"Числовые функции. Графики числловых функций"
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Слайд 1

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение г. Костромы «Средняя общеобразовательная школа №3 с углублённым изучением отдельных предметов» Электронное обучающее пособие по теме: «Числовые функции. Графики числовых функций» Кострома 2017 Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

Слайд 2

Числовая функция Определение: числовой функцией называется соответствие ( зависимость ), при котором каждому значению одной переменной сопоставляется по некоторому правилу единственное значение другой переменной. Обозначение: латинскими (иногда греческими) буквами / f, q, h, y, p и т.д./ Задание: определите, какая из данных зависимостей является функциональной 1 ) x y 2 ) a q 3 ) x d 4 ) n f Для появления новой информации выполняйте щелчок левой кнопкой мыши Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

Слайд 3

Является функциональной зависимостью, т.к. каждому значению переменной n ставится в соответствие единственное значение переменной f Правильные ответы Является функциональной зависимостью, т.к. каждому значению переменной х ставится в соответствие единственное значение переменной у x y Не является функциональной зависимостью, т.к. не каждому значению переменной а ставится в соответствие единственное значение переменной q a q Не является функциональной зависимостью, т.к. одному из значений переменной х ставится в соответствие 2 значения переменной d x d n f Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

Слайд 4

Рассмотрим произвольную функцию y=f (х) Переменная х Переменная у Название переменной независимая аргумент зависимая функция Числовые значения переменной значения аргумента (выбираются произвольно) значения функции f в точке х : f(x) (зависят от х ) Множество всех допустимых значений переменой образует область определения функции D( f ) или D( y ) область значений функции для х Є D( f ) Е ( f ) или Е ( у ) Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

Слайд 5

Примеры Функция задана формулой у = Рассмотрим выражение, стоящее справа: так как выражение имеет смысл при всех значениях переменной, кроме х = -3 , х = 3, поэтому D( y )=( - ∞ ;-3) U (-3;3) U (3; + ∞ ) так как числитель дроби не может быть равен 0, поэтому Е ( у )= ( - ∞ ; 0) U (0 ; + ∞ ) Функция задана формулой у = 3sin α -5 так как выражение 3sin α -5 имеет смысл при всех значениях α , поэтому D( y )= R так как -1≤ sin α ≤ 1, то -3 ≤ 3 sin α ≤ 3, следовательно - 8 ≤ 3 sin α - 5≤ -2, поэтому Е ( у )= [ - 8 ; -2 ] Функция задана формулой у = так как выражение имеет смысл при х-1≥0 , т.е. при х≥1, поэтому D( y )= [ 1; + ∞ ) так как выражение (х – 1) стоит под знаком арифметического квадратного корня, поэтому Е ( у )= [ 0; + ∞ ) Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

Слайд 6

Числовые функции целые f(x) = p(x), где p(x) – некоторое выражение примеры: D(y) =R D(y) =R D(y) = [ -4 ;+∞) дробные , где p(x) , q(x) – некоторые выражения, D(f): q(x) ≠ 0 примеры: D(y) =R , х ≠ -2 D(y) = ( -4 ;+∞) D(y) =R , х ≠ 0,х ≠1,х ≠5 Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

Слайд 7

График функции Графиком функции f называют множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где у = f (х) , а х «пробегает» всю область определения функции . Помножество координатной плоскости является графиком какой-либо функции , если оно имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу . Задание: определите, какой из данных графиков является графиком функции Рис.1 Рис.2 Рис.3 Рис.4 у х о у х о у х о у х о Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

Слайд 8

Правильные ответы Рис.1 не является графиком функции , т.к. существуют прямые, параллельные оси Оу , имеющие более одной общей точки с линией графика Рис.2 является графиком функции , т.к. любая прямая, параллельная оси Оу, имеет не более одной общей точки с линией графика Рис.3 не является графиком функции , т.к. существуют прямые, параллельные оси Оу , имеющие более одной общей точки с линией графика Рис.4 не является графиком функции , т.к. существует прямая, параллельная оси Оу , имеющая более одной общей точки с линией графика у х у х у х о о о у х о Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

Слайд 9

Формула График Таблица Словесное описание Масса тела m прямо пропорционально зависит от его объёма V при постоянной плотности ρ . Способы задания функций х -39 -7,8 -2 0 5,4 9,1 13 15 у 2,3 0 -7 4,28 14 -8 5,5 р, ° С 2 -2 -4 t , ч 10 14 16 18 22 24 2 6 о Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

Слайд 10

Преобразование графиков функций Параллельный перенос графика функции у = f (х) вдоль оси Ох : на а единиц вправо , если а > 0 ; на | а | единиц влево , если а < 0 у = f (х- a ) Параллельный перенос графика функции у = f (х) вдоль оси Оу : на А единиц вверх , если А > 0 ; на | А | единиц вниз , если А < 0 у = f (х)+А Пример Рисунок Преобразование графика функции у= f(x) Функция у А у= f (х) у= f (х)+А А > 0 | А | у= f (х)+А А < 0 0 х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 х у 1 2 3 0 4 у 0 х у= f (х-а) а > 0 у= f (х) у= f (х-а) а < 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 х у 0 1 2 3 4 -1 Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

Слайд 11

Преобразование графиков функций / продолжение / Сжатие графика функции у = f (х) вдоль оси Ох относительно оси Оу в k раз, если k > 1 ; Растяжение графика вдоль оси Ох относительно оси Оу в раз, если 0 0 Растяжение графика функции у = f (х) вдоль оси Оу относительно оси Ох в k раз, если k > 1 ; Сжатие графика вдоль оси Оу относительно оси Ох в раз, если 0 0 Пример Рисунок Преобразование графика функции у= f(x) Функция у х 0 у= f (х) у = kf (х) , k> 1 у = kf (х) , 0 1 у = f ( k х), 0

Слайд 12

Преобразование графиков функций / продолжение / Симметричное отражение графика функции у = f (х) относительно оси Оу у = f (-х) Симметричное отражение графика функции у = f (х) относительно оси Ох у = - f (х) Пример Рисунок Преобразование графика функции у= f(x) Функция х 0 у у= f (х) у = - f (х) х у 0 у= f (х) у= f (-х) х у 0 х у 0 1 1 -1 -1 1 1 Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

Слайд 13

Преобразование графиков функций / продолжение / Часть графика функции у= f( х), расположенная в области х ≥0 , остаётся без изменения, а часть графика, расположенная в области х≤0 , заменяется симметричным отображением части графика для х ≥0 относительно оси Оу у = f ( | х | ) Часть графика функции у= f( х), расположенная ниже оси Ох , симметрично отражается относительно оси Ох , остальная часть графика остаётся без изменения у = | f (х) | Пример Рисунок Преобразование графика функции у= f(x) Функция х у 0 у= f( х) у = |f (х) | х у 0 у= f( х) у = f ( | х | ) х 0 у= х ² -1 у= | х ² -1 | у 1 -1 х 0 у 1 -1 1 у= | х |³ у= х ³ Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

Слайд 14

у = 3 – (х+1,5) ² у=х ² у=(х+1,5) ² у= -(х+1,5) ² у= 3 – (х+1,5) ² Задание 1 Построить график функции у х 0 1 1 3 -1 -1 у= 3 – (х+1,5) ² у= х ² у=(х+1,5) ² у= – (х+1,5) ² Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

Слайд 15

у = 2 sin (х – π ) у= sin х у= 2 sin х у = 2 sin (х – π ) π 2 π у х 0 -1 1 - π 2 -2 у = 2 sin (х – π ) у = sin х у = 2 sin х Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

Слайд 16

у = - cos (х+ π ) у= cos х у = cos (х+ π ) у = - cos (х+ π ) Задание 2 Определите, какие виды преобразований были использованы у = 0,5(х-1) ³ + 3 у=х ³ у=(х-1) ³ у=0,5(х-1) ³ у = 0,5(х-1) ³ + 3 Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

Слайд 17

Задание 3 Определите, какой формулой задана функция у = х ³ у = (х-2) ³ у = - (х-2) ³ у = - (х-2) ³ - 4 у = х у = х-1 у = | х-1 | Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

Слайд 18

у = х у = х-1 у = | х-1 | у х 0 1 1 -1 -1 Построение графика функции у = | х – 1 | у= | х – 1 | у= х у= х – 1 Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

Слайд 19

Информационные ресурсы Звавич Л.И., Рязановский А.Р. Справочное пособие Алгебра в таблицах, 7-11 класс – М.: Дрофа, 2015 Ковалёва Г.И. Уроки математики в 10 классе. Поурочные планы. Часть I – М.: Учитель, 2016 Колмогоров А.Н. и др. Учебник для 10-11 классов Алгебра и начала анализа – М.: Просвещение, 2012 Макарычев Ю.Н., под редакцией Теляковского С.А. Учебник для 9 класса Алгебра – М.: Просвещение, 2015 Макарычев Ю.Н., под редакцией Теляковского С.А. Учебник для 7 класса Алгебра – М.: Просвещение, 2016 Мордкович А.Г. /под редакцией/ Задачник для 10-11 классов Алгебра и начала анализа – М.: Мнемозина, 2016 Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МБОУ г. Костромы «СОШ №3 с углубленным изучением отдельных предметов»

Слайд 1

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции График функции Графиком функции f называется множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где у = f (х) , а х «пробегает» всю область определения функции f Для появления новой информации выполняйте щелчок левой кнопкой мыши Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МОУ СОШ УИНЯ №3 г.Костромы

Слайд 2

График функции Графиком функции f называют множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где у = f (х) , а х «пробегает» всю область определения функции . Помножество координатной плоскости является графиком какой-либо функции , если оно имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу . Задание: определите, какой из данных графиков является графиком функции Рис.1 Рис.2 Рис.3 Рис.4 у х о у х о у х о у х о Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МОУ СОШ УИНЯ №3 г.Костромы

Слайд 3

Информационные ресурсы Звавич Л.И., Рязановский А.Р. Справочное пособие Алгебра в таблицах, 7-11 класс – М.: Дрофа, 2003 Ковалёва Г.И. Уроки математики в 10 классе. Поурочные планы. Часть I – М.: Учитель, 2004 Колмогоров А.Н. и др. Учебник для 10-11 классов Алгебра и начала анализа – М.: Просвещение, 2008 Макарычев Ю.Н., под редакцией Теляковского С.А. Учебник для 9 класса Алгебра – М.: Просвещение, 2008 Макарычев Ю.Н., под редакцией Теляковского С.А. Учебник для 7 класса Алгебра – М.: Просвещение, 2008 Мордкович А.Г. /под редакцией/ Задачник для 10-11 классов Алгебра и начала анализа – М.: Мнемозина, 2008 Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МОУ СОШ УИНЯ №3 г.Костромы

Слайд 1

График функции Графиком функции f называют множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где у = f (х) , а х «пробегает» всю область определения функции . Помножество координатной плоскости является графиком какой-либо функции , если оно имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу . Задание: определите, какой из данных графиков является графиком функции Рис.1 Рис.2 Рис.3 Рис.4 у х о у х о у х о у х о Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МОУ СОШ УИНЯ №3 г.Костромы

Слайд 2

Правильные ответы Рис.1 не является графиком функции , т.к. существуют прямые, параллельные оси Оу , имеющие более одной общей точки с линией графика Рис.2 является графиком функции , т.к. любая прямая, параллельная оси Оу, имеет не более одной общей точки с линией графика Рис.3 не является графиком функции , т.к. существуют прямые, параллельные оси Оу , имеющие более одной общей точки с линией графика Рис.4 не является графиком функции , т.к. существует прямая, параллельная оси Оу , имеющая более одной общей точки с линией графика у х у х у х о о о у х о Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МОУ СОШ УИНЯ №3 г.Костромы

Слайд 3

Информационные ресурсы Звавич Л.И., Рязановский А.Р. Справочное пособие Алгебра в таблицах, 7-11 класс – М.: Дрофа, 2003 Ковалёва Г.И. Уроки математики в 10 классе. Поурочные планы. Часть I – М.: Учитель, 2004 Колмогоров А.Н. и др. Учебник для 10-11 классов Алгебра и начала анализа – М.: Просвещение, 2008 Макарычев Ю.Н., под редакцией Теляковского С.А. Учебник для 9 класса Алгебра – М.: Просвещение, 2008 Макарычев Ю.Н., под редакцией Теляковского С.А. Учебник для 7 класса Алгебра – М.: Просвещение, 2008 Мордкович А.Г. /под редакцией/ Задачник для 10-11 классов Алгебра и начала анализа – М.: Мнемозина, 2008 Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МОУ СОШ УИНЯ №3 г.Костромы

Слайд 1

Преобразование графиков функций Параллельный перенос графика функции у = f (х) вдоль оси Ох : на а единиц вправо , если а > 0 ; на | а | единиц влево , если а < 0 у = f (х- a ) Параллельный перенос графика функции у = f (х) вдоль оси Оу : на А единиц вверх , если А > 0 ; на | А | единиц вниз , если А < 0 у = f (х)+А Пример Рисунок Преобразование графика функции у= f(x) Функция у А у= f (х) у= f (х)+А А > 0 | А | у= f (х)+А А < 0 0 х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 х у 1 2 3 0 4 у 0 х у= f (х-а) а > 0 у= f (х) у= f (х-а) а < 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 х у 0 1 2 3 4 -1 Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МОУ СОШ УИНЯ №3 г.Костромы

Слайд 2

Преобразование графиков функций / продолжение / у = f ( k х), k > 0 у = kf (х) , k > 0 Пример Рисунок Преобразование графика функции у= f(x) Функция Растяжение графика функции у = f (х) вдоль оси Оу относительно оси Ох в k раз, если k > 1 ; Сжатие графика вдоль оси Оу относительно оси Ох в раз, если 0 1 ; Растяжение графика вдоль оси Ох относительно оси Оу в раз, если 0 1 у = kf (х) , 0 1 у = f ( k х), 0

Слайд 3

Информационные ресурсы Звавич Л.И., Рязановский А.Р. Справочное пособие Алгебра в таблицах, 7-11 класс – М.: Дрофа, 2003 Ковалёва Г.И. Уроки математики в 10 классе. Поурочные планы. Часть I – М.: Учитель, 2004 Колмогоров А.Н. и др. Учебник для 10-11 классов Алгебра и начала анализа – М.: Просвещение, 2008 Макарычев Ю.Н., под редакцией Теляковского С.А. Учебник для 9 класса Алгебра – М.: Просвещение, 2008 Макарычев Ю.Н., под редакцией Теляковского С.А. Учебник для 7 класса Алгебра – М.: Просвещение, 2008 Мордкович А.Г. /под редакцией/ Задачник для 10-11 классов Алгебра и начала анализа – М.: Мнемозина, 2008 Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МОУ СОШ УИНЯ №3 г.Костромы

Слайд 1

Преобразование графиков функций / продолжение / Симметричное отражение графика функции у = f (х) относительно оси Оу у = f (-х) Симметричное отражение графика функции у = f (х) относительно оси Ох у = - f (х) Пример Рисунок Преобразование графика функции у= f(x) Функция х 0 у у= f (х) у = - f (х) х у 0 у= f (х) у= f (-х) х у 0 х у 0 1 1 -1 -1 1 1 Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МОУ СОШ УИНЯ №3 г.Костромы

Слайд 2

Преобразование графиков функций / продолжение / Часть графика функции у= f( х), расположенная в области х ≥0 , остаётся без изменения, а часть графика, расположенная в области х≤0 , заменяется симметричным отображением части графика для х ≥0 относительно оси Оу у = f ( | х | ) Часть графика функции у= f( х), расположенная ниже оси Ох , симметрично отражается относительно оси Ох , остальная часть графика остаётся без изменения у = | f (х) | Пример Рисунок Преобразование графика функции у= f(x) Функция х у 0 у= f( х) у = |f (х) | х у 0 у= f( х) у = f ( | х | ) х 0 у= х ² -1 у= | х ² -1 | у 1 -1 х 0 у 1 -1 1 у= | х |³ у= х ³ Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МОУ СОШ УИНЯ №3 г.Костромы

Слайд 3

Информационные ресурсы Звавич Л.И., Рязановский А.Р. Справочное пособие Алгебра в таблицах, 7-11 класс – М.: Дрофа, 2003 Ковалёва Г.И. Уроки математики в 10 классе. Поурочные планы. Часть I – М.: Учитель, 2004 Колмогоров А.Н. и др. Учебник для 10-11 классов Алгебра и начала анализа – М.: Просвещение, 2008 Макарычев Ю.Н., под редакцией Теляковского С.А. Учебник для 9 класса Алгебра – М.: Просвещение, 2008 Макарычев Ю.Н., под редакцией Теляковского С.А. Учебник для 7 класса Алгебра – М.: Просвещение, 2008 Мордкович А.Г. /под редакцией/ Задачник для 10-11 классов Алгебра и начала анализа – М.: Мнемозина, 2008 Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МОУ СОШ УИНЯ №3 г.Костромы

Слайд 1

у = 3 – (х+1,5) ² у=х ² у=(х+1,5) ² у= -(х+1,5) ² у= 3 – (х+1,5) ² Задание 1 Построить график функции у х 0 1 1 3 -1 -1 у= 3 – (х+1,5) ² у= х ² у=(х+1,5) ² у= – (х+1,5) ² Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МОУ СОШ УИНЯ №3 г.Костромы

Слайд 2

у = 2 sin (х – π ) у= sin х у= 2 sin х у = 2 sin (х – π ) π 2 π у х 0 -1 1 - π 2 -2 у = 2 sin (х – π ) у = sin х у = 2 sin х Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МОУ СОШ УИНЯ №3 г.Костромы

Слайд 3

Информационные ресурсы Звавич Л.И., Рязановский А.Р. Справочное пособие Алгебра в таблицах, 7-11 класс – М.: Дрофа, 2003 Ковалёва Г.И. Уроки математики в 10 классе. Поурочные планы. Часть I – М.: Учитель, 2004 Колмогоров А.Н. и др. Учебник для 10-11 классов Алгебра и начала анализа – М.: Просвещение, 2008 Макарычев Ю.Н., под редакцией Теляковского С.А. Учебник для 9 класса Алгебра – М.: Просвещение, 2008 Макарычев Ю.Н., под редакцией Теляковского С.А. Учебник для 7 класса Алгебра – М.: Просвещение, 2008 Мордкович А.Г. /под редакцией/ Задачник для 10-11 классов Алгебра и начала анализа – М.: Мнемозина, 2008 Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МОУ СОШ УИНЯ №3 г.Костромы

Слайд 1

у = - cos (х+ π ) у= cos х у = cos (х+ π ) у = - cos (х+ π ) Задание 2 Определите, какие виды преобразований были использованы у = 0,5(х-1) ³ + 3 у=х ³ у=(х-1) ³ у=0,5(х-1) ³ у = 0,5(х-1) ³ + 3 Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МОУ СОШ УИНЯ №3 г.Костромы

Слайд 2

Информационные ресурсы Звавич Л.И., Рязановский А.Р. Справочное пособие Алгебра в таблицах, 7-11 класс – М.: Дрофа, 2003 Ковалёва Г.И. Уроки математики в 10 классе. Поурочные планы. Часть I – М.: Учитель, 2004 Колмогоров А.Н. и др. Учебник для 10-11 классов Алгебра и начала анализа – М.: Просвещение, 2008 Макарычев Ю.Н., под редакцией Теляковского С.А. Учебник для 9 класса Алгебра – М.: Просвещение, 2008 Макарычев Ю.Н., под редакцией Теляковского С.А. Учебник для 7 класса Алгебра – М.: Просвещение, 2008 Мордкович А.Г. /под редакцией/ Задачник для 10-11 классов Алгебра и начала анализа – М.: Мнемозина, 2008 Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МОУ СОШ УИНЯ №3 г.Костромы

Слайд 1

Задание 3 Определите, какой формулой задана функция у = х ³ у = (х-2) ³ у = - (х-2) ³ у = - (х-2) ³ - 4 у = х у = х-1 у = | х-1 | Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МОУ СОШ УИНЯ №3 г.Костромы

Слайд 2

у = х у = х-1 у = | х-1 | у х 0 1 1 -1 -1 Построение графика функции у = | х – 1 | у= | х – 1 | у= х у= х – 1 Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МОУ СОШ УИНЯ №3 г.Костромы

Слайд 3

Информационные ресурсы Звавич Л.И., Рязановский А.Р. Справочное пособие Алгебра в таблицах, 7-11 класс – М.: Дрофа, 2003 Ковалёва Г.И. Уроки математики в 10 классе. Поурочные планы. Часть I – М.: Учитель, 2004 Колмогоров А.Н. и др. Учебник для 10-11 классов Алгебра и начала анализа – М.: Просвещение, 2008 Макарычев Ю.Н., под редакцией Теляковского С.А. Учебник для 9 класса Алгебра – М.: Просвещение, 2008 Макарычев Ю.Н., под редакцией Теляковского С.А. Учебник для 7 класса Алгебра – М.: Просвещение, 2008 Мордкович А.Г. /под редакцией/ Задачник для 10-11 классов Алгебра и начала анализа – М.: Мнемозина, 2008 Фролова Ольга Викторовна, учитель математики МОУ СОШ УИНЯ №3 г.Костромы