Дидактическое пособие для учащихся по математике : Функциональный метод решения уравнений.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)

                      Муниципальное  общеобразовательное учреждение

                 «Средняя        общеобразовательная  школа»  пгт. Кожва

           Применение  свойств  функции  при  решении  уравнений

            (практическое   пособие  для  учащихся старших  классов)

Пособие  составила   Бритвак Г.А.

                                                     2018

Аннотация.

Цель  данной  работы – помощь  учащимся  при  подготовке  к  итоговому  экзамену  по  математике  за  курс  средней  школы. В  небольшом  сборнике  разобран  функциональный  метод  решения  уравнений. Указаны  основные  теоремы, на  которые  опирается  данный  метод  решения. Разобраны  15    различных  примеров, предложены  задачи  для  самостоятельного  решения  и  закрепления  материала. Пособие   предназначено  для  учащихся  старших  классов  для  самостоятельного  решения, но  может  быть  использовано  для  факультативных  занятий  по  данной теме.

                                                              Содержание

Введение.

1..Использование  области  определения  и  области  значений  функции.

а).Примеры

б. Задачи  для  самостоятельного  решения.

в). Ответы  к  задачам  для  самостоятельного  решения.

2.Сойство  ограниченности  или  метод  оценки.

а). Примеры.

б). Задачи  для  самостоятельного  решения.

в). Ответы  к  задачам  для  самостоятельного  решения.

3. Свойство  монотонности  функции.

а). Примеры.

б). Задачи  для  самостоятельного  решения.

в). Ответы  к  задачам  для  самостоятельного  решения.

4.Заключение

5. Список  использованной  литературы.

Введение.

Школьный  курс  математики предполагает обучение  учащихся  различным  методам  решения  уравнений. Для  решения  большинства  уравнений, встречающихся  на  экзаменах, достаточно владеть  школьным  курсом  математики, но  при  этом  необходимо  уметь  их  решать  не  только  с  помощью  стандартных  приемов, предназначенных  для  вполне  определенных  типов  уравнений, но  и  теми  «нестандартными», которые  будут  рассмотрены.

Как  правило, суть нестандартных  методов – реализовать  другой  взгляд  на  задачу, что  позволяет, не  выходя  за  рамки  школьной  программы , существенно  упростить решение  некоторых  задач, применяя  хорошо  известные  утверждения , но  в  ситуациях, где  ими  пользуются  довольно  редко.

Одним  из  таких  методов  является  функциональный, основанный  на  использовании  таких свойств  функций,  как  ограниченность, монотонность, периодичность и др. Этот  метод, в  отличие  от  графического,  позволяет  находить  точные  корни  уравнений, при  этом  не  требуется  построение  графиков функций.

Использование  свойств  функций  позволяет  рационализировать  решения, сложных  на первый  взгляд, уравнений. В  данной  работе  будут  рассмотрены  применение  трех   свойств :

1.D(у)  и  Е(у)

2.Ограниченность.

3.Монотонность.

Необходимость  данной  работы  заключается  в  том, что  в  базовом  учебнике  данная  тема  представлена  небольшим  количеством  упражнений в  главе  10  § 56, что  недостаточно  при  подготовке  к  ЕГЭ  для    ребят, поступающих  в  технические  ВУЗы  с  высокими  проходными  баллами. При  изучении  функций в  течение  всего  курса  7-11  рассматриваются  лишь  простейшие  задачи  на  применение  данных  свойств. Поэтому  данный  материал  можно  использовать  как  на  уроках, так  и  на  факультативных  занятиях  как  дополнительный, поскольку  на  уроки  повторения  по  методам  решения  уравнений  выделяется  всего  3  часа, что  недостаточно для  рассмотрения  данной   темы.

Использование  понятия  области  определения  функции

и  области  значений  функции.

Иногда  при  решении  уравнения  необходимо  исследовать  области  определения  и  области  значения  функции. Рассматривается метод, когда при рассмотрении уравнения или неравенства выясняется, что обе его части определены  на некотором множестве, состоящем из одного или нескольких чисел.

Областью  определения  функции  у=f(x)  называется  множество  значений  переменной  х, при  которых  функция  имеет  смысл.

Областью  значений  функции у=f(x) называется множество  значений  переменной  у  при  допустимых  значениях  переменной  х.

а). Рассмотрим  примеры.

Пример 1. Решить уравнение. 

 +  = 5.

ОДЗ:        решений  нет.

б).  +  = х2 – 1

Решение. ОДЗ:   х=1.

Ответ: 1.

в).  = х2 + х – 6.

Решение. Найдем  пересечение  областей определения  в  правой  и  левой  частях  уравнения: D () = ,  D(х2 + х – 6) = (;). Пересечением  областей  является  промежуток  . Т.к. левая  часть  уравнения  неотрицательна, то  и  левая  часть тоже должна  быть неотрицательна, т.е. х2 + х – 6  0.

Решением  этого  неравенства  является  множество  ( -; -   ; + ). Значит  уравнение  достаточно  рассмотреть  на множестве   . Подстановкой  убеждаемся, что  оба  числа  служат  решением  уравнения.

Ответ: -3;2.

Пример 2.   Решить  уравнение  -   = 1

Заметим, что х ≥ 0  и    0, значит, х  х +   и  .  Поэтому  равенство  -   = 1  невозможно.

Ответ: нет  корней.

Пример 3.    Решить  уравнение   = .

Решение. 1.  ≥  – иначе  левая  часть уравнения  не  определена.

  0 – т.к. левая  часть  уравнения  неотрицательна.

Значит,  ≤  ≤  ,  = .

Получим:  =    

 ,     = 1, х =  + 2, n  Z.

Ответ:  + 2, n  Z.                         

Пример 4.   Решить  уравнение :    

а)  +  = -2.

 +   0, значит,  решений  нет.

 )  +  = 2.

 ОДЗ :   + ,значит  решений  нет.

 = -2х2 + 6х – 9.

Левая  часть  уравнения  принимает  только  положительные  значения, а правая  часть только отрицательные значения ( а = -2, D = 36 – 72  0).

Множества  значений левой и правой частей не  имеют  общих  элементов,  значит исходное  уравнение  не  имеет  решений.

Ответ: решений нет.

Пример 5 .        +  = х – 2.

Решение . 4 - 4х + х2  = (х – 2)2 , получим  | х – 2 | +  = х – 2.

Т.к. левая  часть  уравнения неотрицательна, то х – 2  0,   х , значит          | х – 2 | = х – 2.

х – 2 +  = х – 2,  = 0, х1 = 1 , х2 = 4.  

Т.к. х  , корнем  уравнения  является  х = 4.

Ответ: 4.

в). Задачи  для  самостоятельного  решения: решить уравнения,  либо доказать, что  уравнения  не  имеют  решений.

1. +  =2

2.2х2 – 3х - 5| +  = 0

8.  · arcos x =0

9. arcsin (x+2) +  = х – 2

10.   +  (  +1 = 0

х2 + 1

3.х2 – 2х | + |  = 0

 +  = 5

 +  = 7

 +  = 1

7.  = 0

 = 1 + 2х

13. х+2)(7-х)( + 1) = 1

14.  +  = х – 2

15.  +  = х – 4

16. х2 – 2х | +  = 0

17. Sin2+ + х))2 = 0.

Ответы: 1.Ø ; 2. Ø ; 3. Ø ; 4. Ø ; 5. Ø ; 6. Ø ; 7. Ø ; 8. Ø ; 9. Ø ; 10.1; 11. 0;

12. – 0,5;  13. Ø; 14. Ø ; 15. 4,25 ; 16. 2 ; 17. -1.

2. Свойство  ограниченности  или  метод  оценки.

Иногда уравнение  (неравенство)   устроено  так,  что левая  и правая части представляют из себя ограниченные функции. В этом случае можно (а иногда и единственно возможно) применить метод «оценивания» правой и левой частей. Особенно  этот  метод  полезен  при  решении так  называемых  «смешанных»  уравнений и неравенств.                                                                                             Метод оценки основывается на утверждении: если некоторое число n является наибольшим значением функции f(x) и одновременно наименьшим значением функции g(x), то уравнение f(x) = g(x) равносильно системе двух уравнений

Теорема 1. Если  f(x)  А  и  g(x)  А, то f(x) = g(x)   

а). Пример 6.     2

Решение. Выделим полные квадраты под корнем, получим   +

 = 5 – ( х + 1 )2.

Т.к.  +   5  и  5 – ( х + 1 )2  5, то  данное  уравнение равносильно системе уравнений        х = - 1.

Ответ: - 1.

Пример 7.     Cos   +  = 2. 

Решение.  Т.к.  . | Cos | и | | ≤ 1  , то исходное  уравнение   Cos   +  = 2  равносильно  системе  уравнений  

Решением  первого  уравнения  является  х = 2к , к  Z,  а  решением  второго  = 2n , х = 42n2, где n  Z, n  0.

Следовательно, 2к = 42n2, откуда к = 2n2. Т.к.  – иррациональное  число, то  равенство  возможно при n = k = 0. Значит  х=0 – единственное  решение  исходного  уравнения.

Ответ: 0.

Пример 8.       = .

Решение.  Оценим  левую  часть  уравнения.

Х2 ≥ 0;  Х2  + 9 ≥ 9;  ≥ ;   ≥ 2.

Оценим  правую  часть  уравнения.

|х| ≥ 0;  - | х | ≤ 0;  4 - |х| ≤ 4;   ≤ 2.

Равенство  возможно, если  обе  части  равны  2.

Решим  систему:         Х=0.

Ответ: 0.

Пример 9.       arcсos (х – 1) = 3 + .

Решение. По  определению  0 ≤ arcсos (х – 1) ≤   для  допустимых   значений  х, следовательно , 0 ≤  arcсos (х – 1)  3.  

3 +   3  для  допустимых  значений  х. Равенство  достигается , если

Решим  первое  уравнение  системы: arcсos (х – 1)= ,  х – 1 = - 1,  х = 0.

При  х = 0  второе  уравнение  обращается  в  верное  числовое  равенство. Значит  х = 0  решение  системы  и  уравнения.

Ответ: 0.

Пример 10.     25 х2 + 60х + 39 = ( – cos )( ( + cos ).

Решение. 25 х2 + 60х + 39 = 3 – (cos  )2.

Графиком  функции  f(x) =  25 х2 + 60х + 39  является  парабола, ветви  которой  направлены  вверх. Вершина  параболы  находится  в  точке : (- ; 3), значит  f(x) ≥ 3.

g(x) = 3 – (cos  )2 ,  0 ≤ (cos  )2  1  , 2  3 - (cos  )2   3.

Равенство  достигается , если  

Из  первого  уравнения  системы  имеем  х = -    . Подстановкой  во  второе  уравнение системы  убеждаемся, что  х = -    является  решением  системы.

Ответ: - 1,2.

б). Задачи  для  самостоятельного  решения.

arсcos (x+4) = - )2.

 arcsin(-x) = 0.5 + | |

)2 = 1 – 2 cos x.

 х2 +  2х +2.

 4 х2 – 25 2 | + 17

2 + 12х + 12 = ( sin  + )(  - sin  ).

в).  : 1. -3;  2. – 1;  3.  ;  4. Ø;  5.  6. -1,5.

Свойство   монотонности.

Теорема 2. Пусть  у= f(x) – функция, возрастающая ( убывающая)  на  некотором  промежутке I. Тогда  уравнение  f(x) = а  имеет  на  промежутке I не  более  одного  корня.

Теорема 3. Пусть  у= f(x) – функция, возрастающая   на  некотором  промежутке I. А  функция  y = g(x) – убывающая    на  этом  промежутке. Тогда  уравнение  f(x) = g(x)   имеет  на  промежутке  I  не  более  одного  корня.

Пример 11.      -   = 2.

Решение. Функция  f(x) =   -    возрастает  на  своей  области  определения, как  сумма  двух  возрастающих  функций  у1 =   и  у2 = - .  

Значит  уравнение  f(x) = 2  имеет  не  более  одного  корня. Проверкой  убеждаемся, что  f(1) = 0.

Ответ: 1.

Пример 12.    х2 – 2х + 2 =   - .

Решение. Перепишем  уравнение  в  виде : х2 – 2х + 2  = .

Функция  у =   убывает  на  промежутке ; + ∞ ), а  у = х2 – 2х + 2  возрастает  на  этом  промежутке, поскольку  ветви  соответствующей  параболы  направлены  вверх, а  вершина  х0 = 1.

Число  2 – корень  уравнения.

Ответ: 2.

Пример 13.      +  = .

Разделим  обе  части  на   . Получим (  +(  = 1. Левая  часть уравнения является  убывающей  функцией, значит,  она  может принимать  значение  1  не  более  чем  в  одной  точке  (Т.2). Подбором  находим, что  х = 2.

Ответ: 2.

Пример 14.      х2  +  = 18.

1.ОДЗ  уравнения : х ≤ 0.

2. Функция  у(х)  =  х2 +   убывает  на  промежутке  ( - ; 0], а  g(x) = 18 – постоянная  функция.

Подбором  находим, что  х = - 4.

По   Т.2  х=-4  - единственный.

Ответ: - 4.

Задачи  для  самостоятельного  решения.

1.  = 4 – х
2.  =  х – 1.
3. 
4. х2 + х| +2х = 30
5.  +  +  = 9
6.  + )( – 3) = 4
7. 0,25х+4 =
8. = 0,25х – 35
9.  = 21 +
10. (х+3)2 + (х+5)2 = 16

Ответ: 1. 1;  2. 3;  3.  -2;  4. 4;  5.  3;  6.  7;  7. -5;  8.  -2,5;  9. 5. 10. -5;  -3.

Список  использованной  литературы.

  Алгебра  и  начала  анализа.Ч.1. А.Г.Мордкович  2012

  Алгебра  и  начала  анализа.Ч. 2. А.Г.Мордкович  2012

Математика. Нестандартные  методы  решения  уравнений  и  неравенств. Под  редакцией  Ф,Ф, Лысенко, С,Ю, Кулабухова  2013

Математика. Суперрепетитор. Дорофеев  Г.В.  и  др. 2017

Уравнения  и  неравенства  в  школьном  курсе  математики (лекции 5-8). Чулков П.В. 2006

Функциональный  метод  решения  уравнений  и  неравенств. Ковалева Г,И,, Конкина Е.В. 2008

Школьная  алгебра. Уравнения  и  неравенства. Башмаков М.И. 1994

                                                              Содержание

Введение.

1..Использование  области  определения  и  области  значений  функции.

а).Примеры

б. Задачи  для  самостоятельного  решения.

в). Ответы  к  задачам  для  самостоятельного  решения.

2.Сойство  ограниченности  или  метод  оценки.

а). Примеры.

б). Задачи  для  самостоятельного  решения.

в). Ответы  к  задачам  для  самостоятельного  решения.

3. Свойство  монотонности  функции.

а). Примеры.

б). Задачи  для  самостоятельного  решения.

в). Ответы  к  задачам  для  самостоятельного  решения.

4.Заключение

5. Список  использованной  литературы.