Текстовые задачи на движение и на работу
учебно-методический материал по алгебре (11 класс) по теме

Министерство образования Саратовской области

Саратовский институт повышения квалификации и переподготовки работников образования

Кафедра математического образования

Текстовые задачи  на движение и на работу

Творческая работа

 слушателей курсов повышения квалификации

по рабочей программе  «Теория и методика преподавания математики»

направления ДПОП «Теория и методика преподавания учебных дисциплин»

учителей математики МОУ «СОШ № 67 Кировского района» г. Саратова

Змеевой Натальи Васильевны

Руководитель  

доцент кафедры

математического образования,

Коник О.Ю. к.п.н.

Саратов 2013

Содержание:

Введение..............................................................................................................3

Глава I. Теоретические сведения о текстовой задаче и методах ее решения

1. Исторические сведения............................................................................6
2. Понятие текстовой задачи, ее структура и методы решения..............10
3. Пропедевтика алгебраического метода решения текстовых задач....13
4. Этапы решения задач на составление уравнений……………………18
5. Общие замечания к решению задач алгебраическим методом..........26
6. Использование алгебраического метода для нахождения арифметического пути решения текстовых задач…………………………..34

Глава II. Решение задач алгебраическим методом

2.1. Решение задач методом составления уравнений

2.1.1. Задачи на движение………………….…………………………………38

2.1.2. Задачи на работу………………………………………………………..43

2.1.3. Задачи на смеси и проценты…………………………………………...44

2.1.4. Задачи с целочисленными неизвестными…………………………….45

2.2. Решение задач методом составления систем уравнений

2.2.1. Задачи на движение…………………………………………………….47

2.2.2. Задачи на работу………………………………………………………..47

2.2.3. Задачи на смеси и проценты…………………………………………...48

2.2.4. Задачи с целочисленными неизвестными…………………………….49

Заключение…………………………………………………………………….51

Список использованной литературы………………………………………..….24

Приложения.……………………………………

ВВЕДЕНИЕ

                                           «Можно научить учеников решать    

                                   достаточно много типов  задач,                                                

                                   но подлинное удовлетворение            

                                   придет лишь тогда, когда мы      

                                   сумеем передать нашим  

                                   воспитанникам не просто знания,            

                                   а гибкость ума».

                                                              У.У. Сойер

      Умение решать текстовые задачи является одним из основных показателей уровня математического развития учащихся, глубины освоения ими учебного материала. Важность и эффективность этого класса задач обусловлена многосторонним воздействием их на учащихся  и требованием неформального подхода к каждой решаемой задаче.

Правильная организация поиска решения текстовых задач способствует развитию логического мышления, именно текстовые задачи являются мощным средством для развития аналитико-синтетического аппарата школьников.

Целью обучения решению задач считаю умение преодолевать трудности при решении математических задач, развитие познавательного интереса учащихся, привитие интереса к математике и конкретно к решению текстовых задач.

        Чтобы научиться решать задачи, надо различные задачи решать различными способами, анализировать решения, сравнивать, находить преимущества и недостатки в каждом конкретном случае.

       Обучение методам решения текстовых задач провожу системно, при изучении каждой темы школьного курса, на внеклассных занятиях по предмету.

      Проблему развития  общих умений и способностей в решении задач решаю через создание условий на уроках для овладения учащимися необходимыми знаниями о сущности задачи, об анализе данных, об отыскании путей решения, об оформлении решения и об анализе и проверке правильности решения задач.

Этапы решения текстовых задач.

Обучение школьников решению текстовых задач начинают со знакомства учащихся с составными частями задачи, учат их разбираться в условии. Советуют сначала ознакомиться с задачей, внимательно прочитав ее содержание, при этом схватив общую ситуацию, описанную в задаче. После чего выделить данные и искомые. Рекомендуют ответить на вопросы: «Возможно, ли решить задачу при таком условии?», «Однозначно ли сформулирована задача, не содержит ли она избыточных или противоречивых данных? ». При этом выяснить, достаточно ли данных для решения задачи.

         Следующий этап – поиск пути решения.

Предлагают ученикам вопросы, советы, помогающие им лучше и быстрее составить план решения.  При необходимости советуют сформулировать задачу по-другому, не меняя ее математического содержания. Всегда задают  вопрос: «Все ли данные задачи использованы? ». При затруднении в составлении плана решения предлагают попробовать решить лишь часть задачи, с тем, чтобы искать способ удовлетворить оставшимся условиям задачи. Решая задачу, советуют проверять каждый шаг решения, убеждаясь в его правильности. Даже очень хорошие ученики, получив ответ и тщательно изложив ход решения, считают задачу решенной. Обращают их внимание на то, что получение результата еще не означает, что задача решена правильно и, тем более что для решения выбран лучший способ.

Методы решения задач

        В том или ином виде в своей работе мы используем арифметический, алгебраический методы, метод сведения к ранее решенным, метод моделирования, комбинированный методы решения задач.

Использование арифметического способа решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы.

Первым этапом решения задач арифметическим методом является разбор условия задачи и составление плана ее решения.

Вторым этапом является решение задачи по составленному плану.

Третьим этапом решения задачи является проверка решения задачи. Она проводится по условию задачи. Пренебрежение проверкой при решении задачи, замена ее проверкой ответов снижает роль решения задачи в процессе развития логического мышления учащихся. 

       Большое место в школьном курсе математики занимают задачи на движение, которые характеризуются тремя величинами: скорость, время, расстояние. При решении таких задач краткую запись условия можно сделать с помощью таблицы или рисунка. Остановлюсь на задачах, решаемых с помощью таблиц.

       Количество столбцов в таблице должно соответствовать количеству величин, количество строк числу процессов. Таблица заполняется данными задачи, ставится знак вопроса.

Чтобы помочь учащимся в решении задачи, дать им верное направление,

предлагаем учащимся следующие вопросы:

О каком процессе идет речь?  Какими величинами характеризуется этот процесс?  Сколько процессов в задаче?   Какие величины известны?  Что надо найти?  Как связаны величины в задаче?  Какую величину удобнее выбрать в качестве неизвестной или неизвестных?

Задача:  Геологи 4 часа летели на вертолете со скоростью 80км/ч , а затем ехали верхом 2часа со скоростью 12 км/ч. Какой путь проделали геологи за это время?

1. Речь идет о процессе движения, который характеризуется тремя величинами : скорость, время, расстояние.
2. В задаче два процесса: движение на вертолете и движение верхом. Можно составить таблицу ( краткая запись )

Решение:  1. Найдем расстояние, которое пролетели на вертолете

                      80 · 4 = 320 ( км )

2. Найдем расстояние, которое проехали геологи верхом. 12 · 2 = 24 ( км )  

3. Найдем весь пройденный путь.320 + 24 = 344 ( км ).

 Анализ решения:  Путь, пройденный геологами, состоит из двух этапов: на вертолете и верхом. Мы нашли расстояние, которое пролетели на вертолете и которое проехали верхом, следовательно, весь путь равен сумме этих расстояний.

                               Ответ: 344 км

Задача: Теплоход три часа шел по озеру со скоростью 23 км/ч, а потом 4 часа по реке . Сколько километров прошел теплоход за эти 7 часов , если по реке он шел на 3 км/ч быстрее, чем по озеру?

Решение:   В задаче путь, проделанный теплоходом, состоит из двух частей: по озеру и по реке. Для того чтобы найти расстояние, надо знать скорость и время. Время движения известно,  скорость теплохода по озеру известна, а скорость по реке нет.

Краткую запись можно сделать так :  

 Решение: 1.Найдем расстояние по озеру 23·3=69 (км)

             2  Найдем скорость по реке 23+3=26 (км/ч)

             3. Найдем расстояние по реке 26 · 4 =104 (км)

        4.Найдем все пройденное теплоходом расстояние 69 +104=173 ( км )

                                                 Ответ: 173 км.

Задача:  Мотоциклист проехал расстояние от одного города до другого за 3 часа, двигаясь со скоростью 54 км/ч. Сколько времени потребуется мотоциклисту на обратный путь, но уже по другой дороге, если она длиннее первой на 22 км, а его скорость будет меньше прежней на 8 км/ч?

В задаче рассматриваются два процесса: движение от одного города до другого ( 1) и движение обратно (2).

Столбцы в таблице предлагаю заполнять, учитывая известные величины, например в данной задаче точно известна скорость и время движения 1 процесса, а также те величины, которые можно легко определить, выполнив простейшие арифметические действия, поэтому таблицу составим следующую:

  Решение: 1. Найдем расстояние, которое проехал мотоциклист от одного города до другого 54 ∙ 3 =  162 (км)

2. Найдем расстояние, которое мотоциклист проехал на обратном пути

162 + 22 = 184 (км)

 3. Найдем время, затраченное на обратный путь  184 : 46 = 4 (ч).

                                     Ответ: 4 ч.

При решении задач алгебраическим методом основная мыслительная деятельность сосредотачивается на первом этапе решения задачи: на разборе условия задачи и составлении уравнений или неравенств по условию задачи.

Вторым этапом является решение составленного уравнения или системы уравнений, неравенств или системы неравенств.

Третьим важным этапом решения задач является проверка решения задачи, которая проводится по условию задачи.

 Задача: Поезд имеет в своем составе цистерны, платформы и товарные вагоны. Цистерн на 4 меньше, чем платформ и в 2 раза меньше, чем товарных вагонов. Сколько в составе поезда отдельно цистерн, платформ и товарных вагонов, если их общее число равно 68?

          О каких объектах идет речь в задаче? (цистерны, платформы, товарные вагоны)

Цистерн на 4 меньше, чем платформ, значит если цистерн х, то платформ

 (х +4).

Цистерн в 2 раза меньше, чем товарных вагонов, значит если цистерн х, то товарных вагонов 2х.

Всего в составе 68 вагонов, тогда х + (х + 4) + 2х = 68

Коротко это можно записывать так:

Цистерны – х

Товарные вагоны – (х+4)

Платформы – 2х

Всего 68 , значит х + (х + 4) + 2х = 68

Сколько в составе отдельно цистерн, товарных вагонов, платформ?

                          4х + 4 = 68

                             х = 16

16 цистерн в составе

16 + 4 = 20 товарных вагонов

16 ∙ 2 = 32 платформы.

       Мы решили задачу, обозначив через х количество цистерн.  У учащихся возникает вопрос: Как определить величину, которую нужно обозначать переменной? Поэтому предлагаю решить эту задачу, обозначив через х количество платформ одной  группе учащихся, а другой, обозначив через х количество товарных вагонов.

 2 способ   Цистерны – (х – 4)

                  Платформы  - х

                  Товарные вагоны – 2( х - 4)

                 (х – 4) + х + 2 ( х – 4 ) = 68

                          х = 20

Платформ 20, цистерн 20 – 4 = 16, товарных вагонов 2( 20-4) = 32

3 способ    Цистерн – 0,5х

                   Платформ – (0,5х + 4)

                   Товарных - х

         0,5х + (0,5х + 4) +  х = 68

                    х = 32

Товарных вагонов 32, цистерн 0,5∙32=16, платформ 0,5∙32 + 4 = 20.

 Во всех трех случаях получились одинаковые ответы,  следовательно задача решена верно. Остается только выяснить, какой из способов понравился больше. Учащиеся предлагают свои точки зрения.

 Задача :  Лодка шла по  течению реки 2,4 ч и против течения 3,2 ч. Путь, пройденный лодкой по течению, оказался на 13,2 км длиннее пути, пройденного против течения. Найти скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3,5 км/ч.

Решение: Задача на движение по течению и против течения реки, поэтому прежде всего определим из чего складывается скорость по течению и скорость против течения реки ( скорость в стоячей воде и скорость течения). Скорость в стоячей воде неизвестна.

х км/ч  скорость в стоячей воде

3,5 км/ч скорость течения.

Заполним таблицу:

  Чему равна скорость лодки в стоячей воде?

Составим  уравнение 2,4(х+3,5) – 3,2 (х-3,5) = 13,2

                                      2,4х + 8,4 – 3,2х + 11,2 = 13,2

                                                      х = 8

                                               Ответ: 8 км/ч

Задача: Первый час туристы шли на станцию со скоростью 3,5 км/ч. После этого они рассчитали, что если и дальше будут идти с той же  скоростью, то придут на час позже намеченного срока. Увеличив скорость на 1,5 км/ч, туристы прибыли на станцию на 30 мин раньше намеченного срока. Какой путь прошли туристы?

Решение: В задаче рассматриваются две ситуации: движение со скоростью 3,5 км/ч, обозначим (1) и движение со скоростью на 1,5 км/ч быстрее (2).

х км прошли туристы после первого часа движения

30мин=0,5 ч.

Какой путь прошли туристы?

Составим уравнение: х/3,5-1=х/5+0,5

                                          х = 17,5

17,5 км прошли после увеличения скорости.

17,5 + 3,5 = 21 (км) путь , пройденный туристами.

                                Ответ: 21 км

 Задача :Расстояние между двумя машинами , едущими по шоссе 400 км. Первая машина двигается со скоростью 70 км/ч, вторая 90 км/ч.Чему будет равно расстояние между ними через один час?

Учащиеся, решая данную задачу самостоятельно, в основном рассматривают одну ситуацию.

Наша задача показать и разобрать, что существует несколько случаев, а значит и несколько решений.

1)           70 км/ч                                                                           90 км/ч _______________________________________________________________________

                                                      400 км

Решение: 1) 70 + 90 = 160 ( км ) на 160 км увеличивается расстояние между машинами за 1ч.

2) 400 + 160 =560 ( км ) будет между машинами через 1ч.

                                  Ответ: 560 км

2)                             70 км/ч                                   90 км/ч

________________________________________________________________

                                           400 км

Решение : 1) 70 + 90 = 160 ( км ) на 160 км уменьшается расстояние между машинами за 1 ч.

2. 400 – 160 = 240 ( км ) будет между машинами через 1ч

                                    Ответ: 240 км

3)                             70 км/ч                                                90 км/ч

________________________________________________________________

                                          400 км

Решение : 1) 90 – 7 0 = 20 ( км ) на 20 км увеличивается расстояние между машинами за 1 ч.

2) 400 + 20 = 420 ( км ) будет между машинами через 1ч.

                                     Ответ: 420 км

4)                             90 км/ч                                                 70 км/ч

________________________________________________________________

                                         400 км

Решение: 1) 90 – 7 0 = 20 ( км ) на 20 км уменьшается расстояние между машинами за 1ч.

                 2) 400 – 20 = 380 ( км ) будет между машинами через 1ч.

                                      Ответ: 380 км.

       Комбинированный метод  получается в результате включения в алгебраический метод решения задач решение, в котором часть неизвестных величин определяется с помощью решения уравнения или системы уравнений, неравенств или систем неравенств, а другая часть – арифметический метод. 

 Задача: Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 часа быстрее товарного и на 1 час быстрее пассажирского. Найти скорости товарного  и скорого поездов , если известно , что скорость товарного поезда составляет 5/8 скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого.

Решение:  1. О каком процессе идет речь в задаче ?

Чем он характеризуется ? ( Процесс движения, характеризуется тремя величинами – расстояние, скорость, время).

       2.Сколько процессов рассматривается в данной задаче ?

( Три процесса – движение скорого, пассажирского и товарного поездов ).

Можно составить таблицу и заполнить ее в соответствии с условиями задачи.

Вводим неизвестные величины : х км/ч – скорость товарного поезда, у ч- время движения скорого поезда ( х>0, у>0 ).

По условию задачи поезда прошли одно и то же расстояние.

Составим « модель »

Решив эту систему, из первого уравнения найдем у,  из второго уравнения найдем х.

По условию задачи х>0 , тогда

Полученные значения неизвестных удовлетворяют условию х > 0,

у >0 , значит, удовлетворяют условию задачи.

50км/ч скорость товарного поезда.

50 + 50 = 100 (км/ч) скорость скорого поезда

Проверка:

50 км/ч скорость товарного поезда.

4 + 4 = 8 ( ч ) – время движения товарного поезда

50 · 8 =  400 ( км ) – расстояние, пройденное товарным поездом.

50 · 8/5 = 80 ( км/ч) – скорость пассажирского поезда.

4 + 1 = 5 ( ч ) – время движения пассажирского поезда.

80 · 5 = 400 ( км ) – расстояние пройденное пассажирским поездом.

4 ч – время движения скорого поезда.

50 + 50 = 100 ( км/ч ) – скорость скорого поезда.

100 · 4 = 400 ( км )- расстояние пройденное скорым поездом.

Каждый поезд прошел одно и то же расстояние.

  Ответ: 50 км/ч , 100 км/ч.

       Обучение школьников решению задач обычно осуществляется при решении  задач сформулированных в учебнике или учителем. Между тем существенную роль при этом  играет составление их учениками. Составление задач часто требует проведения рассуждений, которые при решении заданных задач не выполняются. Следовательно, составление задач служит развитию творческого мышления учащихся.

Например: Моторная лодка прошла 39 км по течению реки и 28 км против течения за то же время , за которое она могла в стоячей воде пройти 70 км. Какую скорость имеет моторная лодка в стоячей воде, если скорость течения реки 3 км/ч?

Решив задачу,  получили скорость моторной лодки 10 км/ч.

         Формулировка задачи с требованием найти скорость течения реки при известной собственной скорости:

Моторная лодка прошла 39 км по течению реки и 28 км против течения за то же время, за которое она могла бы  в стоячей воде пройти 70 км. Какова скорость течения реки, если собственная скорость лодки 10 км/ч?

          Учитывая, что в исходной задаче можно легко определить  время движения по течению  и время движения против течения и исключая сведения о скоростях с сохранением расстояний и процесса движения, можно получить еще одну задачу:

Моторная лодка прошла 39 км по течению реки, затем 28 км против течения, двигаясь против течения на 1 час дольше, чем по течению. В стоячей воде лодка за то же  время движения могла пройти 70 км. Вычислите время движения лодки.

         Решения всех трех этих задач сводятся к квадратным уравнениям, другие обращения задачи сводятся к линейным уравнениям, например:

Моторная лодка прошла 39 км по течению реки и некоторое расстояние против течения за то же время, за которое она могла бы  в стоячей воде пройти 70 км. Скорость течения реки 3 км/ч, собственная скорость лодки 10 км/ч. Какое расстояние прошла лодка против течения?

        Переформулирование задач требует от учащихся непрерывно производить анализ условий и требований задачи, через синтетический акт их соотнесения. Переформулирование задач является способом ее моделирования.

       Некоторые задачи  решаются проще арифметическим способом с использованием координатного луча для наглядной иллюстрации условия задачи. В процессе решения задачи единичный отрезок не указывается, но он подразумевается в каждой наглядной иллюстрации. У учащихся появляется возможность сравнения данного способа с арифметическим и алгебраическим.

            Многие задачи на совместную работу, решаемые в школьном курсе математики, имеют практическое содержание. Геометрический метод решения таких задач позволяет провести параллель с физикой, где использование системы координат достаточно часто применяется при решении физических задач.

Графический способ решения задач, чтение графиков, а так же умение дать ответ на поставленный вопрос используя только графические данные – неотъемлемая часть знаний, необходимых для успешной сдачи ЕГЭ и ГИА и поступления в ВУЗ.

Кроме того, в ходе освоения графического метода решения текстовых задач формируются практические навыки, развиваются представления о роли вычислений в человеческой практике, развивается вычислительная культура. Благодаря текстовым задачам легко увидеть практическое применение своих знаний в жизни. Умение решать текстовые задачи позволит помочь, например, при ремонте квартиры, при расчетах необходимых затрат или времени. Все вышеперечисленное в свою очередь развивает познавательный интерес к математике и готовит к самостоятельности мышления.     

Рассмотрим несколько текстовых задач на совместную работу и решим их с использованием геометрического метода.

Задача 1.

Двое рабочих, выполняя некоторое задание вместе, могли бы справиться с ним за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит второй рабочий, то  все задание будет выполнено за 25 дней. За какой срок работая в одиночку второй рабочий сможет выполнить все задание?

Решение.

Рассмотрим рис. 1. АС и BD – графики зависимости выполненного объема работы от времени, затраченного первым и вторым рабочими соответственно.

Время совместной работы – 12 дней, на рисунке имеем: BF = AE = 12.

АМ – время, за которое каждый из рабочих выполнит всю работу (второй начинает работать сразу же после того, как первый заканчивает). Сказано, что рабочим необходимо 25 дней, чтобы выполнить по половине всей работы, тогда

АМ = 2 · 25 = 50 дней. Пусть ЕD = x, тогда

DM = 50 – 12 – x = 38 – x;

FC = BC – BF = (38 – x) – 12 = 26 – x.

Рассмотрим пары подобных по двум углам треугольников:

ΔBFO подобен ΔOED, тогда BF/ED = FO/OE; 12/x = FO/OE.

ΔFOC подобен ΔEOA, тогда FC/AE = FO/OE; (26 – x)/12 = FO/OE.

Таким образом, 12/x = (26 – x)/12. Перепишем: (26 – x)х = 12 · 12;

Имеем квадратное уравнение

х2 – 26х + 144 = 0, корни которого х = 18 или х = 8.

Очевидно, что х = 18 не подходит по смыслу задачи, так как 12 + 18 = 30 > 25, значит, х = 8, тогда

AD = 12 + 8 = 20 (дней); ВС = 12 + 26 – х = 12 + 26 – 8 = 30 (дней).

Ответ: 30 дней.

Задача 2.

Двое рабочих, работая независимо один от другого, оклеили обоями за 7 дней несколько комнат, причем второй рабочий приступил к работе на 1,5 дня позже первого. Дни, которые понадобились для оклейки 7 комнат, считаются с момента выхода на работу первого рабочего. Если бы эта работа выполнялась каждым рабочим в отдельности, то первому рабочему для ее выполнения понадобилось бы на 3 дня больше, чем второму. За сколько дней второй рабочий выполнил бы всю необходимую работу в одиночку?  

Решение.

Рассмотрим рис. 2. АА1 и BВ1 – графики зависимости выполненного объема работы от времени, затраченного первым и вторым рабочими соответственно.

Имеем, что ВМ = 1,5 дня,  AD = 7 дней. Время выполнения всей работы каждым рабочим в отдельности – это АЕ и КВ1, причем AE = КВ1 + 3;

По условию задачи В1Е = АЕ – КВ1 = АЕ – 1,5 – (АЕ – 3) = 1,5.

Пусть СА1 = x, тогда DB1 = x – 1,5.

Пользуемся подобием треугольников:

ΔBСF подобен ΔВ1DF (по двум углам), тогда

BC/DB1 = CF/FD; 5,5/(x – 1,5) = CF/FD.

ΔA1CF подобен ΔADF (по двум углам), тогда

A1C/AD = CF/FC; x/7 = CF/FD.

Таким образом, 5,5/(x – 1,5) = x/7.

Перепишем:

х2 – 1,5х = 38,5;

2х2 – 3х – 77 = 0;

х = 7 или х = -5,5.

Очевидно, что по смыслу задачи х = 7 дней.

Таким образом, КВ1 = АВ1 – АК = 7 + х – 1,5 – 1,5 = 7 + 7 – 3 = 11 дней.

Ответ: 11 дней.

Задача 3.

Чан наполняется водой при помощи двух кранов А и В. Наполнение чана только с помощью крана А длится на 22 минуты дольше, чем наполнение через кран В. Если же оба крана открыть одновременно, то чан наполнится водой за 1 час. За какое время может наполнить водой чан только кран В?

Решение.

Рассмотрим рис. 3. На нем АА1 и BВ1 – графики зависимости выполненного объема работы от времени наполнения чанов водой кранами А и В соответственно.

По условию задачи ВК = АN = 1 час = 60 минут. В1М = 22 минуты.

Пусть NB1 = x, тогда KA1 = x + 22.

Используем подобие треугольников:

ΔBКО подобен ΔВ1NO, тогда BK/NB1 = KO/ON; 60/x = KO/ON.

ΔKOA1 подобен ΔNOA, тогда KA1/AN = KO/ON; (x + 22)/60 = KO/ON.

Таким образом, имеем пропорцию 60/x = (x + 22)/60.

Перепишем в виде квадратного уравнения:

х2 + 22х – 3600 = 0;

х = 50 или х = -72.

По смыслу задачи х = 50 минут.

Таким образом, АВ1 = AN + NВ1 = 60 + 50 = 110 (минут).

Ответ: 110 минут.

Мы рассмотрели решение задач на совместную работу с помощью геометрического способа. Такие навыки решения задач могут пригодиться не только в математике, но и в физике, где графические подходы к решению задач практикуются достаточно часто.

Задачи на движение двух тел.

  Задача 1. (Средняя скорость движения)

Средней скоростью движения на некотором участке пути называют постоянную скорость, с которой можно тот же участок пути пройти за то же время.

Турист шёл со скоростью А км/ч , а точно такое же время со скоростью В км/ч. Какова средняя скорость движения туриста на всём участке пути?

Решение:

Пусть турист  шёл  Х км со скоростью Акм/ч и столько же Х ч– со скоростью В км/ч.Тогда за 2Х ч он прошёл АХ+ВХ=Х(А+В) км. Средняя скорость туриста равна:

 км/ч.

Задача 2.

Автомобиль ехал из А в В порожняком со скоростью 60 км/ч, а возвращался   с грузом  со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость движения на всём участке движения.

Задача 3.

В гору велосипедист ехал со скоростью 10 км/ч, а с горы с некоторой другой скоростью. Как он подсчитал, средняя скорость движения была12 км/ч . С какой скоростью он ехал с горы?

Решение в общем виде:

       Х=

Задачи на "Движение по реке"

Сформулируем задачу в общем виде:

Лодка от А до В плывёт по течению t часов, а от В до А(против течения) k часов. Сколько часов будет плыть бревно от А до В?

Задача 4.

Я грёб вверх по течению и, проплывая под мостом, потерял шляпу. Через 10 мин. Я это заметил и, повернув и гребя с той же силой, нагнал шляпу в 1 км ниже моста. Какова скорость течения?

. Задачи на   работу.

При решении задач на работу нередко в условии задачи говорится о выполнении некоторого задания без указания конкретных единиц, в которых измеряется работа. В этом случае обычно принимают всю работу за единицу: А=1. Как правило, для составления уравнения или системы уравнений, буквами обозначаются в первую очередь производительности участников работы, а остальные величины вводятся по мере необходимости.

Некоторые указания к задачам на совместную работу.

1. Основными компонентами этого типа задач являются:

а) работа;

б) время;

в) производительность труда (работа, выполненная в единицу времени).

2. План решения задачи обычно сводится к следующему:

а) Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1, если речь идет о выполнении некоторой работы, не  охарактеризованной в количественном плане.

б) Находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, т. е. 1/t, где t – время, за которое указанный рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно.

в) Находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий отдельно, за то время, которое он работал.

г) Составляем уравнение, приравнивая объем всей работы (т. е. 1) к сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненная отдельно каждым из рабочих (если в условии сказано, что при совместной работе всех рабочих выполнен  весь объем работы ).

3. Следует заметить, что в указанных задачах не всегда сравнивается выполненная работа. Основанием для составления уравнения может служить также указанное в условии соотношение затраченного времени или производительности труда.

 Задача 5.

Два экскаватора разной мощности, работая совместно, выполняют работу за 6 часов. Если первый проработает 4 часа, а затем второй 6 часов, то они выполнят 80% всей работы. За какое время каждый экскаватор отдельно может выполнить всю работу?

Решение:

Пусть Х-производительность первого экскаватора, а У- производительность второго экскаватора. Вся работа-1.

Так как экскаваторы работают совместно 6ч с производительностью Х+У и выполняют всю работу, то составим уравнение: (Х+У)6=1.

Первый экскаватор работает 4ч с производительностью Х., а затем 6ч второй экскаватор с производительностью У, и выполняют 0,8 всей работы, то 4Х+6У=0,8. Решим систему уравнений:

Поскольку время, необходимое для выполнения всей работы, и производительность связаны соотношением t=t=, то t=10ч, t=15ч.

Ответ: 10ч, 15ч.

Задача 6.

Два каменщика, второй из которых начинает работать позже первого на 3 дня, могут  выстроить стену за 14 дней. Первому  каменщику потребовалось бы на выполнение этой работы на 6 дней больше, чем второму. За сколько дней может выстроить эту стену каждый каменщик в отдельности?

Задача 7.

         Для разгрузки баржи имеется три крана. Первому крану для разгрузки всей баржи требуется времени в четыре раза меньше, чем второму, и на 9 часов больше, чем третьему. Три крана, работая вместе, разгрузили бы баржу за 18 часов, но по условиям эксплуатации одновременно могут работать только два крана. Определите наименьшее время (в часах) необходимое для разгрузки баржи.(Производительность каждого крана постоянна в течении всей работы)

 Ответ: 20ч.

Пример нестандартного решения некоторой текстовой задачи  школьного курса математики.

     Некоторые  текстовые задачи при решении у учащихся вызывают затруднения. На примере одной задачи я хочу показать нестандартное решение, которое может быть применено и к другим задачам, например, при решении задач на совместно произведённую работу.

Задача Л. Н. Толстого) Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру ещё остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

Решение. Данная задача эквивалентна следующей. Имеются два резервуара, объём одного из них вдвое больше другого. Резервуары могут заполняться жидкостью от источника с пропускной способностью  G   через

систему трубопроводов одинакового диаметра с кранами K1 и K2 .

Полдня заполнялся большой резервуар (кран K2 был закрыт) и в результате в него поступило количество жидкости, равное . После этого был открыт кран K2 и оставшиеся полдня оба резервуара заполнялись одновременно, причём больший резервуар оказался заполненным. Поэтому, учитывая разветвление потока, за оставшиеся полдня в каждый резервуар поступило количество жидкости, равное . Так как при таком режиме работы больший резервуар оказался заполненным, то в результате получаем следующее уравнение:                             G=2V                                                (1)

На следующий день производительность источника уменьшили в k раз так, чтобы оставшаяся часть объёма малого резервуара заполнялась полный день. В результате получаем следующее уравнение:

                                                  +=V                                                (2)

Уравнения (1) и (2) позволяют установить, во сколько раз была уменьшена производительность источника. Действительно, поделив уравнение (1) на уравнение (2), получим:    =2         k=8.

Легко убедиться, что значение k=8 в исходной задаче как раз соответствует числу косцов в артели. Для этого рассмотрим решение этой задачи по традиционной схеме.

Пусть x – число косцов артели, y – размер участка, скашиваемого одним косцом за один день. Заметим, что y представляет вспомогательное переменное, которое вводится для облегчения решения задачи, и в итоге сокращается. Далее выразим через x и y площади большого и малого луга. Площадь большого луга равняется  площадь малого луга . Большой луг по условию больше малого в 2 раза   или . После сокращения на y получим: x=8.   Ответ: 8 косцов.

 Данный метод

 отличается большей наглядностью, что, как показал опыт, обеспечивает лучшее восприятие данного материала у детей, по сравнению с традиционными методиками;

 дети с удивлением обнаруживают, что, казалось бы, различные ситуации описываются одинаковыми математическими моделями и в принципе решение одной задачи подменяется решением другой более наглядной.

Подробнее с данным методом решения задач можно познакомиться в работе Игошин В.И., Серебрякова И.В., Фирстов В.Е. «Идеи изоморфизма и её интерпретация при решении текстовых задач в школьном курсе алгебры» (Сборник «Актуальные вопросы региональной педагогики» Саратов.:Издательство СГУ, 2005 год,стр.32-43). 

                                         ВЫВОДЫ: 
1. Текстовые задачи – важнейшее средство обучения математике. 
2. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность. 
3. Решение текстовых задач позволяет развивать умение анализировать задачные ситуации. 
4. Решение текстовых задач могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение!) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом и к изучаемому предмету. 
5. Использование алгоритмов, таблиц, рисунков, общих приемов дает возможность ликвидировать у большей части учащихся страх перед текстовой задачей, научить распознавать типы задач и правильно выбирать прием решения. 
6. Творческая работа, направленная на составление задачи и ее решения, приводит к более осознанному пониманию существование зависимости между величинами, дает осознание, что числа берутся не произвольно: некоторые задаются, а другие получаются на основе выбранных. При составлении задачи большое значение имеют и обратные задачи.

Список литературы

1. Игошин В.И., Серебрякова И.В., Фирстов В.Е. «Идеи изоморфизма и её интерпретация при решении текстовых задач в школьном курсе алгебры» (Сборник «Актуальные вопросы региональной педагогики» Саратов.:Издательство СГУ, 2005 год,стр.32-43
2. Математика Экспериментальная экзаменационная работа. 9 класс. Типовые текстовые задания. Издательство «Экзамен».Москва, 2006.
3. Н.Я. Виленкин, А.Н.Виленкин, Г.С.Сурвилло и др. Алгебра: Учебное пособие для учащихся 9 кл. с углубленным изучением математики. Под ред. Н.Я.Виленкина.-5-е издание. М .: Просвещение,2001.
4. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. Учебник для 9 класса ОУ под редакцией Г.В.Дорофеева , Москва «Просвещение», 2009 .
5. Задачи на смекалку. И.Ф.Шарыгин, А.В.Шевкин, 2006, Москва, Просвещение.
6. Математический кружок. 6-7 классы. А.В.Спивак. 2009, издательство МЦНМО, Москва.
7. Уроки развивающих задач по математике в 5-7 классах. Монов А.В., Чебоксары, 2002.
8. Алгебра. 9 класс. Сборник заданий к итоговому тестированию с решениями и ответами. Т.В.Коломиец, Волгоград, 2007.
9. ГИА-9 под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова, Легион-М, Ростов-на-Дону, 2010.
10. Задачи для подготовки к олимпиадам , математика, 9 класс, С.П.Ковалева, Волгоград, 2004.