Задачи по теории вероятностей и комбинаторике с решением.
тест по алгебре (9, 11 класс) по теме

1. Из 1000 собранных на заводе телевизоров 5 штук бракованных. Эксперт проверяет один наугад выбранный телевизор из этой 1000. Найдите вероятность того, что проверяемый телевизор окажется бракованным.
2. В урне 9 красных, 6 жёлтых и 5 зелёных шаров. Из урны наугад достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется жёлтым?

 3. Петя, Вика, Катя, Игорь, Антон, Полина бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.

4. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

 5.  В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

 6. На каждые 1000 электрических лампочек приходится 5 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку? 

 7. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

 8. В чемпионате по футболу участвуют 16 команд, которые жеребьевкой распределяются на 4 группы: A, B, C и D. Какова вероятность того, что команда России не попадает в группу A?

9. На турнир по шахматам прибыло 26 участников в том числе Коля и Толя. Для проведения жеребьевки первого тура участников случайным образом разбили на две группы по 13 человек. Найти вероятность того, что Коля и Толя попадут в разные группы.

 10. В классе 16 учащихся, среди них два друга —Вадим и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе.

   11. В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе. 

   12. Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 спортсменов, среди которых 7 участников из России, в том числе Платон Карпов. Найдите вероятность того, что в первом туре Платон Карпов будет играть с каким-либо спортсменом из России?

13. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 3 участника из России, в том числе Василий Лукин. Найдите вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России?  

 14. В классе 21 ученик, среди них 2 друга – Тоша и Гоша. На уроке физкультуры класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Тоша и Гоша попали в одну группу

  15. В классе 21 учащийся, среди них две подруги - Аня и Нина. Класс случайным образом делят на семь групп, по 3 человека в каждой. Найдите вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе.            

  При решении задач с монетами число всех возможных исходов можно посчитать по формуле п=2ª, где α –количество бросков

16.   В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз.

20.  В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.    

17. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза.    

 18. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

 При решении задач с кубиками число всех возможных исходов можно посчитать по формуле п=6ª, где α –количество бросков

19. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет нечетное число очков.                                                                                                          

 20.  Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало число очков, не большее 3.

21. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3.

 22. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.    

 23.   Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5.

24.Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 50. Какова вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет однозначный номер?

Противоположные события.

  25.  Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,19. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

   33. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже 36,8°C     равна 0,87. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура тела окажется 36,8°C или выше

 Несовместные и независимые события. 

26. На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Углы», равна 0,1. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Параллелограмм», равна 0,6. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.                                         

 27. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

   28.

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

29. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным

  30.

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда А должна сыграть два матча — с командой В и с командой С. Найдите вероятность того, что в обоих матчах первой мячом будет владеть команда А.

 31. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

32. Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,5. Найдите вероятность того, что стрелок первые 3 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.

33.. Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5.

34. Вася выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 6.

35. Телевизор у Маши сломался и показывает только один случайный канал. Маша включает телевизор. В это время по трем каналам из двадцати показывают кинокомедии. Найдите вероятность того, что Маша попадет на канал, где комедия не идет.

36. На тарелке 12 пирожков: 5 с мясом, 4 с капустой и 3 с вишней. Наташа наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

37. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 9 черных, 4 желтых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси.

38. В каждой десятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Варя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Варя не найдет приз в своей банке?

39. Миша с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двадцать четыре кабинки, из них 5 — синие, 7 — зеленые, остальные — красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Миша прокатится в красной кабинке.

40. У бабушки 20 чашек: 5 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

41. У дедушки 30 чашек: 14 с красными звездами, остальные с золотыми. Дедушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с золотыми звездами.

42 Коля наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 3.

43. На экзамене 50 билетов, Руслан не выучил 5 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

44. Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 15 с машинами и 10 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Толе достанется пазл с машиной.

45. Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 8 с картинами известных художников и 22 с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вове достанется пазл с животным.

46. В среднем на 50 карманных фонариков приходится два неисправных. Найдите вероятность купить работающий фонарик.

47. В среднем на 60 карманных фонариков приходится пять неисправных. Найдите вероятность купить работающий фонарик.

48. В среднем из каждых 80 поступивших в продажу аккумуляторов 76 аккумуляторов заряжены. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен. 

49.  В коробке лежат одинаковые по виду конфеты с разными начинками: 5 с вишней,4 с миндалем, 3 с фундуком. Наугад выбирают одну конфету. Какова вероятность того, что она будет с ореховой начинкой?

50. Вероятность попадания при стрельбе в случае ветреной погоды равна 0,6 при безветренной погоде -0,8. Вероятность ветреной погоды равна 0,4.  Найти вероятность попадания при стрельбе

51. Ученик на удачу отвечает на 9 вопросов словами, да и нет. Какова вероятность того что ответы на все вопросы оказались правильными

Разбор решений некоторых из задач (33 -51).

Решение.

№ 33. Всего 900 трехзначных чисел. Делятся на 5: 100, 105, ...,995, таких чисел n = 900/5=180,

n = 180      P = 180⁄900=0,2.

№ 34.    102, 108,..., 996 - делятся на 6. Таких чисел:   6n=900, n=150.

P = 150⁄900 = 1⁄6

№ 35.   20-3=17 (каналов) не показывают комедии    P=17⁄20=0,85

№ 36. P = 3⁄12=0,25

№ 37. P = 4⁄20=0,2

№ 38. Если в каждой десятой банке есть приз, значит, в 9 банках приза нет. P = 9⁄10=0,9

Решение.

№ 39.     24-12=12 (красные кабинки)   P = 12/24 = 0,5  

№ 40.  20-5=15 (чашек с синими цветами); P = 15⁄20=0,75.

№ 41. 30-14=16 (чашки с золотыми цветами); P = 16⁄30=8⁄15.

№ 42. Двузначные числа: 10, 11,....99. Их всего 90. Оканчивается на 3: 13, 23,...93. Таких чисел: 9.

Значит P = 9⁄90=0,1.

Решение.

№ 43. 50-5=45 (билетов выученных)      45 ⁄ 50=0,9.

№ 44.15 ⁄ 25 =0,6.

№ 45.  22⁄30=11 ⁄ 15.

№ 46.   50-2=48 (фонариков исправных),  48 ⁄ 50 =0,96.

№ 47  60-5=55 (исправные фонарики), 55 ⁄ 60 = 11 ⁄ 12.

№ 48.   80-76=4 (аккум. не заряжены), 4 ⁄ 80 = 1 ⁄ 20 = 0,05.

49.  В коробке лежат одинаковые по виду конфеты с разными начинками: 5 с вишней,4 с миндалем, 3 с фундуком. Наугад выбирают одну конфету. Какова вероятность того, что она будет с ореховой начинкой?

Решение.

Миндаль и вишня - не орех.

Всего конфет 12. Конфет с орехом (фундуком) 3. Имеем 3 благоприятных исхода. Всего 12 исходов.

Р = 3/12 = 0,25

50 Вероятность попадания при стрельбе в случае ветреной погоды равна 0,6 при безветренной погоде -0,8. Вероятность ветреной погоды равна 0,4.  Найти вероятность попадания при стрельбе

Решение.

Событие А - в цель попали.

Вероятность того, что погода ветреная равна 0,4, а безветренная -  1-0,4=0,6.

Каждую вероятность умножаем на вероятность попадания при этой погоде. По формуле суммы вероятностей:     Р(А)= 0,4∙0,6 + (1-0,4)∙0,8 = 0,24+0,48 = 0,72

51. Ученик на удачу отвечает на 9 вопросов словами да и нет. Какова вероятность того что ответы на все вопросы оказались правильными

Решение.

Ответ представляет собой набор из девяти слов (ответы - да или нет).

Всего наборов из девяти слов будет 29=512.

И только один будет правильный.

Р=1/512