Урок алгебры в 10 классе «Предел функции в точке»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме
Урок алгебры в 10 классе: «Предел функции в точке»
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
urok_algebry_v_10_klasse_predel_funkcii_v_tochke.doc | 210 КБ |
Предварительный просмотр:
Урок алгебры в 10 классе по теме «Предел функции в точке»
Автор: Шангина Ирина Евгеньевна,
учитель математики ГБОУ СОШ № 11 им. Героя Советского Союза Аипова М.И. г.Октябрьска
Цель урока: формирование у учащихся наглядно – интуитивных представлений о пределе функции в точке.
Задачи урока:
- ввести понятие предела функции в точке;
- рассмотреть геометрическую иллюстрацию понятия предела функции в точке;
- ввести понятие непрерывности функции;
- рассмотреть правила о нахождении предела суммы, произведения и частного двух функций;
- рассмотреть примеры нахождения предела функции в точке.
Тип урока: урок объяснение нового материала.
План урока.
- Организационный момент.
- Мотивация изучения темы.
- Подготовительная работа.
- Изучение нового материала.
- Решение задач.
- Домашнее задание.
- Итог урока.
Ход урока.
1. Организационный момент.
- Здравствуйте, ребята. Тема нашего урока: «Предел функции в точке». Сегодня на уроке мы познакомимся с понятиями «предел функции в точке», «непрерывность функции», а также рассмотрим правила вычисления предела функции в точке.
2. Мотивация изучения темы.
- Эта тема очень важна для дальнейшего изучения алгебры: понятие предела функции имеет большое значение для построения графиков функций. Кроме того, в дальнейшем мы будем изучать понятие производной и без знания предела функции рассмотрение этого понятия невозможно.
3. Подготовительная работа.
- Перед тем как начать изучать новую тему выполним следующее задание: постройте график функции если:
а) при х = 4 значение функции не существует; (рис.1)
б) при х = 4 значение функции равно 3; (рис.2)
в) при х = 4 значение функции равно 2. (рис.3)
(В ходе выполнения этого упражнения учащиеся повторяют нахождение области определения функции, а также построение графика функции, которая при данном значении аргумента либо имеет значение, либо не определена).
Рисунок 1
Рисунок 2
Рисунок 3
4. Изучение нового материала.
- Воспользуемся построенными графиками функций. Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, тем не менее, это три разные функции.
- Чем они отличаются друг от друга?
(Они отличаются друг от друга своим поведением в точке х = 4).
- Как ведет себя функция в точке х = 4 на первом графике?
(Для функции при х = 4 значение функции не существует, функция в указанной точке не определена).
- Как ведет себя функция в точке х = 4 на втором графике?
(Для функции при х = 4 значение функции существует, но оно отличается от естественного значения функции в указанной точке).
- Как ведет себя функция в точке х = 4 на третьем графике?
(Для функции при х = 4 значение функции существует, и оно равно естественному значению функции в указанной точке, то есть двум).
- Если мы исключим точку х = 4 из рассмотрения, то все три функции будут тождественными.
- Для всех трех случаев используется одна и та же запись: .
- В общем случае эта запись выглядит следующим образом: .
- Эту запись читаем так: «предел функции y=f(x) при стремлении х к а равен b».
- А теперь ответьте на такой вопрос: какую из трех рассмотренных функций естественно считать непрерывной в точке х = 4?
(Непрерывной будет третья функция)
- Так как эта функция непрерывна, то она удовлетворяет условию . И функцию f (x) называют непрерывной в точке х = а.
- Иными словами, функцию y = f (x) называют непрерывной в точке х = а, если предел функции y = f (x) при стремлении х к а равен значению функции в точке х = а.
- Функция y = f (x) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке промежутка.
- При изучении различных функций (линейной, квадратичной, степенной, иррациональной, тригонометрических) мы отмечали, что они являются непрерывными либо на всей числовой прямой, либо на промежутке. Исходя из этого, можно сформулировать следующее утверждение: если выражение f (x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция y = f (x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f (x).
5. Решение задач.
- Для закрепления понятия предела функции в точке выполним номер 678.
№ 39.18. Какая из функций, графики которых изображены на рис. 74 – 81, имеет предел при х 3? Чему равен этот предел?
Решение.
Рисунок 74 Рисунок 75
Рисунок 76 Рисунок 77
Рисунок 78 Рисунок 79
Рисунок 80 Рисунок 81
- Решим номер 39.19 (а, б).
№ 39.19 (а, б). Постройте график какой – нибудь функции y = g (x), обладающей заданным свойством:
а) , (рис.4)
б) . (рис.5)
Решение.
Рисунок 4 Рисунок 5
- Рассмотрим несколько примеров на вычисление пределов функций.
Пример 1. Вычислить: .
Решение. Выражение х3 – 2х2 + 5х + 3 определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция у = х3 – 2х2 + 5х + 3 непрерывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.
Имеем: .
Ответ: 7.
- Для решения следующего примера нам потребуются правила вычисления предела функции в точке.
Правило 1. .
Правило 2. .
Правило 3. .
Пример 2. Используя эти правила, вычислим .
Решение. Выражение определено в любой точке х 0, в частности, в точке х = 2. Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке х = 2, а потому предел функции при стремлении х к 2 равен значению функции в точке х = 2. Имеем: .
Ответ: 0.
- Решим номер 39.23.
№ 39.23. Вычислите: а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Решение.
а) . Выражение х2 – 3х + 5 определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция у = х2 – 3х + 5 непрерывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.
Имеем: .
Ответ: 3.
б) . Выражение определено в любой точке х , в частности, в точке х = . Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке х = , а потому предел функции при стремлении х к равен значению функции в точке х = . Имеем: .
Ответ: 0.
в) . Выражение х2 + 6х – 8 определено в любой точке х, в частности, в точке х = - 1. Следовательно, функция у = х2 + 6х – 8 непрерывна в точке х = - 1, а потому предел функции при стремлении х к - 1 равен значению функции в точке х = - 1.
Имеем: .
Ответ: - 1.
г) . Выражение определено в любой точке х , в частности, в точке х = . Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке х = , а потому предел функции при стремлении х к равен значению функции в точке х = .
Имеем: .
- Вы заметили, что в рассмотренных примерах вычисление пределов не составило значительных сложностей: достаточно было найти значение функции в точке, к которой стремится аргумент х. Но часты случаи, когда этот прием не срабатывает.
Пример 3. Вычислить .
Решение. Если подставить значение х = - 3 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: .
Значит, функции и тождественны при условии х - 3. Но при вычислении предела функции при х - 3 саму точку х = - 3 можно исключить из рассмотрения. Значит, .
Ответ: - 1,5.
- Решим номер 39.27.
№ 39.27. Вычислите: а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Решение.
а) . Если подставить значение х = 0 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: .
Значит, функции и тождественны при условии х 0, х 1. Значит, .
Ответ: 0.
б) . Если подставить значение х = - 1 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: .
Значит, функции и тождественны при условии х 0, х - 1. Значит, .
Ответ: - 1.
в) . Если подставить значение х = 3 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: .
Значит, функции и тождественны при условии х 3. Значит, .
Ответ: 3.
г) . Если подставить значение х = - 5 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: .
Значит, функции и тождественны при условии х 0, х - 5. Значит, .
Ответ: - .
6. Домашнее задание.
- Открываем дневники и записываем домашнее задание: номера 39.19 (а, б), 39.24, 39.28. Эти номера подобны тем, которые мы решали в классе, образец записи у вас в тетрадях.
7. Итог урока.
- Сегодня на уроке мы познакомились с понятием предела функции, непрерывности функции в точке и на промежутке, правила вычисления предела в точке, научились вычислять предел функции в точке.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Урок алгебры 7 класса "Линейные функции"
Методическая разработка раздела курса алгебры 7 класса "Линейные функции". Урок обобщения и систематизации знаний....
Урок математики по теме: Предел функции в точке (1 курс СПО)
Конспект урока математики по теме: Предел функции в точке.Расчитан на 1 час 30 минут (пара). Проводился как открытый....
План-конспект урока алгебры 8 класс "Квадратичная функция"
Урок алгебры по теме«Функция y=ax2+bx+c, её свойства и график».8 класс....
урок алгебры 9 класс "Свойства функций"
Свойства функции.Цели урока:• развитие универсальных учебных действий (личностных, регулятивных, коммуникативных, познавательных).• развитие математического мышления, воспитание интереса к м...
Урок алгебры 7 класс "Линейная функция"
Тема "Функции и построение графиков функций" пронизывает весь учебный курс алгебры с 7 по 11 класс. Линейные функции это первая встреча ученика с данным понятием.Очень важно ученику дать пон...
Презентация к уроку алгебры (10 класс) "Предел последовательности"
Презентация к уроку алгебры и начала анализа (10 класс) "Предел последовательности"...
Конспект открытого урока алгебры 7 класс Линейная функция и ее график
Конспект открытого урока алгебры Школа: ЧОУ «Добрая школа на Сольбе»Дата: 18.11.2020Предмет: алгебраТема урока: Линейная функция и ее график.Класс: 7Учитель: Трофимова Н.А..Тип урока:...