Наибольшее и наименьшее значения функции
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Урок алгебры в 11-м классе: "Наибольшее и наименьшее ее значения функции"

Зубкова Марина Анатольевна, учитель математики 

 Структура урока

ХОД УРОКА

I этап: Организационный

Учитель здоровается, сообщает тему урока, цель урока.

II этап: Подготовительный

Фронтальный опрос

1. Найдите производную функции:

а) sin x
б) tg х
в) х2 + 2
г) х4
д) 
е) ех+2

Задание выдается каждому ученику (к доске выходят по желанию)

2. Найдите производную функции:

3.  Найдите критические точки функции:

4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

5. Вычислите f(0)

III этап: Новый материал

1. Русский математик XIX века Чебышев говорил, что “особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды”.

Пусть функция у = f(х) непрерывна на отрезке [а; b]. Как известно такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке xo отрезка [а; b], либо на границе отрезка, т.е. при xo = а, или xo= b. Если хo (a; b) то точку xo следует искать среди критических точек данной функции.

Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на (а; b):

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции:

1. найти критические точки функции на интервале (а; b);
2. вычислить значения функции в найденных критических точках;
3. вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках х = а и х = b,
4. среди всех вычисленных значениях функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечания: 

1. Если функция у = f(х) на отрезке [а; b] имеет лишь одну точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. ((хo) = fнб = fmax , где нб – наибольшее, max – максимальное).

2. Если функция у = f(х) на отрезке [а; b] не имеет критических , то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или у бывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает одном конце отрезка, а наименьшее – на другом.

Задача

Найти наибольшее и наименьшее значения функции: f(x) = Зx2 + 4x3 + 1 на отрезке [– 2; 1].

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин.

Практические задачи: транспортная задача о перевозке груза с минимальными
затратами, задача об организации производственного процесса, с целью получения максимальной прибыли и другие задачи, связанные
поиском оптимального решения, приводят к развитию и усовершенствованию методов отыскания наибольших и наименьших значений. Решением
таких задач занимается особая ветвь математики — линейное программирование

(Для самостоятельного изучения материала можно использовать мультимедийные средства)

2. Задача

Найти наибольшее и наименьшее значения функции :

f(х) = 2х3 – 3х2 – 36х [– 2; 1]

3. Задача. Рекламный щит имеет форму прямоугольника S=9 м2. Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром.

IV этап: Первичное закрепление материала

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: f(х) =2х3 + 3х2 – 36х 

а) [– 4; 3] б) [– 2; 1];
а) решает учитель;
б) решает ученик.

2. Самостоятельно (самопроверка)

f(х) = х4 – 8х2 + 5 [– 3; 2]

3. Ученик выполняет на доске

f(х) = х + е–2 [– 1; 2]

V этап: Выполнение самостоятельной работы

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

I в. f (x) = x3 – 3x2 + 3x + 2; [– 2; 2]

II в. y = 9x + 3x2 – x3 на отрезке [– 2; 2]

VI этап: Домашнее задание:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1. y = 5 + x4 – 8x на отрезке [– 3 ; 2];
2. f (x) = 9 – 6x2 – x3 на отрезке [– 4; 2];
3. y = 4 – 9х + 3x2 + x3 на отрезке [– 2; 2].

VII этап: Итог урока