Сборник исследовательских работ по математике на уроке (из опыта учителей школы)
материал по алгебре (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс) по теме

Исследовательская

деятельность учащихся

при обучении математике

Из опыта работы учителей математики

МАОУ СОШ №10

Исследовательская работа  как один из методических приемов обучения учащихся на уроках и во внеклассной работе.

Е. А. Герасименко, ведущий методист НМЦ  УО  г. Таганрога

Исследовательская работа имеет очень важное значение в развитии творческих способностей учащихся. Ребенок учится наблюдать, анализировать объект, сравнивать, оценивать, находить общее с другими. Умение наблюдать тесно связано с умением видеть проблемы.

Вслед за выявлением проблемы идет поиск ее решения. Поиск решения осуществляется в форме выдвижения догадок или гипотез. Умение выдвигать гипотезы, строить предположение - одно из главных базовых умений исследования. Не любое предположение  можно назвать гипотезой. Но для детских исследований, направленных на развитие творческих  способностей ребенка, наиболее важным является наличие  гипотез и поиск их доказательств.

Изначально гипотеза не истинная и не ложная, она просто не определена. Стоит ее подтвердить, как она становится теорией, стоит опровергнуть, как она превращается в ложное предположение.

Способы проверки гипотез:

- теоретические (логика, анализ имеющихся знаний)

- эмпирические (наблюдения, эксперименты, исследования)

При проверке гипотез может быть организована следующая   деятельность(индивидуальная или групповая):

-дополнительный сбор фактов;

-обоснование известными теоретическими знаниями;

-экспериментальная проверка и наблюдение;

-лабораторная или практическая работа.

В ходе рабочего процесса используется: мозговой штурм, защита выработанных позиций, технология критического мышления, технология «погружений», что  придает работе организованность и поэтапность.

Выводы могут представлять собой новые формулы, правила, свойства рассматриваемых объектов, а также обобщения, методы, способы, алгоритмы деятельности.

Выводы исследовательской деятельности могут быть оформлены в виде устного сообщения, отчета, реферата или доклада, проекта, публикации или изобретения.

Исследовательская работа, 5 класс.

Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Умножение десятичных дробей».

Цель: сформулировать правило умножения десятичных дробей.

Задания выполняются по группам.

Ход работы.

Задача. Найдите площадь прямоугольника  со сторонами a дм  

и b дм. Создаются группы по 4-5 человек, каждая группа получает свои значения a и b.

1. Переведите дециметры в сантиметры или миллиметры,

      чтобы работать с натуральными числами.

2. Найдите площадь прямоугольника в см2  или мм2.

3. Переведите см2 или мм2 в дм2.

4. Заполните с пятой по восьмую строку таблицы.

5. Сравните  результаты в таблице,  сформулируйте гипотезы о том, как перемножаются десятичные дроби.
6. Проверьте гипотезы, опираясь на факты таблицы.

7. Сделайте вывод, работая с учебником.

Итог. Ученики формулируют правило умножения десятичных дробей.

                            Исследовательская работа, 6 класс.

Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Экспериментальное получение числа π».

Цель: найти приближённое значение числа π.

Оборудование: картонные круги  с указанным центром, нитка, линейка.

Создаются группы по 4-5 человек, каждая группа получает комплект кругов с разными радиусами.

Ход работы.

1. Проведите и измерьте радиус круга.

2. Вычислите диаметр круга.  

3. С помощью нитки или перекатывая круг вдоль линейки, измерьте длину окружности.

4. Заполните таблицу.

5. Сформулируйте гипотезы об отношении длины окружности  к диаметру.

6. Проверьте гипотезы, работая с учебником.

Итог. Делается вывод, что отношение длины окружности к диаметру есть величина постоянная и получают приближенное значение числа π.

Исследовательская работа, 6 класс.                                                                                          В.В.Сулейманова, учитель первой категории.

Тема: «Осевая симметрия».                                                                       

Цель: ввести понятие оси симметрии для отрезков, треугольников (рассмотреть различные виды треугольников).                                                                 

Оборудование:  проектор,  листы  белой  бумаги  для  каждого учащегося, карандаш,  различные  виды  треугольников: 5 равносторонних ,                  5 равнобедренных, 5прямоугольных, 5 разносторонних.

Ход работы.

1. Постройте отрезок AB на листе бумаги.                                                           

2. Перегните лист так, чтобы т.A и т.B совпали.

3. Разверните лист и проведите карандашом линию перегиба. Назовите эту прямую m.

4.  Точку пересечения отрезка AB с  прямой    m  обозначьте О. Как расположена т.O относительно  прямой   m  и  относительно отрезка AB?  

 5. Возьмите на прямой m точки C, D, K, M. Как записать, что эти точки лежат на  прямой  m?                                            

 6. Соедините каждую точку с концами отрезка АВ. Что можно сказать о полученных треугольниках AOC и BOC?   Как  это доказать?  

7. Назовите равные элементы в треугольниках AOC и BOC.  

8. Рассмотрим треугольник ADO и BDO.Что можем сказать об этих треугольниках? Назовите равные элементы и в этих треугольниках.  Итак, мы  видим, что т.A и т.B находятся на одинаковом расстоянии от прямой m, т.е. т.A и т.B равноудалены от прямой m. Прямая m называется  осью симметрии  отрезка AB и треугольника АВД.                                         

9. Что мы можем сказать о длинах отрезков AM и MK? AP и PB? Итак, любые точки, принадлежащие оси симметрии отрезка AB, равноудалены от его концов.

10. Рассмотрим треугольники  ACB, ADB, AMB, APB. Что делает прямая m с этими треугольниками?  Проверьте гипотезу на различных видах треугольников.

Итог.   Сформулировали определение оси симметрии  и проверили симметричность различных видов треугольников.

                               Исследовательская работа , 7 класс.

                                          Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «График уравнения ax+by+c=0».

Цель: выяснить, как расположены в координатной плоскости решения уравнения ax+by+c=0. Сформулировать алгоритм построения графика этого уравнения.

Оборудование: проектор, инструменты.

Ход работы.

1. Составьте уравнение: ax + by + c = 0.
2. Подберите 5 решений, удовлетворяющих уравнению.
3. Постройте в координатной плоскости точки с координатами (x;y), соответствующими решению уравнения.

4.Выясните, все ли решения мы отметили в координатной плоскости. Проанализируйте, где будут расположены остальные решения.

5.Выдвижение гипотезы, что множеством решений уравнения

ax + by + c = 0 есть множество точек, образующих  прямую.

6.Отметим, что доказательство этой теоремы будет проведено позже в            9 классе.

7.Так как графиком уравнения является прямая, обговаривается количество точек, необходимых для её построения.

Итог. Формулировка алгоритма построения графика уравнения

ax + by + c = 0.

Исследовательская работа, 7 класс.

          Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Возведение в квадрат трехчлена».

Цель: вывести формулу возведения трехчлена в квадрат.

Оборудование: тетрадь, ручка, карандаш и линейка.

Ход работы.

1. Постройте квадрат, длина стороны которого равна сумме длин трех  произвольных отрезков a + b + c.
2. Запишите формулу для вычисления площади такого квадрата.
3. Разбейте квадрат на 9 частей, соединив концы отрезков на сторонах  квадрата.

                                    a           b               с

4. Найдите площади всех частей, занесите данные в таблицу.

Сложите получившиеся результаты и соотнесите с формулой из пункта 2.

5. Сформулируйте свои гипотезы о возведении в квадрат трехчлена.
6. Проверьте гипотезы, используя формулу возведения в квадрат двучлена

,  где .

Итог.   Выводится  формулу возведения трехчлена в квадрат:              

 (а + b + с)2  =  а2 + b2 + с2 + 2аb + 2ас + 2bс.

                                    Исследовательская работа, 7 класс.

                 Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «  Применение метода  перебора».

Цель: научить применять метод перебора при решении задач.

Оборудование: таблица, инструменты.

Задача., работая с учебником Найти все двузначные числа, если сумма квадратов их цифр на 9 меньше первой цифры, умноженной на 4.

Ход работы.

1. Составьте математическую модель:

2. Выразите из равенства .

3. Занесите в таблицу расчеты при .  Подумайте, почему именно эти значения х?  Всегда ли возможно найти у?

4. Выберите х и у и составьте из них двузначные числа.  Могут ли быть другие двузначные числа, удовлетворяющие решению задачи?

5. Сформулируйте гипотезы о том, когда можно применять данный метод. Какое бы вы дали ему название?

6. Проверьте гипотезы, работая с учебником.

Итог. Установлен  новый метод   при решении задач, в которых конечное число вариантов для неизвестных - метод перебора.

Исследовательская работа. 7 класс.

Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Взаимное расположение графиков линейных функций».  

Цель: научиться оценивать взаимное расположение графиков линейных функций, не выполняя построения.

Оборудование: таблица, инструменты, карточки с заданиями.

Ход работы.

4. Построить два графика линейной функции y = kx + m в одной системе координат. Задания выполняются по группам.

1)у1= 2х +3;         2)у1= 2х +3;          3)у1= х +4;                  

    у2= 2х - 2;            у2= -х +3;              у2= х -3;

 4)у1= х +3;         5)у1=3х -5;           6)у1= -2х;                  

    у2= 0,5х +3;         у2=2х -2;              у2=-2 х +1;

5. Заполнить таблицу.

3. Сделать выводы, как зависит взаимное расположение графиков линейных функций от коэффициентов к и m.  

4.  Проверка полученных выводов с помощью учебника.

Итог. Если к1= к2, m1≠ m2, то прямые у=к1х + m1 и у=к2х + m2 параллельны.         Если к1= к2, m1 = m2, то прямые у=к1х + m1 и у=к2х + m2  совпадают.                       Если к1  ≠ к2,  то прямые у=к1х + m1 и у=к2х + m2   пересекаются.

 Исследовательская работа, 7 класс.                                                                                         Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными».

Цель: научиться определять количество решений системы, не находя самих решений.

Оборудование: таблица, инструменты, карточки с заданиями.

Ход работы.                                                                                                            1.Решить графически систему уравнений  

Задания выполняются по группам.

1)

2.Заполнить таблицу.

3.Сделать выводы, как зависит количество решений системы        
 от коэффициентов  a1, b1, c1, a2, b2, c2.

4.Проверка полученных выводов с помощью доказательства.

Итог. Если, , то система решений не имеет.                             Если, , то система имеет бесконечное множество решений.

Если, , то система имеет одно решение.

                            Исследовательская работа, 7 класс.

                                      Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Свойства прямоугольного треугольника».

Цель: вывести свойства прямоугольного треугольника.

Оборудование: равносторонний треугольник, вырезанный из бумаги.

Ход работы.

1.Сложите треугольник Δ пополам и определите углы, получившегося треугольника Δ.

2.Сравните длины гипотенузы и катета, лежащего против угла в 30˚

3. Согните острые углы так, чтобы получился четырехугольник.

4. Сформулируйте гипотезы о сумме острых углов прямоугольного треугольника и о катете, лежащем против угла в 30˚.

5.Проверьте гипотезы и сделайте выводы.  

Итог. Формулируются свойства прямоугольного треугольника:

сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 900;

катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы.

           Исследовательская работа,   7 класс.

                  Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Первый  и  второй признаки равенства треугольников».

Цель: сформулировать первый и второй признаки равенства треугольников.

Оборудование: альбомный лист, инструменты, ножницы.

Ход работы.

Работа в группах.

1.Постройте в тетради треугольник:

1 группа. А=40°, АВ=5см, АС=3см.

2 группа. ∠А=120°, АВ=6см, АС=4см.

3 группа. ∠А=90°,  АВ=7см, АС=5см.

4 группа. А=45°, АВ=5см,=45°.

5 группа. ∠А=120°, АВ=6см, =20°.

6 группа. ∠А=90°,  АВ=7см, =30°.

2.По этим же данным постройте треугольник на альбомном листе, вырежьте его.

3.Сравните два треугольника (наложением).

4. Сформулируйте гипотезы о равенстве треугольников по некоторым элементам.

5. Сверьте гипотезы с формулировками теорем по учебнику.

Итог. Формулируются  первый и второй признаки равенства треугольников.

            Исследовательская работа факультативного курса,  7 класс.

                                 О. В. Алексеева, учитель первой категории.

Тема: Перевод времени: прихоть или необходимость.

Цель: выяснить, зачем в России  переводят стрелки часов на летнее время.

Оборудование: счетчик электроэнергии, таблица восхода и захода солнца, график бодрствования человека.

Ход работы:

1. Сформулировать гипотезу на основе своих знаний и мнения окружающих о том, зачем переводят стрелки часов на летнее время  (желательно провести анкетирование разных возрастных групп и результаты представить в виде диаграммы).

2. Составить формулы и  вычислить денежную экономию на примере нескольких семей.

3. Провести исследование и выяснить какой ритм жизни, с биологической точки зрения, благоприятен для человека(опрос разных возрастных групп населения, статистические данные из поликлиник и больниц и т.д.)

4.  Сравнить результаты исследования с гипотезой, сформулированной в начале исследования.

Итог. Сделать выводы о денежной экономии в исследуемых семьях; проанализировать данные о здоровье человека в период перевода часов на летнее время; в случае несовпадения гипотезы с результатами исследования назвать причины; сформулировать свое мнение о полученных результатах и если это возможно, предложить свой выход из создавшейся ситуации.

    Исследовательская работа, 8 класс.

                 Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Наибольшее значение произведения положительных чисел при их фиксированной сумме».

Цель: определить значения положительных чисел, для которых их произведение будет  наибольшим при фиксированной сумме.

Оборудование: карточки с таблицей, ручка.

Ход работы.

Работа по группам.

1. Представьте данное число в виде суммы двух положительных слагаемых всеми способами.

2. Найдите произведение каждой пары, занесите данные в таблицу.

I группа а+b=8       II группа а+b=10        III группа а+b=12

3. Выберите, при каких значениях a и b произведение наибольшее.

4. Сформулируйте гипотезы о зависимости произведения положительных величин при их фиксированной сумме от значений этих величин.

5. Проверьте истинность гипотез, составив разность между произведением аb, когда a и b различны, и, когда они равны, учитывая, что при равенстве а и b  а+b=2а=2b=к, а=b=к∕2, аb=к2∕4=(а+b)2∕4 . 

Итог.  Делается вывод о том, что  произведение положительных чисел будет наибольшим при их фиксированной сумме, если эти числа будут равны.

Исследовательская работа, 8 класс.

                 Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Наименьшее значение суммы положительных чисел при их фиксированном произведении».

Цель: определить при каких значениях положительных чисел их  сумма будет  наименьшая, при фиксированном произведении.

Оборудование: карточки с таблицей, ручка.

Ход работы.

Работа по группам.

1. Представьте данное число в виде произведения  двух положительных множителей  всеми возможными способами.

2. Найдите сумму каждой пары, занесите данные в таблицу.

I группа а×b=64       II группа а×b=100        III группа а×b=36

3. Выберите, при каких значениях a и b сумма получилась минимальная.

4. Сформулируйте гипотезы о зависимости суммы  положительных величин при их фиксированном произведении от значений этих величин.

5. Проверьте истинность гипотез, составив разность между суммой а+b, когда a и b различны, и, когда они равны,  учитывая, что при равенстве а и b  аb = а2 = b2 = к,              а = b = √к, а + b = 2√к = 2√аb.  

Итог. Делается  вывод о том, что сумма положительных чисел будет наименьшей при фиксированном произведении, если эти числа равны.

                          Исследовательская работа, 8 класс.

               Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Нахождение значения  многочлена».

Цель: вывести правило нахождения значения многочлена с помощью схемы Горнера.

Оборудование: карточки с таблицей.

Ход работы.

Работа по группам.

Дан многочлен

Начертите таблицу и заполните верхнюю строку коэффициентов, внешний столбик, значение х и столбик старшего коэффициента.

1 группа x = 2, 2 группа x = 3, 3 группа x = 6.

1. Преобразуйте многочлен следующим образом:

 и вычислите значение при заданном х.

а) во внутренних скобках;

б) во внешних скобках;

в) конечный результат.

2. Занесите полученные числовые выражения и их значения в таблицу в строку соответствующего столбика а) б) в)

3. Сопоставьте полученные числовые выражения в клетке таблицы с числом стоящим в клетке слева, с «внешним» числом и числом из строки коэффициентов «сверху».

4. Сформулируйте гипотезы нахождения чисел в клетках таблицы.

5. Проверьте ваши гипотезы, сравнив с правилом в учебнике.

Итог.  Научились находить  значения многочлена с помощью схемы Горнера, вывели правило заполнения строк «следующее = левое × внешнее + верхнее».

                                 Исследовательская  работа,  8 класс.

            Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Теорема Виета».

Цель: сформулировать теорему Виета.

Оборудование: карточки с заданиями.

Ход работы.

Работа по группам.

1. Решите уравнение x2 + px + q = 0.

1гр.

2гр.

3гр.

4гр.

5гр.

6гр.

2. Заполните таблицу:

3. Найдите закономерность и сформулируйте гипотезы о

   связи  корней и коэффициентов приведенного квадратного  

   уравнения.

4. Верны ли полученные выводы для уравнения      

                 ax2 + bx + c = 0?

5. Преобразуйте его к виду приведенного квадратного  

    уравнения .

6. Сформулируйте гипотезы  для уравнения ax2 + bx + c = 0.

7. Проверьте гипотезы c помощью доказательства, данного в учебнике.

Итог. Формулируется теорема Виета: Если х1  и  х2 корни уравнения           ах2 + bх + с = 0, то х1 +  х2 = -,  х1 ∙  х2 =.

                              Исследовательская работа , 9 класс.

       Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Теорема синусов».

Цель: сформулировать теорему синусов.

Оборудование: циркуль, линейка, транспортир, таблицы Брадиса.

Ход работы.

Работа по группам.

1. Постройте окружность заданного радиуса:

1 группа R =2см, 2 группа R = 3см, 3 группа R = 4см.

2. Возьмите три произвольные точки  на окружности и постройте треугольник.

3. Измерьте стороны и углы треугольника.

4. Заполните таблицу.

5. Сформулируйте гипотезы об отношении стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

6. Сравните результат с величиной диаметра окружности.

7. Проверьте гипотезы.

Итог.   Формулируется теорема синусов:        

и рассматривается ее доказательство по учебнику.

                               Исследовательская работа, 9 класс.

         Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Уравнение эллипса».

Цель: вывести уравнение построенной кривой.

Оборудование: лист бумаги, кнопки, нитка, карандаш.

Ход работы.

1. На листе воткните две кнопки на расстоянии 12 см друг от друга    (точки А и В).
2. Из нитки длиной 32 см свяжите кольцо и набросьте его на кнопки.
3. Оттягивая нитку карандашом, проведите на листе бумаги замкнутую кривую.
4. Введите систему координат: О (0;0) – середина АВ, Ох – прямая, совпадающая с  АВ, Оу – прямая, проходящая  через (0;0) перпендикулярно Ох.
5. Определите координаты точек А и В в этой системе координат.
6. Для произвольной точки М (х; у) кривой выполняется равенство АМ+ВМ+АВ=32. Чему равно тогда АМ+ВМ?

Выразите АМ + ВМ по формуле расстояния между точками через координаты точек А, М, В.

7. Упростите полученное уравнение:

- перенесите один корень в правую часть,

- возведите в квадрат обе части уравнения,

- приведите подобные слагаемые,

- «уедините» корень и снова возведите в квадрат обе части уравнения,

- еще раз приведите подобные слагаемые,

- разделите обе части уравнения на свободный член,

-представьте числа в знаменателях дробей в виде квадратов.

8. Сравните  полученные в уравнении числа с   координатами точек пересечения кривой с осями.

Сформулируйте гипотезы об уравнении эллипса.

9. Проверьте гипотезы, сравнив с выводом уравнения эллипса в учебнике в общем виде.

Итог. Выводится  уравнение эллипса:   и выясняется  способ определения  а и b.

Исследовательская работа предпрофильного курса, 9 класс.

Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Связь между вероятностями и статистическими данными».

Цель: установить связь между статистическими данными и вероятностью, сформулировать закон статистической  устойчивости.

Оборудование: монеты, кубики, карты, пособие А. Г. Мордковича,

 П. В. Семенова «», тексты  из книги Г. Остера «Вредные советы–2», ПК, проектор, экран и презентация.

Работа по группам.

Первой группе: А – выпадение решки при бросании монеты,

 второй группе: А – выпадение пяти очков при бросании игрального кубика, третьей группе: А- выбор бубновой карты из четырёх карт разной масти.

Работа сначала проводится индивидуально.

Ход работы.

1. Проведите десять испытаний на исследование частоты наступления события А и запишите результаты в свою таблицу.

2. Соберите данные всей группы и посчитайте общую частоту.

    Посчитайте классическую вероятность.

3. Сравните свою частоту, общую частоту с классической вероятностью.

4. Сформулируйте свою гипотезу об их связи.

5. Сравните свои гипотезы с законом статистической  устойчивости.

Проведите  статистическое исследование литературного текста.

Какая из букв А, О, Е, И чаще встречаются.

6. Посчитайте общее число букв А, О, Е, И, заполните таблицу и посчитайте частоту появления каждой буквы.

7. Сравните результаты в группе, чтобы избежать ошибки в счёте.

8.  Озвучьте свой текст и результаты исследования, сделайте свой вывод.

9. Посчитайте общую частоту появления букв во всех трёх текстах. Сделайте общий вывод.

10.  Сравните полученный результат с результатом статистического исследования над огромным числом литературных текстов в виде частотной таблицы языка.

11. Обратите внимание на расположение букв на клавиатуре, почему их не расположили в порядке алфавита?

 Итог. Устанавливается связь теории вероятностей и математической статистики с практикой.

Исследовательская работа, 10 класс.

         Т. Н. Пирогова, учитель высшей категории.

Тема: «Правильные многогранники».

Цель:  установить число правильных многогранников, их названия, их        Эйлерову характеристику, двойственность и место в философии.

Оборудование: развертка выпуклого многогранного угла, набор правильных многогранников, таблицы, ПК, проектор, экран и презентация.

 Ход работы.

Работа состоит из серии исследований.

1 исследование:  определение количества правильных многогранников.

 1. Рассмотрите  развертку выпуклого многогранного угла, в его  вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником.                                                                  

2. Сколько может быть углов правильного трех, четырех, пяти, шестиугольника при вершине многранного угла?

3. Составьте и решите в целых числах неравенства:

60к < 360, 90к < 360, 108к < 360,   (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника).

4. Сделайте общий вывод.

2 исследование: установление соотношения между названиями и количеством граней.

5.Посчитайте количество вершин, ребер и граней каждого многогранника и заполните таблицу

6. Определите   название многогранников по числу граней, если в переводе с греческого языка: тетра – 4, гекса -6, окта -8, додека – 12, эйкоси -20.                        

7. Проверьте по слайду, верны ли ваши названия.

3 исследование: определение Эйлеровой  характеристики.

8.Вычислите Эйлерову характеристику по формуле В-Р+Г, что вы замечаете?

9. Сделайте общий вывод.

4 исследование: установление  двойственности многогранников.

10. Представьте, что получится, если построить многогранник, соединив все центры граней у куба, додекаэдра и тетраэдра?

11.  По таблице сравните, у какого многогранника число граней   равно числу вершин другого.

12. Сделайте общий вывод о двойственности многогранников.

13. Сравните по слайду ваши предположения.

5 исследование: ознакомление с правильными многогранниками,  как символами стихий.

14. Определите,  какой из многогранников олицетворял какую сущность или "стихию.

Попробуйте, держа их в руках пофантазировать, если известно, что:.

он символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх,  

он -  воду, т.к. он самый "обтекаемый",  

он - землю, как самый "устойчивый",  

он  - воздух, как самый "воздушный»,  

он - символизировал все мироздание, считался главным.

15. Сравните по слайду ваши предположения.

Итог. Определяется число правильных многогранников и их названия,  Эйлерова характеристика, двойственность и место в философии.

 Исследовательская работа, 11 класс.

               В. В. Сулейманова, учитель первой категории.

Тема: «Приближенное вычисление площади криволинейной трапеции».

Цель: показать связь вычисления площади криволинейной трапеции с понятием интеграла.

Оборудование: рабочая тетрадь, инструменты.

Ход работы.

Работа по группам.

1. Постройте прямоугольники с заданным шагом и высотами, найдите их площади и сложите.
2. Найдите точное значение площади по формуле Ньютона-Лейбница.
3. Разбейте отрезок [0;1] на 10 равных частей.
4. Через эти точки проведите прямые, перпендикулярные Ох, до пересечения с кривой у=х2   и вычислите значения функции в этих  точках.
5. Постройте график функции у=х2  на отрезке [0;1] (единичный отрезок 10 см)

6. Внесите полученные результаты в таблицу:

7. Сравните полученные площади с точным значением площади  и определите зависимость результата от шага.
8. Сформулируйте гипотезу о вычислении площади криволинейной трапеции.
9. Проверьте гипотезу.

Итог. Вычислили площадь подграфика на отрезке [а; b] способом разбиения всей площади на более мелкие криволинейные трапеции. Установили, что площадь подграфика функции f(х) – одна из первообразной этой функции, т. е. S(х) = ∫ f(х) dх.

Исследовательская работа, 11 класс.

             В. В. Сулейманова, учитель первой категории.

Тема: «Применение интеграла для вычисления площади криволинейной                   трапеции».

Цель: установить зависимость площади криволинейной трапеции от способа интегрирования.

Оборудование: на рис. изображен график функции , где . Точка Вх и точка Ву  - проекции точки В на оси координат.

Ход работы.

Работа по группам.

1. Запишите в виде интеграла площадь  криволинейной трапеции:

I группа – SOBBx

II группа – SOByB

III группа – OByBBx

2. Запишите  площадь той же криволинейной трапеции  по оси ОУ.
3. С помощью формулы Ньютона-Лейбница вычислите значение  площадей по оси ОХ и по оси ОУ
4. Занесите полученные данные в таблицу:

5. Сравните площади криволинейных трапеций в результате вычисления различными способами.
6. Сформулируйте гипотезы о вычислении S криволинейной трапеции.
7. Проверьте гипотезы.  

Итог.  С помощью формулы Ньютона – Лейбница  

S(х) = F(b)-F(a) = а ∫ b  f(х) dх  установили, что площадь криволинейной трапеции не зависит от способа интегрирования.