Методические рекомендации к урокам алгебры и начал анализа в 10 классе по теме: "Решение показательных уравнений и неравенств"
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Методические рекомендации по теме «Показательные уравнения и неравенства»

Решение показательных уравнений

Уравнения I вида  сводятся к уравнению   аm = аn     

                                                                (а – основание степени

Если  аm = аn  , то  m = n.                                               m,n – показатели степеней)

       Уравнения I вида решаются сведением обеих частей уравнения

к степени с одинаковым основанием.

Примеры:

1. 52 = 53x+1  основания степеней в обеих частях уравнения одинаковые (5), то «отбрасываем»   основания

2 = 3x +1 (решаем линейное уравнение )

- 3x  = -1     Ответ:   x =  

2)      28x+1 = 4 основания степеней в обеих частях уравнения разные ( 2 и 4), то надо привести левую и правую части к степени с одним (одинаковым) основанием

         28x+1 =  22  решаем, смотри пример 1 ) «отбрасываем»  основания

 8x + 1  = 2     Ответ:   x = .

3)  основания степеней разные 

     и числа  и 32 не являются целой степенью друг друга,            

    то надо привести левую и правую части   к степени с одним (одинаковым) основанием:

    т.к. = 2-3 , а   32 = 25 ,

   то  (2-3)x + 3 = (25)2x-1  ;   2-3x-9 = 210x -5;      -3x – 9  = 10x - 5;     -3x - 10x = -5 + 9;  

                                                                            -13x = 4;          Ответ: x = - .

Показательные уравнения   II  вида .

Решаются при помощи вынесения за скобки общего множителя 

  3x + 1 – 23x – 2 = 25  Распишем сумму и разность показателей, используя свойства степеней

(по свойству степени  аm + n = am  an; по свойству степени аm - n = am : an )  

    3х 3  -  2 3х : 32  = 25 запишем деление в виде дроби

   3х 3  -  = 25   общий множитель  вынесем за скобки

   3х (3 - ) = 25  выполняем действие в скобках

   3х  = 25  делим обе части уравнения на,   то 3х = 9 ;  х=2    

Ответ:     x = 2

 Показательные  уравнения     III вида

  сводятся к квадратным при помощи   введения новой переменной.

1)  9х - 43х – 45 = 0  заметим , что 9х = (32)х = (3х)2  , тогда запишем :

(3х)2  - 43х – 45 = 0   обозначим (введем новую переменную)  3х = m , получим уравнение

  m2 - 4m - 45 = 0  это квадратное уравнение относительно m,  решим его :  

      D = 196    

     m1 = 9                 m2  = -5  вернемся к прежней переменной

      3х  = 9                 3х  = -5

       х = 2                 нет решений !!!!

Ответ:  х = 2

2)  25х -65х +5 = 0 заметим , что 25х = (52)х = (5х)2  , тогда запишем :

    (5х)2 - 65х +5 = 0 обозначим (введем новую переменную)  5х = m , получим уравнение

m2 - 6m + 5 = 0  это квадратное уравнение относительно m,  решим его :    

D = 16      

m1 = 5                 m2  =  1  вернемся к прежней переменной

5х = 5                   5х =  1

 х = 1                    х = 0

Ответ:  х = 1 ; х = 0

Показательные неравенства      I вида

( аm  > аn ; аm  аn; аm  < аn ; аm  аn) решаются сведением обеих частей  неравенства  к степени с одинаковым основанием.

                          НО!!!!!          ЕСЛИ    0 < а < 1

1)  < !!!     < 1 ,    y = - убывающая  функция,

то x  >3x – 4 поменяли знак при «отбрасывании»  основания и решаем  неравенство    -2 x > - 4   | : (-2)    ;       x < 2        Ответ:   x < 2

2)   <  сведем  левую и правую части неравенства к степени с одним    

                                                                                                                                               основанием

     < ,          < 

!!!   <   1,   y =  - убывающая  функция  , 

То,  32 x +4  > 3x  поменяли знак при «отбрасывании»  оснований и решаем  неравенство

        32x – 3x > - 4;    29x >  - 4  | : 29 ;   x > -                Ответ:  x > -            

                         НО!!!!!!           ЕСЛИ    а > 1

1. 7x+3 > 75x-1     !!!    7 > 1 ;    y = 7m – возрастающая функция ,

то x + 3  >  5x-1   cохранили знак при «отбрасывании»  основания и  решаем линейное     неравенство

    x - 5x > - 1 – 3  ;       - 4x  >  - 4   | : (-4) ;    x < 1      Ответ:  x < 1

2)  16 5x – 2 <    cведем  левую и правую части неравенства к степени с одним      

                                                                                                                                               основанием

       (24)5x-2   <   2-1                ( см решение уравнений I вида)

         220x-8      <  2 -1     !!! 2 > 1 ;  y = 2m – возрастающая функция, 

то     20x – 8 <  - 1   cохранили знак  при «отбрасывании»  основания и  решаем линейное  неравенство

 20х  <  7   | : 7 ;       x <        Ответ:  x <   .

Показательные неравенства      II вида      

Начало решения аналогично решению уравнений III вида

1)  32х – 3х  –  6  <  0   обозначим (введем новую переменную)  3х = m, получим    

                                                                                                                                  неравенство

      m2 -  m – 6  <  0   это квадратное неравенство  относительно m,    

      решим его по алгоритму:

       1. найдем корни :   m1 = -2           m2  =  3  

       2.  применим метод интервалов

                      -2 < m < 3

вернемся к прежней переменной

                      -2 < 3х < 31

Левая часть этого двойного неравенства выполняется при любых значения x.

Решаем  неравенство правой части   3х < 31        3>1 ,функция возоастающая, то знак неравенства сохраняем    

                                                                x < 1                 Ответ: x < 1