Решение тригонометрических уравнений
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Разработка обобщающего урока по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме:

Решение тригонометрических уравнений

Разноуровный  обобщающий  урок алгебры и начала анализа в 11 классе

по теме: «Решение тригонометрических уравнений»

Цель урока: 

• обобщить теоретические знания по теме «Тригонометрические уравнения»,
• повторить основные приёмы решения тригонометрических уравнений,
• рассмотреть решение данных уравнений базового и повышенного уровней сложности,
• организовать работу учащихся на уровне, соответствующем уровню сформированных у них знаний.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

Продолжительность урока – 45 минут.

Ход урока:

I этап урока – организационный (1 минута)

Учитель сообщает тему и цель урока.

II этап урока (19 минут). Повторение теоретического материала по теме «Формулы корней простейших тригонометрических уравнений. Основные приёмы решения тригонометрических уравнений»

1. Учитель задаёт вопросы. Правильность ответов проверяется с помощью мультимедийного проектора (на доске  демонстрируются заранее заготовленные слайды. Если учащиеся затрудняются ответить, учитель  демонстрирует слайд с готовым ответом и предлагает сделать запись в тетради).

а) Какие уравнения называются тригонометрическими?

Ответ: Тригонометрическими уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрической функции.

б) Перечислите простейшие тригонометрические уравнения и формулы их корней.

Ответ: 1. cos x=a,  , х=n, nZ;

            2. sin x=a,   , х=n, nZ;

            3. tg x=a,     x=arctg a+n, nZ;

            4. ctg x=a,   x=arcctg a+n, nZ.

в) Перечислите частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений.

Ответ: 1. sin x=0,  x=n;    sin x=1,  x=n;       sin x= -1,  x=n; nZ.

            2. cos x=0,  x=n;     cos x=1,  x=2n;     cos x= - 1,  x=n; nZ.

г) Что нужно сказать об уравнениях вида cos x=a и sin x=a, где ?

Ответ: В этом случае уравнение не имеет корней.

д) Назовите формулы, по которым решаются простейшие тригонометрические уравнения с модулями.

Ответ: 1.  0≤a≤1,   x=n, nZ;

              2. , 0≤a≤1,   x=n, nZ;

              3. ,  x=n, nZ;

             4. ,  x=n, nZ.

е) Перечислите основные методы решения тригонометрических уравнений.

Ответ: 1. Метод введения новой переменной. Этим методом решаются   тригонометрические уравнения, содержащие одну и ту же функцию  одного и того же аргумента (3tg2x+tgx – 1=0).

2. Метод разложения на множители. При применении этого метода

 необходимо пользоваться правилом: произведение нескольких

 множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них  равен нулю  (sinxcosx+cos2x=0;  sin2x=sinx).

               3. Метод решения однородных уравнений. Однородное      

              тригонометрическое уравнение первой степени:  asinx+bcosx=0,

             решается делением  обеих частей уравнения на cosx≠0 или sinx≠0.    

             Однородное тригонометрическое уравнение второй степени:

             asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0, решается   делением обеих частей  

             уравнения  на cos2х≠0 или sin2x≠0.

4. Функционально-графический метод (основан на применении свойств  тригонометрических функций).

5. Методом введения вспомогательного угла решаются уравнения  вида asinx+bcosx=c,  авс≠0.

6. Метод оценки значений левой и правой частей уравнения.

               7. Решение уравнений, являющимися равенством двух одноимённых

   функций. 

           а) sinf(x)=sing(x)

           б) cosf(x)=cosg(x)

           в) tgf(x)=tgg(x)

2) Устные упражнения (на экран выводится тренажёр для устного счёта, учащиеся работают по цепочке, ошибающийся считает повторно).

1. Вычислить устно 

1.                                                                                                   

2.                                                                                             

3.                                                                                  

4.                                                                                

5.                                                                                            

6.                                                                               

7.                                                                                    

2. Решить уравнение:

 1.                                                                                               

 2.                                                                                                        

3.                                                                                          

4.                                                                                     

5.                                                                              

6.                                                sin2xcosx+cos2xsinx=-1                    

III  этап урока (18 минут). Практическая разноуровневая  работа по решению заданий на тему «Решение тригонометрических уравнений».

Учитель продолжает коллективную работу с учащимися 1-ой и 2-ой групп, а учащиеся 3-ей группы начинают выполнять задания на карточках самостоятельно.

Для учащихся 3-й группы учителем составлены карточки в 2-х вариантах с заданиями базового уровня сложности. Учащиеся 3-й группы - это учащиеся со слабой математической подготовкой, при выполнении заданий учитель оказывает им помощь.

Вместе с заданиями учащиеся получают бланки для выполнения заданий.

Двое учеников из 1-ой группы и один из второй группы у доски решают уравнения.

1-ая группа

1.Решите уравнение ;

 2. Найдите все значения х, при каждом из которых графики функций                               и пересекаются.

        2-ая группа

3. Решите уравнение cos3x+sin2x – sin4x=0.

1. Решение: 

1) Учитывая, что , т.е.  преобразуем уравнение к виду:  ,  , .

2) Решим полученное уравнение:

а) , что не удовлетворяет условию ;

б) , отсюда ,

Ответ: ,

2.  Решение:

 1) Из условия задачи имеем:  

Учитывая, что , преобразуем уравнение к виду:

;  .

2) Решим полученное уравнение при условии :

а) ;

 б).

Ответ: ,  .

3. Решение:

cos3x+(sin2x – sin4x)=0;

применив формулу разности синусов, получим уравнение:

cos3x+( -2sinxcosx)=0;

cos3x(1 – 2sinx)=0;

cos3x=0,    sinx=0,5;

x=,     x=, n, kZ.

После решения этих уравнений у доски учащиеся 1-ой и 2-ой групп приступают к выполнению самостоятельной работы. Для них составлены карточки в двух вариантах: для 1-oй группы- задания повышенного уровня сложности, для второй – базового уровня.

Вариант № 1. (первый уровень)

     1 . Решите уравнение    .

2. Найдите значение выражения , если , .
3. Решите уравнение   (2cosx – 1)
4. Решите уравнение   .

     5.  Найдите все значения х, при каждом из которых выражения

            и      принимают равные значения.

Вариант № 2. (первый уровень)

         1. Решите уравнение    .

2. Найдите значение выражения , если , .
3. Решите уравнение   (2cosx-1)=0.

          4. Решите уравнение .

          5. Найдите все значения х, при каждом из которых графики функций      

              и   пересекаются.

Вариант № 1. (второй уровень)

    1. Решите уравнение    .

    2. Решите уравнение    

      3.Вычислить: 1+tg2x – sin2x, если sin2=0,5.

4. Решите уравнение: sin(x+)=sin(2x+).
5. Решите уравнение: 2cosx - 3sinx=0.
6. Найдите корень уравнения  ,  принадлежащий промежутку  . Ответ укажите в градусах.

Вариант №2. (второй уровень)

     1. Решите уравнение    .

    2. Решите уравнение      

 3.Вычислите: cos, если cos.

 4. Решите уравнение: cos(3x+)=cos6x..

  5. Решите уравнение: sin2x – 5sinxcosx+4cos2[=0/

6.Найдите корень уравнения , принадлежащий промежутку . Ответ укажите в градусах.

Вариант № 1. (третий уровень)

1. Решите уравнение    .

2. Решите уравнение    .

3. Решите уравнение    .

4. Решите уравнение:         .

5. Упростите:    .

6. Найдите значение выражения    , если  

   1) 1,5                      2) 0,5                      3) -0,5                     4) -1,5

Вариант № 2. (третий уровень)

1. Решите уравнение    .

2. Решите уравнение    .

3. Решите уравнение    .

4. Решите уравнение:        .

5. Упростите выражение    .

6. Найдите значение выражения     , если  .

   1) -2                        2) -1                        3) 2                      4) 1

По окончании отведённого времени учащиеся сдают работы.

IV этап урока (7 минут)

Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию

Учитель отвечает на вопросы, возникшие в ходе самостоятельной работы (можно заранее приготовить решение наиболее трудны заданий, и продемонстрировать их на экране), еще раз обращает внимание, на те теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, при необходимости выставляет отметки.

В качестве домашнего задания учащиеся получают по варианту из КИМов.