Итоговое повторение курса алгебры 7-9 классов
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс) по теме

Разработка системы итогового повторения курса алгебры 7–9-х классов

Примерное планирование учебного времени:

ИТОГО: 26 уроков

Данная система итогового повторения ориентирована на учащихся 9 классов. Задания, расположенные над чертой, охватывают базовый уровень, а расположенные под чертой – повышенный уровень. Задания базового уровня предполагают выбор ответа (если в задании не оговорено обратное), задания повышенного уровня требуют записи решения и ответа. Тестовая работа по текстовым задачам предполагает запись ответа (для задач над чертой).

Тестовая работа по теме «Числа. Числовые и буквенные выражения»

1) Вычислить: .

а)             б)             в)             г)

2) Найти значение выражения  при

а)             б)             в)             г)

3) Упростить выражение  и найти его значение при

а)             б)             в)             г)

4) Привести подобные слагаемые в выражении

а)             б)            в)             г)

___________________________________________________________________

5) Записать в виде выражения утроенное произведение разности чисел  и  и суммы чисел  и .

6) Доказать, что значение выражения                                                                            не зависит от значений и .

Тестовая работа по теме «Функции и их графики»

1) Графиком линейной функции является:

а)     б)     в)     г)

2) Графиком квадратичной функции является:

а)     б)     в)     г)

3) Гипербола является графиком функции:

а)     б)     в)     г)

4) Дана функция  Выбрать верные утверждения:

а)     б)     в)     г)

5) Найти область определения функции .

а)     б)     в)     г)

6) Какая из следующих функций определена в точке ?

а)     б)     в)     г)

7) Установить соответствие между функцией и эскизом её графика:

1.      2.      3.      4.

____________________________________________________________________

8) Найти координаты точек пересечения графиков функций  и .

9) Привести пример функции, которая определена на всей числовой прямой, за исключением точек .

Тестовая работа по теме «Решение уравнений и их систем»

1) Решить уравнение

а)     б)    в)     г)

2) Корнем уравнения  является число:

а)     б)    в)     г)

3) Выбрать уравнение, не сводящееся к квадратному:

 а)     б)    в)     г)

4) Наименьшим корнем уравнения  является число:

а)     б)    в)     г)

5)  Решить уравнение  и выбрать промежуток, в котором расположены его корни:

а)     б)    в)    г)

6) Решить систему уравнений

а)     б)    в)    г)

7) Решить систему уравнений

а) б)  в)  г)

___________________________________________________________________

8) Решить уравнение

9) Найти максимальный отрицательный корень уравнения                                      .

10) Решить уравнение

11) Как должны быть связаны параметры  и , чтобы система уравнений  имела хотя бы одно решение?

Тестовая работа по теме «Решение неравенств и их систем»

1) Решить неравенство

а)     б)    в)    г)

2) Промежуток  входит в решение неравенства:

а)     б)    в)    г)

3) При каких значениях  функция  принимает неотрицательные значения?

а)     б)    в)                   г)

4) Решить неравенство  методом интервалов.

а)     б)    в)                  г)

5) Найти область определения функции

а)     б)     в)    г)

6) На рисунке изображено решение системы неравенств:

а)     б)     в)    г)

7) Найти область определения функции

а)     б)     в)    г)

__________________________________________________________________

8) Решить неравенство .

9) В выражении  найти область допустимых значений переменных  и  и изобразить её на координатной плоскости.

Тестовая работа по теме «Преобразование рациональных выражений»

1) Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в выражении                          

а)     б)    в)    г)

2) Упростить выражение

а)     б)    в)    г)

3) Упростить выражение

а)     б)    в)    г)

4) Разложить на множители многочлен  (записать ответ)

5) Выполнить сложение дробей:  (записать ответ)

6) Выполнить деление дробей:  (записать ответ)

___________________________________________________________________

7) Упростить выражение

8) Сократить дробь

9) Выполнить деление:

Тестовая работа по теме «Преобразование иррациональных выражений»

1) Найти значение выражения  

а)     б)     в)    г)

2) Сравнить числа  

а)     б)     в)    г)

3) Внести множитель под знак корня:

а)     б)     в)    г)

4) Вынести множитель из-под знака корня:

а)     б)     в)    г)

5) Выражение  равно:

а)     б)     в)    г)

6) Упростить выражение  .

а)     б)     в)    г)

___________________________________________________________________

7) Упростить выражение .

8) Упростить выражение

9) Вынести множитель из-под знака корня: .

10) Внести множитель под знак корня:  

Тестовая работа по теме «Прогрессии»

1) Установить соответствие между последовательностью и её характеристикой:

1. Арифметическая прогрессия;

2. Последовательность, являющаяся одновременно и арифметической и геометрической прогрессией;

3. Геометрическая прогрессия;

4. Последовательность, не являющаяся прогрессией.

а)

б)

в)

г)

2) Найти сумму первых пяти членов арифметической прогрессии

а)     б)     в)    г)

3) Первый член арифметической прогрессии равен 3, а третий член равен 11. Какое из следующих чисел является членом этой прогрессии?

а)     б)     в)    г)

4) Геометрическая прогрессия задана формулой . Найти сумму первых пяти её членов.

а)     б)     в)    г)

5) Дана геометрическая прогрессия   Найти отношение

а)     б)     в)    г)

__________________________________________________________________

6) Дана арифметическая прогрессия  43; 40; … .  Найти

7) Найти все значения , при которых числа  взятые в указанном порядке, образуют геометрическую прогрессию.

Тестовая работа по теме «Комбинаторика и теория вероятностей»

1) Ученик готовится к конференции. Для подготовки ему нужно выбрать одну тему по математике и одну по физике. Ему предлагается 9 тем по математике и 7 тем по физике. Сколькими способами ученик может выбрать две темы?

а)     б)     в)    г)

2) Вычислить

а)     б)     в)    г)

3) Вычислить  

а)     б)     в)    г)

4) В классе 24 человека. Из них необходимо выбрать старосту класса, его заместителя и дежурного по журналу. Сколькими способами это можно сделать?

а)     б)     в)    г)  

5) В библиотеке имеется 8 книг по математике – 5 по комбинаторике и 3 по теории вероятностей. Петя наугад берёт с полки книгу. Какова вероятность того, что это книга по теории вероятностей?

а)     б)     в)    г) .

6) После внедрения новой технологии на производство на 1000 исправных чайников приходится 5 дефектных. Какова вероятность, что купленный из одной партии чайник окажется исправным?

а)     б)     в)    г) .

__________________________________________________________________

7) Внутри квадрата со стороной 10см расположен квадрат со стороной 3см. Внутри большого квадрата случайным образом отмечается точка. Какова вероятность, что эта точка окажется внутри маленького квадрата?

8) Монету подбрасывают 3 раза подряд. Какова вероятность того, что в первый раз выпадет орёл, а второй и третий - решка?

Тестовая работа по теме «Решение текстовых задач»

1) Магазин продал до обеда  привезённого картофеля, а после обеда -  остатка. После этого осталось продать ещё 2,6т картофеля. Сколько тонн картофеля привезли в магазин?

2) Проволоку длиной 578м разделили на три части. Первая часть на 23м длиннее второй, третья часть в 3 раза длиннее второй. Найти длину каждой части.

3) Моторная лодка прошла 35км вверх по реке и на 18км поднялась по её притоку, затратив на весь путь 8ч. Скорость течения в реке на 1км/ч меньше скорости течения в её притоке. Найти скорость течения в реке, если скорость лодки в стоячей воде 10км/ч.

4) Цена товара повысилась на 30% и составляет теперь 91р. Сколько стоил товар до повышения цены?

5) Товар стоил 1000р. Его цену сначала увеличили на 10%, а потом уменьшили на 10%. Изменилась ли цена товара? Если да, то на сколько?

6) Моторная лодка проплыла 48км по течению за 3ч, а против течения – за 4ч. Найти скорость течения.

7) За одно и то же время токарь обтачивает 6 деталей, а его ученик – 4 детали. Сколько деталей обточит ученик за то же время, за которое токарь обточит 27 деталей?

________________________________________________________________

8) Имеется 500г 40%-го раствора кислоты. Сколько воды необходимо добавить, чтобы получить 25%-й раствор кислоты?

9) Свежие фрукты содержат 72% воды, а сухие – 20%. Сколько сухих фруктов получится из 40кг свежих?

Итоговая тестовая работа

1) Вычислить  .

а)     б)     в)    г)

2) Между какими соседними целыми числами расположено число

а)     б)     в)    г)

3) 30% класса и ещё 5 человек пошли в кино, а оставшиеся  класса и ещё 8 человек – на экскурсию. Сколько человек в классе?

а)     б)     в)    г)

4) Расположите в порядке возрастания числа

а)     б)     в)    г)

5) Выразить из соотношения  величину .

а)     б)     в)                                                  г)

6) Упростить выражение  и найти значение полученного выражения при

а)     б)     в)    г)

7) Упростить выражение  и найти значение полученного выражения при

а)     б)     в)    г)

8) Известно, что . Тогда коэффициент  равен:

а)     б)     в)    г)

9) Решить уравнение

а)     б)     в)    г)

10) Решить неравенство

а)     б)     в)    г)

11) Параболы  и  пересекаются в двух точках. Записать ординату той точки, которая имеет отрицательную абсциссу.

а)     б)     в)    г)

12) Известно, что . Отсюда следует, что:

а)     б)     в)    г)

13) Решить систему    Выбрать верное утверждение:

а)     б)     в)                                                              г)

14) Даны арифметические прогрессии. Выбрать ту, разность которой максимальна:

а)

б)

в)

г)

15) Из предложенных функций выбрать ту, графиком которой целиком лежит выше прямой .

а)     б)     в)    г) .  

16) Найти область определения функции .

а)     б)     в)    г)

____________________________________________________________________

17) На складе хранится 20кг крыжовника, содержащего 99% воды. Через некоторое время хранения крыжовник стал содержать 98% воды. Какова теперь масса крыжовника?

18) Цена чайника сначала увеличилась на 35%, а затем уменьшилась на 40%. Дешевле или дороже стал стоить чайник? На сколько процентов?

19) Изобразить на координатной плоскости решение системы неравенств

20) Решить уравнение  

Ответы к тестовым работам

Тестовая работа по теме «Числа. Числовые и буквенные выражения»

1) в;  2) в;  3) а;  4) в;  5) ;  6) выражение тождественно равно -2.

Тестовая работа по теме «Функции и их графики»

1) б;  2) а;  3) в;  4) а, в, г;  5) в;  6) в;  7) 1в, 2г, 3а, 4б;  8)                          9)  .

Тестовая работа по теме «Решение уравнений и их систем»

1) в;  2) в;  3) б;  4) б;  5) г;  6) в;  7) в;  8)   9) ;  10) 2;  11)

Тестовая работа по теме «Решение неравенств и их систем»

1) а;  2) б;  3) г;  4) б;  5) в;  6) в;  7) в;  8)   9) кольцо с центром в начале координат. Меньший радиус 2, больший радиус 3.

Тестовая работа по теме «Преобразование рациональных выражений»

1) а;  2) б;  3) а;  4) ;  5) ;  6) ;  7) ;  8)                        9)

Тестовая работа по теме «Преобразование иррациональных выражений»

1) в;  2) а;  3) г;  4) в;  5) в;  6) б;  7) ;  8)   9) ;                                               10) .

Тестовая работа по теме «Прогрессии»

1) 1г, 2в, 3а, 4б;  2) а;  3) б;  4) в;  5) б;  6) 86;  7) .  

Тестовая работа по теме «Комбинаторика и теория вероятностей»

1) г;  2) г;  3) б;  4) а;  5) в;  6) а;  7) ;  8)  

Тестовая работа по теме «Решение текстовых задач»

1) 4;  2) 134, 111, 333;  3) 3 км/ч;  4) 70 рублей;  5) уменьшилась на 10 рублей;  6) 2 км/ч;  7) ;  8) ;  9) 14кг.  

Итоговая тестовая работа

1) б;  2) в;  3) в;  4) б;  5) а;  6) а;  7) ;  8) ;  9) б; 10) г;  11) г;  12) в;  13) в;  14) г;  15) в;  16) в;  17) 10кг;  18) дешевле на 19%;  

19) 

20).  

Анализ проведённой работы

Тестовая работа по теме «Функции и их графики» была проведена в 9 классе (28 учащихся). Выбор именно этой темы обоснован тем, что она обычно вызывает значительные трудности при изучении. Результаты оказались следующими. Все выводы относительно выполнения работы были сделаны после разбора ошибок с учащимися, выяснения, почему был выбран тот или иной ответ.

Приведём ещё одну таблицу данных:

Процент выполнения заданий 1) и 2) достаточно высокий, так как требовалось только механическое запоминание (уровень «узнавания»). Процент выполнения задания 3) ниже, так как не все учащиеся смогли сообразить, что график функции  получается из «привычного» графика функции  путём параллельного переноса и растяжения. Опрос учащихся показал - примерно половина из них считает, что гипербола, над которой провели некоторые преобразования, становится уже не гиперболой, а другой кривой. Процент выполнения задания 4) тоже достаточно высок, так как это задание, по сути, требует применения алгоритма. Всё же трудности были вызваны вариантом ответа под буквой г), так как формулировка немного отличается от формулировок под буквами а, б и в. С заданием 5) справились меньше половины учащихся. Основная проблема – несмотря на то, что практически все ученики помнят, когда определены дробь и квадратный корень, многие путают понятия объединения и пересечения множеств, а некоторые и вовсе, получив два множества, не знают, что с ними дальше делать. Довольно низкий процент выполнения задания 6) связан с неточным пониманием учащимися формулировки задания – учащиеся поняли вопрос в смысле «функция определена только в точке ». После разъяснения формулировки (в ходе обсуждения работы) выяснилось, что 89% учащихся отнесли эту задачу к разряду устных (!). Трудности выполнения задания 7) оказались связанными с «распознаванием» парабол. Учащиеся с лёгкостью различают ситуации «ветви вверх» и «ветви вниз» для случаев  Здесь же старшая степень оказалась «замаскированной» для учащихся, что и вызвало затруднение при выборе ответа. Это были задания базового уровня. Что касается заданий повышенного уровня, то первое из них оказалось трудным в силу того, что многие ученики не умеют переводить геометрический смысл формулировки в алгебраический, и наоборот. То есть, когда ученикам было предложено решить соответствующее уравнение, оно было решено всеми (!), трудность заключалась именно в том, что с «языка пересечения двух линий» нужно было перейти к «языку уравнений». Наконец, второе задание повышенного уровня вызвало трудности своей необычной формулировкой, так как на уроках с такими формулировками ученики не сталкивались. Кроме этого, даже когда ученикам был задан наводящий вопрос «Что может препятствовать тому, чтобы функция была определена в этих точках?» довольно маленькая часть учащихся вспомнила про знаменатель дроби. Однако, следует отметить, что процесс конструирования задачи был понят практически всеми учащимися.

Проведённая с учениками беседа позволила преодолеть принципиальные «барьеры» в решении задач по этой теме, поэтому, в целях повышения качества усвоения этой темы, планируется периодически, в виде математических пятиминуток, а также в качестве домашних заданий, предлагать ученикам задачи подобного рода. Часть таких заданий будет предлагаться в виде устной работы (например, перевод с языка алгебры на язык геометрии, и наоборот). Задания, требующие только запоминания или применения алгоритма, периодически будут даваться в виде фронтальной работы на уроке. Задания на нахождения области определения функции систематически будут включаться в домашние работы с последующим обсуждением на начальном этапе урока.