Урок по алгебре в 8 классе "Решение квадратных уравнений по формуле"
план-конспект урока по алгебре (8 класс) по теме

Урок по алгебре в 8 классе.

Подготовила и провела: учитель математики МБОУ «Новобрянская средняя общеобразовательная школа»  Яблоновская Ирина Александровна

Тема урока: « Решение  квадратных уравнений по формуле».

Тип урока: урок применения полученных знаний и умений.

Цели урока:

• образовательные: повторить алгоритм решения полных квадратных уравнений по формуле,    

                         понятие и смысл дискриминанта,

                         закрепить навыки и умения решения полных квадратных уравнений в

                         стандартном и нестандартном виде.

• развивающие:       развивать умение сравнивать, анализировать, выявлять закономерности,

                         развивать  внимание, память, навыки самоконтроля и самооценки,

                         активизировать познавательную деятельность учащихся (ознакомление с

                         историей возникновения и развития квадратных уравнений).

• воспитательные:  воспитывать ответственное отношение к труду, активность, умение

                         преодолевать учебные трудности и желание работать  до конца, привить

                         аккуратность в работе, умение работать индивидуально  и в коллективе.

Методы:

• по источнику знаний: словесный, наглядный.
• по характеру и целям познавательной деятельности: частично – поисковый, репродуктивный.

Структура урока:

1) проверка домашнего задания (сбором тетрадей)

2) объявление темы, целей и задач урока; историческая справка

3) воспроизведение и коррекция ранее изученного материала (виды квадратных уравнений,

    определение  коэффициентов, нахождение  дискриминанта, определение количества корней

    уравнения, нахождение корней уравнения с помощью формулы, алгоритм решения полных

    квадратных уравнений)

4) применение полученных  знаний при решении более сложных уравнений

5) самостоятельное решение уравнений

6) домашнее задание (дифференцированное)

7) подведение итогов

Оборудование:

1) опросные листы

2) оценочные листы

3) карточки с уравнениями для самостоятельного решения

4) ключи с ответами (корни уравнений) для разгадывания девиза

5) плакат с девизом

6) плакат – слайд по сведениям истории решения квадратных уравнений

7) учебник Алгебра 8 класс, авт. А.Г. Мордкович. Часть 1. Часть 2.

                                                             Опросный лист

ФИ ___________________________________________

1. Полные квадратные уравнения    ____________

2. Приведенные квадратные уравнения _____________

3. Полные неприведенные квадратные уравнения____________

4. Не в стандартном виде___________

                                                           Оценочный лист

                  ученика  ____  класса                ФИ  ____________________________________

Девиз:  «ДОРОГУ ОСИЛИТ ИДУЩИЙ,  А МАТЕМАТИКУ – МЫСЛЯЩИЙ»

                                   Ключи с ответами для разгадывания девиза урока                                      

             I ряд                                                                         II ряд                                                  III  ряд                                

Ход урока:

1. Организационный момент.

    Поприветствовать учащихся, отметить отсутствующих.

2. а) Объявление темы, целей и задач  урока.

    Сегодня мы продолжим решать квадратные уравнения по формуле.

  Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры.

  Квадратные уравнения находят широкое применение при решении  тригонометрических,

  показательных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств. Чтобы в дальнейшем

  учеба проходила легко, мы должны усвоить алгоритм решения квадратных уравнений, научиться

  решать квадратные уравнения по формуле, закрепить умения решать полные квадратные уравнения

  в стандартном и нестандартном виде. Вам будет предоставлена возможность оценить свои способности  

  по данной теме.

  У каждого на парте лежат опросные листы, в которых вы будете фиксировать ответы на

  поставленные вопросы заданий представленных в таблице, а результаты выполнения заданий вы

  должны будете отражать в оценочных листах. Итоговая оценка за урок будет выставлена по

  результатам  всех этапов урока, включая оценку за домашнее задание.

      В тетрадях записываем число, тему урока «Решение квадратных уравнений по формуле».                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         б) Методы решения квадратных уравнений были известны еще в древние времена. С исторической

 справкой выступает один из учащихся  (на внутренней стороне доски заранее вывешан плакат –

 слайд с именами ученых, которые решали квадратные уравнения и некоторыми историческими датами).

 в) Повторим,  какие квадратные уравнения вы знаете. Для этого проведем тестирование.

 На доске записаны 8 квадратных уравнений и вопросы для выполнения заданий.

   1) 2 х² - 8 х- 10 = 0,                 1. выпишите номера полных квадратных уравнений                                

                                                                                                                                                ___________

   2) – 3 х² + 2 х – 5 = 0,              2. выпишите номера приведенных квадратных уравнений  

                                                                                                                                                ___________

   3) 4 х² - 8 = 0,                           3. под какими номерами записаны полные неприведенные

                                                                                                        квадратные  уравнения    

   4) х² + 4 х + 4 = 0,                                                                                                               ___________

   5) 5 х² + 6 х = 0,                       4. какое полное квадратное уравнение записано в нестандартном виде

   6) х² + 3 х – 4 = 0,                                                                                                                ___________

   7) 3 х² = 0,

   8) 14 – 2 х² + х = 0.

 Задание: Проведите классификацию уравнений в зависимости от коэффициентов, вписав ответы  

 предложенных заданий в опросную таблицу. Проверить правильность выписанных номеров (спрашивать учащихся и записывать номера в соответствующую строчку на доске с некоторыми пояснениями выбора данного ответа). За каждый правильно определенный номер ставим «+», если

все задания выполнены, то должно быть 11 «+».

                          1. выпишите номера полных квадратных уравнений                                     1, 2, 4, 6, 8

                          2. выпишите номера приведенных квадратных уравнений                            4, 6

                          3. под какими номерами записаны полные неприведенные

                                                             квадратные  уравнения                                                    1, 2, 8

                          4. какое полное квадратное уравнение записано в нестандартном виде       8     

 В оценочный лист проставьте оценку за тест, используя шкалу  оценок  «5» -   11 «+»

                                                                                                                            «4» -    9 – 10 «+»

                                                                                                                         «3» -    6 – 8  «+»

                                                                                                                            «2» -    менее 6 «+»                                                                                                      

Вопросы: Номера каких уравнений не отмечены?  (3, 5, 7)

                 Как называются такие квадратные уравнения?  (неполные квадратные уравнения)

                 Что нужно сделать, чтобы уравнение под № 8 было  в стандартном виде а х² +b x + c = 0?

                                                                                                 (переставить члены уравнения местами)

                 Уравнение № 8 записать цветным мелом в виде  -2 х² + х + 14 = 0.

г) Устная фронтальная работа.

Повторим в ходе выполнения устных упражнений то, что нам нужно будет при решении уравнений.

1. Вычислите: а)    3² =                        б)  - 4 · 2 · 5 =

                              (- 11)² =                       - 4 · 1 · (-3) =

                              (- 7)² =                         - 4 · 3 · (-2) =

                              ()² =                          - 4 · (-5) · (-4) =

    Вопрос: Где пригодятся умения вычислять значения данных выражений?

                                                                                                           (при вычислении дискриминанта)

2. Повторим правила сложения чисел с разными знаками, сложения отрицательных чисел.

          -5 + 4 =                  8,5 + (- 4) =                    - 8,5 – 4 =                  - 5 – 4 =                          

3. Вычислите   =              =              =                =                =                        

   Вопрос: Где пригодятся умения вычислять значения данных выражений?

                                                                                                         (при нахождении корней уравнения).

3) Воспроизведение и коррекция знаний.

а) Определение коэффициентов. Многие знают, что хорошее начало – половина сделанного. При решении  квадратного уравнения важно правильно определить коэффициенты. В опросном листе представлена таблица, заполните ту часть таблицы, где предлагается выписать коэффициенты  a, b, c.

На внутренней доске представлена таблица (аналог той таблицы, что в опросном листе).

К доске вызвать 1 ученика для заполнения части таблицы с коэффициентами, остальные работают в опросном листе.              

Открыть внутреннюю доску.

Проверьте, правильно ли записаны коэффициенты.

Оцените себя, используя шкалу оценок       нет ошибок -     «5»

                                                                          1 ошибка     -     «4»

                                                                          2 ошибки     -     «3»                                                                                                                                                                                                                                                                  

Поставьте оценку в оценочный лист.

б) Вычисление дискриминанта.

На доске записано уравнение х² - х – 2 = 0 и  D = (-1)² - 4 · 1 · (-2) = …………….(1 + 8 = 9)

Продолжите вычисление. По какой формуле вычисляется дискриминант?          ( D = b² - 4 a c)

Укажите число корней этого уравнения.                                                                    (2 корня)

Какова зависимость количества корней уравнения от дискриминанта?                

(если D > 0, то уравнение имеет 2 корня,   если D = 0, то уравнение имеет 1 корень,

  если D< 0, то уравнение не имеет корней).

Задание: Найдите дискриминант уравнений (вычисления проводить сразу в таблице, есть специально отведенное место). В зависимости от степени подготовки   можно вычислить дискриминант

 I уровень - 1, 2, 3 уравнения                II  уровень – 1, 2, 3, 5               III уровень – 1, 2, 3, 5, 4

 В зависимости от количества правильно найденных дискриминантов уравнений поставьте оценку в

оценочный лист

в) Количество корней уравнения. 

Сделайте вывод о количестве корней этих уравнений (запишите в таблице).

Оцените, используя шкалу оценок      «5» -   верно определено количество корней 5 уравнений  

                                               «4» -   верно определено количество корней 4 уравнений  

                                               «3» -   верно определено количество корней 3 уравнений  

                                               «2» -   верно определено количество корней менее 3 уравнений  

Проставьте оценку в оценочный лист

г) Нахождение корней уравнения.

Повторим формулы нахождения корней квадратного уравнения  (х, если 2 корня)

                                                                                                                (х = , если 1 корень)

Найти корни уравнений под  № 1, 2, 3.

1) 2 х² - 8 х – 10 = 0            х,     х.

2) -3 х² + 2 х – 5 = 0            нет корней

3) х² + 4 х + 4 = 0                 х =.

д) Алгоритм решения квадратного уравнения.

Пройдя все эти этапы, мы повторили алгоритм решения квадратных уравнений вида а х² +b x + c = 0, он применим как к  полным, так и неполным квадратным  уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения обычно по этому правилу не решают, для их решения используют другие методы.

Вопрос: А есть ли в таблице уравнение, которое можно было решить без использования формул корней.

                                                                                                                                     ( это, № 3)

             х² + 4 х + 4 = 0,  

             ( х + 2)² = 0,

               х + 2 = 0,

               х = - 2

Математики не только умные, но и практичные и экономичные, поэтому кое – где можно «схитрить»,

т. е. применить более простой, рациональный способ.

4) Решение более сложных уравнений.        

Квадратные уравнения решать научились, научимся применять полученные знания для решения более сложных уравнений.

 На  доске  записаны 7 уравнений.               Преобразованные уравнения

1) 2 х²- 8 х – 10 = 0,                                       1) х² - 4 х  - 5 = 0,

2) -3 х² + 2 х – 5 = 0,                                      2) 3 х² - 2 х +5 = 0,

3) ,                                     3) 3 х² + 4 х – 15 = 0,

4) 2 х²  - 2 = 3х,                                               4) 2 х²  - 2 = 3х,

5) х (х – 5) = - 1 – 4 х,                                    5) х² - х + 1 = 0,

6) (х + 2)² = 3 х – 8,                                        6) х² - 7 х + 12 = 0,

7) .                                          7) 5 х² - 11 х – 12 = 0.

 Проблема. С чего лучше начать решение этих уравнений? Обсудите в парах, как можно преобразовать уравнения, чтобы упростить решение. После того, как определились с действиями, рядом с записанными уравнениями, записать преобразованные уравнения.

№ 1.  Обе части уравнения разделить на 2, т. к. коэффициенты четные.

№ 2.  Обе части уравнения умножить или разделить на – 1, т. к. удобнее иметь дело с квадратными

          уравнениями, у которых старший коэффициент положителен.

№ 3.  Умножить обе части уравнения на 12, т. е на наименьший общий знаменатель дробей, служащих

          коэффициентами уравнения (освободиться от знаменателей), т. к.  лучше работать с целыми

          числами.

№ 4.  Перенести выражение из правой части уравнения в левую, меняя знаки и записать в стандартном

          виде.

          2 х²  - 2 = 3х,

          2 х² - 3 х – 2 = 0,

№ 5.  Применить правило раскрытия скобок.

          х (х – 5) = - 1 – 4 х,

          х² - 5 х + 4 х + 1 = 0,

          х² - х + 1 = 0.

№ 6.  Применить тождества  сокращенного умножения.

          (х + 2)² = 3 х – 8,

           х² - 4 х + 4 = 3 х – 8,

           х² - 4 х  - 3 х + 4 + 8 = 0,

           х² - 7 х + 12 = 0.    

Итак, перед вами была поставлена проблема: С чего лучше начать решать квадратное уравнение, т. е. как рациональнее?  (Нужно анализировать уравнение, а затем решать).

Уравнение №7 решим  на доске и в тетради. Это более высокий уровень сложности.

            / · 15

           5 (х² - х) = 3 (2 х + 4),

           5 х² - 5 х = 6 х + 12,

           5 х² - 5 х – 6 х – 12 = 0,

           5 х² - 11 х – 12 = 0

           D = 121 – 4 · 5 · (- 12) = 121 + 240 = 361

           х ,     х .

Ответ: 3; -0,8.

Проговорить, какие тождественные преобразования провели, чтобы уравнение привести к виду

а х² +b x + c = 0:

• перенесение выражения из правой части уравнения в левую, меняя знаки на противоположные.
• деление обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.
• применение тождеств сокращенного умножения.
• приведение подобных слагаемых.

Если уравнение представлено в нестандартном виде, то нужно  в алгоритм  добавить пункт № 1:

выполнить тождественные преобразования, записать уравнения в стандартном виде.

 5) Самостоятельное решение уравнений  

У каждого ученика карточка с 6 уравнениями. Решить  уравнения 1 – 6, задания выполняем по рядам. (можно пользоваться подсказками  и  помощью учащихся своего ряда)

Уравнения записаны на карточке  для каждого  ряда в определенном  порядке, выполняем задания по порядку. Затем по ключу выбираем соответствующую ответу букву и читаем ключевое слово.    

Карточка для 1 ряда                             Карточка для 2 ряда                       Карточка для 3 ряда

1) х² - 7 х + 12 = 0;                                   1) 2 х²  - 3 х – 2 = 0;                           1) 3 х²  - 2 х + 5 = 0;

2) 3 х² - 2 х + 5 = 0;                                  2) 3 х² + 4 х – 15 = 0;                         2) х² - 7 х + 12 = 0;

3) 2 х² - 3 х – 2 = 0;                                  3) х² - х + 1 = 0;                                  3) 3х² + 4 х – 15 = 0;

4) х² - х + 1 = 0;                                        4) х²  - 4 х – 5 = 0;                              4) 2 х²  - 3 х – 2 = 0;

5) х²  - 4 х – 5 = 0;                                    5) 3 х²  - 2 х + 5 = 0;                           5) х²  - х + 1 = 0;

6) 3 х² + 4 х – 15 = 0.                               6) х²  - 7 х + 12 = 0.                            6) х²  - 4 х – 5 = 0.

                                         Ключи (для каждого ряда свой ключ ответов):

             I ряд                                                                         II ряд                                                  III  ряд                                

 После решения уравнений на доску с помощью магнитов вывешать ключевые слова

I    ряд       ДОРОГУ             II   ряд       ОСИЛИТ               III ряд       ИДУЩИЙ

Далее продолжить…….        А    МАТЕМАТИКУ   -  МЫСЛЯЩИЙ

На доске должен появиться девиз урока:

« ДОРОГУ ОСИЛИТ ИДУЩИЙ, А МАТЕМАТИКУ – МЫСЛЯЩИЙ»

Оцените себя. Кто решил все 6 уравнений без подсказок и получил слово, получает  оценку «5»,

кто обращался за помощью, но решил самостоятельно 5 уравнений  - «4», кто самостоятельно решил

3 – 4 уравнения – «3», менее 3 уравнений – «2». Поставьте себе оценку в колонку «решение уравнений»

оценочного листа.

6) Перспективный план на следующий урок. Домашнее задание с учетом выбора соответствующего уровня.

Сегодня вы шли поэтапно, осиливая дорогу, а теперь посмотрим, осилите ли вы решение уравнений более сложных по уровню, т. е. ответьте на вопрос: мыслящие ли вы? На следующем уроке я хочу заключить с вами контракт, вам будет предложена самостоятельная трехуровневая работа (чем выше номер уровня, тем выше уровень трудности заданий). Предлагаю учащимся ознакомиться с заданиями работы, чтобы выбрав соответствующий уровень, они смогли выбрать уровень домашней работы.

На внутренней доске написаны тексты самостоятельной работы. Текст написанный синим цветом, соответствует оценке «3», текст написанный зеленым цветом, соответствует оценке «4», текст написанный красным цветом, соответствует оценке «5». Просмотрите задания всех трех уровней, проанализируйте задания, выберите уровень и в зависимости от выбора уровня самостоятельной работы,

проведите подготовку, выполнив уровневую домашнюю работу (записать д/з в дневник)

I   уровень   -      № 25.5б, 25.7а, 25.8а, 25.11а

II  уровень   -      № 25.9в, 25.13а, 25.16а, 25.19а

III уровень   -      № 25.16б, 25.19б, 25.17б, 25.37а

Самостоятельная работа 1 уровень  (СИНИЙ ЦВЕТ)                                                                    

1. Решите уравнение    (выпишите коэффициенты а, b , с,  вычислите дискриминант D = b² - 4 a c,                                    

    затем найдите корни по формуле x= ):          

   а) х² - 5 х  + 6 = 0.                                                                  

2. Решите уравнения, предварительно записав их в        

   стандартном виде   а х² + b x + c = 0:                                  

   а) 4 х²  + 1 = 4 х;           б) 3 х² = 2 х – 5.                                                                                                                                          

Самостоятельная работа 2 уровень   (ЗЕЛЕНЫЙ ЦВЕТ)

1. Решите уравнения    (выпишите   коэффициенты   а, b, с, вычислите дискриминант, затем найдите

    по формуле корни, если они существуют):

    а) х² + х + 8 = 0.

2. Решите уравнения, предварительно записав их в стандартном виде     а х² + b x + c = 0:

    а) 25 х²  + 10 = 10 х + 9;              б) (х – 2) (х + 2) = 5 х + 10.

Самостоятельная работа 3 уровень   (КРАСНЫЙ ЦВЕТ)                                                                          

1. Решите уравнения:                                                    

   а)  х² - 2 х  – 9 = 0.                                                        

2. Найдите корни уравнений:                                          

   а) 2 х – 9 + 5 х² = 2 х² + 6 х – 20;                                        

   б) (3х – 1) (3х + 1) – 2х (1 + 4х) = - 2.                            

7) Рефлексивно – оценочный этап.

Настало время выставления оценок за урок, вам предоставляется возможность оценить себя, в этом вам поможет оценочный лист. В колонку «итоговая оценка» выставляем оценку за урок, а  общая оценка  будет выставлена с учетом оценивания домашней работы.

Поднимите руку, кто получил оценку «5», «4», «3», «2». Сдайте оценочные листы учителю.

Итог урока.

Какой момент наиболее интересен был на уроке?

Где пришлось более всего концентрироваться, вдумываться?

Сегодня мы на уроке рассмотрели способы решения квадратных уравнений по формуле и решение уравнений более сложного вида. А всего способов много, в частности  на стенде представлено 10 способов решения, со многими способами мы будем знакомиться в дальнейшем.

Итак, урок закончен, спасибо всем за плодотворную работу. До свидания!

Технологическая карта

Тема: Решение  квадратных уравнений по формуле

Организация пространства