Метод интервалов: обучение и контроль
консультация по алгебре (10 класс)

Метод интервалов

Метод интервалов (или как его еще иногда называют метод промежутков) – это универсальный метод решения неравенств. Он подходит для решения разнообразных неравенств, однако наиболее удобен в решении рациональных неравенств с одной переменной. Поэтому в школьном курсе алгебры метод интервалов вплотную привязывают именно к рациональным неравенствам, а решению других неравенств с его помощью практически не уделяют внимания.

Разберем алгоритм применения метода интервалов и  все его тонкости. Начнем с того, что приведем алгоритм решения неравенств методом интервалов. Дальше поясним, на каких теоретических аспектах он базируется, и разберем шаги алгоритма, в частности, подробно остановимся на определении знаков на интервалах. После этого перейдем к практике и покажем решения нескольких типовых примеров. А в заключение рассмотрим метод интервалов в общем виде (то есть, без привязки к рациональным неравенствам), другими словами, обобщенный метод интервалов.

Итак, нам предстоит рассмотреть следующие вопросы:

• Алгоритм метода интервалов
• На чем основан метод интервалов?
• Как находить нули числителя и знаменателя?
• Как определять знаки на интервалах?
• Как правильно записать ответ?
• Примеры решения неравенств методом интервалов

Алгоритм метода интервалов

Если неравенство имеет  вид  f(x)<0 (а также f(x) > 0 или f(x) ≤ 0 или f(x) ≥0), то его удобно решать методом интервалов. Для наглядности приведем примеры подобных неравенств: (x−7)·(x+7) ≤ 0 или  

(x+4)·(x2−x+1)·(x+2)3 ≥ 0   или    > 0 или    ≤ 0  и т. д.

Перейдем к алгоритму решения неравенств подобного  вида методом интервалов, а затем рассмотрим примеры его применения к решению неравенств. Итак, алгоритм  метода интервалов:

1. Сначала находят нули каждого множителя, а если в левой части неравенства – дробь, то находят нули числителя и нули знаменателя. (Нули числителя и знаменателя – это значения переменной, при которых числитель и знаменатель становятся равными нулю ). Для этого каждый множитель левой части  (числитель и знаменатель)  приравнивают к нулю, и решают  полученные уравнения. 

*Примечание. Важно понимать, что нулями каждого множителя левой части (нулями числителя и знаменателя) могут быть любые числа, среди которых может отсутствовать  число 0.

2. На  числовую прямую наносят точки, соответствующие найденным в пункте 1) нулям.  (Не обязательно соблюдать  единичные отрезки, достаточно   придерживаться известного правила:  точка с меньшей координатой находится левее точки с большей координатой).  После этого определяют, как их  надо изобразить: темными или светлыми (выколотыми). При решении строгого неравенства (со знаком < или >) все точки изображаются светлыми (выколотыми). При решении нестрогого неравенства (со знаком ≤ или ≥) точки, отвечающие нулям знаменателя, изображаются выколотыми, а оставшиеся отмеченные  точки –  темными. Все отмеченные точки разбивают координатную прямую на несколько числовых промежутков.
3. Определяют знаки выражения f(x) из левой части решаемого неравенства на каждом промежутке (как это делается, подробно расскажем в одном из следующих пунктов), и над ними проставляются + или − в соответствии с определенными  знаками.
4. Наконец, при решении неравенства со знаком < или ≤  штриховку наносят над промежутками, отмеченными знаком  «− », а при решении неравенства со знаком > или ≥   –  над промежутками, отмеченными знаком «+». В результате получается геометрическое представление числового множества, которое и является искомым решением неравенства.

На чем основан метод интервалов?

В основе метода интервалов лежит следующее свойство непрерывной функции: если на интервале  (a, b) функция f(х) непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак. Аналогичное свойство справедливо и для числовых лучей (−∞, a) и (a, +∞). Для выражений f(x), имеющих указанный в предыдущем пункте вид, постоянство знака на промежутках можно обосновать и иначе, с помощью свойств числовых неравенств  с  учетом правила умножения и деления чисел с одинаковыми знаками и разными знаками.

Как находить нули числителя и знаменателя?

С нахождением нулей числителя и знаменателя дроби обычно не возникает никаких проблем. Выражения из числителя и знаменателя приравниваются к нулю, и решаются полученные уравнения. При необходимости выполняют  разложение на множители числителя и знаменателя.

Рассмотрим пример. Решить неравенство:  ≤ 0

 Решение.

Преобразуем левую часть неравенства. Для этого разложим на множители

х2 + 5х – 6 = 0

D = 52 – 4 ∙ 1 ∙ (– 6) = 25 + 24 = 49

х1 =  =  – 6

х2 =  =  1

Применяя формулу ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), получим:  х2 + 5х – 6 = (х + 6)(х – 1). Кроме того, по формуле разности квадратов  = (х – 5)(х + 5). Неравенство примет вид:

 ≤ 0, после сокращения на х – 5 окончательно получаем: ≤ 0

Нули числителя и знаменателя:

(х – 5)2 = 0                         х + 6 = 0        х – 1 = 0         х + 5 = 0

(х – 5)(х – 5) = 0                х = – 6           х = 1               х  = – 5

х = 5 или х = 5

При решении уравнения (х – 5)2 = 0 получились два одинаковых корня, равных 5. В таких случаях говорят: «Кратность корня 5 равна двум». Как  влияет такая ситуация на решение неравенства рассмотрим на следующем этапе. А пока нанесем полученные числа на числовую  прямую слева направо в порядке возрастания: -6, -5, 1. 5. Точки, соответствующие числам  -6, -5, 1, - выколотые, т.к. они обращают знаменатель в ноль, а на ноль делить нельзя. Точка с координатой 5 будет темной, т.к. при х=5 числитель обратится  в ноль, а поскольку  мы решаем нестрогое неравенство, то такое значение допустимо.

Как определять знаки на интервалах?

Знаки левой части неравенства на каждом интервале можно определять двумя способами. Самый надежный способ состоит в  следующем. Из каждого интервала выбирают произвольное число  и вычисляют значение  левой части неравенства. Знак полученного результата – это и есть знак левой части на выбранном интервале. Вернемся к неравенству. Найденные числа разбили числовую прямую на интервалы (–∞; – 6), (– 6;. – 5), (– 5; 1), (1; 5), (5; +∞). Определим знак дроби    на каждом интервале.

Из интервала (–∞; – 6) выберем число  – 7. Подставим его вместо х и определим знак результата:

 = . Получаем отрицательное число. Значит, на интервале (–∞; – 6) знак дроби «–».

Из интервала (– 6; – 5) выберем число – 5,5. Снова определим знак:

=. Очевидно, в ответе получится положительное число. Поэтому на интервале (– 6; – 5) знак дроби «+».

Из интервала (– 5; 1) выберем число 0.    =  . Результат отрицателен. На интервале  (– 5; 1) знак дроби «–».

Из интервала (1; 5) выберем число 2,   = . На  интервале (1; 5) знак дроби «+».

Из интервала (5; +∞) выберем число 6, =. На  интервале (5; +∞) знак дроби «+».

Существует и другой подход к определению знаков, состоящий в нахождении знака на одном из интервалов и его сохранении или изменении при переходе к соседнему интервалу через нуль. Нужно придерживаться следующего правила. При переходе через нуль числителя (или знаменателя) знак изменяется, если степень выражения, дающего этот нуль, нечетная, и не изменяется, если четная. Кстати, если выражение в левой части неравенства имеет вид   , то на крайнем правом промежутке будет знак плюс. В данном примере знак будет меняться при переходе через нули знаменателя, т. е. при переходе через  – 6, – 5, и 1, т.к. каждый множитель в знаменателе имеет первую (нечетную) степень. При переходе через точку 5, являющуюся нулем числителя, знак меняться не будет, т. к. выражение в числителе имеет четную степень. В этом мы смогли убедиться, определяя знак дроби выше.

Как правильно записать ответ?

Неравенство    ≤ 0, которое мы привели к виду ≤ 0, содержит знак ≤ , поэтому в ответ будут записаны интервалы, на которых дробь отрицательна, т.е. (–∞; – 6), (– 5; 1). Кроме того, при х=5 (изолированная точка) неравенство верно и поэтому число 5 – одно из решений неравенства. Однако, это значение может быть потеряно в связи с тем, что расположено между двумя интервалами, не входящими в ответ. Подводя итоги, записываем

ответ:   (–∞; – 6) ⋃ (– 5; 1) ⋃  .

Пример 2

Решите  неравенство   > 0.

Решение:

найдем нули числителя и знаменателя.

 х – 5 = 0             х + 1 = 0

х = 5                    х =  – 1

Точки, соответствующие нулям числителя и знаменателя, изображаем выколотыми (светлыми) в силу того, что неравенство строгое. Полученные  числа разбивают числовую прямую на три промежутка (−∞, −1), (−1, 5) и (5, +∞). Определим знак дроби   на каждом из этих промежутков.  На промежутках (−∞, −1) и (5, +∞) дробь   положительна, а на интервале (−1, 5) отрицательна. В ответ записываем промежутки со знаком плюс.

Ответ: (−∞, −1) ⋃ (5, +∞).

Пример 3

Решите  неравенство    . Так как при решении квадратного уравнения  х2 – х + 4 = 0 дискриминант отрицателен, то нулей числителя нет, а нулем знаменателя является число −3. (числитель этой дроби положителен при любом х, т. к. парабола у = х2 – х + 4, ветви которой направлены вверх,  не пересекает ось абсцисс). Число −3 делит числовую прямую на два промежутка (−∞, −3) и (−3, +∞). Определим знаки на них. Очевидно, что справа от  – 3 знак будет положительным, а слева от – 3 – отрицательным. Так как неравенство имеет знак , то в ответ записываем промежуток со знаком +. Ответ: (−3, +∞).

Примеры решения неравенств методом интервалов

1. Решить неравенство (x + 1)(x – 1)(x – 2) > 0.

2. Решить неравенство: 

3. Решить неравенство 

4. Решить неравенство        .

Тренировочные  задания (не для проверки)

Решите неравенства, применяя метод интервалов:

Критерии оценивания

На оценку «5» нужно решить 13 неравенств без ошибок

На оценку «4» нужно решить 11 неравенств без ошибок

На оценку «3» нужно решить 7 неравенств без ошибок