Свойства логарифмов
план-конспект по алгебре на тему

Историческая справка

Логарифмические вычисления возникли в XVI веке в связи с необходимостью проведения большого объема приближенных вычислений в ходе решения практических задач, и в первую очередь задач астрономии, (в частности, при определении положения судов по звездам и по Солнцу). Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла. Значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел.

Первые таблицы логарифмов были составлены швейцарским математиком Бюрги в 1590 году. Немного позднее, независимо от Бюрги, таблицы логарифмов также составил шотландский ученый Джон Непер. Непер брал за основание логарифма число, очень близкое к единице но меньшее, чем единица.

В 1614 году  Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов» (Бюрги опубликовал свои работы в 1620 году). В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов.

Термин логарифм (греч. logos - отношение и arithmos - число, т.е. "число отношений"), предложенный Непером, утвердился в науке.

Логарифмы с основанием  ввел учитель математики Спейдел.

Слово основание заимствовано из теории о степенях и перенесено в теорию логарифмов Эйлером.

Глагол “логарифмировать” появился в 19 веке у Коппе.

Коши первый предложил ввести различные знаки для десятичных и натуральных логарифмов.

Обозначения, близкие к современным ввел немецкий математик Прингсхейм в 1893 году. Именно он обозначал логарифм натурального числа через ln.

Свойства логарифмов

Конспект занятия

Тип занятия: комбинированное.

Учебная задача: Изучить свойства логарифмов; научиться преобразовывать выражения, содержащие логарифмы, используя свойства логарифмов.

Диагностируемые цели.

В результате занятия студент:

Знает:

• основные свойства логарифмов.

Умеет:        

• доказывать свойства логарифмов;
• применять свойства к решению задач (преобразованию выражений).

Понимает:

• теоретические основы доказательств свойств логарифмов.

Методы обучения: частично-поисковые методы, репродуктивный метод.

Форма работы: фронтальная.

Средства обучения: мел, доска.

Структура занятия (90 мин.):

1. Мотивационно-ориентировочный этап (15 мин.);
2. Содержательный этап (70 мин.);
3. Рефлексивно-оценочный этап (5 мин.).

Ход занятия.

1. Мотивационно-ориентировочный этап

Актуализация

- На прошлом занятии вы изучили понятие логарифма числа.

Далее преподаватель задает следующие вопросы:

-Что такое логарифм числа?

Один из студентов записывает определение логарифма числа на доске.

- Какие ограничения накладываются на параметры a и b?

- Запишите основное логарифмическое тождество.

- Какой логарифм называется десятичным, а какой - натуральным? Как они обозначаются?

Проверка домашнего задания.

Создание проблемной ситуации, мотивация

- При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Сегодня на занятии мы рассмотрим и докажем основные из них.

Постановка учебной задачи: изучить основные свойства логарифмов.

Появляется тема занятия.

II. Содержательный этап

Преподаватель ведет записи на доске, студенты одновременно с преподавателем записывают свойства и доказательства в своих тетрадях.

Свойства логарифмов

1.

Доказательство. По основному логарифмическому тождеству  и . Перемножая эти два равенства и используя свойства степени с действительным показателем, получим:

.

Отсюда, по определению логарифма числа .

Пример.

.

2.

Доказательство. По основному логарифмическому тождеству  и . Разделив первое равенство на второе, получим:

.

Отсюда, по определению логарифма числа .

Пример.

 .

3.

Доказательство.  Возводя основное логарифмическое тождество  в степень r, и используя свойства степени с действительным показателем, получим:

.

Отсюда, по определению логарифма числа .

Пример.

.

4.

Доказательство. Преобразуем выражение  , используя основное логарифмическое тождество, а также свойства степени с действительным показателем, следующим образом:

.

Далее, потенцируя обе части равенства, получим  

5.  - формула перехода к новому основанию

Доказательство. Рассмотрим основное логарифмическое тождество . Возьмем от обеих частей данного равенства логарифмы по основанию c:

.

Используя 3 свойство логарифма, получим:

.

Отсюда .

Пример.

.

Из 5 свойства получаются формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам при  и :

 и

Задания.

1. Вычислить

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

2. Выразить логарифм через десятичный

а)

б)

3. Выразить логарифм через натуральный

а)

б)

III. Рефлексивно - оценочный этап

Домашнее задание

Изучить конспект занятия;

1. Вычислить

а)

б)

в)

г)

д)

2. Выразить логарифм через натуральный

а)

б)