Подготовка к ОГЭ. Конспект урока "Решение текстовых задач на движение".
план-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме

МБОУ «Краснозаводская средняя общеобразовательная школа № 7»  

Разработка урока «Решение текстовых задач»

(ОГЭ  по математике: задачи на движение)

                                     Ушакова Елена Викторовна-учитель математики

Цель:

1)Формирование предметных результатов: составления математических моделей на примерах задач на движение, планирования своей деятельности при решении задач на движение.

 2)Формирование метапредметных результатов:

Регулятивные: планирование - определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата (с помощью учителя и самостоятельно);

контроль - сличение способа действия и его результата

Познавательные: структурирование знаний; осознанное и произвольное построение речевых высказываний в устной и письменной форме

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества; выражение своих мыслей с достаточной полнотой

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, полученных при изучении темы«Решение текстовых задач на движение».

Форма урока: урок – обзор знаний.

Опорные понятия, термины:знание основных типов задач на движение; умения составлять математическую модель задачи, составлять уравнение по математической модели, умения решать уравнения.

Оборудование:доска, проектор, дидактический материал с заданиями, тетради, карточки.

Формы контроля: типовые задачи, уравнения для самостоятельного решения, задачи повышенной сложности, групповая работа, работа в парах.

Домашнее задание: текстовые задачи.

Структура  урока:
1. Организационный момент. Сообщение темы, цели, задач урока, плана урока и мотивация учебной деятельности .
2. Актуализация знаний обучающихся. Повторение теоретического материала. ( устный опрос с использованием презентации) .

3. Решение задач в парах с самопроверкой  (решение –слайд).

4. Решение задач у доски на движение навстречу друг другу и на движение в одном направлении.

5. Работа в парах– выполнение разноуровневых заданий .

6. Контроль, самоконтроль и оценивание знаний. Разбор других способов решений.   Решение дополнительного задания.

7. Подведение итогов урока.

8.Задание на дом (с комментариями) .

Ход урока.

1. Сообщение темы урока, цели урока, плана урока и мотивации учебной деятельности   (учитель обращает  внимание, что будем разбирать задачи из тренировочных вариантов ГИА).

2. Повторение теоретического материала  и  устный опроси работа в парах  с использованием презентации и карточек с таблицами.

Слайд 2.

«Умение решать задачи – практически искусство, подобно плаванию, или

 катанию на коньках, или игре на фортепиано: научиться этому можно, лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь»

                                        Д. Пойа

 Математик и педагог Дьёрдь Пойа, или Джордж Полиа (1887-1985) называл математику школой мышления и говорил, что хороший учитель должен помочь ученику развить вкус к самостоятельным логическим рассуждениям.

Слайд 3.

Для успешного решения задач на движение нужно все время держать в голове одну простую формулу:

Чтобы легче запомнить эту формулу, подумайте, что вы ответите  на такой вопрос:

«Сколько километров я проеду на велосипеде за 2 часа, двигаясь со скоростью 13 км/ч?»

Вы, не задумываясь, ответите –26 км.

Поздравляю! Эту формулу вы всегда хорошо знали, просто не могли сформулировать.

Из нашей формулы легко выразить все ее составляющие:

Формулу для скорости: ν=St  

Формулу для времени: t=Sν  ​​

Очень многим запомнить формулу помогает вот такая пирамида:

        Задачи на движение, как правило,  представляют собой задачи с использованием объектов, совершающих какое-либо действие. Это могут быть велосипедисты,пешеходы,  автомобили, лодки и другое. Существует 3 вида задач на движение: движение двух объектов навстречу друг другу, движение в противоположных и обратных направлениях, движение из одной точки в одном направлении.

Слайд 4.

Полезно запомнить:

Если два тела начинают движение одновременно или догоняют друг друга, то до встречи они затрачивают одинаковое время.

При прохождении одного и того же пути, если тела начинают движение в разное время, то, которое выходит раньше затрачивает времени больше.

Слайд5.  Таблица – памятка.

Такие задачи, как вы уже знаете,  удобно решать с использованием таблиц.

Каждому ученику выдается памятка-таблица для решения задач на движение.

Табл.1

На столах обучающихся памятка-таблица и   таблицы для решения задач.

Решим задачи устно, заполнив таблицы.

 Слайд на каждую задачу.

Задача 1на движение в противоположных направлениях.

 Из одного пункта в противоположных направлениях вышли два лыжника. Один идет со скоростью 14 км/ч, а другой со скоростью 13 км/ч. Какое расстояние будет между лыжниками через два часа?

Слайд 6.     Табл.2

Решение:14·2⁺13·2=54 (км)

Ответ: 54 км.

Задача 2 на движение навстречу.

 Из двух сел одновременно выехали навстречу 2 всадника и встретились через 4 часа. Скорость одного из них 11 км/ч. Расстояние между селами 80 км. Найдите скорость другого всадника.

Слайд 7.    Табл.3

Решение:1)80- 11*4=36 (км);  2) 36:4=9 (км/ч)

Ответ: 9 км/ч.

Задача 3  на движениев одном направлении.

 Из одного пункта в одном направлении одновременно выехали две автомашины. Скорость первой машины 40 км/ч, а второй в 2 раза больше. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?

Слайд 8.   Табл.4

Решение:160-80=80 (км)

Ответ: 80 км.

3. Решение задач в парах.

Решить задачу на движение навстречу друг другу №4 и №5 ( по парам).

 Предлагается решить две задачи.

Проверить устно (самопроверка) с комментариями (слайд).

Слайд 9-13.  

Задача 4. Из двух пунктов, расстояние между которыми 210 км, вышли одновременно навстречу друг другу два электропоезда. Скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости другого. Найдите скорость каждого электропоезда, если они встретились через 2 часа после своего выхода.

Слайд.   Табл.5

Слайд.  

Решение:

2·х⁺2·(х⁺5)=210

2х+2х+10=210

4х=200

х=50

1. 50+5=55(км/ч)

Ответ: 50км/ч, 55 км/ч.

Слайд.  

Задача 5. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух поселков, расстояние между которыми 46 км. Через 2 ч они встретились. Какова скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость одного из них на 3 км/ч меньше скорости другого?

Слайд.  Табл.6

Слайд.  

Решение:

 2х+2(х+3) = 46,

 2х+2х+6=46,

 4х=40,

 х=10

1)10+3=13(км/ч).

Ответ: 10км/ч, 13км/ч.

4. Решение задач у доски на движение навстречу друг другу и на движение в одном направлении.

4.1. Решение нестандартной задачи на движение навстречу друг другу.

Слайд 14.

Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист.  Мотоцилист приехал в B на 2 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а

встретились они через 45 минут после выезда. Сколько часов затратил на

 путь из города B в  город А велосипедист?

Совместное обсуждение по условию задачи:  задача на движение навстречу друг другу.

Обратить внимание на  разные единицы времени, 45мин=45/60 =3/4часа.

Расстояние от города А до города  В возьмем  за 1.

Скорость мотоциклиста 1/ t , скорость велосипедиста 1/( t+2)

Составляем уравнение (1/t+ 1/t+2) 3/4= 1 , отсюда (1/t + 1/ t+2)=4/3,  3(2+2t)=4t2 +8t,

2t2+t - 3=0,

 t1=1, t2=-1,5

t2=-1,5<0 – не подходит по смыслу задачи.

1. 1+2=3 часа затратил велосипедист.

Ответ: 3 часа.

4.2. Решение нестандартной задачи на движение в одном направлении.

(ГИА-2014-2015-2016)

Слайд 15.

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 148 км/ч,  проезжает мимо пешехода,  идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 4 км/ч, за 10 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение

Скорость поезда относительно пешехода равна 148-4 = 144 км/ч.

Вспомним перевод единицы измерения.

1 километр = 1000 метров

1 час = 3600 секунд

144 км/ч = 144·1000/3600 = 40 м/с.

Тогда длина поезда : 40·10 = 400 (метров).

Ответ: 400.

5.  Работа в группах ( в парах) – выполнение разноуровневых заданий .

Слайд 16.

Самостоятельная работа в парах или в группах по 4 человека.

Учитель раздает карточки с  разноуровневыми заданиями.  

Обучающиеся могут сами выбрать задачи по уровню.

Задачи для самостоятельной работы.

1группа: задачи №1, 2

2группа: задачи  № 3, 4

3группа: задачи  № 5, 6.

1. Первые 360 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 180 км  - со скоростью  90км/ч, а затем 200км – со скоростью100км/ч.  Найти  среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

2. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 60 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 2 часа 40 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

3.Автомобиль ехал 1,5 часа со скоростью 40км/ч, 2,5 часа – со скоростью 60км/ч, а оставшуюся часть пути со скоростью 75км/ч. Определите среднюю скорость автомобиля, если на весь путь он потратил 5часов.

4 .  Расстояние между городами A и B равно 435 км. Из города A в город B со скоростью 60км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 65км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?. Ответ дайте в километрах.

5. Поезд, двигаясь со скоростью 70км/ч, проезжает мимо платформы  за 45сек.Определите длину платформы( в метрах), если длина поезда 600м.

6. Велосипедист начал догонять пешехода, когда между ними было 2,1км, и догнал его через 0,25ч. Найдите скорость велосипедиста, если скорость пешехода была в 3,4раза меньше скорости велосипедиста.

7.(дополнительный) Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из А в В выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Велосипедист доехал до В, повернул назад и поехал с той же скоростью навстречу пешеходу. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если расстояние между А и В равно 30 км?

6. Контроль, самоконтроль и оценивание знаний.

Разбор других способов решений.   Решение дополнительного задания.

  Учитель заранее подготовил карточки, в которые обучающиеся записывают решения, ответы и сдают свои решения.

Слайд 17-20.  

Затем на экране появляются решения задач.

 Обучающиеся занимаются самопроверкой, оценкой своих знаний, обсуждают другие способы решений. Делают выводы.

Решения задач для самостоятельной работы.

Слайд.

№1. Первые 360 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 180 км  - со скоростью  90км/ч, а затем 200км – со скоростью100км/ч. Найти  среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Среднюю скорость найдем по формуле Vсредняя =Sвесь:tвсего пути

1 ) 360+180+200 =740(км)-весь путь

2 )360:60+180:90+200:100=10(ч) время всего пути

3 )740:10=74км/ч средняя скорость

2. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 60 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 2 часа 40 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Пусть х км/ч скорость велосипедиста, тогда скорость автомобилиста х+60км/ч . 2ч 40мин. =8/3часа.  50/х – 50/(х+60) = 8/3,

150(х+60)-150х=8х(х+60), 8х2 +480х-9000=0, х2 +60х-1125=0 , х1=15, х2 =-75<0.·

Ответ:15км/ч

№3.Автомобиль ехал 1,5 часа со скоростью 40км/ч, 2,5 часа – со скоростью 60км/ч, а оставшуюся часть пути со скоростью 75км/ч. Определите среднюю скорость автомобиля, если на весь путь он потратил 5часов.

1)40 ·1,5=60(км) –путь за 1, 5часа

        2)60·2,5=150(км) путь за 2,5ч

       3 ) 5-( 1,5+2,5)=1(ч) оставшееся время

      4) 75·1=75(км) оставшийся путь.

      5) 60+150+75=285(км) весь путь

     6)285:5=57(км/ч) –средняя скорость на всем пути.

4 .  Расстояние между городами A и B равно 435 км. Из города A в город B со скоростью 60км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 65км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?. Ответ дайте в километрах.

 1) 60·1=60(км) путь первого автомобилиста за 1час

        2) 435-60=375(км) осталось

        3) 60+65=125(км/ч) скорость сближения

       4) 375:125=3(ч) встретятся

       5) 60(1+3)=240(км) от пункта А  встретятся.

    Ответ: 240км.

№5. Поезд, двигаясь со скоростью 70км/ч, проезжает мимо платформы за 45сек.Определите длину платформы( в метрах), если длина поезда 600м.

45сек.=45:3600= 0,0125(ч),  600м=0, 6км

1)70·0, 0125=0,875(км) прошел поезд за 0,0125часа

2) 0,875-0,6=0,275(км)=275м

Ответ:275метров

№6. Велосипедист начал догонять пешехода, когда между ними было 2,1км, и догнал его через 0,25ч. Найдите скорость велосипедиста, если скорость пешехода была в 3,4раза меньше скорости велосипедиста.

Пусть скорость пешехода х км/ч, тогда скорость велосипедиста 3,4х км/ч.

0,25х км прошел пешеход, пока его не догнал велосипедист.

3,4х·0,25 км проехал велосипедист, пока не догнал пешехода. Составляем уравнение 3,4х·0,25 – 0,25х=2,1,  0,25(3,4х-х) =2,1,   0,6х=2,1,

 х =3,5 скорость пешехода.

3,5·3,4=11,9(км/ч) скорость велосипедиста.

Ответ: 11,9км/ч

№7. (дополнительный) Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из А в В выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Велосипедист доехал до В, повернул назад и поехал с той же скоростью навстречу пешеходу. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если расстояние между А и В равно 30 км?

Слайд.

В задаче речь идет по сути дела о движениинавстречу друг другу с удвоенного расстояния.

1.  30·2 = 60 (км) удвоенное расстояние между А и В;
2. 10 + 5 = 15 (км/ч ) скорость сближения
3. 60:15 = 4 (ч).

Ответ: через 4 часа встретятся.

7. Подведение итогов урока.

7.1 В конце урока были выставлены оценки некоторым обучающимся.

 Всем  обучающимся будут выставлены оценки по результатам проверки самостоятельной работы.

7.2  Повторим главное при решении задач на движение.

1) Внимательно читать условия задачи, обращать внимание на единицы измерения, в каких единицах требуется указать ответ.

 2) Вычислительные  ошибки можно найти, сделав проверку в уравнении.

3)Не забывать про арифметические способы решения текстовых задач, они иногда оказываются более красивыми и короткими.

4) Полезно делать схему движения или таблицу.

5)Не путать среднюю скорость и среднее арифметическое чисел.

7.3. На следующем уроке рассматриваем задачи на движение  ( задачи из ОГЭ- 2014-2016 г), а так же задачи на движение по реке, ( по кругу, в гору, с горы).

8.Задание на дом (с комментариями и указанием ответа) .

Слайд 22.  

Задачи№ 8, 9, 10. Задачи для самостоятельной работы- подготовка к ОГЭ.

№8.  Два мотоцикла стартуют одновременно  в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой 16км.Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 15км/ч больше скорости другого? (ответ:32)

№9.  Дорога между пунктами A и B  состоит из подъёма и спуска, а её длина

равна 8км.  Турист прошёл путь из A в B  за 5.часов Время его движения на

спуске составило 1час.  С какой скоростью турист шёл на спуске, если скорость его

движения на подъёме меньше скорости движения на спуске на 3км/ч ?

(ответ:4 )

№10.  Два автобуса выезжают одновременно навстречу друг другу из пункта A и B  и в 12 часов дня. Если скорость первого автобуса увеличить в два раза, а

скрость второго  оставить прежней, то встреча произойдет на 56 минут раньше. Еслиже увеличить в два раза скорость второго автобуса, оставив прежней скорость первого, то встреча произойдет на 65 мин раньше. Определить время встречи, если

увеличены вдвое скорости обоих автобусов.(ответ:10часов 29 мин.)

Задачи для самостоятельной работы дома ( подготовка к ОГЭ).

№11. Два мотоцикла стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 16 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 15 км/ч больше скорости другого?

Решение

Так как скорость одного из мотоциклистов на 15 км/ч больше скорости другого, то скорость их сближения равна 15 км/ч.

Изначально расстояние между мотоциклистами - полкруга, то есть 8 км.

Получаем: 8/15 (часов) - время, через которое мотоциклисты поравняются в первый раз.

8/15⋅60=32 минуты.

То есть в первый раз мотоциклисты поравняются через 32 минуты.

Ответ: 32.

№12. Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 12 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час - третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через два часа после этого догнал первого.

Решение

Пусть x - скорость третьего велосипедиста. И пусть третий велосипедист догнал второго через y часов.

Так как 3 велосипедист догнал 2-ого через y часов, а 2 велосипедист находился в пути на 1 час больше третьего, то составим уравнение:

xy = 10(y+1).

Так как 3 велосипедист догнал 1 через y+2 часов, то составим второе уравнение:

(2+y)x = 12(y+4), откуда x = 12(y+4)/(y+2).

Подставим выражение для x в первое уравнение:

12y(y+4)/(y+2) = 10(y+1),

6y2+24y = 5y2+15y+10,

y2+9y-10 = 0,

y1 = 1, y2 = -10.

Время не может быть отрицательным, поэтому y = 1. Подставим это значение y в выражение для x:

x = 12*5/3 = 20. То есть скорость 3 велосипедиста равна 20 км/ч.

Ответ: 20.

№ 13.  Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобилиста на 9 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 60 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 40 км/ч.

Решение

Пусть x (км/ч) - скорость первого автомобилиста. Тогда скорость второго автомобилиста на первой половине пути равна (x-9) км/ч.

Положим, что весь путь равен 1. Тогда t1 = 1/x - время, которое затратил на путь 1 автомобилист.

t2 = 0,5/(x-9) + 0,5/60 = 0,5/(x-9) + 1/120 - время, которое затратил на весь путь 2 автомобилист.

Так как автомобилисты прибыли в пункт B одновременно, то составим и решим уравнение:

1/x = 0,5/(x-9) + 1/120,

Умножим все уравнение на общий знаменатель 120x(x-9):

120 (x-9) = 60 x + x(x-9),

120 x - 1080 - 60x - x2+9x = 0,

x2 - 69 x + 1080 = 0,

x1 = 45, x2 = 24.

Так как по условию задачи скорость 1 автомобилиста больше 40 км/ч, то

x = 45.

Ответ : 45.

 К следующему уроку.

 Рассмотреть  задачи на движение по реке.

Решение задач у доски на движение по реке.

Задачи на течение представляют собой все типы задач на движение, только осложненные ещё одной величиной - скоростью течения.

Напомню, что существую два случая.

1 случай – ты плывешь по течению, и тогда ты плывешь с собственной скоростью + скорость течения. Течение как бы помогает тебе двигаться вперед.

2 случай – ты плывешь против течения. Тяжело? Правильно, потому что течение пытается «откинуть» тебя назад. Ты прилагаешь все больше усилий, чтобы проплыть хотя бы 100 метров, соответственно скорость, с которой ты передвигаешься, равна собственная скорость – скорость течения.

Слайд.

 Задача 1.( текст задачи на экране)

Плот плывет от А до В 40 часов, а катер 4 часа, Сколько часов плывет катер от В до А ?

( совместное обсуждение задачи и решение у доски)

Пусть S км - путь от А  до В

1. S/40 км/ч - скорость плота, т.е. скорость течения
2. S/4 км/ч - скорость катера по течению
3. S/4 - S/40=9S/40 ( км/ч) –собственная скорость катера
4. 9S/40- S/40= S/5 км/ч - скорость катера против течения
5. S: S/5=5 (ч )- катер идет против течения.

Другие способы решения.

а ) Можно весь путь принять за 1.

б )  Пусть х км/ч - собственная скорость катера, у км/ч-скорость течения.  Тогда ( х + у ) км/ч  - скорость катера по  течению,  ( х - у ) км/ч  - скорость катера против  течения. ( х+у)4 (км) и 40у (км) – расстояния между А и В.  Они равны. Получаем уравнение  ( х+у)4=40у, отсюда х=36у/4, х=9у. Найдем время движения катера против течения 40у/(х-у)=40у/(9у-у)=5.

Ответ:5часов.

(есть и другие способы)

Задачи для самостоятельной работы.

1. Моторная лодка прошла против течения реки 84 км и вернулась в пункт

отправления, затратив на обратный путь на 8 часов меньше. Найдите скорость

течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 10 км/ч. Ответ дайте в км/ч

2. Лодка движется по течению реки со скоростью 16км/ч  3часа, а обратно – 5часов. Определите скорость течения реки.

3. Пароход идет вниз по течению 2ч, вверх-3ч. Сколько времени  между теми   же  пунктами будет плыть бревно?

№4( дополнительный) Весной катер идет по течению реки в 1,8 раза быстрее, чем против течения. Летом течение становится на 0,5 км/ч медленнее, поэтому летом катер идет  по течению в 5/3 раз быстрее, чем против течения. Определите собственную скорость катера.

Решение задач.

№1 Пусть х км/ч скорость течения, тогда скорость лодки по течению 10+х км/ч, против течения 10-х км/ч. Время по течению 84/(10+х) ч, против 84/(10-х)ч, что на 8ч больше, чем по течению. Составляем уравнение.

84/(10-х) – 84/(10+х)=8, отсюда 840+ 84х-840+84х=800-8х2

Х2 +21х-100=0,  х1 =4, х2 =-25<0

Ответ: 4 км/ч

№2 .  Пусть х км/ч скорость течения, тогда 16-х (км/ч)- собственная скорость лодки. Скорость лодки против течения 16-2х (км/ч). Расстояние между пунктами равно16·3=48км.  Составляем уравнение 48=(16-2х) ·5, 10х=80-48,

Х=3,2км/ч

Ответ:3,2км/ч

№3 Примем путь за 1

1. 1:2=½ (пути) пройдет пароход по течению за1 час
2. 1:3=⅓ (пути) пройдет пароход против течения за1 час
3. ½ - ⅓ =⅙ удвоенная скорость течения
4. ⅙:2=⅟12(пути)  проплывает бревно за 1час
5. 1:⅟12 =12(ч) плывет бревно между пунктами.

Ответ: 12 часов.

№4( дополнительный) Весной катер идет по течению реки в 1,8 раза быстрее, чем против течения. Летом течение становится на 0,5 км/ч медленнее, поэтому летом катер идет  по течению в 5/3 раз быстрее, чем против течения. Определите собственную скорость катера.

 Пусть х км/ч –собственная скорость катера, у км/ч –скорость течения весной. Весной скорость по течению х+у (км/ч) в 1,8 раза больше, чем скорость против течения х-у (км/ч) . Составим уравнение х + у = 1,8(х-у)

Летом скорость течения у-0,5 км/ч, скорость катера по течению х+у-0,5(км/ч), против течения х-(у-0,5) км/ч. Составляем уравнение х+у-0,5= 5/ 3 (х-у+0,5)

Получили систему уравнений  {  х + у = 1,8(х-у)

{ х+у-0,5= 5/ 3 (х-у+0,5)

{  2,8у=0,8х,   {   7у=2х     {    7у=8у-4   {   у=4

{  8у=2х+4      {  4у=х+2     {     х=4у-2    {    х=14

Ответ: 14 км/ч скорость катера.

Рассмотрим  задачи на движение.

Задача 22 (Подготовка к ОГЭ – 2015-2016, Типовые варианты)

1. Баржа прошла по течению реки 64 км и, повернув обратно, прошла еще 48 км, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение

Пусть x (км/ч) — собственная скорость баржи. Тогда скорость баржи по течению реки равна (x+5)км/ч, а против течения - (x-5)км/ч.

64/(x+5) - время, которое затратила баржа на путь по течению реки.

48/(x-5) - время, которое затратила баржа на путь против течения реки.

Так как на весь путь баржа затратила 8 часов, то составим и решим уравнение:

64/(x+5)+ 48/(x-5) = 8,

48 (x+5)+ 64 (x-5) = 8(x+5)(x-5),

112x - 80 = 8x2 - 200,

x2 - 14x - 15 = 0,

x1 = 15, x2 = -1.

Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 15.

Ответ: 15.

Задача 22 (Подготовка к ОГЭ - 2015, Типовые варианты)

2. Баржа прошла по течению реки 48 км и, повернув обратно, прошла еще 42 км, затратив на весь путь 5 часов.Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение

Пусть x (км/ч) — собственная скорость баржи. Тогда скорость баржи по течению реки равна (x+5)км/ч, а против течения - (x-5)км/ч.

48/(x+5) - время, которое затратила баржа на путь по течению реки.

42/(x-5) - время, которое затратила баржа на путь против течения реки.

Так как на весь путь баржа затратила 5 часов, то составим и решим уравнение:

48/(x+5)+ 42/(x-5) = 5,

48 (x-5)+ 42 (x+5) = 5(x+5)(x-5),

90x - 30 = 5x2 - 125,

x2 - 18x - 19 = 0,

x1 = 19, x2 = -1.

Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 19.

Ответ: 19.

3. Туристы на лодке гребли один час по течению реки и два часа плыли по течению, сложив весла. Затем они пять часов гребли вверх по реке и прибыли к месту старта. Через сколько часов с момента старта вернулись бы туристы, если бы после часовой гребли по течению они сразу стали грести обратно? Скорость лодки в стоячей воде и скорость течения постоянны.

Решение

Пусть x - скорость течения реки, y - скорость лодки в стоячей воде.

По течению реки туристы гребли 1 час, то есть плыли со скоростью (x+y), а потом 2 часа плыли со скоростью течения реки, то есть x.

Поэтому за 3 часа они проплыли (x+y)+2x.

Обратно они гребли против течения, а значит плыли со скоростью (y-x) и за 5 часов проплыли 5(y-x).

Так как через 5 часов после гребли против течения туристы вернулись к месту старта, то они проплыли то же расстояние, что и по течению реки. Составим уравнение:

(x+y)+2x = 5(y-x),

3x+y = 5y-5x,

8x = 4y,

y=2x.

За час гребли по течению туристы проплыли расстояние (x+y). Если бы они после этого стали грести обратно, то приплыли бы к месту старта через (x+y)/(y-x) часов. Найдем эту величину.

Так как ранее было показано, что y = 2x, то, подставляя, получим:

(x+y)/(y-x) = 3x/x = 3.

Ответ : 3.

4. Из пункта A в пункт B, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно с ним из пункта A вышел катер. Дойдя до B, катер сразу же развернулся и пошел назад.Какую часть пути от A до B проплывет плот к моменту встречи с катером, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?

Решение

Пусть x км/ч - скорость течения реки. Тогда скорость катера в стоячей воде равна 4x.

Положим, что расстояние от A до B - это 1. Пусть плот прошел до встречи y км, тогда катер прошел до встречи 1+(1-y) = (2-y) км.

Найдем y.

Время, которое затратил плот до встречи, равно y/x, время, затраченное катером, равно 1/(4x+x) + (1-y)/(4x-x) = 1/5x + (1-y)/3x.

Катер и плот затратили одинаковое время, составим и решим уравнение:

y/x = 1/5x + (1-y)/3x,

y = 1/5+(1-y)/3,

15y = 3 + 5(1-y),

15y = 3+5 - 5y,

20y = 8, откуда y = 8/20 = 2/5.

То есть плот прошел 2/5 = 0,4 пути от A до B до встречи с катером.

Ответ: 0,4.

5. Туристы на лодке гребли два часа вверх по реке (против течения реки) и 12 минут шли по течению, сложив весла. Затем они 60 минут гребли вниз по реке (по течению) и прибыли к месту старта. Во сколько раз скорость течения реки меньше собственной скорости лодки? Скорость лодки при гребле в стоячей воде (собственная скорость) и скорость течения постоянны.

Решение

Пусть x - скорость течения реки, y - скорость лодки в стоячей воде.

Вверх по реке туристы гребли 2 часа, то есть плыли со скоростью (y-x), то есть за 2 часа они проплыли 2(y-x) км. Потом 12 минут = 12/60 = 1/5 часа плыли со скоростью течения реки, то есть x. Потом они плыли еще 1 час со скоростью (x+y).

Значит, обратно они проплыли 1/5x + (x+y).

Туристы проплыли туда и обратно одинаковое расстояние, получаем уравнение:

2(y-x) = 1/5x + (x+y),

2y - 2x = 1/5x+x+y,

y = 3,2x,

То есть скорость течения реки в 3,2 раза меньше собственной скорости

 лодки.

Ответ: 3,2.

6. Туристы на лодке гребли один час по течению реки и 30 минут шли по течению, сложив весла. Затем они три часа гребли вверх по реке и прибыли к месту старта. Во сколько раз скорость течения реки меньше собственной скорости лодки? Скорость лодки при гребле в стоячей воде (собственная скорость) и скорость течения реки постоянны.

Решение

Пусть x - скорость течения реки, y - скорость лодки в стоячей воде.

По течению реки туристы гребли 1 час, то есть плыли со скоростью (x+y), а потом 1/2 часа плыли со скоростью течения реки, то есть x.

Поэтому за 1,5 часа они проплыли (x+y)+0,5x.

Обратно они гребли против течения, а значит плыли со скоростью (y-x) и за 3 часа проплыли 3(y-x).

Так как через 3 часа после гребли против течения туристы вернулись к месту старта, то они проплыли то же расстояние, что и по течению реки. Составим уравнение:

(x+y)+0,5x = 3(y-x),

1,5x+y = 3y-3x,

4,5x = 2y,

y=2,25x.

То есть скорость течения реки в 2,25 раза меньше собственной скорости лодки.

Ответ: 2,25.