Тема урока: Использование формул сокращенного умножения при решении задач
учебно-методический материал по алгебре (7 класс)

Тема урока: Использование формул сокращенного умножения при решении задач

Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать следующее темы: «Возведения в квадрат суммы и разности двух выражений», «Разложение на множители с помощью  формул квадрата суммы и квадрата разности», «Умножение разности двух выражений на их  сумму», «Разложение разности квадратов на множители», «Разложение на множители суммы и разности кубов», владеть навыками работы с формулами сокращенного умножения.

Цель урока: 1)Образовательная: закрепление знаний и умений по данной теме; формирование умения свободно с помощью формул сокращенного умножения; 2)Воспитательная: воспитание чувства взаимопомощи, самоконтроля, интереса к решению примеров, математической культуры; 3)Развивающая: развитие внимательности, логического мышления, умения систематизировать и применять полученные знания.

Оборудование: Написанные на доске примеры для устной и самостоятельной работы, листы с заданиями (без решений), учебниками.

Тип-урока: Урок-смотр знаний.

        Ход урока

I.Устная работа.

1.При написании формул сокращенного умножения были допущены ошибки. Найдите и исправьте их.

1) (а-в)2=а2+2ав+в2

Ответ: (а-в)2=а2+2ав+в2

2) (а-с)2=а2-2ас+с2

Ответ: (а-с)2=а2-2ас+с2

3) а2-в2=(а-в)(а+в)

Ответ: а2-в2-(а-в)(а+в)

4) а3+в3=(а+в)(а2+2ав+в2)

Ответ: а2+в3=(а2+2ав+в2)

5) а3-в3=(а+в)(а2-ав+с2)

Ответ: а3-в3=(а-в)(а2+ав+в2)

2.Составьте из предложенных одночленов выражения так, чтобы их можно было разложить по формулам сокращенного умножения. Потом получившиеся многочлены преобразуйте.

81а2, 4у2, 8ав, -18ав, 16а2, 28ху, в2, 49х2.

Решение: 81а2-18ав+в2=(9а – в)2 , 4у2+28ху+49х2=(2у+7х)2, 16а2+8ав+в2=(4а+в)2

3.В таблицах представлены выражения, которые после перемножения образуют суммы и разность кубов. Подберите к каждому выражению из первой таблицы выражение из второй таблицы. Составьте и преобразуйте получившиеся выражения.

1)

2)

Решение: (а2-в)(а4+а2в+в2)=а6-в3, (2-х)(4+2х+х2)=8-х3. (х+1)(х2-х+1)=х3+1, (а+3)(а2-2а+9)=а3+27.

4. Докажите , что значение выражения (а+4)(а-4)- (а-5)(а+5) не зависит от значения переменной.

Доказательство:  (а+4)(а-4) - (а-5)(а+5) = а2- 16 – (а2- 25) = а2-16- а2+25 = 9.

Следовательно, выражения (а+4)(а-4)- (а-5)(а+5) не зависит от значения переменной.

II.Выполнения заданий

1.Представьте в виде произведения:

1) m12+n15= (m4)3+(n5)3 = (m4+n5)(m8- m4n5+n10)

Ответ: (m4+n5)(m8- m4n5+n10)

2) Некое целое число нужно возвести в квадрат, потом из него вычесть данное число, увеличенное в 16 раз. Если к получившемуся выражению добавить 64, то в итоге поучится ноль. Найдите это число.

Решение: обозначим неизвестное число за х. Тогда по условию задачи составим следующее выражение: х2-16х +64=0. Решим получившееся уравнение:

х2-16х +64=0; (х-8)2= 0; х-8=0; х=8.

Следовательно, задуманное число равно 8.

Ответ: 8.

3) При каком значении а удвоенное произведение двух членов а+1 и а- 1 меньше суммы их квадратов на 7?

Решение: составим по условию задачи неравенство и решим его.

2(а+1)(а-1)˂(а+1)2+ (а-1)2 + 7;

2(а2 – 1)˂(а2+2а+1) + (а2-2а + 1) + 7;

2а2-2˂а2+2а+1+а2-2а+1+7;

2а2-2˂2а2+9; 2а2-2а2˂9+2; 0˂11.

Следовательно, при любом значении а выполняется условие задачи.

Ответ: при всех а.

4)Найдите два последовательных нечетных числа, произведение которых равно -1. Известно, одно из них на 2 единиц больше другого.

Решение: обозначим за х одно из нечетных чисел. Тогда второе последовательное нечетное число равно х+2. По условие задачи произведение чисел равно -1. Составим и решим уравнение. х(х+2)=-1; х2+2х+1=0; (х+1)2=0; х+1=0; х=-1. Значит, одно из чисел равно -1, второе число х+2= -1+2=1

Ответ: -1,1.

III.Устная работа

1.(Данное задание на карточках.) Саша получил на уроке оценку. В качестве ответа на вопрос Пети об отметке он использовал задачу. Сумма квадрата оценки и числа 25 равна произведению оценки и числа 10. Найдите ошибки, которые допустил в решении Петя, и помогите ему узнать, какую оценку получил Саша.

Решение Пети: обозначим за х оценку, которую получил Саша на уроке. Составим и решим уравнение по условию задачи. х2+25=10х; х2+10х+25=0; (х+5)2=0; х+5=0; х=-5. Получилось, что Саша на уроке получил оценку «-5». Найдите ошибку.

Правильное решение: ошибка возникла при решении самого уравнения. Петя  забыл поменять знак на противоположный при перенесении множителя 10х.Он неправильно преобразовал левую часть. Х2+25=10х; х2-10х+25=0; (х-5)2=0; х-5=0; х=5. Следовательно, Саша получил на уроке оценку «5».

2.Один ученик высказал предположение, любое число равно числу, в 2 раза большему его. В качестве доказательства он привел такой пример. Пусть х- любое число. Возьмем х2-х2=х2-х2.Правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, а в левой части вынесем х за скобки. В итоге получим, что (х-х)(х+х)=х(х-х). После упрощения данного тождества получается 2х=х. Мы понимаем, что такого быть не может. Тогда найдите ошибку.

Ответ: ошибка заключается в том, что ученик при упрощении делит тождество на (х-х). А этого делать нельзя , так как х-х=0.

IV. Выполнение заданий.

1.Разность двух чисел равна 79. Уменьшаемое представляет собой квадрат суммы неизвестного числа и 6. Вычитаемое – разность квадратов неизвестного числа и 5. Найдите это число.

Решение: обозначим неизвестное число за х. Тогда уменьшаемое будет равно (х+6)2, а вычитаемое – х2-52. По условии задачи разность двух чисел равна 79. Составим и решим уравнение: (х+6)2 –(х2-52 )=79; х2+12х+36-х2 +25= 79; 12х+61=79; 12х=79-61; 12х=18; х=1,5. Следовательно, неизвестное число равно 1,5.

Ответ: 1,5.

2.Какими должны быть значения а и в, чтобы выполнялось тождество а3 +а2в+ав2= а2в+ав2 +в3?

Решение: вынесем в левой и правой части тождества общие множители: а(а2+ав+в2)= в(а2+ав+в2). Перенесем из правой части тождества выражение в левую часть и снова вынесем общий множитель за скобки: : а(а2+ав+в2)- в(а2+ав+в2);  (а-в)( а2+ав+в2)=0. Левая часть тождества представляет собой разность кубов: а3-в3=0. Так как разность кубов равна 0, то а и ив могут быть любыми одинаковыми числами с противоположными знаками.

Ответ: любые числа с противоположными знаками.

3. Докажите, что 1733+3273 делится на 100.

Доказательство: выражение представляет собой суммы кубов. Преобразуем его: 1733+3273=(173+327)(1732-173х327+3272)=500(1732-173х327+3272). В данном выражении 500 делится на 100, значит , значение выражения делится на 100.

V.Самостоятельная работа

 Вычислите значение выражения (52-32)2, используя минимум две формулы сокращенного умножения.

Решение: сначала используем формулу разности квадратов а2-в2=(а-в)(а+в). Получим:

(52-32)2=((5-3)(5+3))2=(2х8)2=162=254. Затем представим число 16 в виде 16=20-4 и применим формулу квадрата разности (а-в)2=а2-2ав+в2. Получим, (20-4)2=202-2х20х4+42=400-160+16=256.

VI. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

VII. Домашнее задание.