Обобщающий урок по алгебре в 8-ом классе по теме: «Квадратные уравнения»
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №78»

Составитель: Афанасьева Галина Анатольевна

Учитель математики МБОУ «СОШ №78»

Томская обл.,   г.Северск

Обобщающий урок по алгебре в 8-ом  классе по теме:

«Квадратные уравнения»

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, углубленное изучение свойств квадратного уравнения.

Образовательные цели: повторить теоретический материал; обеспечить закрепление теоремы Виета, расширить понятие числа, познакомить с решением квадратных уравнений на множестве комплексных чисел; обратить внимание  учащихся на решение квадратных уравнений ах²+bх+c=0, в которых a+b+c=0; привить навыки устного решения таких уравнений.

Воспитательные цели: способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения фактов, развивать самостоятельность и творчество.

Оборудование к уроку:

1. Тест «Квадратные уравнения».

2. Таблицы: а) теорема Виета,

б) свойство квадратных уравнений.

3. Компьютер для слайдовой презентации.

4.Математическая газета «Расширение понятия числа».

Ход урока.

I. Орг. момент.

Учащимся сообщаются цели урока:

1. Контроль знаний с помощью тестирования (тест на заполнение пропусков, чтобы получилось верное определение, формулировка, правило).
2. Решение задач на применение прямой и обратной теорем Виета.
3. Решение квадратных уравнений на множестве комплексных чисел.
4. Изучение нового свойства квадратных уравнений.

II. Повторение пройденного материала.

1. Тест «Квадратные уравнения» (проводится в двух вариантах).

I вариант.

1. …уравнением называется уравнение числа,

2. Уравнение .

3. Уравнение  называют  квадратным  уравнением.

4. Уравнение  называют квадратным уравнением.

5. Если - квадратное уравнение , то в называют коэффициентом.

6. Корни квадратного уравнения вычисляют по формуле .

7. Приведённое квадратное уравнение совпадает с уравнением общего вида, в котором .

8. Если  то справедливы формулы

.

II вариант.

1. Если - квадратное уравнение, то называют коэффициентом, с-членом.

2. Уравнение .

3. Уравнение вида называют квадратным уравнением.

4. Корни квадратного уравнения вычисляют по формулам

5. Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, если .

6. Квадратное уравнение вида называют .

7. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна коэффициенту, взятому с знаком, а произведение корней равно члену.

8.Если числа .

2. Устная работа. Даны задания на определение вида квадратного уравнения.

В каждом из столбиков уравнения собраны по определённому признаку. Найти уравнение лишнее в каждой группе.

а)        б)    

Ответы:

а) 3 уравнение лишнее, т.к. это полное квадратное уравнение, а остальные – неполные квадратные уравнения;                                                                                         б) 2 уравнение лишнее, т.к. это полное квадратное уравнение общего вида, а остальные приведённые квадратные уравнения.

- Как можно решить приведённое квадратное уравнение?

По формуле корней квадратного уравнения и по теореме Виета.

- Сформулировать теорему Виета.

При работе с данной теоремой используется таблица (слайд) №1.  

- А можно ли использовать теорему Виета при решении квадратного уравнения общего вида ?

Идёт работа с другой таблицей (слайд) №2.                                  

III. Закрепление раннее изученного материала.

- Выполнение заданий с использованием прямой и обратной теоремы Виета.

1. Задание. (Условие заранее написано на доске или проектируется через компьютер, слайд №3)

Дано уравнение:

Не решая его, найти:

1. сумму корней …
2. произведение корней …
3. квадрат суммы корней …
4. удвоенное произведение корней …
5. 
6. подобрать корни …

2. Задание (устно) (слайд №4).

-В каком из этих уравнений корни будут иметь одинаковый знак? Различные знаки? Для приведённых квадратных уравнений найдите подбором корни и выполните проверку.

3. Задание. Составить квадратное уравнение, если известны его корни. (Идёт коллективная работа над выполнением этого задания).

Пусть .

Решение: если

4. Задание. (Самостоятельная работа в двух вариантах, одновременно двое учеников работают у закрытой доски)

Составить квадратное уравнение. I вариант:

II вариант: .

IV. Знакомство с новым материалом.

а) Расширение понятия числа.

1. Задание. Решить квадратное уравнение, используя формулы общую и с чётным коэффициентом.

При данном значении дискриминанта уравнение не имеет решений на множестве действительных чисел.

(Учитель сообщает ученикам, что и при этом условии вполне можно найти корни квадратного уравнения. Для этого необходимо расширить понятие действительного числа множеством комплексных чисел, с которым ученики познакомились на факультативных занятиях по математике). С сообщением о новом множестве чисел выступает ученик, который и знакомит с ходом решения данного уравнения на множестве комплексных чисел.

Решение:

Вывод. Количество корней соответствует степени квадратного уравнения:

1. два действительных корня,
2. два совпадающих корня,
3. два комплексных числа.

б) Изучение нового свойства квадратных уравнений.

- Мы умеем решать квадратные уравнения различными способами: выделением квадрата двучлена, по формуле корней, с помощью теоремы Виета; убедились, что уравнение данного вида всегда имеет два корня (действительные или «мнимые» числа).

Познакомимся ещё с одним способом решения квадратных уравнений, который позволит легко и быстро находить его корни.

(Знакомство с новым свойством идёт через проверку домашнего задания. На слайде №5 записаны квадратные уравнения, которые нужно было решить дома).

Учащимся предлагается после заполнения таблицы определить некоторую закономерность:

1. в корнях этих уравнений,
2. в соответствии между отдельными коэффициентами и корнями,
3. в сумме коэффициентов.

По ходу работы учащиеся формулируют следующее правило.

Если в уравнениях то один из корней равен 1, а другой по т. Виета равен .

Запись в тетрадях. Таблица (слайд №6).                      

V. Закрепление материала.

1. Задание. Решить устно квадратные уравнения, которые можно взять из учебника.

2. Самостоятельная работа (выполняется взаимопроверка работ). (Задания заранее записаны на доске или проектируются с помощью компьютера, слайд №7)

I вариант.

II вариант.

VI. Задание на дом.

1.Придумать несколько уравнений, которые решаются с применением данного свойства.

VII. Итог урока.

Вернуться к целям, которые были поставлены на начало урока. Все ли вопросы удалось рассмотреть, на что нужно обратить внимание? Что нового для себя узнали?

Сообщение по теме: «Понятие комплексного числа».

Кроме привычных действительных (буквально - «реально существующих») чисел нам приходится рассматривать ещё числа вида  где А – положительное действительное число. Что это за числа, как их «потрогать руками» - всё это вопросы, не имеющие ответа. Мы просто договорились считать, что они есть, и вполне естественно, что такие числа были названы мнимыми, т.е. «нереальными». Но кое-что о мнимых числах мы всё же знаем. Например, что при возведении в квадрат они дают отрицательные числа ( i²=-1). Поскольку –А=А•(-1), то - это обычное действительное число. Значит любое мнимое число можно получить исходя из единственного мнимого числа , если умножить его на подходящее действительное число. Число , играющее роль «строительного блока» в мире мнимых чисел называют «мнимой единицей» и по предложению Леонарда Эйлера обозначают  буквой «i» - (от латинского слова мнимый). Итак: комплексным числом называют выражение вида  а+вi, где а и в - действительные числа, а i – мнимая единица. Например: .

Литература:                                                                                                                             1. Жохов В.И., Макарычев Ю.Н. Дидактический материал по алгебре для 8 класса. М.: Просвещение, 2007.144 с.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение. 2013, 265 с.

3. Математика, т. 11. «Энциклопедия для детей»