Решение задач на оптимизацию при подготовке к ГИА.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре на тему

Содержание:

1. Роль текстовых задач в школьном курсе математики.
2. Обзор содержания текстовых задач в экзаменационных вариантах математики 9, 11 классов.
3. Решение экономических задач на оптимизацию в вариантах ЕГЭ по математике.
4. Заключение.

1. Роль текстовых задач в школьном курсе математики.

(Слайд1)  «Пока мы будем учить детей на русском языке — не только великом и могучем, но и достаточно трудном, пока мы хотим учить их сравнивать, выбирать наиболее простой путь достижения поставленной цели, пока мы не отказались от воспитания гибкости и критичности мышления, пока мы стараемся увязывать обучение математики с жизнью, нам будет трудно обойтись без текстовых задач — традиционного для отечественной методики средства обучения математике.»(Шевкин А.В.)

             В современном российском школьном обучении математике текстовые задачи  занимают особое место.  Они являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач. Решение задач является наиболее эффективной формой развития математической деятельности.

При обучении математике задачи имеют образовательное, развивающее, воспитательное значение.

 Они развивают логическое и алгоритмическое мышление учащихся, вырабатывают практические навыки применения математики. При обучении теоретическим знаниям задачи способствуют мотивации введения понятий, выявлению их существенных свойств, усвоению математической символики и терминологии, раскрывают взаимосвязи одного понятия с другими.

Воспитательное воздействие оказывает общий подход к решению задач: система задач, место, методы и формы ее решения, стиль общения учителя и учащихся, учащихся между собой при решении задач. Решение задач позволяет учащимся воспитывать в себе настойчивость, трудолюбие, активность, самостоятельность, формирует познавательный интерес, помогает вырабатывать и отстаивать свою точку зрения.

Развивающие функции задач заключаются в том, что в деятельности решения задач вырабатываются умения применять теоретические знания на практике, выделять общие способы решения, переносить их на новые задачи, развиваются логическое и творческое мышление, внимание, память, воображение.

Темой моего самообразования служат текстовые задачи. Типология их давно и хорошо изучена. Но с 2015 года в вариантах ЕГЭ появляется новый тип - задачи с экономическим содержанием: налоги(простые проценты).вклады, кредиты(сложные проценты), оптимальный выбор. Вот объекты рассмотрения в таких задачах. Тема новая и для учителей и для учеников.

Поэтому начинать изучать экономические задачи надо не с 11 класса, а гораздо раньше. К 8-9 классу учащиеся обладают достаточным набором знаний и умений для их решения.

2. Обзор содержания текстовых задач в экзаменационных вариантах  математики  9, 11 классов.(Слайд 2)

   В ходе обзора новой версии вариантов ОГЭ выяснилось, что в задании № 7 их 36 вариантов в 34 вариантах представлены задачи на изменение цены на товар. Хотя к текстовым экономическим задачам на проценты относятся задачи, в которых речь идет о вкладах в банк под тем или иным процентом, о прибыли, о выполнении плана; задачи, в которых происходит преобразование исходного вещества (при сушке, при выпаривании) и т. д. Задачи этого типа очень часто входят составной частью в решение других типовых задач в вариантах ЕГЭ .

(Слайд 3) Не будучи подготовленными к пониманию, вряд ли учащиеся смогут осмысленно трактовать такие сообщения, как «Банк начисляет 120 процентов годовых», «В выборах приняли участие 56,3 процента избирателей» и т. д., тем более отвечать на подобные вопросы: «Какой капитал, отданный в рост под 6 %, принесет за 6 лет 8 850 руб. процентных денег?», «Какой будет заработная плата после повышения ее на 35 %, если до повышения она составляла 7 500 руб.?», «Как изменятся расходы на оплату электроэнергии, если потребление возрастает на 15 %, а стоимость одного кВт / ч увеличится на 20 %?» и т. д. Заметим, что задачи на проценты сегодня становятся еще более актуальны, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется (повышение цен; объявления коммерческих банков, привлекающих деньги населения на различных условиях; сведения о повышении процента банковского кредита; сведения о доходах по акциям различных предприятий и фондов и т. д.).

В задании № 22 второй части пока нет ни одной задачи с экономическим содержанием.

В ходе обзора задания № 17 из вариантов ЕГЭ 2018 года профильного уровня выяснилось, что наряду с популярными задачами прошлых лет на равномерное погашение долга по кредитам, третью часть всех задач составляют задачи на оптимизацию. Поэтому следующей  целью моей работы по самообразованию является изучение экономических задач и введение их в обучение математики с 8 по 11 класс.

3. Решение экономических задач на оптимизацию

С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Технологи – стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции. Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей. Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т.д.  Итак, большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, т.е. оптимального решения поставленной задачи. (Слайд 4) Как, располагая определенными ресурсами, добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени – так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества. Это и определило актуальность выбора темы моего доклада.  (Слайд 5)

Общего способа решения экономических задач быть не может, не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать эти задачи. Поэтому  цели  данной работы :(Слайд 6)

- изучить разнообразные способы и методы  решения экономических задач  на оптимизацию;

-исследовать вопросы применения этих задач в жизни человека;

- повысить  уровень математической культуры, прививая учащимся  навыки              самостоятельной исследовательской работы в математике;

-подготовка к итоговой аттестации ОГЭ и

(Слайд 7)

В 2018 году  можно встретить задачи на выбор оптимального распределения ресурсов: поле и фермер, предприниматель и отель, добыча алюминия и никеля и производство сплава и другие.

(Слайд 8)

Понятно, что никаких экономических знаний для решения таких задач не требуется. Необходимо лишь понять смысл задачи, перевести его на язык математики и решив математическую задачу  вернуться к условию, правильно сопоставив полученное решение с условием задачи. При решении такого вида задач можно составить уравнение и найти его решение в натуральных или целых числах. Эти задачи можно решать и с учениками 9-х классов. В 11 классе будем решать задачи такого типа методами математического анализа, т.е. составлением функции и исследованием ее на наибольшее (наименьшее) значение.

Для 8-9 классов я изучила и исследовала  такие задачи, которые решаются с помощью исследования линейной функции, с помощью решения уравнения. Для решения таких  задач я применил   следующие методы: (Слайд 9)

 1. Метод опорной функции

             2. Метод составления уравнения и его оценки

3. Метод перебора и логики

         (Слайд 10)  Задача 1. В двух шахтах добывают  алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых  готов трудиться  5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает  1кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 1 кг никеля.
         Обе шахты поставляют  добытый металл на завод, где для нужд  промышленности  производится сплав  алюминия и  никеля, в котором  на 2 кг алюминия  приходится 1 кг  никеля. При этом  шахты договариваются между собой вести добычу  металлов так, чтобы  завод мог произвести  наибольшее  количество  сплава. Сколько  килограммов  сплава  при  таких условиях ежедневно сможет  произвести завод?

Решение(Слайд 11)

          1 способ – с помощью составления опорной линейной функции

Пусть х рабочих в 1 шахте добывают алюминий ежедневно,  тогда (100-х) рабочих добывают никель. Тогда количество добытого алюминия равно (5х) кг, количество добытого никеля – 15(100-х) кг.

Пусть у рабочих во 2 шахте добывают алюминий ежедневно,  (300-у) рабочих добывают никель. Тогда количество добытого алюминия равно (15у) кг, количество добытого никеля – 5(300-у) кг.

Всего количество добытого алюминия: (5х+15у);

количество добытого никеля: 15(100-х)+ 5(300-у)=1500-15х+1500-5у=3000-15х-5у.

Функция сплава: F(x) = (5х+15у) + (3000-15х-5у); F(x) = -10х+10у + 3000;

Учтем условие, при котором производится сплав алюминия и никеля: 2 кг алюминия и 1 кг никеля. Тогда 5х+15у=2(3000-15х-5у). Отсюда у = -1,4х+600. Поставим это выражение в функцию сплава: F(x) = -10х+10(-1,4х+600) + 3000;

F(x) = -24х +5400. Эта линейная функция является убывающей. Наибольшее значение она принимает при х=0. Значит, F(0)=5400.

          Ответ:5400

Задача №2 (Слайд 12)

Предприниматель  купил здание и собирается  открыть в нем  отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратный метр  и  номера  «люкс»  площадью 49  квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099  квадратных метров. Предприниматель может поделить эту  площадь  между номерами  различных  типов  как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс»  4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет  заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Решение: (Слайд 13)

1 способ – с помощью логики и перебора

1)Найдем стоимость 1номера стандартного: 2000:21=95 (рублей)

2)Найдем стоимость 1номера «люкс»: 4500: 49 =91 (рублей)

Вывод:    Так как стоимость 1 стандартного номера дороже, то выгоднее разместить на этой площади больше номеров стандартных, и как можно меньше номеров «люкс».  Начнем перебор количества номеров «люкс» с наименьшей цифры. Пусть номеров «люкс» будет 0. Тогда число 1099 не делится нацело на 21.  Далее. Допустим,  что номеров «люкс» будет 1. Тогда: 1099- 49=1050;

1050: 21 = 50 (номеров стандартных). Значит, на площади 1050можно разместить 50 стандартных номеров. Тогда в сутки отель может заработать:

50∙ 2000 + 1∙ 4500=104500 (руб).

Ответ: 104500 рублей.

(Слайд 14) Задача 3. На дачном участке нужно провести водопровод длиной 167 м. Имеются трубы длиной 5 м и 7 м. Сколько нужно использовать тех и других труб, чтобы сделать наименьшее количество соединений (трубы не резать)?

Решение (Слайд 15)

1 способ – с помощью логики и перебора

Решение: Учитывая, что количество как одних, так и других труб может изменяться, количество 7 – метровых труб обозначим через х, а 5 – метровых – через у. Тогда 7х – длина 7-метровых труб, 5у – длина 5-метровых труб. Отсюда получаем неопределенное уравнение: 7х + 5у = 167, которое нужно решить в целых числах. Выразив, например, переменную у через переменную х, получим:

 Так как х, у Є Z, то методом перебора легко найти соответствующие пары значений х и у, которые удовлетворяют уравнению

7х + 5у = 167.

Если 2х – 2 =0, то х = 1, у =32.

Если 2х – 2 =5, то х не является целым числом.

Если 2х – 2 =10, то х =6, у = 25.

Если 2х – 2 =15, то х не является целым числом.

Если 2х – 2 =20, то х = 11, у = 18.

Если 2х – 2 =25, то х не является целым числом.

Если 2х – 2 =30, то х = 16, у = 11.

Если 2х – 2 =35, то х не является целым числом.

Если 2х – 2 =40, то х = 21, у = 4.

Если 2х – 2 =45, то х = 23,5 , то есть не является целым числом.

Если 2х – 2 =50, то х = 26 и 7 ∙26 = 182 >167.

Итак, получили пары решений: (1; 32), (6; 25), (11; 18), (16; 11), (21; 4).Из этих решений наиболее выгодное последнее, т.е. х = 21, у = 4.

Вывод: Надо взять 21 трубу длиной по 7 метров и 4 трубы длиной по 5 метров

Для 11 классов при подготовке к занятию я раздаю всем подготовительные задания.

(Слайд 16)

Текст из учебника по экономической теории вывешивается заранее на стенде «Подготовка к уроку».

(Слайд 17) Чтобы пи решении задач не отвлекаться на незнакомые экономические термины, мы с ребятами составляем словарик терминов. Например, показатель человеко-час показывает продолжительность нахождения работников на рабочем месте в часах. Данная величина может служить для оценки производительности труда за единицу времени. 
Чтобы рассчитать этот показатель, вам необходимо в табели учетного времени посчитать сумму количества отработанных часов в день всех сотрудников. Например, в организации работают 10 человек. В день общая сумма отработанных ими часов составляет 80человеко-часов в день (10 чел * 8 час).

Примеры экономических задач на оптимизацию ( приложение).

Многие задачи такого типа можно решить, используя метод математического моделирования, который является более наглядным и понятным по сравнению с другими методами.

С ребятами мы выработали алгоритм решения задач на оптимизацию с помощью математического моделирования: (Слайд 18)

1 этап. Составление математической модели задачи.

2 этап. Работа с составленной моделью.

3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи.

Применение знаний при решении задач.

Рассмотрим задачу из открытого банка заданий по математике ЕГЭ -2018.

(Слайд 19) В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у2 человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металла так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

(Слайд 20) 1 этап. Составление математической модели задачи

(Слайд 21)

Всего алюминия 2х+

Всего никеля (50-х)+

По условию, на производство сплава требуется никеля в 2 раза больше, значит  2(2х+) = (50-х)+

 10 + 0,2 - 0,4.

Рассмотрим функцию, определяющую массу всего металла

f (х,у)=2х+(50-х)+...= 60+1,2, получили f (у).

2 этап. Работа с составленной моделью.(слайд 22)

Исследуем функцию f(у)=60+1,2 на наибольшее значение. D(f)= [0;50]

f'(у)= -, f'(у)=0 при у=10. Определим, как ведет себя производная при переходе через точку у=10

f '(у)                                              

  0[_________+___________10________________________]50

f (у)точка  max

(Слайд 23) 3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи

Значит, наибольшее значение функция принимает при у=10. Найдем f(10)= 60+1,2 = 60+1,2∙20+6=90.Ответ: 90 кг сплава

Самостоятельная работа. А сейчас предлагаю решить аналогичную задачу таким же способом.(слайд 24)

В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х2 человеко-часов, а для добычи у кг никеля в день требуется у2 человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металла так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

У вас на столах лежат бланки для решения данной задачи. Заполните, пожалуйста, их.

Всего алюминия 3х+

Всего никеля (100-х)+

По условию, на производство сплава требуется алюминия в 2 раза больше, значит  3х+ = 2((100-х)+

 40 + 0,4 - 0,2.

Рассмотрим функцию, определяющую массу всего металла

f (х,у)=3х+(100-х)+...= 180+1,8, получили f (у).

2 этап. Работа с составленной моделью.

Исследуем функцию f(у)=180+1,8 на наибольшее значение. D(f)= [0;100]

f'(у)= -, f'(у)=0 при у=10.

f '(у)                                              

  0[_________+___________10________________________]100

f (у)точка  max

3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи.

Значит, наибольшее значение функция принимает при у=10. Найдем f(10)= 180+1,8 = 180+1,8∙30+6=240.

Ответ: 240 кг сплава

4. Заключение.

В настоящее время получило всеобщее признание то, что успех развития многих областей науки и техники существенно зависит от развития многих направлений математики. Математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений и, в конечном счете, содействует повышению производительности труда и устойчивому поступательному развитию народного хозяйства.

  Использование задач на оптимизацию при изучении математики оправдано тем, что они с достаточной полнотой закладывают понимание того, как человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его деятельности были как можно лучше. Решая задачи указанного типа, наблюдаем, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, а с другой – большую эффективную их применимость к решению жизненных практических задач.  Задачи на оптимизацию помогают ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами школьного курса математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности. Решение данных задач способствует углублению и обогащению математических знаний учащихся. Думаю, что эти выводы помогут им в дальнейшей взрослой жизни, а также определят выбор будущей профессии.

Приложение

1)Примеры экономических задач на оптимизацию:

2)Бланк для решения задачи

1 этап. Составление математической модели задачи

Всего алюминия____________________  

Всего никеля___________________________  

По условию, на производство сплава требуется ____________ в__ раза больше, значит  ________________________________________________________,

_______________________________________________________________

 _______________________________________

Рассмотрим функцию, определяющую массу всего металла

f (х,у)= ______________________________________________________________

__________________________________________________________ получили f (у).

2 этап. Работа с составленной моделью.

Исследуем функцию f(у)=____________________________ на наибольшее значение. D(f) = [____;___]

f'(у)= , f'(у)=0 при у=_____. Определим, как ведет себя производная при переходе через точку у =_____

f '(у)                                              

  ___[___________________  ?  ________________________]____

f (у)                              ___________

3 этап. Анализ решения. Ответ на вопрос задачи.  

Значит, наибольшее значение функция принимает при у=___.

Найдем f(__)= _______________________= _________________=_______.

 Ответ: ________ кг сплава