Развитие познавательного интереса и способностей обучающихся при подготовке к олимпиаде по математике
олимпиадные задания по алгебре (11 класс)

ФИО участника

Иванов Иван Иванович

Название ОУ

ГБПОУ КК «Армавирский аграрно - технологический техникум»

ФИО педагога, подготовившего участника

Павлов Геннадий Сергеевич

№

Задача

Ответ

Заработок Ивана за последний месяц вместе со сверхурочными составил 25000 р. Сверхурочные составляют 25% от заработной платы. Найти зарплату Ивана без сверхурочных.

Вычислить:

Прошу найдите отношенье наших лет

(Но карандаш положен Вам едва ли).

В два раза старше я, чем были Вы в момент,

Когда я был такой, каким теперь вы стали.

На доказательство пусть хватит Ваших сил

Того, что я, как ни были б Вы старше, чем я был,

Когда вам было, сколько мне сейчас,

Моложе менее чем вдвое Вас.

При каких значениях х существует угол α, удовлетворяющий уравнению

Выразить с помощью радикалов

Подобрать четыре гири так, что бы с их помощью можно было взвесить на обыкновенных весах с коромыслом любой вес в целых килограммах от 1 до 40 кг. (гири можно помещать на обе чаше весов)

Два зеркала образуют угол в два градуса. Луч света пущен по направлению, параллельному биссектрисе, в сторону его вершины. Сколько раз луч отразиться в зеркале?

При каких значениях а уравнение  имеет только целые корни.

Игра «Морской бой» происходит в квадрате 7×7. Какое наименьшее число выстрелов необходимо сделать, чтобы наверняка ранить четырехпалубный корабль, состоящий из 4 клеток, примыкающих друг к другу сторонами.

Внутри правильного треугольника взята точка, удалённая от его вершин на расстояние 3, 4 и 5 единиц. Чему равна сторона треугольника?

ФИО участника

Иванов Иван Иванович

Название ОУ

ГБПОУ КК «Армавирский аграрно - технологический техникум»

ФИО педагога, подготовившего участника

Павлов Геннадий Сергеевич

№

Задача

Ответ

Заработок Сергея за последний месяц вместе со сверхурочными составил 30000 р. Сверхурочные составляют 20% от заработной платы. Найти зарплату Сергея без сверхурочных.

Вычислить:

Реши ребус:

Известно, что . При каком значении k  y не зависит от х?

Найти наибольшее значение функции

Представить число 200 в виде разности так,  чтобы 30% уменьшаемого были равны 70% вычитаемого.

  Найти все значения х, при которых функция  принимает положительные значения

Найти значение числа а, при котором уравнения х3+ах+1=0 и х4+ах2+1=0 имеют общий корень.

Найти область определения функции

В квадрате АВСД  взята точка О так, что  угол ОАД равен углу ОДА =150. Найти угол ВОС.

Номер

Задание

1

В шифровке каждая буква обозначает какую-то одну цифру и обратно: каждая цифра зашифрована одной буквой. Найти решение этой шифровки. Сколько решений у задачи?

  ФОКУС

   ПОКУС

 ПРЕСТО

2

Решить уравнение:     24y3-26y2-1=0

3

Что больше,  сумма 

4

Упростить выражение:

5

Решить уравнение: 

6

Найти наибольшее и наименьшее значения выражения acosx+bsiny

7

Найти три последних цифры числа 

8

Изобразить схему посадки 8 кустов ромашек в 7 рядов по 3 цветка в каждом ряду.

9

Сумма цифр двузначного числа равна 9. При перестановке цифр получается число 5/6 первоначального. Найти это двузначное число.

10

Точки P и Q являются соответственно серединами оснований АВ и CD трапеции ABCD. Известно, что АВ=10CD и площадь трапеции равна 2. На боковых сторонах BC и AD взяты соответственно точки M и N так, что прямая MN параллельна основаниям трапеции. При каком значении соотношения BM:MC сумма площадей треугольников PMN и MDQ окажется наибольшей?

11

При каких значениях параметров а и b многочлен 12x4-17x2+ax+b делится без остатка на 2x2+x-1

ФИО участника

Иванов Иван Иванович

Название ОУ

ГБПОУ КК «Армавирский аграрно - технологический техникум»

ФИО педагога, подготовившего участника

Павлов Геннадий Сергеевич

№

Задача

Ответ

Студент приобретал нужные учебники в магазине «Читай по жизни». Как постоянный клиент имел скидку 20%. С 1 января цены на все издания были повышены на 20%. Студент решил, что теперь он будет платить за учебники столько, сколько остальные покупатели платили до 1 января. Прав ли студент и сколько теперь он заплатит за книгу, которая для всех покупателей стоила до повышения 300 р.

Вычислить:

Дано число - Рациональное оно или иррациональное? Привести доказательство.

При каком значении а уравнение  имеет отрицательные корни?

Подобрать четыре гири так, что бы с их помощью можно было взвесить на обыкновенных весах с коромыслом любой вес в целых килограммах от 1 до 40 кг. (гири можно помещать на обе чаши весов)

Для каких значений а разность корней уравнения  равна 3?

Решить неравенство:

Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом. Найти расстояние от точки касания до их общей внешней касательной.

Координаты двух вершин равностороннего треугольника АВС А(0;0), В(1;1). Найти координаты вершины С.

Построить график функции

чертеж выполняется от руки на листе в клетку, сканируется (или фотографируется), вставляется ниже задания.

ФИО участника

Иванов Иван Иванович

Название ОУ

ГБПОУ КК «Армавирский аграрно - технологический техникум»

ФИО педагога, подготовившего участника

Павлов Геннадий Сергеевич

№

Задача

Ответ

Студент приобретал нужные учебники в магазине «Читай по жизни». Как владелец  дисконтной карты имеет скидку 20%. С 1 января цены на все издания были повышены на 20%. Студент решил, что теперь он будет платить за учебники столько, сколько остальные покупатели платили до 1 января. Прав ли студент и сколько теперь он заплатит за книгу, которая для всех покупателей стоила до повышения 200 р.

Вычислить: 

Разложить на множители:

Какое нужно добавить слагаемое, чтобы сумма x+y+z+xy+xz+yz+xyz  разлагалась на произведение трех множителей? Какие это множители?

Расшифровать слово:

Определить границы, в которых должно заключаться m, что бы корни уравнения  находились между -2 и 4.

Когда утверждение 2*2=100 верно?

На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка К так, что АК=а, ВК=b. Найти СК, если АС = р.

В квадрат с площадью 1 вписан равносторонний треугольник так, что одна из вершин его совпадает с серединой стороны квадрата. Найти отношение площадей этих фигур.

Построить график функции

Инструкция по выполнению чертежа:

Чертеж выполняется от руки на листе в клетку, сканируется (или фотографируется), вставляется ниже задания. ЧЕРТЕЖ ДОЛЖЕН БЫТЬ ЧИТАЕМЫЙ!

Можно прислать фотографию графика отдельным файлом, фотография должна быть четкая.

ФИО участника

Иванов Иван Иванович

Название ОУ

ГБПОУ КК «Армавирский аграрно - технологический техникум»

ФИО педагога, подготовившего участника

Павлов Геннадий Сергеевич

№

Задача

Ответ

В кружке рукоделия, где занимается Миша, более 93% участников – девочки. Какое наименьшее число обучающихся может быть в кружке?

Вычислить значение выражения , если известно, что  

Число 85 разбить на два слагаемых, обратно пропорциональных числам 2 и 3

 При каких значениях параметров а и в многочлен 12х4-17х2+ах+в будет делится без остатка на 2х2+х-1?

Расшифровать буквы  К, О, Т:

Решить в натуральных числах уравнение 1!+2!+3!+…+х!=у2

Когда равенство 6*6=40 верно?

Какая линия описывается уравнением  х2+ у2 =2х? Привести его канонический вид.

При каком значении а уравнение   имеет отрицательные корни?

Построить график функции

Инструкция по выполнению чертежа:

Чертеж выполняется от руки на листе в клетку, сканируется (или фотографируется), вставляется ниже задания. ЧЕРТЕЖ ДОЛЖЕН БЫТЬ ЧИТАЕМЫЙ!

Можно прислать фотографию графика отдельным файлом, фотография должна быть четкая.

ФИО участника

Иванов Иван Иванович

Название ОУ

ГБПОУ КК «Армавирский аграрно - технологический техникум»

ФИО педагога, подготовившего участника

Павлов Геннадий Сергеевич

№

Задача

Ответ

Найти положительное число, если 45% от него составляют столько же, сколько составляют 20% от числа, ему обратного.

Определить границы, в которых должно заключаться значение z, чтобы корни уравнения  находились  между -2 и 4.

Что больше:    или  при

Величины x и y заданы как функции от параметра t.  Исключая t, получается зависимость y от x. Определить характер этой зависимости?

Дано уравнение линии . Какую линию описывает это уравнение, дать её характеристики.

Найти значение выражения , если отношение суммы чисел a  и b к их разности равно.

В сплаве олова и меди содержалось 11 кг меди. После того как в сплав добавили 7,5 кг олова, содержание олова повысилось на 33%. Какова первоначальная масса сплава?

Указать область определения функции

Может ли сторона ромба равняться его диагонали? При каких условиях?

Построить график функции

Инструкция по выполнению чертежа:

Чертеж выполняется от руки на листе в клетку, сканируется (или фотографируется), вставляется ниже задания. ЧЕРТЕЖ ДОЛЖЕН БЫТЬ ЧИТАЕМЫЙ!

Можно прислать фотографию графика отдельным файлом, фотография должна быть четкая.

ФИО участника

Название ОУ

ФИО педагога, подготовившего участника

№

Задача

Ответ

Найти положительное число, если 27% от него равны 90% от его квадрата.

Определить границы, в которых должно заключаться значение z, чтобы корни уравнения  находились  между -2 и 4.

Если выписать все натуральные числа от 1 до 837, сколько раз будет записана цифра 0?

Величины x и y заданы как функции от параметра t.  Исключая t, получается зависимость y от x. Определить характер этой зависимости?

Дано уравнение линии . Какую линию описывает это уравнение, дать её характеристики.

Найти значение выражения , если отношение суммы чисел a  и b к их разности равно.

Сколько в году может быть месяцев, имеющих пятую в этом месяце пятницу?

Указать область определения функции

В квадрате АВСД  взята точка О так, что  угол ОАД равен углу ОДА =150. Найти угол ВОС.

Построить график функции

Инструкция по выполнению чертежа:

Чертеж выполняется от руки на листе в клетку, сканируется (или фотографируется), вставляется ниже задания. ЧЕРТЕЖ ДОЛЖЕН БЫТЬ ЧИТАЕМЫЙ!

Можно прислать фотографию графика отдельным файлом, фотография должна быть четкая.