Методическая разработка урока алгебры и начал анализа в 11 классе по теме "Решение нестандартных показательных уравнений"
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

      Открытый  урок  в 11 а  классе по алгебре и началам анализа.

                        ( Физико-математическая группа)

 Тема: Решение нестандартных  показательных уравнений.

 Тип урока:  Комбинированный.

 Цель урока: а) Ознакомить учащихся с некоторыми типами показательных уравнений и нестандартны                                                             методами их решения;  

                         б) углубить знания учащихся по теме: «Показательные уравнения»;

                             в) способствовать формированию умений применять приемы сравнения, обобщения

                                переноса знаний в новую ситуацию; развитию творческих способностей учеников  

                            при решении заданий, содержащих параметры.

Воспитательная цель: Бережное отношение к  нашему общему дому  «Земля», экология окружающей среды – здоровье нации.

Оборудование: Интерактивная доска, компьютер,  листы самоконтроля, маршрутные листы.

                                Изречение на доске:

         «Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены.            Всякий, кто  желает к ним   приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением. Извне он может получить только возбуждение»

                                                                                                                              А.Дистервег.

                                               Ход урока.

I .Организация урока. Вступление.

          Математика всегда была неотъемлемой и существенной составной частью человеческой культуры, она является ключом к познанию окружающего мира, этого хрупкого мира планета «Земля», дома в котором мы живем, которого, если не задумываться,  можно превратить  не в рай, а в  человеческие страдания. В конце урока мы с вами  к этому вернемся, когда будем решать показательные уравнения, связанные с радиоактивным распадом.

         И так, показательные уравнения, нестандартные показательные уравнения. Для чего нужны нам эти уравнения?  

• Во первых, для успешной сдачи ЕГЭ, так как в части С много  заданий нестандартных;
• и для поступления и  успешного  обучения в высших учебных заведениях.

Но не менее важно развивать в человеке смысл поставленной перед нам  задачи, для чего мы это делаем, зачем нам нужны еще показательные уравнения, где они применяются, может мы просто их решаем для умственного развития и закончив школу, сдав успешно экзамен, мы о них и не вспомним. Я думаю, что частично на этот вопрос мы с вами постараемся ответить на этом  уроке.

        А сейчас приступим к нашему уроку «Нестандартные показательные уравнения»,  они называются еще трансцендентными уравнениями, и методы их решения .А пока мы с вами проверим домашнее задание.

II .Проверка домашнего задания:

Решить уравнения:

1)                                                                Ответ: -3.

2)      = 32                                                         Ответ:  5.

3)      = 18                                                                  Ответ:   1.

4)                                                                 Ответ:  7.

Найти наибольший корень уравнения:

5)    =1                                                                   Ответ: 25.

( На доске примеры и ответы  и идет взаимопроверка, учащиеся выставляют  оценки на листах самоконтроля).

III. Повторение теоретического материала.

• Фронтальный опрос:

1)   Какая функция называется показательной?

2)   Какими свойствами обладает показательная функция?

3)   Какова ее область определения?

4)   Какова область изменения?

5)   Какова показательная функция по монотонности?

6)   Возрастает или убывает функция  и  почему?

а)  У=,      б)   у =   ,       в) у =      .

6)   Сформулируйте теорему о корне.

• Повторим методы решения простейших показательных уравнений на конкретных примерах. Как будете решать эти уравнения?

1 ) = 32     ( Способ уравнивания показателей), он основан на том , что ,

( а0) , то) = ;

2)   = 16 ( вынесение общего множителя за скобки  и снова уравнивание показателей);

3)   + 6 = 0 (введение новой переменной и решение квадратного уравнения, причем = t ,  где t 0, и снова уравнивание показателей);

4) ( нет решений) ;

5)    ( уравнивание коэффициентов и простейшее тригонометрическое уравнение) ;

6)    = 1 – х  ( функционально-графический метод);

7)   = 0 ( однородное уравнение, делим на  И замена переменной).

IV. Изучение нового материала. Решение нестандартных показательных уравнений.

Решить уравнение:

= 16 (Учитель на доске записывает уравнение  и ставит вопрос: «Какому типу знакомых уже нам уравнений принадлежит это уравнение и как его решить?»).

              Решение:

       Подбором видно, что х=2 – корень уравнения. Сделаем проверку  = 16.

А может, есть еще и другие корни уравнения. Докажем, что других корней нет.

 + 16. Разделим данное уравнение на   Рассмотрим  функцию

 )=     - возрастающая на R,  а   =  - убывающая на R (почему?).

    Если одна функция убывающая, а другая возрастающая , то у них только одна точка пересечения,    а значит уравнение имеет только один корень.

       Это уравнение не сложное, но требует доказательства , что других корней нет, знания свойств  показательной функции. Уравнений, которые решаются подбором очень много на ЕГЭ.

       Ответ:2

 Устно: решить уравнение = 25 (объяснение решения). Х=2.

2)  Решить уравнение

   =.

     Теорема: Пусть R – область определения функции  и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна на R ,  тогда равносильны уравнения и .  Применяя эту теорему, имеем:     х=-2 и х=1.

    Ответ: -2;  1.

    Самостоятельно:

 Решить уравнение  .

                                       Решение:

 = -однородное тригонометрическое уравнение.

   tg(х) = 1 ,     х=+ πп , где п Z .

   Ответ:+ πп , где п Z . ( взаимопроверка на листах самоконтроля )

3) Решить уравнение

=0 .  Это уравнение решается с помощью свойства  неотрицательности функции.

= 0       или    = 0, то

 = 0,

 =0 ,

 = 0.

Значит,        = 0 ,       = 0 ,

                       = 0;                            х = 4 .

       Подставив  х = 4 в первое уравнение видно, что х = 4 – корень уравнения. ( Легче всего решать всегда нужно уравнение нам уже знакомое, х-4=0, а поскольку мы решаем систему уравнений, то корень простого уравнения подставляем в уравнение нестандартное). Такие уравнения очень часто тоже встречаются на ЕГЭ.

      Ответ:  4.

      Самостоятельно:

Решить уравнение ( = 0.

Ответ: 3.

4) Решить уравнение   . Это уравнение решается с использованием числовых неравенств, а именно

  а + 2 – сумма двух взаимообратных чисел , причем если а=1 то а +  = 2 , остальных случаях неравенство больше 2.

        + 2,                      + 2,              = 1 ,                  х=0 ,

           2;2;1 ;1.

 Ответ:   0.

Самостоятельно:

 = 2 –.

Ответ: 0.

5)  При каких значениях параметра  «в» уравнение имеет два различных корня

 + 5 - 4в =0.

                                    Решение.

Ученик у доски решает уравнение с помощью учителя.

 Обозначим  = t ,   t0.

 - 2*(3в-2) t + 5 - 4в = 0. Для того , чтобы показательное уравнение имело два корня ,   должны быть положительны . Так как оба корня положительны , то необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая система неравенств:

 Д,                          2 - 4(5-4в)0,           4 - 8в + 40,           0 ,   в1,

0,                 5 - 4в 0,                                     в0,                              в0,8 ;              в0,8.

0;               2(3в-2) 0;                                      в0,8;

                                                                                                  в;

       Ответ: (0,8; 1)     (1; ∞)

       Мы решали в течение урока трансцендентные показательные уравнения, требующие нестандартного подхода к их решению. Но я вам обещала в начале урока показать их практическое применение. В новой версии ЕГЭ есть такая задача:

      Масса радиоактивного вещества уменьшается по закону  m(t)=  . В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени   изотопа натрия-24 , период полураспада которого Т=15часов. Через сколько часов содержание натрия-24 будет 3мг?

                                                           Решение.

 12* = 3 ,      =  ,        =  ,          = -2 ,       t = 30(часов).

      Ответ:  30часов.

      Вот вам и практическое применение показательных уравнений. А для чего применяется в жизни радиоактивный распад  и радиоактивные вещества ?

      Большую помощь приносят людям радиоактивные вещества в медицине при лечении одного из самых страшных заболеваний онкологии, при строительстве атомных электростанций и других промышленных отраслях. Но не надо забывать, что радиоактивные вещества приносят и огромный вред, если к ним прикасаются недобросовестные, безответственные и амбициозные люди. Вспомните, сколько горя людям принесла авария Чернобыльской атомной станции. Люди до сих пор ощущают последствие этой аварии и будут еще долго ее ощущать. А атомная бомба, сброшенная на Японские города Хиросима и Нагасаки. Самое страшное, что собрать то, что выброшено в атмосферу, никак нельзя. А то, что попало в землю распадается в течение многих сотен лет. Так распад урана составляет  7, 04* лет или 704.000.000 лет, это означает, что на протяжении сотни миллионов лет уран будет излучать радиацию, опасные для жизни, пока не превратится через миллионы лет в свинец, безопасный для жизни.

Решить уравнения:

                      Домашнее задание

1)   ;

2)      = 18 ;

3)      При каких значениях параметра «а» уравнение имеет единственное решение?

           - 3а = 0;

4)        = 1 + ;

5)      

Муниципальное  образовательное  учреждение

«Средняя  общеобразовательная  школа  №1 п. Пангоды»

Конспект  урока  по  алгебре  и  началам  анализа  в  11  классе

по  теме

«Решение  нестандартных  показательных  уравнений»

Учитель   математики Дрожина В.И.

                                                   2010 год