Мастер-класс "Решение банковских задач ЕГЭ"
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)
В последние годы большую социальную значимость имеет финансовая и экономическая грамотность молодёжи. Имеено поэтому одной из особенностей ЕГЭ по математике профильного уровня с 2015 года является влючение практико-оринтированной задачи. на мастер-классе рассмотрены 4 основных типа задач на проценты.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
master-klass.docx | 887.5 КБ |
Предварительный просмотр:
МКОУ «Калиновская средняя общеобразовательная школа»
Хомутовского района Курской области
Региональная «Неделя математики - 2017»
п. Хомутовка
19 октября 2017 года
Целевая аудитория: педагоги школ района, области.
Материалы и оборудование: ноутбук, проектор, презентация, тексты задач.
План мастер-класса:
- Актуальность обучения решению задач экономического содержания.
- Критерии оценивания задачи №17.
- Метод математического моделирования.
- Классификация банковских задач.
- Решение типовых задач (практическая работа).
Добрый день, уважаемые коллеги! Меня зовут Дрюкова Оксана Михайловна, я учитель математики Калиновской средней школы. В последние годы большую социальную значимость набирает финансовая и экономическая грамотность молодёжи. Это и организованный Центральным банком Российской Федерации проект «Онлайн уроки финансовой грамотности», и Всероссийский экономический диктант «Сильная экономика – процветающая Россия!», организованный Вольным экономическим обществом России, в котором мои ученики приняли участие 12 октября. Кроме того, Концепция математического образования призывает нас обеспечивать необходимое стране число выпускников, математическая подготовка которых достаточна для продолжения образования в различных направлениях и для практической деятельности, включая преподавание математики, математические исследования, работу в сфере информационных технологий и др.
Именно поэтому одной из особенностей вариантов ЕГЭ по математике профильного уровня с 2015 году является включение практико-ориентированной задачи. Эта задача направлена на применение методов математики при решении содержательных и прикладных задач, в том числе социально-экономического содержания. У учащихся при этом проверяется умение выполнять действия с целыми числами, действий со степенями с натуральным показателем, знаний и умений обращаться с процентами, в том числе и сложными «банковскими» процентами.
Использование задач на проценты раньше также практиковалось в проведении итоговой аттестации. Их достаточно часто включали в варианты как школьных выпускных экзаменов, так и вступительных экзаменов в различные вузы страны. И вот по истечении многих лет задачи на проценты вновь входят в состав заданий ЕГЭ по математике.
Сегодня я остановлюсь на вопросах методики обучения учащихся умению решать задачи с социально-экономическим содержанием при подготовке к ЕГЭ по математике, а именно - решению банковских задач. Выбор темы выпал не случайно, поскольку, на мой взгляд, такие задачи чаще встречаются на экзаменах, к тому же я сама имею образование по специальности «финансы и кредит».
В первую очередь знакомимся с критериями оценивания задачи №17.
Содержание критерия | Баллы |
Обоснованно получен верный ответ | 3 |
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат: — неверный ответ из-за вычислительной ошибки; — верный ответ, но решение недостаточно обосновано | 2 |
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
При обучении решению задач с социально экономическим содержанием передо мной стояла методическая задача – обучить учащихся использованию математического моделирования». Необходимо учащимся подчеркнуть, что процесс решения задачи представляет собой такую систему преобразований условий задачи, при которых достигается требуемое искомое.
Метод математического моделирования содержит следующие этапы:
1) построение математической модели объекта (явления, процесса);
2)исследование полученной модели, т.е. решение полученной математической задачи средствами математики;
3) интерпретация полученного решения с точки зрения исходной ситуации.
Среди задач с социально-экономическим содержанием важное место занимают так называемые «банковские задачи», так как при ее решении можно столкнуться с различными банковскими операциями (вкладами, ссудами). Такие задачи вызывают у учащихся большие трудности. Это объясняется тем, что в учебниках по математике не рассматриваются такие понятия, как простые и сложные проценты, и не вводятся формулы их вычисления. Предполагается, что учащиеся должны решать эти задачи, опираясь не на формулы, а на понимание понятия процента и умения решать основные три вида задач на проценты.
Итак, для начала выводим основную формулу.
Вспомним, как увеличить число на некоторое количество a%: А (1 + ).
Если этот процесс повторяется, то А (1 + )n.
Итак, пусть А- сумма кредита, а %- процент по кредиту, р=1 + это коэффициент, на который умножается остаток долга или коэффициент приращения, S – ежегодная выплата (транш) банку.
Остаток банку через 1 год: Ар- S.
Остаток банку через 2 года: (Ар- S)р – S= Ар2 – S (p+1).
Остаток банку через 3 года: (Ар2 - Sр-S)р – S= Ар3 – S (p2+p+1).
Остаток банку через 4 года: Ар4 – S (p3 + p2+p+1)= Ар4 – S (p+1)(p2+1).
Остаток банку через n лет: Арn – S (pn-1 + p n- 2+…+ p+1)= Арn – S , где (pn-1 + p n- 2+…+ p+1) можно преобразовать по формуле суммы геометрической прогрессии: b1=1, q=p.
Понятие этой схемы помогает учащимся решать задачи.
Банковские задачи можно классифицировать на следующие типы:
№ | Годы выплаты | Сумма кредита (долга) | Транш (выплата) | Проценты |
1 тип | ? | + | + | + |
2 тип | + | + | ? | + |
3 тип | + | ? | + | + |
4 тип | + | + | + | ? |
Итак, предлагаю рассмотреть 4 типа задач на проценты:
- Нахождение ежегодного платежа.
- Нахождение суммы кредита.
- Вычисление процентной ставки по кредиту.
- Нахождение количества лет выплаты кредита.
Поскольку мы живем в сельской местности, где развиваются фермерские хозяйства, то предлагаю тексты задач соответствующей тематике, близкой к реальности. Предлагаю вам выступить в роли моих учеников и , используя тексты задач, решить четыре задачи.
Нахождение количества лет выплаты кредита.
Фермерское хозяйство «Сапфир» планирует купить культиватор, взяв кредит в банке 1,5 миллиона рублей. Погашение кредита происходит раз год равными платежами (кроме, может быть, последней) после зачисления процентов. Процентная ставка, предлагаемая банком – 10 % годовых. На какое минимально количество лет фермерское хозяйство может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей?
Данная задача относится к первому типу, т.е. необходимо найти, за сколько периодов N кредит будет выплачен полностью.
Решение:
Итак, имеем А=1500 000 руб, а = 10%, р= 1+0,01*а=1,1.
N≥0, S≤ 350 000 руб,
В конце первого года долг составит: 1500 000 *1,1 – 350 000=1300 000 руб.
В конце второго года долг составит:1300 000 *1,1 – 350 000=1080 000 руб.
В конце третьего года долг составит: 1080 000 *1,1 – 350 000=838 000 руб.
В конце четвертого года долг составит: 838 000 *1,1 – 350 000=571800 руб.
В конце пятого года долг составит:571 800 *1,1 – 350 000=278980 руб.
В конце шестого года долг составит:278900 *1,1 =306878 руб.
Полученная сумма меньше 350 000 руб.
Ответ: кредит будет погашен за 6 лет.
Нахождение ежегодного платежа.
Фермерское хозяйство «Колос» для покупки комбайна берёт 15 960 000 рублей в кредит под 30% годовых. По истечении каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 30%), затем фермерское хозяйство переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы клиент выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
Решение:
Итак, имеем А=15960000 руб, а = 30%, р= 1+0,01*а=1,3.
Пусть искомый ежегодный платёж составляет Х рублей.
Тогда в конце первого года клиент будет должен
1,3 * 15 960 000 − x = (20 748 000 − x) рублей.
Аналогично, в конце второго года его долг составит
(1,3 *(20 748 000 − x) − x) = 26 972 400 − 2,3x рублей,
а к концу третьего : 1,3 * (26 972 400 − 2,3x) − x = 35 064 120 − 3,99x рублей.
Однако по условию клиент должен выплатить кредит тремя равными платежами, то есть в конце третьего года его долг должен составить 0 рублей.
35 064 120 − 3,99x = 0, x = 8 788 000.
Ответ: 8 788 000 рублей.
Нахождение суммы кредита.
31декабря 2018 года фермерское хозяйство «Хуторок» планируется взять кредит в банке для покупки животноводческой фермы под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем фермерское хозяйство переводит в банк 2928200 рублей. Какую сумму может взять фермерское хозяйство в банке, чтобы выплатить долг четырьмя равными платежами, то есть за 4 года?
Решение:
Пусть сумма кредита Х, а сумма ежегодного платежа S = 2928200 руб., а = 10%, р= 1+0,01*а=1,1, тогда распишем сумму долга для каждого года:
1 год: 1,1х–S.
2 год :(1,1х – S) 1,1 – S.
3 год : (1,1 2 х –1,1 S – S) 1,1 – S
4 год : 1,1 4 х – S (1,1+1)(1,12 +1) .
После последней выплаты сумма долга стала равна нулю.
Составим и решим уравнение: 1,1 4 х – S (1,1+1)(1,12 +1)
1, 4641х - 4,641S = 0
1, 4641х = 4,641* 2928200
х = 9282000
Ответ: 9282000 рублей.
Нахождение процентной ставки по кредиту.
31 декабря 2014 года фермер, занимающийся разведением цветов в теплицах, взял в банке 1000000 рублей в кредит на приобретение удобрений. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем фермер переводит в банк очередной транш. Фермер выплатил кредит за 2 транша. В первый раз он перевел в банк 660000 рублей, во второй – 484000 рублей. Под какой процент банк выдал кредит фермеру?
Решение:
Пусть А=1000000 рублей , первый транш S1=660 000 рублей, второй транш S2=484 000 рублей. Необходимо найти а, если р=1+0,01а.
Сумма долга после выплаты первого транша будет равна:
100000(1+0,01 а ) – 660000=340000+10000а.
Сумма долга после выплаты первого транша будет равна:
(340000+10000а) (1+0,01 а ) – 484000.
После выплаты второго транша сумма долга стала равна нулю.
Составим и решим уравнение:
(340000+10000а) (1+0,01 а ) – 484000= 0
100а2 +13400а -144000 = 0/ :100
а2 +134а – 1440 = 0
D = 23716 = 1542 , а1 = 10, а2 = -144 - не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 10%
Спасибо за работу! На мой взгляд, такой подход к решению доступен любому ученику. А рациональное включение экономического материала в текст задачи возможно при изучении практически любой темы школьного курса математики. Даже если учащимся неизвестно точное значение того или иного экономического понятия, они понимают его на житейском (бытовом) уровне. В процессе решения соответствующей задачи смысл экономического понятия уточняется. Хотя, не скрою, большую пользу приносят уроки обществознания и занятия элективного курса «Основы финансовой грамотности».
Для закрепления учащимся можно предложить составить аналогичную задачу и решить ее. Опыт показывает, что учащиеся с большим интересом решают такие задачи, с удовольствием составляют их самостоятельно. Материал для уроков можно найти и в открытом банке заданий ЕГЭ, а также в системе СтатГрад, в которой мы работаем, проводя тренировочные и диагностические работы при подготовке к экзамену.
Таким образом, считаю, что предлагаемая методика обучения решению задач является эффективным способом обучения решению задач с социально- экономическим содержанием при подготовке выпускников к ЕГЭ по математике профильного уровня.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Текстовые задачи на банковские расчеты.
Текстовые задачи на банковские расчеты с решениями....
Решение «банковских» задач в новой версии ЕГЭ-2015 по математике.
В данной статье дано подробное решение "новых" задач ЕГЭ 2015 года, так называемых банковских....
презентация "Решение «банковских» задач в новой версии ЕГЭ-2015 по математике"
В данной презентации рассматриваются примеры решения банковских задач (сложные задачи на проценты от процентов).Знание методики решения таких задач необходимо как в повседневной жизни...
Решение банковских задач
Данный материал содержит наиболее часто встречающиеся задачи, используемые составителями тренировочных работ для подготовки к ЕГЭ (профильный уровень. Это задание №19. Предлагаемый материал был озвуче...
Банковская и финансовая системы в решении математических задач.
Аннотация: Интегрированный урок в классе, где идет обучение с делением класса на профильные группы. Интегрируемые предметы обществознание и математика. Главным аспектом данного урока является то, что ...
Решаем задание 17 ЕГЭ. Банковские задачи. 1
Подробное решение задачи 17 из ЕГЭ (банковские задачи)....
"Арифметическая прогрессия при решении банковских задач"
Подготовка к ЕГЭ. 11 класс...