Решение систем уравнений методом Гаусса
проект по алгебре (8 класс) на тему

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

        Новосибирского района Новосибирской области –

      лицей № 13 п. Краснообск

Решение систем уравнений

методом Гаусса

Работу выполнила:

Рязанова Мария

8Б класс

Руководитель:

учитель математики

Черемисина Галина Артуровна

2018

Содержание:

1. Введение…….…………………………………..…………….…..3
2.      Немного из биографии Гаусса…………………………………...4
3. Понятие матрицы и  её преобразования ……………………….…5
4. Решение двойной системы уравнений………………….……….7
5. Решение тройной системы……………………………………….8
6.  Заключение ………….…………………………….……………..9
7. Используемые ресурсы……………………………………….…10

Введение

Одной из основных задач алгебры является решение систем линейных алгебраических уравнений. Большая  часть методов решения различных задач включает в себя решение систем линейных уравнений как один из шагов соответствующего алгоритма. Достаточно известным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Это  метод также называют методом последовательного исключения неизвестных Гаусса, который является одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения линейных систем уравнений,  известный в различных вариантах уже более 2000 лет.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов, называемых прямым и обратным ходом. На первом этапе система приводится к треугольному виду, а на втором (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из указанной треугольной системы.

Метод Гаусса - один из основных результатов линейной алгебры и аналитической геометрии, к нему сводятся множество других теорем и методов линейной алгебры. Поэтому поиск решения системы линейных уравнений методом Гаусса имеет не только важное значение, но и является частью алгоритма решения многих задач, что позволяет говорить об актуальности изучения метода Гаусса. В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. 

Цели и задачи

Цели проекта: ознакомить и научить одноклассников решать системы уравнений методом Гаусса.

Задачи проекта:

• подобрать информацию по данной теме;
• изучить метод Гаусса;
• научиться самостоятельно решать системы уравнений методом Гаусса;
• рассказать историю появления метода Гаусса, о самом Гауссе и его научных трудах;
• показать преобразования  матрицы одноклассникам;
• подобрать и решить примеры систем уравнений этим методом;
• применить метод Гаусса при решении систем уравнений вместе с одноклассниками.

Немного из биографии Гаусса

Иога́нн Карл Фри́дрих Га́усс (1777 — 1855) — немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков».

С именем Гаусса связаны фундаментальные исследования почти во всех основных областях математики: в алгебре, теории чисел, дифференциальной и неевклидовой геометрии,  теории вероятностей, а также в механике, астрономии, физике и геодезии.

Гаусс чрезвычайно строго относился к своим печатным трудам и никогда не публиковал даже выдающиеся результаты, если считал свою работу над этой темой незавершённой. Изучение архива Гаусса показало, что он медлил с публикацией ряда своих открытий, и в результате его опередили другие математики. Вот неполный перечень упущенных им трудов.

• Неевклидова геометрия
• Эллиптические функции
• Метод наименьших квадратов
• Закон распределения простых чисел

Метод Гаусса

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Это метод последовательного исключения переменных, при котором с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида.  Затем последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы. Хотя в настоящее время данный метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К. Ф. Гаусса. Первое известное описание данного метода — в китайском трактате «Математика в девяти книгах».

Понятие матрицы, её преобразования

Матрица (математика) — прямоугольная таблица элементов.

         пример матрицы  

Со строками матрицы мы можем выполнять следующие операции: деление; умножение на число, отличное от нуля; сложение; вычитание.

Существуют следующие элементарные преобразования: 

1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки: 

2) Если в матрице есть пропорциональные (или одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу.

В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них:  

3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить. Нулевая строка – это строка, в которой одни нули.

4) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля. Рассмотрим, например, матрицу: 

Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2:

Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.

5) К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля.

Строка, которую ПРИБАВЛЯЛИ – не изменилась. Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ  ПРИБАВЛЯЮТ.

Цель элементарных преобразований – привести матрицу к ступенчатому виду: 

Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид. 

Решение системы уравнений с двумя переменными    

      Решим данную систему методом Гаусса.

На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы,

которая представляет из себя коэффициенты чисел:

1. Умножаем первую строку на 2
2. К первой строке прибавляем вторую
3. Сокращаем первую строку на 5
4. Умножаем первую строку на 3
5. Из второй строки вычитаем первую
6. Первую строку сокращаем на 3, а вторую на 4

    Ответ:

Решение системы уравнений с тремя переменными    

1. Вычитаем из первой строки вторую
2. Вычитаем из первой строки первую строку, умноженную на 2. Из третьей строки вычитаем первую.

3. Третью строку умножаем на -1.
4. Ко второй строке прибавляем третью, умноженную на 7.

5. Вторую строку делим на -30.
6. Из первой строки вычитаем третью, умноженную на 3.

7. Из первой строки вычитаем вторую, умноженную на 13.
8. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на 7. 

                        - решение системы уравнений

    Ответ:

Заключение

Поработав с данным методом, я ощутила преимущество его применения по отношению к классическим приёмам решения систем уравнений. Надеюсь, знание этого метода мне поможет в будущем быстро решать системы уравнений с несколькими переменными, а также осуществлять проверку решений классическими способами.

Одной из целей моего проекта является научить одноклассников решать системы уравнений методом Гаусса, для чего на спецкурсе по математике я показала и рассказала им о своей работе и предложила совместно решить несколько систем, состоящих из двух строк, методом Гаусса. Ребят заинтересовал данный метод, они с интересом слушали меня, а потом совместно решали системы уравнений данным методом.  Далее предложены системы уравнений и фотографии с нашего занятия.

   Ответ:     Ответ:  

    Ответ:          Ответ:  

 Ответ:             Ответ:

   Ответ:

У меня получилось самой освоить данный метод и передать свои знания одноклассникам. Таким образом,  поставленные мною цели и задачи выполнены. И ещё метод Гаусса прост тем, как мне кажется, что для его освоения не требуется много знаний. А также для матриц ограниченного размера метод Гаусса менее трудоёмкий по сравнению с другими методами, поэтому в будущем я планирую его активно применять при решении систем уравнений.

Используемые ресурсы:

• http://mathprofi.ru/metod_gaussa_dlya_chainikov.html 
• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%B0 
• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81,_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BB_%D0%A4%D1%80%D0%B8%D0%B4%D1%80%D0%B8%D1%85 
• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0 
• http://works.doklad.ru/view/VKvjtWO86PI.html