Олимпиадные задачи по математике 8 класс
олимпиадные задания по алгебре (8 класс) на тему

Олимпиадные задания 8 класс

1. На какую цифру оканчивается число +?

Ответ:

Найдем последнюю цифру  при различных значениях n: 3;9;7;1;3;9;… Замечаем зависимость: через 4 числа цифра повторяется. Так как 2004=501*4+0, то число  оканчивается такой же цифрой что , то есть 1.Рассматривая различные степени числа 4, получаем зависимость: если показатель степени n- четный, то  оканчивается на 6, а если нечетный, то  оканчивается на цифру 4. Так как 2005-число нечетное, то  оканчивается на цифру 4, а значит, и число + оканчивается на цифру 5.

2. Три подруги – ученицы: отличница Белова, хорошистка Чернова и троечница Рыжова собирались на дискотеку. Вдруг черноволосая заметила: «Как интересно, одна из нас имеет белые волосы, другая -черные волосы, а третья-рыжая. Но ни у кого из нас цвет волос не совпадает с фамилией». «Да, ты права» -поддержала отличница. Какого цвета волосы были у хорошистки?

Ответ:

Черноволосой не может быть отличница, так как отличница подтвердила слова черноволосой. Поэтому черные волосы у Рыжовой. Тогда Белова будет иметь рыжие волосы, а Чернова – белые.

3. Среди 81 монеты имеется одна фальшивая (более лёгкая) монета. Как её найти, используя всего 4 взвешивания?

Ответ:

Разделим монеты на три кучки по 27 монет. Взвесим первую и вторую кучки. Если весы в равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке. Если весы не в равновесии, то фальшивая монета в той кучке, которая легче. После этого разбиваем кучку из 27 монет ( в которой есть фальшивая монета) на три кучки по 9 монет и вторым взвешиванием определяем более лёгкую кучку. Третьим взвешиванием определяем наиболее лёгкую тройку монет. И наконец, четвёртым взвешиванием определяем фальшивую искомую монету.

4. Несколько шахматистов провели между собой матч-турнир, в котором каждый участник сыграл с каждым другим несколько партий. Во сколько кругов прошло это соревнование, если всего было сыграно 224 партии?

Ответ:

Пусть х-число участников соревнования, у-число кругов. В одном круге каждый шахматист играет (х-1) партий, а всеми участниками сыграно х(х-1):2 партий. Поэтому общее число сыгранных в соревновании партий равно х(х-1)у:2, и, следовательно, х(х-1)у=448. Выписав делители числа 448, замечаем, что только два из них отличаются друг от друга на один, а тогда из полученного равенства легко находим х=8, у=8. Таким образом, матч-турнир проходил в 8 кругов.

5. Внешний угол правильного многоугольника равен 30. Определите число сторон данного выпуклого многоугольника.

Ответ:

Внутренний угол равен 1800-30=1770. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле 1800(n-2), где n- число сторон выпуклого многоугольника.

180(n-2)=177n,

3n=360,

Получаем,  n=180

6. 9 коров опустошили луг за 4 дня. Если бы на луг пустили не 9, а 8 коров, то они съели бы всю траву за 6 дней. Сколько коров могли бы кормиться на лугу всё время, пока растёт трава?

Ответ:

Пусть объём заполненного травой луга достаточен для х ежедневных норм одной коровы и ежедневно подрастает ещё у норм. Зная, что 9 коров опустошили луг за 4 дня, получаем х+4у=36. Поскольку коров 8, тогда они съели бы всю траву за 6 дней. Х+6у=48. Вычтем из второго уравнения первое:2у=132,у=6. Подставив найденное значение в первое уравнение, находим х=12. Пусть z коров могли бы кормиться на лугу всё время, пока растёт трава, тогда за сутки они съедают столько травы, сколько её растёт за сутки. Z=у=6

7.  На скамейке сидят 10 детей. Может ли случиться, что между каждыми двумя мальчиками сидит чётное число детей, а между каждыми двумя девочками — нечётное число детей?

 Ответ: Не может.

Решение: Пронумеруем сидящих на скамейке слева направо. Пусть под номером 1 — девочка. Тогда на всех местах с чётными номерами сидят мальчики (ведь между первой девочкой и любым ребёнком под чётным номером — чётное число детей). Но между любыми двумя такими мальчиками — нечётное число детей, что противоречит условию. Значит, под номером 1 — мальчик. Тогда на местах 3, 5, 7, 9 — девочки. Две девочки не могут сидеть рядом (иначе между ними 0 детей — чётное число), поэтому на местах 2, 4, 6, 8 — мальчики. Но между любыми двумя из этих четырёх мальчиков — нечётное число детей. Противоречие.

8.  Мальчик пошёл с отцом в тир. Отец купил ему 10 пулек.В дальнейшем отец за каждый промах отбирал у сына одну пульку, а за каждое попадание давал одну дополнительную пульку. Сын выстрелил 55 раз, после чего пульки у него кончились. Сколько раз он попал?

Решение:

Каждый раз, когда мальчик попадал в цель, число имеющихся у него пулек оставалось прежним (одну использовал и одну получил от отца). Каждый раз, когда мальчик промахивался , число имеющихся у него пулек уменьшалось на 2 (одну использовал и одну отобрал отец). Это значит, что за 55 выстрелов промахнулся 10:2=5, стало быть, попал 55-5=50 раз.

  В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны, а диагонали AC и BD перпендикулярны. Докажите, что AD + BC = AB + CD. 

Решение. 
Впишем четырехугольник ABCD в прямоугольник EFGH со сторонами,
параллельными диагоналям (EF //AC и EH //BD) - смотри рисунок.
Пусть L - точка пересечения прямых DC и EF, а M - точка на прямой HG такая, что LM //FG.
Тогда ABLC - параллелограмм, следовательно, AB = CL.
Так как GM = FL = EB = HD и AH = CG, то треуг-к AHD = треуг-ку CGM ,
следовательно, AD = CM. BC + CM = BC + AD .
Но BM = DL как диагонали прямоугольника BLDM, и DL = DC + CL = DC + AB.
Следовательно, AD + BC = DL = DC + CL = DC + AB, что и требовалось доказать.