Урок алгебры и начала математического анализа
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему
Тема: Применение производной в различных областях естественных наук
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 презентация | 869.33 КБ |
 конспект урока | 117 КБ |
| задание 1 группе | 27.5 КБ |
| задание 2 группе | 27 КБ |
| задание 3 группе | 33.5 КБ |
| лист самоценки | 29.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Зачем нужна производная? 2. Где мы можем использовать её? 3. Можно ли без неё обойтись в математике и не только?
Вывод: Производная - одно из самых важных понятий математического анализа. Знание производной необходимо инженерам-технологам, конструкторам, экономистам, физикам, учёным.
Тема урока: Применение производной в различных областях естественных наук
повторить и закрепить понятие «Производной» обобщить и закрепить применение техники дифференцирования учиться работать с теоретическими вопросами темы учиться применять производную в других науках
Задачи
Оценка работы
Правила дифференцирования Производная суммы Производная произведения Производная дроби (u+v)'= u' + v‘ (uv)'=u'v+uv‘ (u/v)'=(u'v-uv')/v 2
Основные формулы некоторых элементарных функций (Сх) ‘ = х (х ) ' = рх (кх+в) ‘ =к ((кх+в) ) ‘ =р · к(кх+в)
Работа в парах
Найти производную: f ( x ) =3 x + 4 x 1 ) f ( x ) = 4 x 3 – x 2 2 ) f ( x ) = х 2 2 ) f ( x ) = 2 x 3 ) f ( x ) =(5- x ) 3 ) f ( x ) = 5-3 x 4 ) f ( x ) = 8 x 4 ) f ( x ) = (4х-2) 3
Ответы: 1. 9х +20х 1. 12х 2 -2х 2. 2х 2. 10х 3. -3(5-х) 3. -3 4. 32х 4. 12(4х-2)
Оценка работы
Применение производной в биологии, физике, жизни Дифференциальное исчисление- это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки, техники и жизни.
Работа в группах
«Физики»
«Биологи»
«Экономисты»
Оценка работы
Домашнее задание : № 810-811
Подведение итогов урока Выполнили вы задачи поставленные на уроке ? Добились цели? Попробуйте объяснить, для чего лично вам может пригодиться сегодняшнее занятие?
Спасибо за внимание! До новых встреч! Спасибо за урок ! До новых встреч!
Предварительный просмотр:
Открытый урок алгебры и начала математического анализа 11 класс (базовый уровень).
Тема урока: Применение производной в различных областях естественных наук
ЦЕЛИ УРОКА:
Учебные:
- обобщить и закрепить понятие «Производной»
- обобщить и закрепить применение техники дифференцирования
- учить работать с теоретическими вопросами темы
- научиться применять производную в других науках
Воспитательные:
Обучение навыкам: планирования деятельности, работы в оптимальном темпе, работы в группах, подведения итогов.
Развитие умения оценивать свои способности, свое положение в паре, умение контактировать с товарищами.
Воспитывать чувства ответственности и сопереживания.
Способствовать воспитанию умения работать в команде; умения критически относиться к мнению одноклассников.
Развивающие:
Развивать у учащихся умение находить нужную справочную литературу, самостоятельно добывать знания, учить самодиагностике.
Учить формированию ключевых понятий изучаемой темы.
Развитие исследовательских навыков. Развитие умения анализировать, систематизировать, интерпретировать полученные результаты.
Тип урока: интегрированный
Оборудование: компьютер, проектор, экран, раздаточный материал.
Основные этапы урока.
- Организационная деятельность. Слово учителя.
- Целеполагание..
- Актуализация знаний учащихся
- Математический диктант. Взаимопроверка.
- Работа в группах.
- Защита решений.
- Рефлексия.
- Домашнее задание.
- Итог урока.
ХОД УРОКА.
I. Вступительное слово учителя.
С каким понятием мы познакомились на предыдущих уроках? (Производная).
Одним из важнейших понятий математического анализа является производная функции. Производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной. В геометрии производная характеризует крутизну графика, в механике – скорость неравномерного прямолинейного движения, в биологии – скорость размножения колонии микроорганизмов, в экономике – отзывчивость производственной функции (выход продукта на единицу затрат), в химии – скорость химической реакции.
Т.е. Производная – это мгновенная скорость какого либо процесса, за малый промежуток времени.
II. этап: Целеполагание.
А, как вы думаете:
- Зачем нужна производная?
2. Где мы можем использовать её?
3. Можно ли без неё обойтись в математике и не только?
Вывод:
Производная - одно из самых важных понятий математического анализа. Знание производной необходимо инженерам-технологам, конструкторам, экономистам, физикам, учёным.
Сформулируйте тему урока, какие цели на урок вы поставите для себя.
Итак, наша тема урока: «Применение производной в различных областях естественных наук».
Цель :
- Повторить и закрепить понятие «Производной»
- обобщить и закрепить применение техники дифференцирования
- учиться работать с теоретическими вопросами темы
- учиться применять производную в других науках
Сформулируйте задачи урока:
- повторить правила дифференцирования
- познакомится с понятием «прозводной» в других предметных областях
- применять свои знания и умения при решении заданий
Заполнение оценочного листа
III. Актуализация знаний учащихся.
Устно повторяем правила дифференцирования суммы, произведения, частного.
Математический диктант. Открыли тетради записали число…
Найти производные функций:
1) f(x) = 3x +х 1) f(x) =4х-х
2) f(x) = x2 2) f(x) =2х
3) f(x) = (5-х) 3) f(x) =5-3х
4) f(x) =8х 4) f(х)=(4х-2)3
Проверяют и исправляют ошибки. Заполнение оценочного листа
IV. Работа в группах. Защита своих идей.
Представляют пример своего случая, объясняют решение одной задачи, соответствующей заданию . КОЗ по физике, биологии, экономике
1 группа - Применение производной в физике
Стимул | Вы инспектор ГИБДД. Вам необходимо проверить условия торможения автомобиля «А», во избежание столкновения с автомобилем «В». Для этого вам предлагается следующая работа. |
Задачная формулировка | 1)Запишите формулу нахождения скорости (учитывая понятие производной) 2) Найдите, сколько секунд автомобиль находится в движении с момента начала торможения до его полной остановки (учитывая, что конечная υ =0). 3) Рассчитайте какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки (при t найденном в пункте 2)). |
Источник информации | Движение автомобиля «А» во время торможения описывается формулой s(t) = 30t - 5t, (s - тормозной путь в метрах, t - время в секундах, прошедшее с начало торможения до полной остановки автомобиля). Автомобиль «В» находится от движущего автомобиля «А» на расстоянии 60м. Столкнутся ли автомобили? |
Бланк выполнения задания если необходим | 1) Так как скорость есть первая производная от перемещения по времени, то v = S’(t) = 2) т.к. при торможении скорость равна нулю, то 3) Тормозной путь S(t) = |
Инструмент проверки | ключ Если тормозной путь s(t)≥60м, то автомобили столкнутся. Если тормозной путь s(t)<60м, то нет. |
2 группа - Применение производной в биологии
Стимул | Вы микробиолог. Вам необходимо определить за какой период времени бактерии размножаются, во избежание заражения. Время эвакуации людей из здания составляет от 5 до 10 мин. Для этого вам предлагается следующая работа. |
Задачная формулировка | Найти скорость роста популяции: 1)в произвольный момент времени P = x’(t) = 2) в момент времени t = 1 c. 3) Произойдет ли заражение? |
Источник информации | Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции. Пусть популяция бактерий в момент t (с) насчитывает x(t)=3000+100t особей. 60 с=1 мин. |
Бланк выполнения задания если необходим | 1) Так как скорость роста популяции, есть первая производная от изменение числа особей организмов, то Р = х’(t) = 2) т.к. t = 1 c, то Р(1)= |
Инструмент проверки | ключ Если скорость роста популяции Р≥10мин, то риск заражения минимален. Если скорость роста популяции Р<5мин, то заражение неизбежно. |
3 группа - Применение производной в экономике
Стимул | Вы экономист. Вам необходимо выяснить, как меняется производительность труда с течением времени. Для этого вам предлагается следующая работа. |
Задачная формулировка | Вычислить производительность труда во время каждого часа работы 1)производительность труда в произвольный момент времени у´(t) = 2) в момент времени t = 1,2,3,4,5 ч. 3) Как меняется производительность труда в течении пяти часов? |
Источник информации | Производительность труда измеряется количеством продукции, выпущенной работником за какое-то время. Производительность труда есть производная объема выпускаемой продукции. Вычислить производительность труда во время каждого часа работы, при условии, что объем продукции у в течение рабочего дня представлен функцией у = -2t³ +10t² +50t – 16, t – время (ч). |
Бланк выполнения задания если необходим | 1) Так как производительность труда есть производная объема выпускаемой продукции, то у’(t) = 2) t = 1 ч, то у’ (1)= 3) t = 2 ч, то у’ (2)= 4) t = 3 ч, то у’ (3)= 5) t = 4ч, то у’ (4)= 6) t = 5 ч, то у’ (5)= |
Инструмент проверки | ключ Убывает или возрастает производительность труда за данный период времени. |
Заполнение оценочного листа
VI. Рефлексия. Вернемся к нашим задачам. Цели достигли?
Попробуйте объяснить, для чего лично вам может пригодиться сегодняшнее занятие?
VII. Домашнее задание. №810-811
VIII. Итог урока.
1 ГРУППА. "Тяжкое бремя ЕГЭ"
Задания В14 ЕГЭ по математике это - задачи на выполнение действий с функциями и производными функций, исследование функций. Задание на вычисление с помощью производной точек экстремума данной функции или наибольшего (наименьшего) значения данной функции на данном отрезке.
Конечно же, с необходимостью изучения способов решения прототипов В 14 связаны проблемы с тем, что с заданиями этого типа на диагностических работах справляются единицы.
Производная – одно из самых важных понятий математического анализа. Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по физике, алгебре и геометрии.
Конечно, при решении некоторых задач В14 можно увидеть методы и средства без понимания теории производной.
Настаиваю на том, чтобы вы изучили и поняли теорию, тогда никакая задача в этой теме затруднений не вызовет.
Итак, что для решения задач В14 необходимо знать:
1. Таблицу производных и правила дифференцирования.
2. Правила дифференцирования сложной функции.
3.Необходимый признак возрастания (убывания) функций.
4. Понятия экстремумов (точки минимума, максимума).
5. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.
Помимо проблемы итоговой аттестации возникают вопросы и сомнения, в какой мере приобретаемые в этой области знания могут и будут востребованы в дальнейшем, насколько оправданы как затраты времени, так и здоровья на изучение этой темы.
Перед собой поставьте вопрос: зачем нужна производная? Где мы встречаемся с производной и используем её? Можно ли без нее обойтись в математике и не только?
ЗАДАНИЯ: Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции без указания числового промежутка. Разработать и предоставить на уроке не менее трех рекомендаций к ликвидации пробелов по теме, рассказать доступно, доходчиво, используя пример.
Актуальность темы “Производная в школьном курсе математики” следует из того, что человек в повседневной деятельности постоянно сталкивается с решением задач, которые могут быть полностью описаны с помощью функций на математическом языке, а между тем производная является мощным орудием исследования функций. Тема “Производная и ее применения” является одним из основных разделов начал математического анализа. При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления. Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница, который использовал понятие бесконечно малой. Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).
2 ГРУППА "Тяжкое бремя ЕГЭ"
Задания В14 ЕГЭ по математике это - задачи на выполнение действий с функциями и производными функций, исследование функций. Задание на вычисление с помощью производной точек экстремума данной функции или наибольшего (наименьшего) значения данной функции на данном отрезке.
Конечно же, с необходимостью изучения способов решения прототипов В 14 связаны проблемы с тем, что с заданиями этого типа на диагностических работах справляются единицы.
Производная – одно из самых важных понятий математического анализа. Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по физике, алгебре и геометрии.
Конечно, при решении некоторых задач В14 можно увидеть методы и средства без понимания теории производной.
Настаиваю на том, чтобы вы изучили и поняли теорию, тогда никакая задача в этой теме затруднений не вызовет.
Итак, что для решения задач В14 необходимо знать:
1. Таблицу производных и правила дифференцирования.
2. Правила дифференцирования сложной функции.
3.Необходимый признак возрастания (убывания) функций.
4. Понятия экстремумов (точки минимума, максимума).
5. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.
Помимо проблемы итоговой аттестации возникают вопросы и сомнения, в какой мере приобретаемые в этой области знания могут и будут востребованы в дальнейшем, насколько оправданы как затраты времени, так и здоровья на изучение этой темы.
Перед собой поставьте вопрос: зачем нужна производная? Где мы встречаемся с производной и используем её? Можно ли без нее обойтись в математике и не только?
И почему бы не сосредоточить интеллектуальные ресурсы во времени и пространстве на выработку поначалу подхода к этой ситуации: как одолеть задание В14? Может, кто-то уже его победил? Может у кого-то есть верный способ, как обойти проблему? И как понять, нужно ли вообще волноваться по данному поводу?
ЗАДАНИЯ: Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на указанном промежутке. Разработать и предоставить на уроке не менее трех рекомендаций к ликвидации пробелов по теме, рассказать доступно, доходчиво, используя пример.
3 ГРУППА. "Тяжкое бремя ЕГЭ" .
Задания В14 ЕГЭ по математике это - задачи на выполнение действий с функциями и производными функций, исследование функций. Задание на вычисление с помощью производной точек экстремума данной функции или наибольшего (наименьшего) значения данной функции на данном отрезке.
Конечно же, с необходимостью изучения способов решения прототипов В 14 связаны проблемы с тем, что с заданиями этого типа на диагностических работах справляются единицы.
Производная – одно из самых важных понятий математического анализа. Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по физике, алгебре и геометрии.
Конечно, при решении некоторых задач В14 можно увидеть методы и средства без понимания теории производной.
Настаиваю на том, чтобы вы изучили и поняли теорию, тогда никакая задача в этой теме затруднений не вызовет.
Итак, что для решения задач В14 необходимо знать:
1. Таблицу производных и правила дифференцирования.
2. Правила дифференцирования сложной функции.
3.Необходимый признак возрастания (убывания) функций.
4. Понятия экстремумов (точки минимума, максимума).
5. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.
Помимо проблемы итоговой аттестации возникают вопросы и сомнения, в какой мере приобретаемые в этой области знания могут и будут востребованы в дальнейшем, насколько оправданы как затраты времени, так и здоровья на изучение этой темы.
Перед собой поставьте вопрос: зачем нужна производная? Где мы встречаемся с производной и используем её? Можно ли без нее обойтись в математике и не только?
ЗАДАНИЯ: Применение производной для нахождения точек экстремума функции. Разработать и предоставить на уроке не менее трех рекомендаций к ликвидации пробелов по теме, рассказать доступно, доходчиво, используя пример.
Оценочный лист.
Фамилия учащегося:
Вид занятий | устный счёт | индивидуальная работа | работа по группам (теория) | домашнее задание(решенные примеры) | работа в группах |
Самооценка | |||||
Оценка учителя |
Для рефлексии:
Условные знаки для самодиагностики учащегося.
+ Отлично изучил тему.
+, – Есть пробелы, но я. их решу самостоятельно.
–, + Были пробелы, но я их решил на уроке или с помощью одноклассников.
– Тема усвоена непрочно, нужна помощь учителя.
Предварительный просмотр:
Стимул | Вы микробиолог. Вам необходимо определить за какой период времени бактерии размножаются, во избежание заражения. Время эвакуации людей из здания составляет от 5 до 10 мин. Для этого вам предлагается следующая работа. |
Задачная формулировка | Найти скорость роста популяции: 1)в произвольный момент времени P = x’(t) = 2) в момент времени t = 1 c. 3) Произойдет ли заражение? |
Источник информации | Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции. Пусть популяция бактерий в момент t (с) насчитывает x(t)=3000+100t особей. 60 с=1 мин. |
Бланк выполнения задания если необходим | 1) Так как скорость роста популяции, есть первая производная от изменение числа особей организмов, то Р = х’(t) = 2) т.к. t = 1 c, то Р(1)= |
Инструмент проверки | ключ Если скорость роста популяции Р≥10мин, то риск заражения минимален. Если скорость роста популяции Р<5мин, то заражение неизбежно. |
Предварительный просмотр:
Стимул | Вы инспектор ГИБДД. Вам необходимо проверить условия торможения автомобиля «А», во избежание столкновения с автомобилем «В». Для этого вам предлагается следующая работа. |
Задачная формулировка | 1)Запишите формулу нахождения скорости (учитывая понятие производной) 2) Найдите, сколько секунд автомобиль находится в движении с момента начала торможения до его полной остановки (учитывая, что конечная υ =0). 3) Рассчитайте какое расстояние пройдет машина с начала торможения до полной ее остановки (при t найденном в пункте 2)). |
Источник информации | Движение автомобиля «А» во время торможения описывается формулой s(t) = 30t - 5t, (s - тормозной путь в метрах, t - время в секундах, прошедшее с начало торможения до полной остановки автомобиля). Автомобиль «В» находится от движущего автомобиля «А» на расстоянии 60м. Столкнутся ли автомобили? |
Бланк выполнения задания если необходим | 1) Так как скорость есть первая производная от перемещения по времени, то v = S’(t) = 2) т.к. при торможении скорость равна нулю, то 3) Тормозной путь S(t) = |
Инструмент проверки | ключ Если тормозной путь s(t)≥60м, то автомобили столкнутся. Если тормозной путь s(t)<60м, то нет. |
Предварительный просмотр:
Стимул | Вы ведущий экономист компании. Вам необходимо выяснить, как меняется производительность труда с течением времени. Для этого вам предлагается следующая работа. |
Задачная формулировка | Вычислить производительность труда во время каждого часа работы 1)производительность труда в произвольный момент времени у´(t) = 2) в момент времени t = 1,2,3,4,5 ч. 3) Как меняется производительность труда в течении пяти часов? |
Источник информации | Производительность труда измеряется количеством продукции, выпущенной работником за какое-то время. Производительность труда есть производная объема выпускаемой продукции. Вычислить производительность труда во время каждого часа работы, при условии, что объем продукции у в течение рабочего дня представлен функцией у = -2t³ +10t² +50t – 16, t – время (ч). |
Бланк выполнения задания если необходим | 1) Так как производительность труда есть производная объема выпускаемой продукции, то у’(t) = 2) t = 1 ч, то у’ (1)= 3) t = 2 ч, то у’ (2)= 4) t = 3 ч, то у’ (3)= 5) t = 4ч, то у’ (4)= 6) t = 5 ч, то у’ (5)= |
Инструмент проверки | ключ Убывает или возрастает производительность труда за данный период времени. |
Предварительный просмотр:
Лист самооценки
Ф. И. _____________________
Моя успешность на уроке
Этап урока | критерии | баллы |
1 этап: Целеполагание | Принимал активное участие – 1 балла; | |
2 этап: Работа в парах (диктант) | Выполнил задание верно 4 задания – 4 балла, Помогал товарищу – 1 балл. Итого за задание максимально: 5 баллов. | |
3 этап: Работа в группах (нахождение производной) | Верно выполнил вычисление – 1 балл, Работал активно и дружно – 1 балл, Помогал – 1 балл. Итого за задание максимально: 3 балла | |
4 этап: Рефлексия | Принимал активное участие – 1 балл. | |
Итоговый балл | ||
Оценка «5» - если набрали от 10 до 9 баллов;
Оценка «4» - если набрали от 8 до 7 баллов;
Оценка «3» - если набрали от 7 до 5 баллов.
Подчеркните полученную оценку за урок.
Достигли ли мы цели?___________________________________________
Для чего нам нужен материал, изученный сегодня?
__________________________________________________________________
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
План-конспект урока алгебры и начал математического анализа в 10 классе по теме "Синус, косинус, тангенс углов а и -а".
Материал содержит методическую разработку плана-конспекта урока алгебры и начал математического анализа в 10 классе по теме "Синус, косинус, тангенс углов а и -а"....
Методическая разработка урока алгебры и начал математического анализа в 11 классе по теме: «Степенная функция».
Методическая разработка урока алгебры и начал математического анализа в 11 классе по теме «Степенная функция» поможет изучению темы. В разработке представлены материалы для устног...
Разработка урока алгебры и начала математического анализа с применением ЭОР "Производная многочлена"
1. Тема и номер урока в теме: Производная многочлена . (урок № 2).2. Базовый учебник: С.М. Никольский, М.К. Потапов и др. Учебник для общеоб...
Материал для проведения урока алгебры и начала математического анализа в 10 классе по теме "Тригонометрические уравнения"
Материал содержит план урока, подборку уравнений и методические приемы по обеспечению усвоения обучающимися предложенной темы....
Презентация к уроку алгебра и начала математического анализа 10 класс
Предлагаю конспект открытого урока по теме: Рациональные числа. Свойства рациональных чисел, учителям, которые ведут математику в 6 классе по учебнику Виленкину....
Особенности подготовки к ЕГЭ на уроках алгебры и начал математического анализа при изучении тригонометрии
С элементами тригонометрии учащиеся начинают знакомится ещё в 8 классе, на уроках геометрии при изучении прямоугольного треугольника, ребятам вводят понятие синуса угла, косинуса угла тангенса у...
«Организация дифференцированного подхода на уроках алгебры и начал математического анализа в 11 классе. Производная и её применение»
Тип урока: урок-практикумДидактическая цель: создать условия для активизации познавательной деятельности с помощью технологии проблемного обучения и активизации обучения....