"Свойства логарифмов". Технологическая карта урока.
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Технологическая карта урока алгебры в 10А (базовый уровень) классе.

Формируемые УУД:

Планируемые результаты:

Организация пространства

Свойства логарифмов.

Приложение 

1. Мини-тест. Вычислить.

Задание №1

Вычислить:                                                                                                      

 а)     

 б)  

 в)  

 г)  

д)    

е)  

ж)  

з)    

ответы к заданию №1

а) 4; б)10;в)2;г) 0,5;д) 4;е)1;ж)81;з) 0,25

Задание № 2. 

Вычислить:

а)

б)

в)

Ответы к заданию №2

а) 2  б) 8   в) 1

Самостоятельная работа.

Вычислить:

а)

б) 

Ответы :

а)  

  б)

Защита проектов  « Применение логарифмов в быту».

1 группа

"А зачем нам нужны логарифмы? Как они пригодятся в жизни?"

У "простых обывателей" часто возникает подобные вопросы. Они совершенно однотипны и могут задаваться относительно логарифмов, матриц, философии Канта, дифференциалов, уравнений хим. реакций и прочее и прочее. Поскольку под "жизнью" обычно подразумеваются повседневные дела по типу протереть пыль, сходить в магазин, зашить свои носки и т.д., то ответ прост: никак.

Логарифмы предназначены для упрощения сложных математических вычислений. Сложить цены покупок -- это не сложные вычисления. Там логарифмы совершенно не нужны.

Логарифм  -  это специфический инструмент с конкретной задачей: решение показательного уравнения a2x=b. Его не используют для иных целей весьма ограничено и, зачастую лишь косвенно. Приведу простую аналогию. Вы можете помадой подкрасить губы, но не будете же вы ей делать записи на листке? Вы, конечно, можете где-то старой жёсткой зубной щёткой счистить с ботинка грязь, но вы же не будете ей подметать весь пол?

Перейдём к применению в быту. Да, оно вполне возможно.

Нет, логарифмы не подойдут ни для составления меню на вечер, ни для расчёта затрат на поездку на море и даже ни для выбора себе тёплой куртки на зиму. Но вот если, к примеру, у вас за окном ходит электричка (согласно расписанию производя шум и заставляя вибрировать вещи) за тонкой стенкой совершает кульбиты соседская стиральная машинка, а в квартире под вами изучает гаммы мальчик со скрипочкой, то вы непременно захотите сделать шумо- и виброизоляцию. Конечно, вы можете сразу отправиться на рынок и выкупить какую-нибудь изоляцию и прибить её к стенам гвоздями (прям в бетон, а что такого?), но с удивлением обнаружите, что звуки никуда не делись, а лишь стали чуть тише: электричка всё также грохочет, а скрипка противно скрипит. Конечно, вы можете нанять рабочую бригаду, вот только если бригадир её недостаточно специально обучен, и тоже не очень хорошо понимает, а зачем ему вся эта математика, то вы раскуете мало того, что потратится, так ещё и остаться с предыдущем результатом. Третьим вариантом будет самостоятельный расчёт уровней шума и вибраций в комнатах и последующий расчёт минимальной толщины звуко- и вибро- изоляции. И для данного случая вам будет необходимо иметь представление о логарифмах. И когда вы рассчитаете толщину (и подберёте материал), то при правильном креплении вы обнаружите, что шум снизился до приемлемого уровня.

2 группа.

Очень интересный вопрос! Ну и загадку же вы загадали, казалось бы, причем тут "страшные" логарифмы и повседневная жизнь? А вдруг мы невольно пользуемся логарифмами в реальной жизни, не подозревая об этом?

Забавно, но это так.

Посмотрим на значения десятичных логарифмов:

Тут мы видим интересное свойство - логарифмы позволяют компактно представить широкий диапазон значений. Там, где исходное значение увеличивалось кратно (геометрическая прогрессия), логарифм этого значения изменялся на единицы (арифметическая прогрессия). Это свойство позволяет использовать логарифмы, и не только десятичные, во всевозможных шкалах, ведь логарифмы позволяют преобразовывать кратные значения в равномерную шкалу, что немаловажно. Так, логарифмическими являются шкала громкости звука, шкала Рихтера, шкала яркости звёзд. Основания логарифмов в этих шкалах разные, например, логарифмы шкалы громкости звука имеют основание 10, а логарифмы шкалы яркости звёзд - корень пятой степени из 100. Да что и говорить, даже клавиши рояля расположены по логарифмической линейке!

Есть место логарифмам и в области психофизиологии. Основной психофизический закон, открытый немецким учёным Фехнером утверждает (в упрощенной формулировке), что

То есть субъективное ощущение пропорционально логарифму интенсивности стимула. Фехнер заметил, что каждый человек имеет собственную чувствительность к раздражителям, которая зависит от физиологических особенностей человека, а так же от того, какое из чувств задействовано. Например, воспринимаемая яркость или громкость пропорциональна логарифму интенсивности их фактической величины, измеренной при помощи приборов.

В качестве примера Фехнер приводил следующее: представим, что мы находимся в комнате, освещённой только одной свечой. Если в неё внести вторую свечу, то прирост яркости освещения будет нам казаться более весомым, чем если бы мы внесли ещё одну свечу в комнату, где находится 10 свечей.

Закону Фехнера подчиняются зрение, обоняние, осязание, слух, вкус, эмоции, память. Объяснение этому можно найти такое. Представьте себе, что зрение человека способно воспринимать сигналы, различающиеся по силе в 1010 раз (приблизительно), это довольно большой диапазон, способный дать огромную нагрузку на рецепторы сетчатки глаза, которая может даже привести к их гибели. Поэтому природа научилась логарифмировать все поступающие раздражители путём биологических ограничений. Интересно, что логарифмические спирали в природе можно увидеть повсюду: в расположении семян в подсолнечнике, в раковинах моллюсков и т.д.

В быту мы тоже используем логарифмические шкалы: делим города на стотысячники и миллионники, богатых людей подразделяем на миллионеров и миллиардеров и т.д. Можно привести пример покупок. Представьте, что вы покупаете небольшой набор продуктов. Если речь идёт об экономии денежных средств, то экономить мы будем каждый рубль. А покупая что-то более крупное, например, холодильник, обращать внимание мы будем уже на сотни рублей.

Очевидно, в быту мы пользуемся логарифмами с основанием 10, скорее всего, это связано с тем, что пользуемся мы десятичной системой счисления.

3 группа

Хочется сделать маленькое дополнение, описывающее механическую реализацию логарифмов: оно очень наглядно и очевидно стоит только взглянуть на предмет, в котором оно реализуется.

Это раструбы звуковых излучателей (динамики аудиоколонок, раструбы саксофонов и т.п.,), отражатели фар и фонариков, форма косы или серпа, лучшие ножи для мясорубки так же имеют режущую кромку в форме логарифмической кривой, динамика изменения прирастающих величин так же зачастую идет по логарифмической кривой: прирост урожая зерна, поголовья стада; так же и нагрузки или усилия в зависимости от угла вектора прилагаемого усилия изменяются по логарифмической кривой; струя воды при выливании жидкости из емкости тоже имеет форму логарифмической кривой, как и полет прыгнувшего человека или брошенного предмета; сила натяжение веревок или давления расширяющейся намокающей древесины(вставленная в углубление в камне оно способно раскалывать каменные глыбы) или ростка под асфальтом - тоже изменяется по логарифмической кривой; форма когтей животных, кончика иглы или острия лезвия бритвы так же имеет логарифмическую зависимость для реализации такой же зависимости выражающей легкость проникания сквозь вещество в зависимости от площади приложения усилия: чем тоньше кончик инструмента(предмета) - тем легче он будет погружаться или протыкать другой предмет, и кривая зависимости при этом - тоже логарифмическая; лопасти  вентилятора так имеют логарифмическую кривую; запекание пирога в духовке так же имеет логарифмическую зависимость от времени:  долго ждать пока прогреется да запечется, но чем ближе к завершению - тем быстрее идет изменение качества пирога и в конечном итоге стоит лишь чуть передержать и пирог может быть испорчен; переход количества в качество так же имеет логарифмическую зависимость; - и на этих распространенных примерах легко обнаружить, что логарифмы мы не только применяем в повседневной жизни, но даже и живем по их законам: содержание соли или сахара в крови, интенсивность прилагаемых усилий, утомляемость, самочувствие, и тысячи и миллионы других процессов, тканей, потоков и напряженностей - все они послушны логарифмичексим законам, как например концентрация ароматизатора  в воздухе и его интенсивность запаха так же будут в логарифмической зависимости.

А помните выражение "на порядок лучше (или выше)" - эта фраза выражает именно логарифм: в десять раз лучше(или в несколько раз, например как в музыке "на порядок выше" может означать на 1 октаву вверх, частота звуков которой в 2 раза выше аналогичных звуков предыдущей октавы). И очень-очень многие ею пользуются, не осознавая её логарифмической природы.