Решение задач по теме "Теорема Виета"
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Тема: Решение задач по теме «Теорема Виета».

8 класс.
Учитель Лукина И.В.

На уроке используется технология проблемного обучения.

Цели урока:

а) Образовательные:
- обеспечение прочности приобретенных знаний, умений и навыков по теме «Теорема Виета»;

- исследование различных подходов к решению нестандартных задач.

б) Развивающие:
- развитие самостоятельности, ответственности;
- развитие критичности мышления, нестандартного мышления;
- развитие творческих способностей учащихся.

в) Воспитательные:

- воспитание творческой личности;

- воспитание коммуникативных качеств ученика.

Задача: изучить новые способы решения полных квадратных уравнений. Для этого  организовать на уроке проблемные ситуации, оказать учащимся помощь в решении этих проблем, проверить решения.

Ход урока.
Учащиеся работают в четырех разноуровневых группах.

1. Вводная часть

Ученик читает стихотворение, подготовленное заранее:
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова?
В числителе с, в знаменателе а.
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта, что за беда!
В числителе b, в знаменателе а.

2. Проверка творческого домашнего задания.
    На дом было задано сочинить стихотворение, небольшой рассказ или сказку по теме «Теорема Виета». Это задание было задано на неделю. Работы были собраны заранее. Трое учащихся, чьи работы признаны лучшими, выступают перед классом.
3. Объявляется тема урока. 
   Ставится задача: изучить новые нестандартные способы решения полных квадратных уравнений.
4. Постановка 1проблемы.
   Теорема Виета не зря воспета в стихах. Она очень облегчает решение приведенных квадратных уравнений, но мы никогда не использовали ее при решении неприведенных квадратных уравнений. А возможно ли это в принципе?
   Проведем эксперимент. Для этого рассмотрим уравнение 3х2 – 8х + 5 = 0. Его можно решить по формуле, которая применяется для решения полных квадратных уравнений.
   
   

                Х1 = 1; Х2 = 5/3

Рассмотрим теперь приведенное квадратное уравнение, которое можно получить из  данного неприведенного, для этого мы свободный член умножим на старший коэффициент.

                         
                         Х2 – 8Х + 5·3 = 0

                          Х2 – 8Х + 15 = 0
Это уравнение легко решается по теореме, обратной теореме Виета.
Обозначим эти корни Х3 и Х4

                Х3 = 3; Х4 = 5.
Сравнивая корни уравнений, получаем, что корни второго уравнения в три раза больше корней первого, т.е. Х1 = Х3/3 и Х2 = Х4/3
Возникает проблема: всегда ли корни неприведенного квадратного уравнения
ax2 + bx + c = 0 и корни приведенного квадратного уравнения x2 + bx + c·a = 0, полученного из первого умножением старшего коэффициента на свободный член, cвязаны равенством   Х1 = Х3/а и Х2 = Х4/а, где Х1 и Х2 – корни неприведенного уравнения, а Х3 и Х4 – корни приведенного уравнения. Было бы здорово решить эту проблему сегодня на уроке. А вы как думаете, это случайное совпадение или нет?
          5. Поиск решения проблемы и признание решения учащимися. 

Учащимся дается возможность высказаться, посовещавшись с членами группы и доказать или опровергнуть выдвинутую гипотезу. Если дети затрудняются, то учитель предлагает подсказки по очереди, давая после каждой подсказки время для обдумывания дальнейшего хода решения и высказывания каждой группе. Подсказки предлагаются на слайдах презентации:
1 подсказка. 
Проверьте еще раз зависимость между корнями уравнений 7Х2 – 6Х - 1 = 0 и
Х2 – 6Х -  1·7 = 0

Двое учащихся работают на досках, а остальные – в тетрадях.

1)7Х2 – 6Х - 1 = 0

          6 ± √62 - 4·7·1

Х1,2 =

Х1 = 1; Х2 = - 1/7

2)Х2 – 6Х -  1·7 = 0

Х2 – 6Х -  7 = 0 – по теореме, обратной теореме Виета находим корни этого уравнения:

Х3 = 7; Х4 = - 1.

Класс делает вывод:  Х1 = Х3/7 и Х2 = Х4/7.
Таким образом, Х1 = Х3/а и Х2 = Х4/а.

2 подсказка. 
Попробуйте записать оба уравнения: неприведенное и полученное из него приведенное квадратные уравнения в общем виде и применить к каждому из них формулу для решения полных квадратных уравнений.
Учащиеся работают в группах, и если они затрудняются, то учитель им помогает.
Представители от групп выходят к доске и объясняют решение. На доске появляются записи:

1) а Х2 + bХ +  c = 0

          - b ± √b2 - 4·a·c

Х1,2 =

2) Х2 + bХ +  c·a = 0

          - b ± √b2 - 4·a·c

Х3,4 =

3 подсказка. 
Сравните правые части равенств (1) и (2).
Учащиеся снова работают в группах. А затем представители от групп выходят к доске и объясняют решение.
Из формул видно, что если правую часть равенства (2) разделить на а, то получится правая часть равенства (1).
Разделим обе части равенства (2) на а (напоминаю, что на а делить можем т.к. а ≠ 0 по определению квадратного уравнения).

Запись на доске:

              - b ± √b2 - 4·a·c

Х3,4 =  

Сравнивая полученное равенство с равенством (1) получаем, что правые части этих равенств равны, следовательно, равны и левые. Таким образом
Х1 = Х3/а и Х2 = Х4/а.
Доказательство учащиеся, по мере обсуждения, записывают в тетради.

5. Обобщение и выводы.
   Мы доказали, что неприведенные квадратные уравнения можно решать не только по общей формуле, а так же по теореме, обратной теореме Виета.

Алгоритм решения:
1) составить приведенное квадратное уравнение из данного неприведенного, умножив свободный член на старший коэффициент.
2) решить полученное уравнение по теореме, обратной теореме Виета.
3) получить корни заданного уравнения, разделив корни полученного  приведенного квадратного уравнения на старший коэффициент.

Алгоритм записывается учащимися в тетради.

6. Упражнения.

Каждой группе дается задание на карточке:
1) решить данное учителем уравнение по записанному алгоритму
2) составить и решить свое уравнение для другой группы (творческое задание).
1)Уравнения, данные учителем для групп:
1 группе: 2Х2 – 5Х - 3 = 0;
Запись в тетрадях: Х2 – 5Х - 3·2 = 0;
                                Х2 – 5Х - 6 = 0;
                                Х3 = - 1; Х4 = 6;

                                 Х1 = - 1/2; Х2 = 3.

2 группе: 2Х2 –Х - 6 = 0;
Запись в тетрадях: Х2 – Х - 6·2 = 0;
                                Х2 – Х - 12 = 0;
                                Х3 = - 3; Х4 = 4;

                                 Х1 = - 1.5; Х2 = 2.

3 группе: 6Х2 –Х - 1 = 0;
Запись в тетрадях: Х2 – Х - 6·1 = 0;
                                Х2 – Х - 6 = 0;
                                Х3 = - 2; Х4 = 3;

                                 Х1 = - 1/3; Х2 = 1/2.

4 группе: 5Х2 + 2Х - 3 = 0;
Запись в тетрадях: Х2 + 2Х - 3·5 = 0;
                                Х2 + Х - 15 = 0;
                                Х3 = - 5; Х4 = 3;

                                 Х1 = - 1; Х2 = 3/5.

Учащиеся в группе обсуждают решение, записывают его по алгоритму, и представители от каждой группы выходят к доске и объясняют решение. Остальные слушают.
2) Для составления квадратных уравнений необходимо рассуждать точно в обратном порядке, а именно: сначала по корням, используя теорему Виета составить приведенное квадратное уравнение, а далее, разложив на множители свободный член, получить неприведенное уравнение.  
Далее каждая группа решает уравнение, предложенное другой группой: 1 группа составляет уравнение для 2 группы, 2 группа – для 3 группы, 3 группа – для 4 группы, 4 группа – для 1 группы. Решения оформляются на листах и передаются в группу, которая это уравнение составила, для проверки и выставления оценки за правильность решения и оформление. После чего листы с решением и отметками сдаются учителю.

7. Постановка 2 проблемы.

Дано квадратное уравнение с большими коэффициентами:
1978Х2 – 1984Х + 6 = 0. Решить его по общей формуле не просто, слишком большие коэффициенты. Теорема Виета то же не решит проблему т.к. подобрать корни в уравнении с такими большими коэффициентами очень долговременно. И вообще, имеет ли это уравнение корни, и если – да, то как их найти рациональным способом?

8. Поиск решения проблемы и признание решения учащимися.

Учащимся дается возможность высказаться, посовещавшись с членами группы, и попытаться решить поставленную проблему. Если дети затрудняются, то учитель снова дает подсказки по очереди, давая после каждой подсказки время для обдумывания дальнейшего хода решения и высказывания, используя слайды презентации:

1 подсказка.
 Найдите сумму коэффициентов уравнения.
Сумма коэффициентов равна нулю (1978 – 1984 + 6 = 0).
2 подсказка.
 Исходя из того, что сумма коэффициентов равна нулю, подбором найдите один корень уравнения.

Х1 = 1.

3 подсказка.
 Получите изданного уравнения приведенное, разделив обе части его на старший коэффициент 1978.

1978Х2 – 1984Х + 6 = 0
Х2 – 1984/1978Х + 6/1978 = 0.

4 подсказка. 
По теореме, обратной теореме Виета, найдите второй корень уравнения.

Х1·Х2 = 6/1978
Х1 = 1, следовательно 1·Х2 = 6/1978, значит Х2 = 6/1978 или Х2 = 3/989
Ответ: 1; 3/989.
Решение учащиеся записывают в тетради.

9. Выводы.
   Этот урок можно назвать творческим т.к. на нем были заслушаны лучшие детские сочинения и решались квадратные уравнения нестандартными способоми. Для этого вы пытались самостоятельно выявить связи между уравнениями, учились переносить «старые» знания на новые ситуации и задачи, приучались к самоконтролю, самопроверке и взаимопроверке.
10. Итоги урока.
    Благодарность всем учащимся за работу.
    Каждый ученик получит оценку за урок, которая будет складываться из оценки за решение проблем (активное обсуждение и выступление), за работу на доске, за решение уравнений, предложенных учителем в группе и оценки на листах, выставленной учащимися. Оценки будут объявлены на следующем уроке после суммирования.
11. Домашнее задание (творческое).
    1) придумать 5 уравнений с большими коэффициентами и решить их;
    2) № 434 – решить уравнения по изученному на уроке алгоритму, используя теорему, обратную теореме Виета;
    3) для уравнения 3х2 – 8х + 5 = 0 найти х12 + х22, не решая уравнение.