - 2 cos2 х + 3 cos х - 1 = 0   | (-1)

    2 cos2 х  - 3 cos х  + 1 = 0  

 Замена cos х= t

Решая квадратное уравнение 2 t 2 - 3t +1 = 0,

 находят t1  = 1; t2  = 0,5

Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k, k   Z.

Решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида  х =  ± arccos 0,5+ 2π n,  n   Z.

7.Выберать одно из предложенных уравнений и самостоятельно решить его.

 (На экране проецируется задание. )

Проверить свое решение с  ответами.

(На экране проецируются ответы)

8.Физкультминутка.

Упражнение 1. Цель этого упражнения - устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в течение длительного периода времени и профилактика грыжи межпозвоночных дисков поясничного отдела.

• В положении стоя положите руки на бедра.
• Медленно отклоняйтесь назад, глядя на небо или в потолок.
• Вернитесь в исходное положение.

Повторите 10 раз.

Упражнение 2. Цель - укрепление мышц задней стороны шеи для улучшения осанки и предотвращения болей в области шеи.

Поза: сидя или стоя

Смотрите прямо перед собой, а не вверх и не вниз.

Надавите указательным пальцем на подбородок.

Сделайте движение шеей назад.

Совет: совершая это движение, продолжайте смотреть прямо перед собой, не смотрите вверх или вниз. Для этого представьте, что кто-то, стоящий позади вас, тянет за нить, проходящую через ваш подбородок. Оставайтесь в этом положении в течение 5 секунд.
(Повторить 10 раз).

9.Основные методы решения тригонометрических уравнений.

1.Однородные тригонометрические уравнения.

Рассмотреть самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени:   A sin x+ B cos x = 0. Разделив обе части уравнения на  cos x ≠ 0, получим уравнение вида  tg x = С.

Решить уравнение  2 sin x+ 3 cos x = 0.

(Учащиеся решают уравнение.)

2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0

2 tg x + 3 =0

tg x = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk,  k Z  или  х = - arctg 1,5 + πk,  k   Z

2.Однородное тригонометрическое уравнение второго порядка:

А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = 0. Разделив обе части уравнения на  cos2 x ≠ 0, получим уравнение вида  А tg 2x + В tg x + С = 0. Такого вида уравнения мы уже рассматривали.

1.Решить  уравнение 2 sin2 х  - 3 sinх  cos х - 5 cos2х =0  

(Учащиеся решают уравнение )

 2 sin2 х  - 3 sinх  cos х - 5 cos2х =0

  2 sin2 х  - 3 sinх  cos х - 5 cos2х =0  | : cos2х ≠ 0

  2 tg 2x - 3 tg x - 5 = 0

      замена    tg x = t

                   2 t2 – 3 t – 5 =0

                   t1  = -1;  t2  = 2,5

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = -π/2 + πk , k   Z.

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида  х = arctg 2,5+ πn,  n  Z.

 К  однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

2.Решить уравнение:

А sin2 х  + В sinх  cos х + С  cos2х = D, преобразуем данное уравнение

А sin2 х  + В sinх  cos х + С  cos2х =D (sin2 х  +   cos2х)    или

(А –D) sin2 х  + В sinх cos х + (С-D)  cos2х =0.

Уравнение A sin x+ B cos x = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

      A sin x+ B cos x = С

       A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2)  = С

       2 A sin(x/2)  cos(x/2)   + В (cos2(x/2)  - sin2(x/2)  )= С (sin2(x/2)   +   cos2(x/2)).  

10.Выберать два уравнения и   самостоятельно решите их.

 (На экране проецируется задание.)

Проверить свое решение с  ответами.

(На экране проецируются ответы)

11.Различные  алгоритмы решения уравнений вида  A sin x+ B cos x = С

  1) переход к половинному аргументу мы рассмотрели ранее.

  2) использование универсальной подстановки

                       2 tg x/2                                     1 - tg2 x/2

          sinх = -------------------      ,  cos х =  -----------------------

                     1 + tg2 x/2                                 1 + tg2 x/2

 3) введение вспомогательного угла

         A sin x+ B cos x = С | :    √A2 + B2 ≠ 0

             A      sin x  +            В         cos x  =       С      .

      √A2 + B2                     √A2 + B2                          √A2 + B2

 Если         A     = cos β, то          A     = sin β, получим

           √A2 + B2                          √A2 + B2                     

cos β · sin x  + sin β · cos x  =      С    , откуда sin (x + β) =        С        или

                                                 √A2 + B2                                          √A2 + B2                        

 x = (-1)k arcsin     С         - β + πk,   k   Z.

                        √A2 + B2                                         

 1.Решить  уравнение :

 √3  sin x +  cos x = 1 одним из предложенных способов.

(Учащиеся решают уравнение, консультируются у учителя в случае возникновения затруднений.)

Сверить свои ответы с  ответами соседа.

2.Самостоятельная работа.

Решить тригонометрическое уравнение вида  A sin x+ B cos x = С рассмотренными способами.

(На экране проецируется задание.)

(На экране проецируются ответы)

12.Новые способы решения тригонометрических уравнений.

Задачи этапа: организовать деятельность учащихся по применению знаний, умений и навыков при решении тригонометрических уравнений незнакомыми способами.

Содержание этапа:

А) Введение нетрадиционной замены при решении симметричных тригонометрических уравнений.

Введем понятие симметричного уравнения

Пусть R (х; у) – выражение, которое рационально зависит от х и у. Такое выражение называют симметричным, если R (х; у) =  R (у; х).

Рассмотрим уравнение  4 sin х  - 6 sinх  cos х + 4  cosх + 1 = 0 ,

т.к. (sin x + cos x)2 = 1 + 2 sin x  cos x, то  sinx ·cos x =  (sin x + cos x)2 - 1   , получим

                                                                                                        2

4 sin х  + 4  cosх -  6   (sin x + cos x)2 - 1   + 1 = 0 ,

                                               2

4 sin х  + 4  cosх  -  3  ( (sin x + cos x)2 – 1) + 1  = 0 ,

Введем обозначение  t = sin x + cos x, получим

4 t – 3 (t2 -1) + 1  = 0

– 3 t2  + 4 t + 4 = 0

3 t2  - 4 t - 4 = 0 . Решая квадратное уравнение, найдем t 1   =  2, t 2  = -2/3, после чего переходим к решению уравнений sin х  +  cosх    = 2   и   sin х  +   cosх  = -2/3

Б) Метод разложения на множители.

Вспомним использование данного метода при решении известного вида уравнений:

sin х  +  sin 3 х  + sin 5 х = 0

 сгруппируем слагаемые:

  (sin х  +  sin 5 х)  + sin 3 х   = 0

2 sin  3х  cos 2х  +  sin  3х  = 0

sin  3х   ( 2 cos 2х + 1 ) = 0

переходим к решению простейших тригонометрических уравнений:

sin  3х  = 0     или      2 cos 2х + 1 = 0

                                   cos 2х  = - 1/2

Рассмотрим более сложное уравнение, решаемое методом разложения на множители:

4 sin 3 х  + 3 sin  х  - 7 = 0.

Легко можно заметить, что 4 + 3 = 7 или   4 ·1 3   + 3 · 1  - 7 = 0.

Выполним преобразование

4 sin 3 х  + 3 sin  х   - 7 – (4 · 1 3   + 3 · 1   - 7 ) = 0

или  4 ( sin 3 х  - 1 )  + 3 ( sin  х  - 1 )  = 0 .

Разложим на множители:   4 ( sin  х  - 1 )  ( sin 2 х   + sin  х  +1 ) + 3 ( sin  х  - 1 ) =0

                                                ( sin  х  - 1 )   ( 4 ( sin 2 х   + sin  х  + 1) + 3 ) = 0

                                                ( sin  х  - 1 )   ( 4  sin 2 х   + 4  sin  х  + 4 + 3 ) = 0

                                                ( sin  х  - 1 )   ( 4  sin 2 х   + 4  sin  х  + 7 ) = 0, откуда

                                                   sin  х  - 1  = 0 ,  х = π/2 + 2пk,  k  Z ,    или                                                                    

                                              4  sin 2 х   +4  sin  х  + 7  = 0

                                                   решений нет.

В) Метод оценки левой и правой частей.

Рассмотрим уравнение sin x/4  + 2 cos (x- 2 π)/3   = 3

Вспомним, что            – 1 ≤ sin  ≤ 1

                                – 2 ≤  2 cos  (x-2 π)/3  ≤ 2

                          – 3 ≤  sin x/4  +  2 cos(x-2 π)/3  ≤ 3.

 Исходное уравнение будет иметь решение тогда  и только тогда, когда одновременно выполняются равенства:

sin  x/4    = 1  и   2 cos (x-2 π)/3 = 2  или

sin  x/4    = 1  

cos (x-2 π)/3 = 1  .  

 Решая уравнение sin x/4    = 1 , получим х = 2 π+ 8πn,   n   Z.

Решая уравнение cos (x-2 π)/3 = 1 , имеем  (x-2 π)/3 = (2 π+ 8πn - 2 π)/3.

 Или (x-2 π)/3 = 8πn /3. Итак, cos 8πn /3 = 1.  Это возможно только в тех случаях, когда, n  делится нацело на 3, т.е.  n = 3 k, k   Z.

Значит,  решением исходного уравнения являются числа вида  х = 2 п + 24 п k, k   Z.

III.Рефлексивно-оценочная часть урока.

1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

Задачи этапа: дать качественную оценку работы каждого ученика по выполнению самостоятельной работы.

Содержание этапа:

1.Оцените свою работу на уроке.  

  Самостоятельно выполнили 5  упражнений:

1 – находили значения тригонометрических функций;

2 – находили значения обратных тригонометрических функций;

3 – решение уравнений по известным алгоритмам;

4 – решение однородных тригонометрических уравнений;

5 – решение уравнений вида a sinx+b cosx = c

Найдите среднее арифметическое всех выставленных оценок, округлите результат,  и эти оценки  выставляются в журнал.  

2. Информация о домашнем задании.

Задачи этапа: сообщить  учащимся о домашнем задании, обеспечить понимание цели, содержания и способов решения.

Содержание этапа:

Для закрепления навыков решения тригонометрических уравнений новыми способами ,выполнить домашнее задание следующего содержания:

1.Введением нетрадиционной замены решите  симметричное тригонометрическое уравнение  cos6х  + sin6 х   = 16 sin2 х  cos2х ;

2. Выражение sin3 х  + 3 sin х  - 4 разложить на множители различными способами;

3. Методом разложения на множители решите тригонометрическое уравнение

sin3 х  + 3 sin х  - 4 = 0

4.  Методом оценки левой и правой частей решите тригонометрическое уравнение

2 (  сosх  + sin х )  + sin 2 х  + 1 = 0

3. Подведение итогов урока.

Задачи этапа: вспомнить основные моменты урока, проанализировать усвоение предложенного материала и умение применить полученные знания  в дальнейшем

Содержание этапа:

1.Подведение итогов урока:

а)Вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений;

б)Рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений;

в)Закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения;

г)Познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

д)Дети имеют полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения.

2.Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

- Что нового узнали на уроке?

- Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

- Испытывали ли вы затруднения при выборе самостоятельной работы?

- Какие из способов решения тригонометрических уравнений  из рассмотренных оказались наиболее трудными?

- Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?

- Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

 Список литература:

1. Алгебра и начала математического анализа: 10 кл.: базовый и профильный уровни: книга для учителя/ М.К. Потапов, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014.
2. Блошкин Б.Ф. «Самостоятельные и контрольные работы по математике 9-10 классы».  М., Просвещение 1969
3. Богомолов И.В., Сергиенко Л.Ю. «Сборник дидактических заданий по математике. М., Высшая школа, 1986
4. 4. Алгебра и начала математического анализа: дидактические материалы для 10 кл. /М.К. Потапов, А.В. Шевкин. – 2-е изд. – М. Просвещение, 2015.
5. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. «Контрольные и проверочные работы по алгебре 10-11 классы» М., Дрофа, 2001
6.  Ивлев Б.М. «Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа». М., Просвещение, 1990
7. 5. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс: базовый и профильный уровни/Ю. В. Шепелева. – 2-е изд., М.: Просвещение, 2015.
8. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10 кл. общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /С.М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин.- 12-е изд., доп. -М.: Просвещение, 2016.