Дополнительная общеобразовательная общеразвивающая программа «Эврика».
рабочая программа по алгебре на тему

 Муниципальное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования     детей «Центр внешкольной работы»

Утверждена                                                                                     Утверждаю

на заседании методического совета                                Директор  МБОУ  ДОД  ЦВР

«_____»___________________20    г.                             ______________Н.В. Ульянич

Протокол №___от______________

                 Дополнительная общеобразовательная программа

                                                «Эврика».

                        Для детей и подростков от 10 до 16 лет.

                        Срок реализации 5 лет.

                                                           Автор:  Терентьева Валентина Петровна,

                                                                         педагог МБОУ ДОД «Центр                                                    

                                                                         внешкольной работы»

                             Ставропольский край, г. Нефтекумск

2009 год                                            

         Для жизни в современном обществе важным является формирование математического мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках.

        Как известно, устойчивый интерес к математике начинает формироваться в 12-15 лет. Но это не происходит само собой: для того, чтобы ребёнок начал всерьёз заниматься математикой, необходимо, чтобы на предыдущих этапах он почувствовал, что размышления над трудными, нестандартными задачами могут доставлять удовольствие. Достижению данных целей способствует дополнительное образование. Обучение в детском объединении позволяет не только углублять  знания воспитанников в предметной области, но и способствует развитию их дарований, логического мышления, расширяет кругозор. Кроме того, обучение имеет большое воспитательное значение, ибо цель обучения не только в том, чтобы осветить какой-либо узкий вопрос, но и в том, чтобы заинтересовать воспитанников предметом, вовлечь их в серьезную самостоятельную работу. В процессе математической деятельности в арсенал приемов и методов мышления естественным образом включается индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Дополнительная общеобразовательная общеразвивающая программа  «Эврика»  разработана на основе примерной программы по математике основного общего и среднего образования с учётом требований федерального компонента государственного стандарта.

          Освоение содержания программы «Эврика» способствует интеллектуальному, творческому, эмоциональному развитию обучающихся. При реализации содержания программы учитываются возрастные и индивидуальные возможности детей и подростков, создаются условия для успешности каждого ребёнка.

Программа «Эврика» содержит в основном традиционные темы занимательной математики: арифметику, логику, комбинаторику и т.д.                           Главная цель предлагаемой программы не дать определённый объём знаний, готовых методов решения нестандартных задач (всех знаний дать невозможно), но научить самостоятельно мыслить, творчески подходить к любой проблеме. Это создаст предпосылки для рождения воспитанника как математика-профессионала, но даже если это не произойдёт, умение мыслить творчески, нестандартно, не будет лишним в любом виде деятельности в будущей жизни ребёнка.

            Каждое занятие, а также все они в целом направлены на то, чтобы развить интерес школьников к предмету, познакомить их с новыми идеями и  методами, расширить представление об изучаемом в основном курсе материале.

Программа «Эврика» предлагает учащимся знакомство с математикой как с общекультурной ценностью, выработкой понимания ими того, что математика является инструментом познания окружающего мира и самого себя.

   Программа может быть эффективно использована для детей с любой степенью подготовленности, способствует развитию познавательных интересов, экономической грамотности, мышления обучающихся, предоставляет возможность подготовиться к сознательному выбору профиля обучения и дальнейшей специализации.

           Уровень сложности подобранных заданий таков, что к их рассмотрению можно привлечь значительное число воспитанников, а не только наиболее сильных.

Обучение по программе осуществляется в виде теоретических и практических занятий. В ходе занятий ребята выполняют практические работы, готовят рефераты, принимают участия в конкурсных программах. Программа соответствует современным образовательным технологиям, которые отражены в активных формах, методах и принципах построения занятий. Содержание материала показывает связь математики с другими областями знаний, иллюстрирует применение математики в повседневной жизни, знакомит воспитанников с некоторыми историческими сведениями по данной теме. Все занятия направлены на развитие интереса  к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач. Программа расширяет базовый курс математики и позволяет учащимся осознать практическую ценность математики, проверить свои способности к математике.

Вопросы, рассматриваемые в ходе обучения, тесно примыкают к основному курсу, и, обучение по программе, позволит удовлетворить познавательную активность учащихся. Кроме того, занятия будут способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, помогут оценить свои возможности по математике и осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения.

Программа «Эврика» позволяет показать обучающимся всю широту применения в жизни математического аппарата. При решении многих задач очевидны межпредметные связи с химией, физикой, экономикой, что позволяет повысить учебную мотивацию воспитанников. В настоящее  время интерес представляют также задачи финансовой математики, не только для будущих финансистов и экономистов, но и для всех людей. В жизни каждый из нас ежедневно встречается с ценами на товары и услуги. С такими задачами приходится иметь дело при оформлении в банке сберегательного вклада или кредита, покупке товара в рассрочку, при выплате пени, налогов, страхования. И именно школьная математика в ответе за то, чтобы эти встречи не оборачивались для людей финансовыми потерями. Немаловажным является тот факт, что такие задачи выразительно демонстрируют практическую ценность математики. Разработка и содержание данной программы обусловлены непродолжительным изучением некоторых тем в школьной программе: решение задач различного характера, заданий с модулем, проценты, делимость выражения в целых числах, решение уравнений различной степени, геометрические задачи. Поэтому в программе «Эврика» эти темы рассматриваются более широко.

          Также в программе много часов отводится на решение текстовых задач, которые включены в материалы итоговой аттестации за курс основной школы, в КИМы и ЕГЭ, в конкурсные экзамены. Решения текстовых задач – это деятельность, сложная для детей. Сложность ее определяется, прежде всего, комплексным характером работы: нужно ввести переменную и суметь перевести условие на математический язык; соотнести полученный результат с условием задачи и, если нужно, найти значения еще каких-то величин. Каждый из этих этапов – самостоятельная и часто трудно достижимая задача.

          Такой подбор материала преследует две цели. С одной стороны, это создание базы для развития способностей, с другой – восполнение некоторых содержательных пробелов основного курса.

       Одновременно с этим, содержание программы даёт возможность каждому ученику активно включиться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя.

          Курс является открытым, в него можно добавлять новые фрагменты, развивать тематику или заменять какие-либо сюжеты другими. Главное, чтобы они были небольшими по объему, интересными для детей, соответствовали их возможностям. Программа мобильна, т. е. дает возможность уменьшить количество задач по  одним темам и добавить по другим темам (так как многие задания предназначены на отработку навыков по одному типу задач) при установлении степени достижения результатов.

Цель программы - формирование и поддержка устойчивого интереса к математике, как предмету, интенсивное формирование деятельностных способностей, развитие логического мышления и математической речи.

Задачи:

Обучающие:

• учить способам поиска цели деятельности и её осознания;
• расширить представления об изучаемом материале;
• учить грамотной математической речи, умению обобщать и делать выводы;
• учить добывать и грамотно обрабатывать информацию;
• демонстрировать высокий уровень надпредметных умений;
• достигать более высоких показателей в основной учебе;
• синтезировать знания;
• ознакомить обучащихся с новыми идеями и методами;
• учить быть критичными слушателями.

Развивающие:

• повышать интерес к математике;
• развивать мышление в ходе усвоения таких приемов мыслительной деятельности как умение анализировать, сравнивать, синтезировать, обобщать, выделять главное, доказывать, опровергать;
• развивать навыки успешного самостоятельного решения проблемы;
• формировать умения строить математические модели реальных явлений, анализировать построенные модели, исследовать явления по заданным моделям, применять математические методы к анализу процессов и прогнозированию их протекания через работу над проектами.
• развивать умение быстрого счёта, быстрой реакции.

Воспитательные:

• воспитывать активность, самостоятельность, ответственность, трудолюбие;
• воспитывать математическую, эстетическую, графическую культуру, культуру речи;
• формировать систему нравственных межличностных отношений, культуру общения, умение работы в группах через работу над проектами и работу на занятиях объединения;
•  стремиться к формированию взаимопонимания и эффективного взаимодействия всех участников образовательного процесса, содействуя открытому и свободному обмену информацией, знаниями, а также эмоциями и чувствами через  организацию качественного коммуникативного пространства на занятиях детского объединения.

Дополнительная общеобразовательная общеразвивающая программа «Эврика» рассчитана на 5 лет обучения.

Возраст обучащихся:

• 1 год обучения – 11-12 лет;
• 2 год обучения – 12-13 лет;
• 3 год обучения – 14-15 лет;
• 4 год обучения – 15-16 лет;
• 5 год обучения – 16-17 лет.

   Математика – основа техники и теории всех естественных наук. Успехи многих наук  в значительной степени зависят от применения в этих  науках математических методов и теорий.

          Все это говорит   о необходимости  проведения систематической и упорной работы по повышению математических знаний. Однако повышение математической подготовки воспитанников не будет успешным без использования тех богатых воспитательных  средств, которыми располагает математика. Многие замечательные  люди  в  различной форме высказывали, что математика дисциплинирует ум, приучает к логическому мышлению, что она является гимнастикой ума. Математика воспитывает тех, кто ее изучает, неопровержимостью своих выводов.

        Изучение математики способствует развитию внимания, наблюдательности, воспитывает аккуратность, настойчивость и упорство в достижении цели. Изучение математики, особенно  геометрии, содействует развитию простраственного  воображения, т.е. таких свойств ума, которые очень нужны художникам, архитекторам, конструкторам, летчикам   и т.д.

         Чтобы вызвать интерес у воспитанников объединения при изучении тем программы, используются следующие формы и методы:

• проведение математических диктантов;
• решение занимательных и исторических задач;
• решение задач различными способами;
• разбор математических софизмов;
• проведение заочных математических конкурсов с поощрением победителей;
• знакомство  обучающихся с  жизнью  и  деятельностью выдающихся математиков   (Архимед, Ньютон, Лобачевский, Ковалевская и другие);
• проведение математических праздников, игр с викторинами, инсценировками-шутками, математическими играми и др.;
• подготовка и заслушивание докладов  (о теореме Пифагора, о числе π, о формуле Симпсона и др.);
• разбор задач повышенной трудности;
• проведение экскурсий с показом применения математики в жизни;
• сообщение исторических справок в процессе прохождения программы;
• выполнение сочинений по математике;
• широкое использования научно-популярной, методической и художественной литературы и интернет.

   Помимо этого, для развития исследовательской деятельности воспитанников, педагог включает выполнение творческой (исследовательской) работы.

В результате изучения программы «Эврика» обучающиеся должны:

• выполнять арифметические действия с рациональными числами, сравнивать рациональные и действительные числа; находить значение степеней с целыми и дробными показателями и корней;  находить значения числовых выражений;
• проводить тождественные преобразования рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических выражений;
• решать рациональные, дробно-рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства;
• решать системы уравнений изученными методами;
• уметь определять тип текстовой задачи, знать особенности методики её решения, используя при этом разные способы;
• уметь применять полученные математические знания в решении жизненных задач;
• применять нестандартные методы решения математических задач;

• уметь использовать дополнительную математическую литературу с целью углубления материала основного курса;

• понимать и использовать математические средства наглядности (графики, диаграммы, таблицы, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;

• решать текстовые задачи, включая задачи, связанные с отношением и с пропорциональность величин, дробями и процентами;
• составлять буквенные выражения и формулы по условию задач;  осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления, осуществлять подстановку одного выражения в другое;  выражать из формул одну переменную через остальные;
• применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и преобразований числовых выражений, содержащих квадратные корни;
• определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами; изображать множество решений линейного неравенства;
• находить значение функции, заданной формулой, таблицей, графиком, по ее аргументу; находить значение аргумента по значению функции, заданной графиком или таблицей;

• описывать свойства изученных функций, строить их графики;
•  решать геометрические задачи.

Первый год обучения.

Содержание

1-й год обучения

Тема 1. Введение в дополнительную общеобразовательную программу «Эврика».

Теория. Вводное занятие. Цели и задачи дополнительной общеобразовательной программы «Эврика», задачи 1-го года обучения.

Практика. Нулевой срез, определение ЗУН – знаний, умений и навыков. Тест на математические способности.  

Тема 2. В мире чисел.

Теория. Запись цифр и чисел у других народов, числа-великаны и числа- малютки, золотое сечение, решето Эратосфена, арифметика пифагорийцев, инструментальный счет.

Практика. Задачи-головоломки, загадки. Упражнения со спичками. Завтрак с головоломками. Числовые головоломки. Шуточные задачи и загадки. Сказки и старинные истории.

Тема 3. Математика в историческом развитии. Связь математики и других наук.

Теория. История формирования понятия числа. Зарождение алгебры. История возникновения. Отличие алгебры от математики. Великие имена: знакомство с биографией Леонарда Эйлера, Пифагора, А.Кэли, А. Мёбиуса, К. Ферма и др.

Высказывания о математике. Математика и искусство. Математика и другие естественные науки. Элементарная математика в экономике и бизнесе. Математика в повседневной жизни.

Практика. Решение задач. Ролевая игра «Я – предприниматель». Решение задач на оплату коммунальных услуг, походы в магазин и т.д.

Тема 4. Делимость чисел. Признаки делимости на 2,3,5,9 и т.д.

Теория. Делители и кратные числа. Общий делитель и общее кратное. Признаки делимости на 2, 3, 5, 10. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители.

Практика. Примеры на делимость. Разложение натуральных чисел на простые множители. Решение примеров на нахождение общего знаменателя и т.д.

Тема 5. Натуральные числа. Сложение и вычитание натуральных чисел. Умножение и деление натуральных чисел.

Теория. Обозначение натуральных чисел. Отрезок. Длина отрезка. Треугольник. Плоскость. Прямая. Луч. Шкалы и координаты. Сложение натуральных чисел и его свойства. Вычитание. Сумма последовательных чисел. Быстрое возведение в квадрат. Системы счисления. Двоичная и десятичная системы счисления. Арифметические действия в различных системах счисления. Угадывание чисел. Игры с числами и предметами. Рассказы о числах великанах. Пропорция.

Практика. Задачи на нахождение дроби от числа. Задачи на нахождение числа по заданной дроби. Задачи на проценты. Задачи на пропорцию. Задачи на расчет питательных кормов.

Тема 6. Обыкновенные дроби. Десятичные дроби. Сложение и вычитание дробей. Умножение и деление дробей.

Теория. Окружность и круг. Доли. Обыкновенные дроби. Сравнение дробей. Правильные и неправильные дроби. Сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем. Деление и дроби. Смешанные числа. Сложение и вычитание смешанных чисел. Десятичная запись дробных чисел. Сравнение десятичных дробей. Сложение и вычитание десятичных дробей. Приближенные значения чисел. Округление чисел. Умножение десятичных дробей на натуральные числа. Деление десятичных дробей на натуральные числа. Умножение десятичных дробей. Деление на десятичную дробь. Среднее арифметическое.

Практика. Решение примеров вида   +(-);; a,d +(-)c,b и др. Нахождение приближенных значений чисел. Примеры на округление чисел, примеры и задачи на умножение и деление  различных дробей.

Тема 7. Задачи на переправы, разъезды, переливания и взвешивания.

Теория. Скорость, время, расстояние и таинственные отношения между ними.

Практика. Решение задач с условием «на больше, на меньше», «в раз больше, в раз меньше». Решение задач на движение тел в противоположных направлениях. Решение задач на встречное движение. Решение задач на движение по течению и против течения. Задачи на переправы. Задачи на разъезды. Задачи на переливания. Задачи на взвешивания. Дележи при затруднительных обстоятельствах.

Тема 8. Упражнения с числами и буквами.

Теория. Числовые и буквенные выражения. Буквенная запись свойств сложения и вычитания. Уравнения.

Практика. Разгадывание ребусов с буквами. Разгадывание различных ребусов. Решение примеров и задач, уравнений.

Тема 9. Геометрические софизмы и парадоксы.

Теория. Геометрические софизмы. Геометрические парадоксы. Задача Эйлера.

Практика. Задачи на круги Эйлера. Решение парадоксов.

Тема 10. Элементы логики, комбинаторики, статистики, теории вероятностей.

Теория. Понятие комбинаторики. Правило  умножения и дерево вариантов. Размещения, сочетания, перестановки. Комбинаторная задача: перебор вариантов, правило умножения. Решение задач алгебраическим и арифметическим способом. Графы. Поиск и выявление закономерностей. перекодирование информации: коды и шифры, действия по алгоритму.

Практика. Комбинаторные задачи, задачи на нахождение вероятности 
случайного события. Решение задач на принцип Дирихле.

Тема 11. Координаты точки. Положительные и отрицательные числа

Теория. Положительные и отрицательные числа. Противоположные числа. Модуль числа и его геометрический смысл. Сравнение чисел. Целые числа. Изображение чисел на  координатной прямой. Координата точки.

Практика. Примеры на нахождение координат точки. Примеры на модуль. Решение выражений.

Тема 12. Площади и объёмы. Формулы.

Теория. Площадь. Формула площади прямоугольника. Единицы измерения площадей. Прямоугольный параллелепипед. Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда.

Практика. Нахождение объёмов различных фигур. Геометрические задачи.

Тема 13. Воспитательно-досуговые мероприятия.

Теория. Беседы по ЗОЖ, патриотическому воспитанию, профилактике экстремизма и терроризма и др.

Практика. Защита проектов «Интересные факты из жизни великих математиков». Конкурс «Смекалистых». Участие в олимпиадах. КВН по математике. Математический бой.

Тема 14. Итоговое занятие.

Практика. Итоговая аттестация. «Математическая шкатулка».

Второй год обучения.

Тема 1. Введение в программу 2 – го года обучения.

Теория. Введение в программу 2-го года обучения. Цели и задачи 2-го года обучения. Инструктаж по ТБ 

Практика. Стартовый срез, определение  ЗУН.

Тема 2. Великие математики.

Теория. Биографии и открытия математиков: А.Н. Колмогорова, Софьи Ковалевской, Рене Декарта, Евклида и др.

Практика. Подготовка рефератов о математиках.

Тема 3.Делимость чисел.

 Теория. Делимость натуральных чисел. Признаки делимости. Делители и кратные. Делимость натуральных чисел. Признаки делимости на 10, 5 и 2. Признаки делимости на 3 и на 9.   Простые и составные числа. Разложение на простые множители. Таблица простых чисел. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное. Нахождение НОК чисел m  и n. Алгоритм Евклида.

Практика. Нахождение НОК чисел m  и n. Разложение на простые множители. Решение примеров.

Тема 4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Теория. Основное свойство дроби. Сокращение дробей: сократимые и несократимые дроби. Фигурные числа. Приведение дробей к  общему знаменателю. Сравнение дробей с разными знаменателями. Сложение, вычитание дробей с разными знаменателями. Дополнительные множители.

Практика. Примеры на сложение, вычитание дробей с разными знаменателями. Вычитание суммы из числа и числа из суммы. Решение текстовых задач арифметическим способом. Вычисление с помощью калькулятора.

Тема 5. Умножение и деление обыкновенных дробей

Теория. Умножение дробей. Умножение дроби на натуральное число. Нахождение дроби от числа. Решение задач на части. Применение распределительного свойства умножения.  Умножение смешанного числа на натуральное число. Пирамида. Деление.

Практика. Примеры на умножение и деление дробей. Решение задач на части, на умножение и деление дробей.

Тема 6. Отношения и пропорции.

Теория. Отношения. Выражение отношения в процентах. Пропорции. Основное свойство пропорции. Прямая и обратная пропорциональные зависимости.  Пропорциональные величины. Масштаб. Окружность и круг. Формула. Длина окружности и площадь круга. Шар. Сфера. Золотое сечение. Круглые тела: шар, цилиндр, конус.

Практика. Решение задач на прямую и обратную пропорциональную зависимость. Решение задач на вычисление длины окружности. Нахождение площади круга.

Тема 7. Положительные и отрицательные числа. Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел. Умножение и деление положительных и отрицательных чисел.

Теория. Координаты на прямой. Координаты точки. Положительные и отрицательные числа. Противоположные числа. Изменение величин. Решение неравенств с помощью координатной прямой. Сложение чисел с помощью координатной прямой.  Сложение отрицательных чисел. Правило сложения отрицательных чисел. Сложение чисел с разными знаками. Вычисление с помощью калькулятора. Изображение чисел точками на координатной прямой. Длина отрезка. Вычитание отрицательных и положительных чисел. Умножение и деление положительных и отрицательных чисел. Степень с рациональным показателем. Рациональные числа. Сравнение рациональных чисел. Свойства действий с рациональными числами. Арифметические действия с рациональными числами.

Практика. Нахождение координаты точки. Вычисление длины отрезка. Примеры на вычитание и сложение чисел. Сравнение чисел. Вычисление степени с рациональным показателем. Примеры на умножение и деление положительных и отрицательных чисел.

Тема 8. Теория вероятностей. 

  Теория. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет  их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

Практика. Решение задач на нахождение вероятности. Сумма вероятностей  и т.д.

Тема 9. Модуль числа. Построение графиков функций с модулями. Решение уравнений с модулями. 

Теория. Модуль числа (абсолютная величина). Геометрический смысл модуля  числа. Сравнение чисел. Сравнение рациональных чисел. Решение уравнений с модулем.

Практика.  Примеры вида=; и т.д.

Тема 10. Выражения, тождества, уравнения. Преобразование выражений

Теория. Раскрытие скобок. Простейшие преобразования.  Коэффициент. Числовой коэффициент выражения. Подобные слагаемые. Приведение подобных слагаемых. 

Практика. Решение примеров вида 2*(a² ± 2ab+b²)=2a² ± 4ab+2b²; х2 ( х5-х3+2х-1)=х10+х5+2х3- х2 ; решение уравнений вида и т.д.

Тема 11. Координаты на плоскости.

Теория. Перпендикулярные прямые. Построение перпендикуляра к прямой. Параллельные прямые. Осевая симметрия. Построение параллельных прямых  с помощью угольника и линейки. Координатная плоскость. Прямоугольная система координат на плоскости. Абсцисса и ордината. Столбчатые диаграммы. Примеры диаграмм представление данных в виде таблиц и диаграмм. Графики. Примеры графиков. Длительность процессов в окружающем мире. Примеры реальных процессов.

Практика. Построение перпендикуляра к прямой. Осевая симметрия в жизни  и в геометрии. Построение параллельных прямых  с помощью угольника и линейки. Построение диаграмм, графиков, приведение реальных процессов и составление таблиц.

Тема 12. Уравнения с одной переменной. Системы линейных уравнений

Теория. Определение линейного диофантова уравнения. Частное решение уравнения. Общее решение уравнения. Способы решения диофантовых уравнений. Решение уравнений. Решение уравнений с одной переменной. Корни уравнения. Решение линейных уравнений. Правила решения линейных уравнений. Система линейных уравнений. Метод подстановки. Метод Гаусса. Алгоритм решения систем уравнений методом Гаусса.

Решения текстовых задач с помощью линейных уравнений.

Практика. Решение уравнений вида: ; Решение систем уравнений вида различными методами. Решения текстовых задач с помощью линейных уравнений.

Тема 13. Начальные геометрические сведения 

Теория. Простейшие геометрические фигуры: прямая, точка, отрезок, луч, угол. Понятие равенства геометрических фигур. Сравнение отрезков и углов. Измерение отрезков, длина отрезка. Измерение углов, градусная мера угла. Смежные и вертикальные углы, их свойства. Перпендикулярные прямые.

Практика. Построение простейших геометрических фигур, сравнение отрезков, углов. Решение задач.

Тема 14.  Формулы сокращенного умножения

Теория. Формулы (а - b )(а + b ) = а2 - b 2, (а ± b)2 = а2± 2а b + b2, (а ± b)3 = а3 ± За2 b + За b2 ± b3,  (а ± b) (а2  + а b + b2) = а3 ± b3. Применение формул сокращённого умножения в преобразованиях выражений.

Практика.  Упрощение выражений вида 4(1 – с)2 +8с, 3(у – 1)2 +6у и др. Применение формул сокращённого умножения в преобразованиях выражений.

Тема 15. Функции. Функции и их графики.

Теория. Функция, область определения функции. Вычисление значений функции по формуле. График функции. Прямая пропорциональность и ее график. Линейная функция и её график.

Практика. Определение области определения функции. Вычисление значений функции по формуле. Построение графиков линейной функции  y=kx+b

Тема 16. Степень с натуральным показателем. Степень и ее свойства.

Теория. Степень с натуральным показателем и ее свойства. Одночлен. Функции у=х2, у=х3 и их графики.

Практика. Вычисление степеней вида у=х2, у=х3 . Решение примеров вида ах2 = и т.д. Построение квадратичной функции вида  y=kx2  , кубической функции  y=x3  

Тема 17. Воспитательно-досуговая деятельность.

Теория. Беседы по ЗОЖ, профилактике ДДТТ, суицида, по гражданско-патриотическому воспитанию.

Практика. Участие в мероприятиях центра. Участие в работе НОУ.

Тема 18. Итоговое занятие.

Теория.  Итоговая диагностика. 

Практика. Создание книжки-малышки «Желающему стать математиком».

Третий год обучения.

Тема 1. Введение в программу 3-го года обучения.

Теория. Введение в программу 3-го года обучения. Инструктаж по ТБ.

Практика. Стартовый срез, определение  ЗУН.

Тема 2. Великие математики.

Теория. П. И. Чебышев, В. А. Стеклов, Франсуа Виет. Трагическая судьба Эвариста Галуа. Н. И. Лобачевский – великий реформатор геометрии.

Практика. Написание рефератов.

Тема 3. Многочлены. Формулы сокращенного умножения.

Теория. Одночлены и многочлены. Стандартный вид одночлена, многочлена. Коэффициент одночлена. Степень одночлена, многочлена. Действия с одночленами и многочленами. Разложение многочлена на множители. Формулы сокращенного умножения. Способы разложения многочлена на множители.

Практика. Преобразование тождеств по формулам: , (а ± b)2 = а2± 2а b + b2, (а ± b)3 = а3 ± За2 b + За b2 ± b3,  (а ± b) (а2  а b + b2) = а3 ± b3 Решение примеров на разложение на множители.

Тема 4. Функции и их свойства

Теория. Область определения и область значений функции. Свойства функции. Нули функции. Промежутки монотонности и промежутки знакопостоянства функций. Функция у=ах2, и ее график. График функции у=ах2 +n . График функции у = а( х- m)2 График функции у=ах2 + вх+с, ее свойства и график.

Практика. Нахождение области определения и области значений функции. Определение свойств функции. Нахождение нулей функции. Определение промежутков монотонности и промежутков знакопостоянства функций. Построение графиков.

Тема 5. Рациональные дроби и их свойства Сумма и разность дробей Произведение и частное дробей

Теория. Рациональные дроби и их свойства. Рациональные выражения.  Основное свойство дроби. Сокращение дробей.                                             Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.  Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.                                                              Умножение дробей. Возведение дроби в степень. Деление дробей.          Преобразование  рациональных выражений. Функция  и ее график.

Практика. Преобразование выражений вида  ; решение дробных уравнений. Примеры на возведение дроби в степень и деление дробей.   Построение функций вида        

Тема 6. Четырехугольники. Треугольники.

Теория. Четырёхугольники. Многоугольники. Параллелограмм и трапеция.  Прямоугольник, ромб. Теорема о равенстве углов со взаимно перпендикулярными сторонами; свойства средней линии трапеции. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора. Теорема синусов и косинусов. Основные тригонометрические тождества. Теорема о точках пересечения медиан, биссектрис, высот треугольника; свойство медианы в прямоугольном треугольнике, свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника; метрические соотношения в прямоугольном треугольнике; метрические соотношения в параллелограмме, «удлинение» медианы, обобщенная теорема подобия, задачи на отыскание основных элементов треугольника.

Вписанные и описанные окружности. Определение подобных треугольников. Признаки подобия треугольников. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Практика. Решение четырёхугольников, многоугольников. Решение теоремы Пифагора . Решение вписанных и описанных окружностей. Решение задач на подобные треугольники и признаки подобия треугольников.

Тема 7. Площадь. Окружность

Теория. Площадь многоугольника. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. Применение разнообразных формул площади треугольника. Площади подобных фигур. Касательная к окружности. Центральные и вписанные углы. Четыре замечательные точки треугольника. Вписанная и описанная окружности. Решение задач по теме «Вписанные и описанные окружности». Окружности вписанные и описанные около треугольника. Применение формул  , ,  .

Практика. Решение задач на нахождение площадей. Решение геометрических задач, опираясь на изученные свойства фигур и отношения между ними, с применением дополнительных построений, алгебраического и

тригонометрического аппарата.

Тема 8.  Векторы.

Теория. Вектор. Длина (модуль) вектора. Равенство векторов. Операции над векторами: умножение вектора на число, сложение, разложение. Синус, косинус и тангенс углов от 0 до 180. Угол между векторами. Теорема синусов и теорема косинусов. Формула, выражающая площадь треугольника через две стороны и угол между ними. Скалярное произведение векторов.

Практика. Простейшие задачи в координатах. Применение векторов к решению задач. Примеры их применения для вычисления элементов треугольника.

Тема 9. Квадратные корни

Теория. Действительные числа: рациональные числа, иррациональные числа. Арифметический квадратный корень: квадратные корни, арифметический квадратный корень. Уравнение х = а2. Нахождение приближенных значений квадратного корня. Функция  и ее график. Свойства арифметического квадратного корня: квадратный корень из произведения и дроби.  Квадратный корень из степени.  Внесение множителя под знак корня.

Практика. Применение свойств арифметического квадратного корня: вынесение множителя за знак корня. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни.

Тема 10. Уравнения и системы уравнений  

Теория. Квадратные уравнения. Неполное квадратное уравнение. Теорема Виета о корнях уравнения. Целое уравнение и его корни. Решение уравнений третьей и четвертой степени с одним неизвестным с помощью разложения на множители и введения вспомогательной переменной. Уравнение с двумя переменными и его график. Уравнение окружности. Решение систем, содержащих одно уравнение первой, а другое второй степени. Решение задач методом составления систем. Решение систем двух уравнений второй степени с двумя переменными. Решение дробных рациональных уравнений. Возвратные уравнения, обобщенное возвратное уравнение. Алгоритм его решения. Распадающиеся уравнения. Деление многочленов. Теорема Безу. Параметр. Уравнения с параметрами. Решение задач с помощью рациональных уравнений.

Практика. Формулы для решения квадратного уравнения . Решение уравнений вида ax2 + bx + c = 0, ,  .

Тема 11. Неравенства

Теория.  Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств.  Сложение и умножение числовых неравенств. Погрешность и точность приближения. Неравенства с одной переменной и их системы. Пересечение и объединение множеств. Числовые промежутки. Решение неравенств с одной переменной. Решение систем неравенств с одной переменной. Решение систем неравенств с одной переменной. Доказательство неравенств. Общие теоретические положения метода интервалов при решении неравенств. Решение квадратных неравенств. Методы решения неравенств и систем неравенств: метод интервалов, графический метод Применение метода интервалов при решении задач. Решение заданий вида: найти область определения выражения, функции; найти промежутки знакопостоянства функции.

Практика. Решение неравенств вида  с использованием метода интервалов. Решение неравенств вида способом замены эквивалентной системой условий: Использование метода интервалов при решении неравенств вида

Тема 12. Степень с целым показателем и ее свойства 

Теория. Определение степени с целым отрицательным показателем. Свойства степени с целым показателем. Стандартный вид числа. Основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и алгебраическими дробями.

Практика. Выполнение простейших преобразований и вычисление выражений, содержащих корни, применяя изученные свойства арифметического корня n-й степени.

Тема 13.Прогрессии.

Теория. Числовые последовательности. Определение арифметической прогрессии. Формула п-го члена арифметической прогрессии. Сумма п первых членов арифметической прогрессии. Определение геометрической прогрессии. Формула п-го члена геометрической прогрессии. Сумма п первых членов геометрической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Рекуррентные соотношения прогрессий.

Практика. Решение арифметической прогрессии

Решение геометрической прогрессии

Нахождение сумм арифметической и геометрической прогрессии

                   Решение задач типа: Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

Тема 14. Элементы статистики и теории вероятности.

Теория. Среднее арифметическое, размах, мода. Медиана, как статистическая характеристика. Сбор и группировка статистических данных. Методы решения комбинаторных задач: перебор возможных вариантов, дерево вариантов, правило умножения. Перестановки, размещения, сочетания. Начальные сведения из теории вероятностей. Вероятность случайного события. Сложение и умножение вероятностей.

Практика. Нахождение среднего арифметического, размаха, моды, медианы. Составление таблиц. Решение задач.

Тема 15. Решение текстовых задач

Теория. Текстовая задача. Виды текстовых задач и их примеры. Решение текстовой задачи. Этапы решения текстовой задачи. Решение текстовых задач арифметическими приемами (по действиям). Решение текстовых задач методом составления уравнения, неравенства или их схемы. Значение правильного письменного оформления текстовой задачи. Решение текстовой задачи с помощью графика. Чертеж текстовой задачи и его значение для построения математической модели.  Что такое сетевой граф. Знакомство с алгоритмом анализа условия задачи и построение сетевого графа. Повторение основных соотношений:  S=vt,  A=pt  и т.п.

Практика. Решение арифметических задач. На примере арифметических задач «на движение», «работу», «стоимость» определяются основные приемы построения и работы с сетевым графом. Решение задач на движение «в направлении», «по воде». Решение задач «на совместную работу», «заполнение резервуара водой». Решение задач «на стоимость», «покупку». Понятие процента. История возникновения. Процентные отношения (сколько процентов составляет А от В; на сколько процентов А больше, чем В; на сколько процентов А меньше, чем В). Работа с тренинговой и рейтинговой таблицами. Применение процентов при решении задач о распродажах, тарифах, штрафах и голосовании. Решение задач. Понятие процентной концентрации вещества в растворе (сплаве, смеси), исследование изменения процентной концентрации смеси при изменении массы компонентов. Простейшие задачи на растворы и смеси. Перевод условия задачи на язык уравнений с целью нахождения неизвестной величины. Решение задач методом составления уравнений, систем уравнений. Простые и сложные проценты. Срок кредита. Учетная ставка. Оформление векселей. Дисконт. Вычисление процентной ставки.

Тема 16. Воспитательно-досуговая деятельность.

Теория. Беседы по ЗОЖ, профилактике ДДТТ, суицида, формированию гражданина и патриота.

Практика. Участие в мероприятиях центра. Участие в работе НОУ.

Тема 17. Итоговое занятие. 

Теория. Итоговая диагностика. 

Практика. Час весёлой математики «Ах, эта  великая, великая Математика». 

4-й год обучения

Тема 1. Введение в программу 4-го года обучения.

Теория. Введение в программу 4-го года обучения. Инструктаж по ТБ.

Практика. Стартовый срез, определение  ЗУН.

Тема 2. Тригонометрические функции

Теория. Числовая окружность. Числовая окружность на координатной плоскости. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Тригонометрические функции числового и углового аргумента, их свойства. Основные тригонометрические формулы. Тригонометрические тождества. Функции y=sin x, y=cos x, их свойства и графики.  Графики тригонометрических функций. Сжатие и растяжение графиков тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции.

Практика. Перевод градусов в радианы и наоборот. Примеры нахождения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Построение графиков. 

Тема 3. Тригонометрические уравнения

Теория. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства. Методы решения тригонометрических уравнений: метод замены переменной, метод разложения на множители, однородные тригонометрические уравнения.

Практика. Решение уравнений вида cos 2x=-, sin x(2sinx-)=0, sin²x=, sin(4x+, tg3x=3, , tg x(3tg²x+1)=0, tg(, cos9x-cos7x+cos3x-cos x=0, sin5xcos3x=sin6xcos2x, cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0.

Тема 4. Преобразование тригонометрических выражений (21 ч)

Теория. Формулы сложения, приведения, двойного угла, понижения степени. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. Различные способы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрических уравнений с параметром. Решение тригонометрических уравнений с модулем. Решение тригонометрических неравенств. Различные способы и методы решения логарифмических, показательных уравнений и неравенств. Решение неравенств методом интервалов. Иррациональные уравнения и неравенства. Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль. Решение уравнений и неравенств, содержащих параметр.

Практика. Преобразования вида: ,

Решение уравнений с помощью формул sin 2x = 2sinx cosx, cos 2x = cos2x-sin2x,

Тема 5. Комплексные числа 

Теория. Комплексные числа и арифметические операции над ними. Комплексные числа и координатная плоскость. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Комплексные числа и квадратные уравнения. Возведение комплексного числа в степень. Извлечение квадратного и кубического корня из комплексного числа.

Практика. Решение примеров и задач с комплексными числами. Извлечение квадратного и кубического корня из комплексного числа.

Тема 6. Производная

Теория. Числовые последовательности и их свойства. Предел последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Предел функции. Определение производной. Производная степенной функции. Производная суммы, произведения и частного двух функций. Производная сложной функции. Уравнение касательной к графику функции. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы, для отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин.

Практика. Нахождение производных вида (u + v)′ = u′ + v′, (Сu)′ = С∙u′, (u ∙ v)′ = u′∙v + u∙v′, (f(g(x)))′ = f′(g(x))∙g′(x) и т.д.  Решение задач на нахождение физического   ( механического ) и геометрического  смысла  производной.

Тема 7. Комбинаторика и вероятность 

Теория. Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных.  Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Решение комбинаторных задач. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля. Элементарные и сложные события. Рассмотрение случаев и вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события. Понятие о независимости событий. Вероятность и статистическая частота наступления события.

Практика. Решение задач на бином Ньютона  

Решение задач на свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице:  Р(А) = 1, свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю:  Р(А) = 0, свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей:  0 ≤ Р(А) ≤ 1 и др.

Тема 8. Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии.

Теория. Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, пространство). Понятие об аксиоматическом способе построения геометрии. Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых. Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства. Теорема о трех перпендикулярах. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Угол между прямой и плоскостью.  Параллельность плоскостей, перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства. Двугранный угол, линейный угол двугранного угла.  Расстояния от точки до плоскости. Расстояние от прямой до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Параллельное проектирование. Ортогональное проектирование. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Изображение пространственных фигур. Центральное проектирование.

Практика. Доказательство теорем. Решение задач.

Тема 9. Многогранники.

Теория. Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера. Призма, ее основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.  Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность. Треугольная пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида.  Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде. Понятие о симметрии в пространстве (центральная, осевая, зеркальная). Сечения многогранников. Построение сечений. Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).

Практика.

Тема 10. Векторы в пространстве. 

Теория. Декартовы координаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы и плоскости. Формула расстояния от точки до плоскости. Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов и умножение вектора на число. Угол между векторами. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Компланарные векторы. Разложение по трем некомпланарным векторам.

Практика.

Тема 11.Тела и поверхности вращения.

Теория. Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения параллельные основанию.

Шар и сфера, их сечения. Эллипс, гипербола, парабола как сечения конуса. Касательная плоскость к сфере. Сфера, вписанная в многогранник, сфера, описанная около многогранника.  Цилиндрические и конические поверхности.

Объемы тел и площади их поверхностей. Понятие об объеме тела. Отношение объемов подобных тел.  Формулы объема куба, параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы.

Практика.

Тема 12. Воспитательно-досуговая деятельность.

Теория. Беседы по ЗОЖ, профилактике ДДТТ, суицида, формированию гражданина и патриота.

Практика. Участие в мероприятиях центра. Участие в работе НОУ.

Тема 13. Итоговое занятие.

Практика.

             Итоговая тестовая работа, которая может быть составлена из материала ЕГЭ и централизованного тестирования.

5-й год обучения.

Содержание 5-го года обучения.

Тема 1. Введение в программу 5-го года обучения.

Теория. Введение в программу 5-го года обучения. Инструктаж по ТБ.

Практика. Стартовый срез, определение  ЗУН.

Тема 2. Великие математики.

Теория. Биография и открытия Чебышева, Коши – Буняковского, Паскаля, Ферма, Ньютона.

Практика. Написание рефератов.

Тема 3. Корни и степени.

Теория. Корень степени n>1 и его свойства, n и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Понятие о степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем. Вывод формулы производной показательной функции на наглядно-интуитивной основе. Показательная функция, как находящая широкое применение при изучении реальных процессов и явлений действительности.                                                                            

Практика. Извлечения корня, построения графика функции  и определения свойств функции .    Решение уравнений вида:;x=а и т.д.

Тема 4. Логарифм.

Теория. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы, число е. Производная показательной и логарифмической функций. Навыки вычисления производной показательной и логарифмической функции, через решение различных типов заданий.

Практика. Нахождение значения логарифмических выражений, решение примеров.

Тема 5. Первообразная

Теория. Интегрирование как операция, обратная дифференцированию. Свойства и  правила при нахождении первообразных различных функций. 

Практика. Использование свойств и  правил при нахождении первообразных различных функций.

Тема 6. Интеграл

Теория. Понятие   неопределенного интеграла, определенного интеграла. Правила вычисления интегралов. Применение интеграла для вычисления площадей криволинейных трапеций (формула Ньютона-Лейбница)

Практика. Вычисление интегралов вида;; нахождение площадей фигур.

Тема 7. Функции

Теория. Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.  Обратная функция. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции.  Степенная функция с натуральным показателем, ее свойства и график. Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробно-линейных функций.  Тригонометрические функции, их свойства и графики; периодичность, основной период. Показательная функция (экспонента), ее свойства и график. Логарифмическая функция, ее свойства и график.

Практика. Построение графиков функций. Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат. Нахождение наибольшего и наименьшего значения, точек экстремумов (локального максимума и минимума)

Тема 8. Начала математического анализа

Теория. Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Длина окружности и площадь круга как пределы последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. Понятие о непрерывности функции. Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции данной функции с линейной. Понятие об определенном интеграле как площади криволинейной трапеции. Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница.

Практика. Примеры на применение производной к исследованию функций и построению графиков. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком. Примеры применения интеграла в физике и геометрии. Вторая производная и ее физический смысл.

Тема 9. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Теория. Решение рациональных, показательных, логарифмических уравнений и неравенств. Решение иррациональных уравнений. Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Равносильность уравнений, неравенств, систем. Решение простейших систем уравнений с двумя неизвестными. Решение систем неравенств с одной переменной. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем. Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.

Практика. Решение рациональных, показательных, логарифмических уравнений и неравенств. Решение простейших систем уравнений с двумя неизвестными. Решение методом интервалов.

Тема 10. Модуль и параметр.

Теория. Модуль – определение и свойства. Параметр. Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль. Решение уравнений и неравенств, содержащих параметр. Построение графика с модулем.

Практика. Задачи на решение уравнений и неравенств, содержащих модуль. Решение уравнений и неравенств, содержащих параметр. Построение графика с модулем. Решение неравенств вида│х│‹ а, │х│› а посредством равносильных переходов.

Тема 11. Метод координат в пространстве. Движения.

Теория. Прямоугольная система координат в пространстве. Расстояние между точками в пространстве. Векторы в пространстве. Длина вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

Практика. Задачи на нахождение длин отрезков и углов между прямыми и векторами в пространстве. Задачи на нахождение координат векторов. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

Тема 12. Объемы тел.

Теория. Понятие объема и его свойства. Объем цилиндра, прямоугольного параллелепипеда и призмы. Принцип Кавальери. Объем пирамиды. Объем конуса и усеченного  конуса. Объем шара и его частей. Площадь поверхности многогранника, цилиндра, конуса, усеченного конуса. Площадь поверхности шара и его частей. Основные элементы сферы и шара. Взаимное расположение сферы и плоскости. Многогранники, вписанные в сферу. Многогранники, описанные около сферы. Цилиндр и конус. Фигуры вращения. 

Практика. Выведение формул объемов и площадей поверхностей основных пространственных фигур, решение задач на нахождение объемов и площадей поверхностей.

Тема 13. Элементы  теории  вероятностей  и  математической  статистики.

Теория. Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных. Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формулы числа перестановок, сочетаний. Размещений. Решение комбинаторных задач. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля. Элементарные и сложные события. Понятие о независимости событий. Вероятность статистическая частота наступления события. Решение задач с применением вероятностных методов. От азартных игр к теории вероятностей. Ферма и Паскаль.

Практика. Рассмотрение случаев и вероятность суммы нескольких событий, вероятность противоположного события. Решение задач.

Тема 14. Воспитательно-досуговая деятельность

Теория. Беседы по ЗОЖ, профилактике ДДТТ, суицида, формированию гражданина и патриота.

Практика. Участие в мероприятиях центра. Участие в работе НОУ.

Тема 15. Итоговое занятие.

Практика. Отчетная конференция.

Методическое обеспечение.

  Формы проведения занятий: лекция, семинар, дискуссия, диспут, выступления с докладами,  рефератами, мультимедийными презентациями, занятие-обсуждение, лекция, деловая игра, практическое занятие, математическое лото и др.

Форма проведения итогового занятия по программе: итоговая конференция.

Техническое сопровождение: компьютер, мультимедийный проектор, демонстрационный экран.

Дидактический материал: учебная, методическая литература, словари, мультимедийные презентации, подборка задач на электронных носителях, интерактивная математика 5-11 класс.  

            При обучении на первом году воспитанники получают систематизированные сведения о рациональных числах и правилах вычислений с ними, элементарные представления об иррациональных числах, знакомятся с процентами и приемами приближенных вычислений при использовании микрокалькулятора.  Алгебраическое содержание группируется вокруг понятия рационального выражения. Обучающиеся овладевают навыками преобразований целых и дробных выражений, знакомятся с операцией извлечения корня, понятием уравнения, осваивают алгоритмы решений линейных уравнений и систем линейных уравнений. Функциональная линия продолжает процесс формирования понятия функции, знакомит с линейной функцией, прямой и обратной пропорциональностью и их графиками.  Геометрическая линия характеризуется пропедевтикой основного курса. Программа расширяется за счет добавления стохастического и логического материала, которые развивают творческие способности и теоретическое мышление.

  На втором году обучения происходит дальнейшее совершенствование вычислительных навыков, уточняются представления об иррациональных числах, вычисляются значения алгебраических выражений. Алгебраическая и функциональная линии продолжают освоение дробно-рациональных выражений. Значительное внимание уделяется способам построения графиков дробно-линейных и квадратичных функций. Воспитанники овладевают алгоритмами решения квадратных и некоторых других нелинейных уравнений и неравенств, и их систем. Совершенствуются методы решения текстовых задач, работа над которыми позволяет познакомить обучающихся с методами математического моделирования.

          Третий год обучения предусматривает повторное  рассмотрение теоретического материала по математике (так как обучающиеся этого года обучения в школе будут сдавать ОГЭ), поэтому имеет большое общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления, намечает и использует целый ряд межпредметных связей и направлен в первую очередь на устранение «пробелов» в базовой составляющей математики, систематизацию знаний по основным разделам программы.

      Алгебраическая составляющая на 4, 5 году обучения представлена иррациональными, показательными, логарифмическими выражениями. Расширяется класс изучаемых уравнений в связи с введением новых видов функций, развиваются представления об общих приемах решения уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств.

Развитие функциональной линии происходит в нескольких направлениях: рассматриваются новые свойства функций, изучаются новые классы функций, вводятся элементы математического анализа, которые применяются как для решения собственно математических задач, так и задач прикладного характера. В программе более широко рассматриваются вопросы решения уравнений, неравенств, систем уравнений с модулями и параметрами, которым в традиционном курсе уделяется недостаточно внимания, а также решаются иррациональные, тригонометрические неравенства, которые в основном курсе идут в ознакомительном плане.

Геометрическая линия представляет собой курс стереометрии.

это система развивающих занятий, направленных на развитие приемов и способов мыслительной деятельности. Содержанием занятий являются задачи и упражнения, связанные с учебным материалом, изучаемым в основной школе. Содержание занятий способствует развитию аналитико-синтетических способностей, формированию таких приемов и способов умственной деятельности, как сравнение, классификация, обобщение, поиск закономерностей, а так же гибкости и критичности мышления и других интеллектуальных качеств личности.

Формы занятий должны быть разнообразными и включать в себя следующие этапы: мотивацию, целеполагание, планирование, действие по реализации плана, самоконтроль, самоанализ, самооценку, оценку эксперта(диагностику), коррекцию. Мотивация будет устойчивой, если она ориентирована на успех, новоизменения в мышлении, приобретении новых умений, способов деятельности. Направленность на достижение успеха стимулирует активность личности ребенка. Сохранение устойчивой мотивации способствует соблюдение следующего принципа: по мере того как ребенок овладевает какими-то навыками, приобретает новые умения, задания должны усложняться.

Проводимые занятия носят безоценочный характер, поэтому очень важно научить осуществлять самоанализ при выполнении диагностических тренингов; постоянно проводить самоконтроль, сверяя свой вариант ответа с эталоном; осуществлять самооценку успешности: не знала- узнала, не умела- научилась, не понимала- поняла и т.д.

Для создания ситуации успеха на занятиях большое значение имеет оценка учителя, которая реализуется в виде поощрения,  похвалы, поддержки, помощи. При этом нужно иметь в виду, что на первых порах важно поощрять саму деятельность, а не ее результат, и сравнивать результаты одного учащегося только с самим собой.

В процессе занятий систематическое использование исследовательского метода обеспечивает усиление научного содержания. Применение этого метода способствует формированию у учащейся целого ряда качеств исследователя (целеустремленность, самостоятельность, дисциплинированность, активность и др.), которые затем пригодятся в любом виде деятельности.

Важное  место на занятиях курса по математике занимает самостоятельная работа обучающейся с различными источниками информации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Авдонин Н.И. 30 уроков репетитора по математике (по материалам вступительных экзаменов в ВУЗы). Учебное пособие. – Н. Новгород; издательство «Век», 1997.
2. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. - М.: Наука, 1976.
3.  Бородуля И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства. Москва, «Просвещение»,1989.
4. Виленкин H.Я, Виленкин Л.Н., Сурвилло Г.С. и др. Алгебра. 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс: учебн. пособие для учащихся и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1995 - 2015.
5. Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С., Симонов А.С., Кудрявцев А.И. Алгебра. 9 класс: учебн. пособие для учащихся – М.: Просвещение, 1996.
6. Виленкин Н.Л. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.
7. Галицкий М.Л, Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре. Учебное пособие для 8 – 9 классов с углубленным изучением математики. – 7-е изд. – М. Просвещение, 2001.
8. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – 3-е изд., дополн. и переработ. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1998.
9. Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса. – М.: Илекса, 2002.
10. Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 9 класса. – М.: Илекса, 2002.
11. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебра и начала анализа. 8 – 11 кл.: пособие для школ с углубленным изучением математики. – М.: Дрофа, 1999.
12. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П. и др. Задания для подготовки к письменному экзамену по математике в 9 классе: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1999.
13. Зив Б.Г. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса. – 2-е изд. – СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2002.
14. Зив Б.Г. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса. – 2-е изд. – СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2003.
15. Карп А.П. Сборник задач по алгебре для учащихся 8 – 9 классов школ с углубленным изучением математики. – СПб.: СМИО Пресс, 2000.
16. Корешкова Т.А., Шевелева Н.В., Мирошин В.В. Математика. 9 класс. Тренировочные задания. – М: Москва, 2009
17. Кочагина М.Н., Кочагин В.В. Математика: 9 класс: Подготовка к «Малому ЕГЭ». – М.: Эксмо, 2008.
18. Кочагина М.Н., Кочагин В.В. Математика: 9 класс. Сборник заданий. – М: Москва, 2009.
19. Кузнецова Л.В. и др. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе. - М.: Просвещение, 2010.
20. Лаппо Л.Д., Попов М.А. Математика 9 класс. Сборник заданий. – М: Экзамен, 2009
21. Лысенко Ф.Ф. Алгебра 9 класс. Подготовка к итоговой аттестации. – Ростов-на-Дону: Легион, 2008.
22. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. Под ред. Г. В. Дорофеева. – М.: Просвещение, 2003.
23. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 9 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. Под ред. Г. В. Дорофеева. – М.: Просвещение, 2003.
24. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дидактические материалы по алгебре для  8 кл. с углубл. изуч. математики. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2004.
25. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дидактические материалы по алгебре для  9 кл. с углубл. изуч. математики. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2001.
26. Мирошин В.В. Алгебра 9 класс. Типовые тестовые задания. – М: Экзамен, 2009
27. Мордкович А.Г. Алгебра 8 кл.: Учебник для классов с углубленным изучением математики. – М.: Мнемозина, 2002.
28. Никольская И.Л. Факультативный курс по математике. – М.: Просвещение, 1991.
29. Олехник С. Н. др.  Старинные занимательные задачи -  Москва, 1985г.
30. Перельман Я. И. «Занимательные задачи и опыты»
31. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Кн. для учащихся 7 – 9 классов общеобраз. учрежд. – 2-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 1999.
32. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы (с решениями). В двух книгах. Книга 1. Алгебра. Под ред. – 9-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательский дом «ОНИКС  21 век»: Мир и образование, 2001.
33. Тоом А.Л. Текстовые задачи. Учебное пособие для учащихся ОЛ ВЗМШ при МГУ, - М. 2003.
34.  Олежник С.Н. и др. Уравнения и неравенства: Нестандартные методы решений. Учебно-методологическое пособие 10-11 кл. – М.: Дрофа, 2001.
35. Севрюков П.Ф. Задачи на движение: простые и не очень. М.:Илекса, 2010
36.  Севрюков П.Ф. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства: учебное пособие – М.:Илекса, 2010
37.   Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. – М.: Просвещение, 1989.
38.  Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике. Решение задач. – М.: просвещение, 1991.

Приложение.

ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ

 Задача 1. Товар стоил тысячу рублей. Продавец поднял цену на 10%, а через месяц снизил её на 10%.Сколько стал стоить товар?

Задача 2. Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов после подсушивания?

Задача 3. Цена входного билета на стадион была 1 рубль 80 копеек. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 50% , а выручка выросла на 25% .Сколько стал стоить билет после снижения?

Задача 4. По дороге идут два туриста. Первый из них делает шаги на 10% короче и в то же время на 10% чаще, чем второй. Кто из туристов идет быстрее и почему?

Задача 5. Цену за товар уменьшили на 10%, а затем еще на 10%. Стоит ли он дешевле, если цену сразу снизить на 20%?

Задача 6. На овощную базу привезли 10 тонн крыжовника, влажность которого 99% .За время хранения на базе влажность уменьшилась на 1%. Сколько тонн крыжовника теперь хранится на базе?

Задача 7. Числитель дроби увеличили на 20%. На сколько процентов надо уменьшить её знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла вдвое?

Задача 8. Матроскин продает молоко через магазин и хочет получать за него 500 рублей за литр. Магазин удерживает 20% стоимости проданного товара. По какой цене будет продаваться молоко в магазине?

Задача 9. Рабочий в феврале увеличил производство труда по сравнению с январем на 5%, а в марте увеличил её снова по сравнению с предыдущим месяцем на 10%. Сколько деталей изготовил рабочий в марте, если в январе изготовил 200 деталей?

Задача 10. Один покупатель купил 25% имевшегося куска полотна, второй покупатель 30% остатка, а третий - 40% нового остатка. Сколько (в процентах) полотна осталось непроданным? Задача 11. Свежие грибы содержат 90% влаги, сушеные 12%.Сколько сушеных грибов получится из 10 кг свежих?

Задача 12. Солдат, стреляя в цель, поразил ее в 25/2% случаев. Сколько раз он должен выстрелить, чтобы поразить цель сто раз?

Задача 13. Сколько белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при переработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных грибов?

Задача 14. Бригада косарей в первый день скосила половину луга и еще 2 га, а во второй день 25% оставшейся части и последние 6 га. Найти площадь луга.

Задача 15. Как изменится в процентах площадь прямоугольника, если его длина увеличится на 30%, а ширина уменьшится на 30%?

Задача 16. В драматическом кружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек в этом кружке от числа мальчиков?

Задача 17. Перерабатывая цветочный нектар в мед, пчелы освобождают его от значительной части воды. Нектар содержит 70% воды, а мед 16%. Сколько килограммов нектара надо переработать для получения 1 кг меда?

Задача 18. Имеется 735 г 16%-ного раствора йода в спирте. Нужно получить 10%- ный раствор йода. Сколько граммов спирта надо долить для этого к уже имеющемуся раствору?

Задача 19. В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, необходимое для заполнения бассейна

Задача 20. Ширину прямоугольника увеличили на 3,6 см, а длину уменьшили на 16%. В результате площадь нового прямоугольника оказалась больше прежнего на 5%.Найти ширину нового прямоугольника

Задача 21. Каждую сторону квадрата увеличили на 20%. На сколько процентов увеличилась площадь квадрата?

Задача 22. На сколько процентов увеличится объем куба, если каждое его ребро увеличить на 10%?

Задача 23. 5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20%-ных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какой жирности получилась смесь?

Задача 24. В свежих грибах было 90% воды. Когда их подсушили, то они стали легче на 15 кг при влажности 60%. Сколько было свежих грибов?

Задача 25. Под кукурузу отвели участок поля в форме прямоугольника. Через некоторое время первоначальную длину участка увеличили на 35%,а ширину уменьшили на 14%, На сколько процентов изменилась площадь участка?

Задача 26. Куб с ребром 8 см покрасили со всех сторон, а затем распилили на кубики с ребром

1. см. Какой процент среди них составляют кубики, имеющие только одну окрашенную грань? Задача 27. Одно из слагаемых составило 5/12 другого. Сколько процентов от суммы составляет меньшее слагаемое? (ответ дать с точностью до 0,1%)

Задача 28. Вычитаемое составляет 7/13 уменьшаемого. Сколько процентов вычитаемого составляет разность?

Задача 29. Заработок рабочего повысился на 20%, а цены на продукты и другие товары снизились на 15%. На сколько процентов рабочий теперь на свой заработок может купить больше продуктов и товара, чем прежде?

Решения и ответы.

1. После подорожания товар стоил 1100 рублей. При снижении цены 1100 руб. - 100% , 110 рублей - 10% стоимости товара, следовательно, товар стал стоить 1100 - 110 =990 рублей.

Ответ: 990 рублей.

2. В 100 кг грибов содержится, по условию, 99 кг воды и 1 кг сухого вещества. После подсушивания сухое вещество стало составлять 2% .Но если 2% составляют 1 кг, то вся масса грибов равна 50 кг.
3. Входная плата с каждых двух зрителей до снижения была 3рубля 60 копеек. После снижения вместо каждых двух зрителей стадион посещали три человека, платившие по 3руб.60 коп + 90 коп.= 4 руб.50 коп. Стоимость билета 4 рубля 50 копеек : 3 = 1 рубль 50 копеек.

Ответ: 1 руб.50 коп.

4. Покажем, что медленнее идет тот из туристов, кто делает шаги короче и чаще (первый). Когда второй турист делает 10 своих шагов длины s каждый, первый турист делает 11 своих шагов длины 0,9s каждый. Таким образом, первый турист проходит расстояние 9,9s за то время, за которое второй проходит расстояние 10s, но 10s > 9,9s, так как s > 0.
5. Введем переменную х, обозначив через нее первоначальную цену, и составим выражение для новой цены в случае поэтапного снижения: 0,9*(0,9*х) = 0,81*х и в случае снижения сразу на 20% - 0,8*х
6. Без влаги масса ягод стала равна 2% , т.е. общая масса уменьшилась в два раза и стала 5 тонн.

Ответ: 5 тонн.

7. Для начала рассмотрим какой-нибудь пример, скажем, дробь 00/100 = 1. После увеличения в числителе будет 120, поэтому в знаменателе после уменьшения должно остаться 60%.Другими словами, надо уменьшить знаменатель на 40 %. Проверим ответ для общего случая: пусть есть дробь a/b. После увеличения числителя на 20% он станет равным 1,2а. Если уменьшить знаменатель на 40% , то он станет равным 0,6Ь.Тогда дробь станет равной 1,2а / 0,6b = 2*a / b, что и требуется.

Ответ: на 40%.

8. получим 625 рублей.
9. 231 деталь
10. 31,5 % осталось непроданным.
11. Ответ: 25/22 кг.
12. 800 раз.
13. 20 кг.
14. 6 га составляют 75% (3/4) оставшейся части, значит, вся оставшаяся часть равна 8 га. По условию половина луга больше 8 га на 2 га, т. е. равна 10 га ( 8 + 2 =10). Значит, весь луг занимал 20 га ( 10*2 = 20). Ответ: 20 га.
15. Площадь уменьшится на 9%.
16. Пусть девочек х, тогда мальчиков 0,8х. Число девочек составляет от числа мальчиков (х / 0,8)*100% = 125%.
17. Ответ: 2,8 кг.
18. 441 г.
19. 1) 100% - 60% = 40% = 0,4 - такую часть составляет оставшийся приток воды. 2) 1 : 0,4 = 2,5 (раза) - во столько раз увеличится время, необходимое для наполнения бассейна, т.е. увеличится на 150%.

Ответ: на 150% .

20. 18 см.
21. Увеличилась на 44%.
22. Увеличится на 33,1%.
23. 1) 5*0,35 = 1,75 (л) жира в 5 л сливок. 2) 4*0,2 = 0,8 (л) жира в 4 л сливок.        3)1,75 + 0,8 = =2,55 (л) жира в смеси. 4) 5 + 4 + 1 = 10 (л) - вес смеси. 5)2,55 : 10 = 25,5%- жирность смеси.

Ответ: 25,5%.

24. Ответ: 20 кг.
25. Изменится на 16,1%.
26. 42,1875 или 42,2%.
27. Пусть второе слагаемое 1, тогда первое слагаемое 5 / 12, а сумма 17 / 12. 5 / 12 от 17 / 12 составляют 5 / 17 = 0,294 = 29,4%.

Ответ: Меньшее слагаемое составляет 29,4% от суммы.

28. Пусть        уменьшаемое 1, тогда вычитаемое 7 / 13, а разность 6 / 13 (1 - 7/13 =

= 6 / 13). 6/13 от 7/13 составляет 6 / 7 = 85,7%.

На 41% больше, чем прежде.

Математические игры, использующиеся при проведении занятий.

Сюжеты математических игр разнообразны. Вообще говоря, большинство математических идей можно оформить в виде игры. На олимпиадах встречаются игры как с алгебраическим так и с геометрическим содержанием. В этот раздел, помимо прочих задач, включены и занимательные задачки (игры - шутки ). Эти задачи можно использовать и на первых занятиях для выявления логических и математических способностей обучающихся, и в дальнейшем в качестве развлекательных "вставок". Игры - шутки позволяют снять напряжение и усталость, дают возможность обучающимся отдохнуть.

Задача 1. Двое по очереди берут из кучи камни. Разрешается брать любую степень двойки (1,

2. 4...). Взявший последний камень выигрывает. Кто победит в этой игре?

Задача 2. В куче 1997 камней, которые двое берут по очереди. Разрешается взять 1, 10 или 11 камней. Выигрывает взявший последний камень. Кто должен победить?

Задача 3. Изменим условие предыдущей задачи: взявший последний камень проигрывает. Кто теперь победит?

Задача 4. Двое по очереди берут камни из двух куч. За один ход можно взять: а) любое число камней из одной кучи или б) из обеих куч поровну. Взявший последним выигрывает. Кто должен выиграть?

Задача 5. В трёх кучах лежат 1997, 1998 и 1999 камней. Играют двое. За один ход разрешается убрать две кучи, а третью разделить на три новые (непустые) кучи. Выигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто победит-первый или второй игрок?

Задача 6. Двое играющих по очереди красят полоску из 150 клеток: первый всегда красит две клетки подряд, а второй - три. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто должен выиграть при правильной игре?

Задача 7. Двое играют на полосе из 12 клеток. При каждом ходе можно поставить на любое поле шашку или сдвинуть на одну клетку вправо выставленную ранее шашку. Игрок выигрывает, когда занимает шашкой последнее свободное поле полосы. Кто победит? (Понятно, что на каждой клетке может размещаться только одна шашка.)

Задача 8. Двое играют, поочередно выставляя крестики и нолики на квадратном поле 9х9. В конце каждый получает очко за каждую строку и столбец, в которых его знаков больше. Сможет ли первый игрок выиграть?

Задача 9. Из 1997 первый играющий вычитает 1, 7 или 9. Второй вычитает из результата число, которое записывается одной из нулевых цифр результата, и т. д. Побеждает тот, у кого получится 0. У кого ?

Задача 10. Поставлено 10 точек в ряд. Двое играющих поочередно заменяют точки цифрами. Второй игрок стремится к тому, чтобы полученное число делилось на 41. Удастся ли ему этого добиться?

Задача 11. Перед числами 1, 2, ..., 100 двое играющих по очереди ставят знаки плюс или минус. Когда все знаки расставлены, вычисляется сумма. Первый стремится минимизировать ее модуль, второй - сделать его как можно больше. Какой результат можно считать ничейным? Каковы границы модуля суммы?

Задача 12. Выписаны в ряд числа от 1 до 1997.Играют двое. За один ход можно вычеркнуть любое число и все его делители. Выигрывает тот, кто зачеркивает последнее число. Докажите, что это первый игрок.

ЧИСЛОВЫЕ ЗАДАЧИ

Числовые задачи часто представляют собой головоломки. Полезно перед решением такой задачи не спешить, а дать возможность обучающимся немного поиграть в них.

Задача 1.В выражении 4 + 32 : 8 + 4 * 3 расставьте скобки так, чтобы в результате получилось:

а)        число 28

б)        как можно большее число

в)        как можно меньшее число

Задача 2. В десятичной записи двух натуральных чисел участвуют только цифры 1, 4, 6 и 7. Может ли одно из них быть в 17 раз больше другого?

Задача 3. Произведение четырех последовательных чисел равно 7920. Найти эти числа.

Задача 4. Установите, какой цифрой оканчивается разность 4343 - 1717

Задача 5. В записи

3. * * 5 : 11 = * * замените звездочки цифрами так, чтобы получилось верное равенство.

Задача 6. Замените в выражении * ( *( * ( * + 1) + 1) + 1) = 1995 звездочки числами 2, 5, 11, и 17 так, чтобы получилось верное равенство.

Задача 7. Натуральные числа от 1 начинают выписывать подряд. Какая цифра стоит на 1992м месте?

Задача 8. Из книги выпала какая-то часть. Первая страница выпавшего куска имеет номер 387, а номер последней страницы состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Сколько листов выпало из книги?

Задача 9. Найдите десять натуральных чисел, сумма и произведение которых равны 20.

Задача10. Найдите сумму: 1 + 2 + 3 + ...+ 111.

Задача 11. Восстановите пример: 6*5* - *8*4 = 2856.

Задача 12. Задумали число, к нему прибавлена 1,сумма умножена на 2, произведение разделено на 3 и от результата отнято 4.Получилось 6. Какое число задумано?

Задача14. Расставьте скобки всеми возможными способами и выберите наибольший и наименьший результаты: 60 + 40 : 4 - 2.

Задача 15. Сумма двух чисел равна 80, а их разность равна 3. Найдите эти числа.

Задача 16. Заменив букву А на цифру, звездочки - на арифметические действия (не обязательно одинаковые), расставьте скобки так, чтобы равенство ААА*А*А = 1998 было верным.

Задача 17. Какой цифрой оканчивается произведение всех нечетных чисел от 1 до 51?

Задача 18. Как, используя цифру 5 пять раз, представить все числа от 0 до 10 включительно?

Задача 19. Расшифруйте пример, если одинаковые цифры замены одинаковыми буквами:

О        Д И Н

+ О Д И Н

М Н О Г О

Задача 20. Расшифруйте пример:          П О Д А Й

                                                             -    В О Д Ы

                                                                 П А Ш А

Задача21. Найдите такую сумму 1 + 2 + 3 +...+ 181 - 96 - 97 -...- 1.

Задача 22. В записи 8 8 8 8 8 8 8 8 поставить знаки сложения, чтобы получилось 1000. Задача 23. Из чисел 21, 19, 30, 35, 3, 12, 9, 15, 6, 27 выберите такие три числа, сумма которых 50.

Задача 24. Расшифруйте ребус: КНИГА + КНИГА + КНИГА = НАУКА.

Задача 25. Над имеющимся числом разрешается производить два действия: умножать его на 2 или прибавлять к нему 2. За какое минимальное число действий вы сможете получить из числа 1 число 100 ?

Задача 26. Приведите пример натуральных чисел m и n таких, что сумма цифр числа m равна 1997, сумма цифр числа n равна 1996, а сумма цифр числа m + n равна 1995.

Задача 27. Сумма четырех последовательных четных чисел равна 196. Найти эти числа.

Задача 28. Произведение четырех простых последовательных чисел оканчивается нулем. Что это за числа? Найдите их произведение.

Задача 29. Сумма двух чисел равна 213. Одно из них меньше другого на 37. Найдите эти числа.

ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 

Задача 1. Можно ли, имея два сосуда емкостью 3 л и 5 л, набрать из водопроводного крана 4 л воды?

Задача 2. В месяце три воскресенья выпали на четные числа. Какой день недели был седьмого числа этого месяца?

Задача 3. У Винни - Пуха и Пятачка несколько воздушных шариков, среди которых есть большие и маленькие, а также синие и зеленые. Докажите, что друзья могут взять по одному шару так, чтобы они одновременно оказались разного размера и разного цвета.

Задача 4. На улице, встав в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей. Платье какого цвета носит каждая девочка?

Задача 5. Разместите в свободных клетках квадрата числа 3, 4, 5, 6, 8, 9 так, чтобы по любой вертикали, горизонтали и диагонали получилось в сумме одно и то же число.

Дано                                            Решение  

Задача 6. На складе имеются гвозди в ящиках по 24, 23, 17 и 16 кг. Можно ли отправить со склада 100 кг гвоздей, не распечатывая ящики?

Задача 7. Пять рыбаков съели пять судаков за пять дней. За сколько дней десять рыбаков съедят десять судаков?

Задача 8. Все животные старухи Шапокляк, кроме двух, - попугаи, все, кроме двух, - кошки, и все, кроме двух, - собаки, а остальные тараканы. Сколько тараканов у Шапокляк?

Задача 9. У Щенят и утят 42 ноги и 12 голов. Сколько щенят и сколько утят?

Задача 10. Папа с двумя сыновьями отправился в поход. На пути им встретилась река; у берега плот. Он выдерживает на воде только папу или двух сыновей. Как им переправиться на другой берег?

               На задачи, в которых говорится о ценообразовании, в школьном курсе стали обращать внимание совсем недавно, поэтому методические подходы к их решению не очень хорошо отработаны. А между тем с ценами на товары и услуги люди встречаются каждый день, и именно школьная математика в ответе за то, чтобы эти встречи не оборачивались для людей финансовыми потерями.

Перед решением задач полезно проанализировать часто встречающиеся объявления об изменении цен и выразить их в виде схем, которыми учащиеся будут руководствоваться при решении многих более сложных задач "про цены".

Рассмотрим наиболее типичные ситуации.

1. Если первоначальная цена некоторого товара составляла S0 денежных единиц, то после ее повышения на  а % она составит

 S0 + S0 * а * 0,01 = S0 (1 + а * 0,01)  денежных ед.                       (1)

Аналогично, если первоначальная цена S0 понизилась на а % , то она составит S0 (1 - а * 0,01) денежных ед.                                                              (2)

Формулы (1) и (2) выражают "простой процентный рост"  

                  а %  повышение        S0 (1 + а * 0,01)  

              S0 

                   а % понижение       S0 (1 - а * 0,01)  

2.   В результате повышения первоначальной цены S0 на а %  и последующего понижения на в % окончательная цена равна

S0 (1 + а * 0,01) * (1 – в * 0,01) денежных единиц                      (3)

Аналогично, если первоначальная цена S0 сначала понизилась на а %, потом повысилась на в %, то окончательная цена равна

S0 (1 - а * 0,01) * (1 + в * 0,01) денежных единиц                      (4)

Формулы (3) и (4) выражают "сложный процентный рост"

        а %         S0 (1 + а * 0,01)      в %

                                                                    S0 (1 + а * 0,01) * (1 – в * 0,01)

 S0                                                                S0 (1 - а * 0,01) * (1 + в * 0,01)

                                                           в %             Стандартная форма записи.

        а %         S0 (1 - а * 0,01)  

Из стандартной формы записи видно число процентов, на которое уменьшена  или увеличена начальная сумма.

3. Если первоначальная цена товара  S0 повысилась на а %, а затем понизилась на а %, то цена товара составит:

S0 (1 + а * 0,01) * (1 – а * 0,01) = S0 (1 – (а * 0,01)2)

Если же цена товара S0 понизилась на а %, а затем повысилась на а %, то цена товара составит:

S0 (1 - а * 0,01) * (1 + а * 0,01) = S0 (1 – (а * 0,01)2)

Учащиеся заметят, что если повышение следует за понижением на один и тот же процент, и, наоборот, понижение следует за повышением, то новая цена товара будет одинаковой. Например:

           10 %     S0 (1 + 10 * 0,01)          10 %

    1.  S0                                                              S0 (1 + 10 * 0,01) * (1 – 10 * 0,01)

                                                                                                одинаково

     2. S0                                                              S0 (1 – 10 * 0,01) * (1 + 10 * 0,01)

         10%                                                  10 %            

                        S0 (1 - 10 * 0,01)  

Перед решением содержательных задач полезно выполнить несколько задач подготовительного характера.

S0 – первоначальная цена товара;

S – новая цена.

По указанной формуле определить характер изменения первоначальной цены и процент этого изменения.

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1. Цену товара снизили на 30 %, затем новую цену повысили на 30%. Как изменилась цена товара?

Решение: пусть первоначальная цена товара S0 рублей, тогда новая цена

S = S0 * (1 - 30 * 0,01) * (1 + 30 * 0,01) = S0 * (1 – (30 * 0,01)2) = S0 * (1 - 9 * 0,01)

Из формулы видно, что цена товара снизилась на 9 %.

Задача 2. Цена товара S0 была повышена на р % . На сколько процентов надо снизить новую цену, чтобы получить первоначальную S0?

Решение:

           р %       S0 (1 + 0,01 * р)          х % - ?

        S0                                                              S0 (1 + 0,01 * р) * (1 – 0,01 * х)

Получим уравнение: S0 (1 + 0,01 * р) * (1 – 0,01 * х) = S0.

Из уравнения выразим х, переписав уравнение в другом виде:

S0 S0 

Ответ: цену товара необходимо снизить на  %.

Учащимся предлагается самостоятельно (домашнее задание) решить следующую задачу:

Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за прибылью он увеличил цену на билеты на 25 %. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько % снизил владелец дискотеки цену билетов, чтобы она стала первоначальной? Ответ: на 20 %.

Когда первоначальная величина S0 изменяется несколько раз (n раз) на один и тот же процент (р %) , то используем формулу:

Sn = S0 * (1 ± 0,01р) * (1 ± 0,01р) *…* (1 ± 0,01р) = S0 * (1 ± 0,01р)n, где

S0 – первоначальное значение величины;

Sn – новое значение величины, которое получилось в результате нескольких изменений первоначальной величины;

р – процент изменения;

n – количество изменений начальной величины.

Знак "плюс" применяется при подсчете увеличения цены товара, знак

"минус" – при снижении цены.

Если изменение происходит на разное число процентов (р1%, р2% …), то формула принимает вид:

Sn = S0 * (1 ± 0,01р1) * (1 ± 0,01р2) *…* (1 ± 0,01рn)

Задача 3.  Цена товара после двух последовательных снижений на один и тот же процент уменьшилась со 125 руб. до 80 руб. На сколько процентов снизилась цена каждый раз?

Решение:  S0 = 125 руб., S2 = 80 руб., n = 2, р - ?

S2 = S0  (1- 0,01р)2

80 = 125 (1 – 0,01р)2

(1 – 0,01р)2 = 0,64

1 – 0,01р = 0,8 или 1 – 0,01р = - 0,8, р2 = 180 – не подходит по замыслу задачи

р1 = 20

Ответ: цена снижалась два раза на 20 %

 Как звучат слова «скидка», «распродажа» на разных языках ?

       «Скидка» - «sleva» по–чешски;

                           «discount» по–английски;

«Распродажа» - «sale» по-английски;

Иностранное слово «discount» вошло в наш язык – дисконтные карты – карты,

обеспечивающие скидки постоянным покупателям.

Задача 4.   В одном магазине на товар установили цену 200 р., в другом аналогич-

ный товар стоит 180 р..

а) На сколько процентов в первом магазине цена на товар выше, чем во втором ?

б) На сколько процентов во втором магазине цена ниже, чем в первом ?

Решение:

  Применим формулу процентного сравнения:

       A > B на                  

       B < A на  

а) I магазин                                II магазин

     200 руб.                 >                180 руб.    

     на ? % выше                    

б) I магазин                                 II магазин

      200 руб.                 >                 180 руб.    

         Ответ: а) на ≈ 11.1% выше.

                     б) на 10 % ниже.

При решении задач по теме «Процедурные вычисления в жизненных ситуа-

циях» учащиеся знакомятся с понятиями «скидка», «распродажа», «бюджет»,

«тарифы», «пеня»; формируются умения применять знания процентов в жизненных ситуациях.

                                  Терминологический словарь.

Бюджет – перечень доходов и расходов, финансовый план, сопоставляющий ожидаемые доходы и расходы.

Дефицит (от лат. Deficit – недостаток) – превышение расходов над доходами. Убыток может относиться как к денежным ресурсам, так и к материальным ценностям.

Инфляция – падение ценности или покупательной способности денег.

Налоги – обязательные платежи, взимаемые государством с граждан. Налоги – один из источников дохода государственного бюджета.

Пеня (от лат. Poena – наказание ) – вид неустойки. Исчисляется в процентах от суммы  неисполненного или ненадлежащее исполненного обязательства и уплачивается за каждый день просрочки.

Прибыль – положительная разность между выручкой и совокупными издержками производства.

Профицит – превышение доходов над расходами.

Спрос – желание и возможности потребителей купить конкретный товар (услугу) в конкретное время и в конкретном месте.

Тарифы (франц. Tariff  от арабск.) – система ставок, по которым взимается плата за услуги. Наиболее распространены тарифы транспортные – за перевозку грузов, пассажиров, багажа; связи – за пользование средствами связи; тарифы коммунальные – за пользование электроэнергией, газом, водой и т. д.,  тарифы таможенные – за перевозку груза через границу.

Цена – количество денег, за которое продается и покупается единица товара или услуги.

Штраф (немец. Strafe – наказание) – денежное взыскание, мера материального воздействия на лиц, виновных в нарушении определенных правил, налагается в случае и в порядке, установленном законом в точно определенной денежной сумме.

 Рассмотрим две задачи.

Задача 1.  Пеня за несвоевременную квартирную плату в городе N начисляется в размере 0,1% от неуплаченной суммы за каждый день просрочки. На сколько дней была задержана квартирная плата, если на сумму 1200 руб. была начислена пеня 60 руб.

Решение:

Пусть была задержка платы на х дней, тогда пеня составляет

                           1200 * 0,001* х = 60

                                           1,2 х = 60

                                                 х = 60 : 1,2

                                                 х = 50

 Ответ: на 50 дней была задержана квартирная плата.