Предел функции 10 класс
презентация к уроку по алгебре (10 класс) на тему

Слайд 1

Слайд 2

Определение Пусть функция f, принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точки x 0 , кроме, быть может, самой точки x 0 . Функция f имеет предел в точке x 0 , если для любой последовательности точек x n , n = 1, 2,..., x n ≠ x 0 , стремящейся к точке x 0 , последовательность значений функции f (x n ) сходится к одному и тому же числу А, которое и называется пределом функции f в точке x 0 , (или при x → x 0 ) при этом пишется у х О х 0 А

Слайд 3

Определение Число А называется пределом функции f в точке x 0 , если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех точек х ≠ x 0 , удовлетворяющих условию | х — x 0 | < δ, x ≠ x 0 , выполняется неравенство | f (x) — A | < ε. у х О х 0 А х 0 +δ х 0 -δ А+ ε А- ε

Слайд 4

Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция (х α ), показательная функция (a x ), тригонометрические функции (sinx, cosx, tgx и ctgx) и обратные тригонометрические функции (arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx) во всех внутренних точках своих областей определения имеют пределы, совпадающие с их значениями в этих точках.

Слайд 5

Примеры функций, имеющих предел в точке у = x 2 Предел функции при x → 2 равен 4 ( при x → 2 значения функции → 4). Предел функций при x → 0 равен 0.

Слайд 6

х О а у А у х О а у х О 1 -1 Примеры функций, не имеющих предел в точке

Слайд 7

Свойства предела функции в точке Если функции f ( x ) и g ( x ) имеют конечные пределы в точке a , причем То если B ≠ 0 и если g ( x ) ≠ 0 в δ-окрестности точки a .

Слайд 8

Вычисление предела функции в точке Найдем Предел числителя Предел знаменателя . Используя теорему о пределе частного, получим Сначала просто пытаемся подставить число в функцию

Слайд 9

Найдем Предел числителя Предел знаменателя равен нулю, поэтому теорему о пределе частного применять нельзя. Величина 1/( x -3) является бесконечно большой величиной при x →3. Тогда

Слайд 10

Раскрытие неопределенности При нахождении предела иногда сталкиваются с неопределенностями вида Отыскание предела в таких случаях называется раскрытием неопределенности. Для того, чтобы раскрыть неопределенность ∞/∞ необходимо разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени. Разделим числитель и знаменатель на х 2

Слайд 11

Разделим числитель и знаменатель на х 4

Слайд 12

Разделим числитель и знаменатель на х 2 подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число. Таким образом, при раскрытии неопределенности может получиться конечное число , ноль или бесконечность.

Слайд 13

Вычислить предел Сначала попробуем подставить -1 в дробь: В данном случае получена так называемая неопределенность 0/0 Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенность вида 0/0, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители . Очевидно, что можно сократить на (х+1) : Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Слайд 14

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение Найти предел Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение. Получена неопределенность вида 0/0 , которую нужно устранять

Слайд 16

Замечательные пределы первый замечательный предел второй замечательный предел

Слайд 17

Примеры

Слайд 18

Односторонние пределы Число A 1 называется пределом функции f (x) слева в точке a , если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство При х приближающихся к а слева, значения функции стремятся к А 1 у х О а А 1 а-δ А 1 + ε А 1 - ε Предел функции слева

Слайд 19

Предел функции справа Число A 2 называется пределом функции f (x) справа в точке a , если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство При х приближающихся к а справа, значения функции стремятся к А 2 у х О а А 2 а+δ А 2 + ε А 2 - ε Функция, определённая в некоторой окрестности точки, имеет предел в точке, если её предел справа равен пределу слева. у х О а А