Конспект урока по алгебре в 9 классе по теме "Решение простейших вероятностных задач".
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

Урок по теме «Простейшие вероятностные задачи»                                                                                                                                                                       

Тип урока: комбинированный.

Цель урока: узнать об истории развития теории вероятностей,

                            рассмотреть простейшие понятия теории вероятностей,

                       научиться в процессе реальной ситуации определять

                       достоверные, невозможные, равновероятностные, совместные

                       и несовместные события,

                       научить решать задачи из жизни, используя

                       классическое определение вероятности.

Оборудование и материалы для урока: компьютер, проектор, презентация по теме «Простейшие вероятностные задачи», экран.

План урока:

1) Организационный момент. Вступление учителя. Целеполагание. Мотивация.

2) Повторение и закрепление пройденного материала.

     -  разгадывание кроссворда

     - проверка домашнего творческого задания

3) Исторический экскурс

4)  Повторение алгоритма нахождения вероятности случайного события.

5) Совместное решение вероятностных задач

6) Решение заданий из вариантов ГИА. Групповая дифференцированная работа.

7) Отчёт групп о проделанной работе.

8) Домашнее задание.

9) Итоги урока.   Рефлексия.

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие, сообщение темы и цели урока.

Случай, случайность — с  ними  мы  встречаемся  повседневно:  случайная

   встреча, случайная поломка, случайная находка, случайная ошибка.    Казалось   бы,   тут   нет   места   для   математики—какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука  обнаружила   интересные закономерности—они  позволяют  человеку  уверенно  чувствовать

   себя при встрече со случайными событиями, прогнозировать наступление того или иного события, подсчитывая его вероятность.

А нашла ли своё отражение теория вероятностей  в вариантах ГИА?

( конечно, № 19 посвящён именно этой теме.)

Поэтому цель нашего урока не просто научиться решать простейшие вероятностные задачи, но и подготовиться к выполнению этого задания  на экзамене.

2. Повторение и закрепление пройденного материала

• Контроль усвоения материала ( кроссворд).

Разгадав кроссворд, мы узнаем, кто из математиков придумал и впервые опубликовал классическую вероятностную схему.

Вопросы кроссворда:

1. результат испытания.
2. событие, которое происходит всегда.
3. численная характеристика реальности появления того или иного события.
4. события, в наступлении которых нет преимуществ.
5. непредсказуемое событие.
6. всякое наступление события А означает ненаступление события В.

7. вероятность невозможного события.
8. вероятность достоверного события.

               Визуализация  на слайдах:

• Ответы на вопросы по домашнему  творческому заданию (разбор придуманных примеров на каждое из понятий:  испытание, событие, достоверное событие, невозможное событие, равновозможные события, противоположные события, совместные и несовместные события ).

В игровой форме. Один ученик приводит свой пример, а другой ученик отгадывает  понятие, на которое этот пример.

3. Исторический экскурс.

История теории вероятностей отмечена  уникальными особенностями. Прежде всего,  у теории вероятностей  не было античных или средневековых предшественников, это «молодая»  наука.  Долгое время теория вероятностей считалась чисто опытной наукой и «не совсем математикой»,  потому, что в начале это были лишь  курьёзные задачки, связанные с играми в кости и в карты.

А вот  в XVII   веке  уже теория вероятностей нашла своё применение в демографии, страховом деле, в оценке ошибок наблюдения. Над этими вопросами и работали основатели теории вероятностей французские математики Б. Паскаль, П. Ферма,  голландский учёный  Х. Гюйгенс.

В XVIII веке появились  книга Я. Бернулли «Искусство предположений» (1713 год). В ней Бернулли предложил классическое определение вероятности случайного события как отношение числа равновероятных исходов, связанных с этим событием, к общему числу исходов. Он также изложил  «закон больших чисел» и мн.др.

 К концу XIX века появляются статистическая физика, строгая теория ошибок измерения.

В XX веке в физике была создана теория микромира, а в биологии — теория наследственности, обе они  основаны на вероятностных методах.

В наши дни теория вероятностей занимает одно из первых мест в прикладных науках.

4.  Повторение алгоритма нахождения вероятности случайного события.

 (Визуализация  на слайде)

Классическое определение вероятности.          

        Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания.

Для решения задач используют алгоритм нахождения вероятности случайного события.     (слайд 9)

        Для нахождения вероятности случайного события А при проведении некоторого испытания следует найти:

1. число N всех возможных исходов данного испытания;
2. количество N(A) тех исходов, в которых наступает             событие А;
3. частное  оно и будет равно вероятности события А.

Принято вероятность события А обозначать так: Р(А).  Значит Р(А) =

5. Совместное решение вероятностных задач.

1. На завод привезли партию из 1000 подшипников. Случайно в эту партию попало 30 подшипников, не удовлетворяющих стандарту. Определить вероятность Р(А) того, что взятый наудачу подшипник окажется стандартным.

Решение. Число стандартных подшипников равно 1000 – 30 = 970. Будем считать, что каждый подшипник имеет одинаковую вероятность быть выбранным. Тогда полная группа событий состоит из N = 1000 равновероятных исходов, из которых событию А благоприятствуют N(A) = 970 исходов.

Поэтому  Р(А) =

Ответ: 0,97.

2. Найти вероятность того, что при одном бросании игральной кости (кубика) выпадает: а) три очка; б) число очков, кратное трем; в) число очков больше трех; г) число очков, не кратное трем.

Решение. Всего имеется N=6 возможных исходов: выпадение 1,2,3,4,5,6 очков. Считаем, что эти исходы равновозможны.

а) Только при одном из исходов N(А)=1 происходит интересующее нас

событие А – выпадение трех очков. Вероятность этого события .

б) При двух исходах N(B) = 2 происходит событие B: выпадение числа очков кратных трем: выпадение или трех или шести очков. Вероятность такого события .

в) При трех исходах N(C) = 3 происходит событие C: выпадение числа очков больше трех: выпадение четырех, пяти или шести очков. Вероятность этого события .

г) Из шести возможных выпавших чисел четыре (1, 2, 4 и 5) не кратны трем, а остальные два (3 и 6) делятся на три. Значит, интересующее нас событие D,

наступает в четырех случаях, т.е. N(D) = 4. Вероятность такого события: .

 Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

3. Найти  вероятность того, что при подбрасывании двух костей  суммарное число очков окажется равным 5.

Решение. Возможно следующее сочетание очков на первой и второй костях:

1 + 4,  2 + 3,  3 + 2,  4 + 1 – четыре благоприятных случая (N(A) = 4). Всего возможных исходов N = 6·6 = 36 (по шесть для каждой кости). Тогда вероятность рассматриваемого события  

Ответ: .

4. В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.    

Решение. Элементарный исход – случайно выбранный аккумулятор. Поэтому

N = 1000.

Событию А = {аккумулятор исправен} благоприятствуют 1000 – 6 = 994 исхода.

Поэтому N(A) = 994.

Тогда

Ответ: 0,994.

Эту задачу можно решить с помощью формулы вероятности противоположного события  = {аккумулятор неисправен}. Тогда N(Ā)=6.

Имеем =  Значит,  P(A) = 1- =1 – 0,006 = 0,994.

Ответ:  0,994.

5.  Монета бросается два раза. Какова вероятность того, что:
а) герб выпадет хотя бы один раз?      б) герб выпадет два раза?    (слайд 13)

Решение. а) Пусть А - событие, состоящее в том, что в результате проведенного испытания герб выпал хотя бы один раз.
Равновозможными элементарными исходами здесь являются: ГГ, ГР, РГ, РР, т.е. N = 4. Событию А благоприятствуют исходы: ГГ, ГР, РГ, т.е. N(A) = 3.
Следовательно, 
б) Пусть В - событие, состоящее в том, что в результате проведенного испытания герб выпал два раза.

Событию В благоприятствует один исход: ГГ, т.е. N(B) = 1.
Следовательно, 

Ответ: а) ;    б)  .

6.  В ящике лежат 6 красных и 6 синих шаров. Наудачу вынимают 8 шаров. Определите вероятность события А - все выбранные шары красные.    

Решение. Р(А) = 0, т.к. это событие А - невозможное.

Ответ:  0.

7.  Перед началом первого тура чемпионата  по теннису разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 46 теннисистов, среди которых 19 участников из России, в том числе Ярослав Исаков. Найдите вероятность того, что в первом туре Ярослав Исаков будет играть с каким – либо теннисистом из России.  (слайд 16)

Решение. Число всех исходов N = 45. Число элементарных событий, благоприятствующих событию А равно 18. Все элементарные события равновозможны по условию задачи, поэтому

Ответ:  0,4.

6. Решение задач в группах.  

        А теперь перейдем к работе в группах. Ваша задача: решить задачи, оформить их в тетрадях и рассказать о проделанной совместной работе. Листочки с заданиями  на столах. Помогайте друг другу при решении.  

(Учитель, в процессе работы учащихся, оказывает помощь каждой группе).

Задачи лёгкого варианта. (все из сборника подготовки к ОГЭ.

1. В среднем на 80 карманных фонариков, поступивших в продажу,  приходится 10 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
2. На экзамене 25 билетов. Стас не выучил 5 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
3. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,12. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
4. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел равна 5 или 8.
5. Коля выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 100.
6. Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям в связи с окончанием года, из них 8 с машинками и 12 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 20 детьми, среди которых есть Вася. Найдите вероятность того, что Васе достанется пазл с машинкой.
7. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 4 чёрных, 6 жёлтых и 10 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Задачи трудного варианта.

1. Вася, Петя, Коля и Леша бросили жребий - кому начинать игру.

    Найдите вероятность того,  что начинать игру должен будет Петя.

2. Игральный кубик  (кость) бросили один раз. Какова вероятность того,

    что выпало число очков, больше чем 4?

3. В случайном эксперименте бросают два игральных кубика.

    Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков.

4. В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова

    вероятность того, что орел выпал ровно два раза?

5. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из

    Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5-

     из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены,

     определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен,

     который выступает последним, окажется из Швеции.

6. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России,

    7 из США, остальные – из Китая. Порядок, в котором

     выступают    гимнастки, определяется жребием. Найдите

     вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется

     из Китая.

7.  Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных

 сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами.

  Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется

  качественной. Результат округлите до сотых.

Решения к задачам сложного варианта.

1. Случайный эксперимент – бросание жребия. Элементарное событие в этом эксперименте – участник, который выиграл жребий. Перечислим их:

(Вася), (Петя), (Коля) и (Лёша).

Общее число элементарных событий N = 4. Жребий подразумевает, что элементарные события равновозможны. Событию A = {жребий выиграл Петя}

благоприятствует только одно элементарное событие (Петя). Поэтому N(A)=1.

Тогда .

Ответ: 0,25.

2.  Случайный эксперимент – бросание кубика. Элементарное событие –число на выпавшей грани. Граней всего шесть. Перечислим все элементарные события: 1,2,3,4,5 и 6. Значит, N=6. Событию A={выпало больше, чем 4} благоприятствует два элементарных события: 5 и 6. Поэтому N(A) = 2. Элементарные события равновозможны. Поэтому   .

Ответ: .

3. Элементарный исход в этом опыте – порядочная пара чисел. Первое число выпадает на первом кубике, а второе – на втором. Множество элементарных исходов удобно представить таблицей. Строки соответствуют результату первого броска, столбцы – результату второго броска. Всего элементарных событий N = 3.

    1      2     3      4     5       6

1

2

3

4

5

6

Напишем в каждой клетке таблицы сумму выпавших очков и закрасим клетки где сумма равна 8. Таких ячеек 5. Значит событию А = {сумма равна 8} благоприятствует пять элементарных исходов. Следовательно, N(A) = 5.

Поэтому

Ответ:  

2. Орёл обозначим буквой О, решку – буквой Р. В описанном эксперименте элементарные исходы – тройки, составленные из букв О и Р. Выпишем все их в таблицу:

Всего исходов получилось 8. Значит, N=8. Событию А = {орёл выпал ровно два раза} благоприятствует элементарные события ООР, ОРО, РОО. Поэтому N(A)=3. Тогда

Ответ: 0,375.

5. Элементарный исход – спортсмен, который выступает последним. Последним может оказаться любой спортсмен. Всего спортсменов N=4+7+9+5+5=25. Событию А = {последний из Швеции} благоприятствуют только 9 исходов (столько, сколько участвует шведских спортсменов). Поэтому N(A)=9.

Тогда

Ответ: 0,36.

6. Элементарные события – спортсменка, выступающая первой. Поэтому N=20. Чтобы найти число элементарных событий, благоприятствующих событию А = {первой выступает спортсменка из Китая}, нужно подсчитать число спортсменок из Китая: N(A)=20-(8+7)=5. Все элементарные события равновозможны по условию задачи, поэтому    

Ответ: 0,25.

7.  Элементарный исход – случайно выбранная сумка. Поэтому  N = 108.

Событию А = {качественная сумка}  благоприятствуют 100 исходов.

Поэтому N(A) = 100.

Тогда

Ответ: 0,93.

7. Отчет групп о проделанной работе

8.  Итоги урока        

Ученики проговаривают, что нового узнали на уроке. Учитель оценивает работу ребят.

9.  Домашнее задание   § 20; №20.8; 20.9; сборник подгот. к ОГЭ, вар.12, №1-8;

                                              №22.