Открытый урок по дисциплине "Математика" на тему: "Иррациональные уравнения"
план-конспект занятия по алгебре (11 класс) на тему

Открытый урок по математике для студентов 1 курса СПО

преподаватель Мерикова Любовь Анатольевна

Тема занятия: «Иррациональные уравнения».

Вид занятия: урок.

Тип занятия: урок формирования новых знаний.

Цели занятия:

Дидактическая.

Научить решать иррациональные уравнения, стимулировать студентов к овладению рациональными приёмами и методами решения иррациональных уравнений. 

Воспитательная.

Формировать культуру общения: умение выслушивать других; формировать навыки самоконтроля и контроля полученных знаний и навыков, чувство ответственности за выполненную работу, дисциплинированность.

Развивающая.

Развивать мыслительную деятельность студентов: умение анализировать, обобщать, классифицировать.

Методическая.

Показать методику проведения урока формирования новых знаний с применением ИКТ.

Методы обучения: объяснение преподавателя, самостоятельная работа студентов с последующей самопроверкой, презентация.

Междисциплинарные связи:

Обеспечивающие: физика, математика (базовый уровень).

Обеспечиваемые: математика.

Оснащение занятия: компьютер и проектор, презентация для сопровождения урока, раздаточный материал: карточки с текстом заданий самостоятельной работы, листы самоконтроля ответов студентов, карточки с домашним заданием.

Ход занятия:

 1. Организационный момент:

Приветствие студентов. Осведомление об отсутствующих.

(Демонстрация презентации 1-й слайд, появление только эпиграфа к занятию).

- Занятие сегодня мне хотелось бы начать словами из книги «Прелюдия к математике», которую написал известный английский преподаватель Уолтер Уорик Сойер.

2. Актуализация опорных знаний (метод: фронтальный опрос).

 - Прежде чем приступить к изучению новой темы, вспомним ранее изученные сведения.

Вопросы для повторения:

1) - Дайте определение уравнения с одной переменной.

Ответ: Равенство с одной переменной, в котором нужно найти те значения переменной, при которых получается верное числовое равенство.

2) - Что называется корнем уравнения?

Ответ: Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

3) – Какие уравнения называются равносильными?

Ответ: Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными.

4) – Какие равносильные преобразования можно выполнять при решении уравнений?

Ответ: - перенос слагаемых из одной части равенства в другую с противоположным знаком;

- умножение обеих частей равенства на одно и то же отличное от нуля число;
- дробь равна нулю, тогда и только тогда когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

У каждого из вас на столе лежит справочный материал, в котором содержатся: таблица квадратов чисел; формулы сокращенного умножения; формулы нахождения корней полного квадратного уравнения, вы можете пользоваться этими материалами при решении уравнений.

 3. Мотивация учебной деятельности.

В результате работы на сегодняшнем занятии, мы познакомимся с понятием иррационального уравнения, рассмотрим  некоторые способы решения различных иррациональных уравнений, сначала мы будем решать уравнения совместно, затем выполним самостоятельную работу, вы обменяетесь с соседом по парте работами и выполните проверку работы, результаты будем записывать в лист самооценки.

 4. Запись темы и плана занятия:
(Демонстрация презентации: 1-й слайд - появление темы занятия).

- Откройте свои тетради и запишите тему занятия: «Иррациональные уравнении».

(Демонстрация презентации: 2-й слайд - план занятия).

- Запишите план занятия.

План занятия:
1) Понятие иррациональных уравнений.

2) Методы решения иррациональных уравнений.

3) Решение иррациональных уравнений.
4) Самостоятельная работа.

5. Изучение нового материала.  

1) Понятие иррациональных уравнений: (Демонстрация презентации: 3-й слайд).

Определение. Иррациональным уравнением называют уравнение, в котором неизвестная величина содержится под знаком радикала.

Примеры:      .

2) Методы решения иррациональных уравнений:

 (Демонстрация презентации: 4-й слайд).

Преподаватель: Решение иррационального уравнения основано на преобразовании его к рациональному уравнению, которое достигается возведением обеих частей в одну и ту же степень (иногда несколько раз). При этом если обе части уравнения возвести в нечётную степень, то получим уравнение, равносильное данному. Запишите это в конспект.

(Демонстрация презентации: 5-й слайд).

Преподаватель: В процессе решения заданное уравнение заменяют более простым, при этом используя следующие правила преобразований уравнения в равносильное:
- перенос слагаемых из одной части равенства в другую с противоположным знаком;
- обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число;
- уравнение    можно заменить равносильной системой    или решить уравнение f(x)=0, а затем отбросить те корни, которые обращают в 0 знаменатель.

(Демонстрация презентации: 6-й слайд, запись информации на слайде в конспект).

Преподаватель: При возведении обеих частей иррационального уравнения в чётную степень получается уравнение, являющееся следствием исходного.

Уравнению – следствию удовлетворяют все корни исходного уравнения, но могут появиться и корни, которые не являются корнями исходного уравнения, так называемые посторонние корни. Запишите это в конспект.

(Демонстрация презентации: 7-й слайд, запись в конспект).

Преподаватель: К появлению посторонних корней могут привести следующие преобразования:
- возведение в квадрат (или в чётную степень) обеих частей уравнения;

- умножение обеих частей уравнения на алгебраическое выражение, содержащее переменную.

(Демонстрация презентации: 8-й слайд, запись в конспект).

Преподаватель: Рассмотрим правила равносильного перехода для простейших иррациональных уравнений. То есть те преобразования при выполнении, которых проверка не требуется.

1) если  (область допустимых значений находить не надо).

2) если  или любой другой корень чётной степени равен отрицательному числу, то  (x принадлежит пустому множеству, т.е. решений нет).

3) если квадратный корень равен нулю, то и подкоренное выражение равно нулю:
.

Уравнения вида  (т.е. n – чётное) решаются по аналогичным правилам.

4) если n – чётное, то .

Таким образом:   (условие f(x) ≥ 0 в этом случае не рассматривается, т.к. проверяется автоматически потому что правая часть уравнения системы неотрицательна).

2) Методы решения иррациональных уравнений;

3) Решение иррациональных уравнений.
(Демонстрация презентации 9-й слайд, запись в конспект)

Привлечение к решению уравнения студентов:
-Что нужно сделать чтобы решить это уравнение?
Ответ: обе части уравнения возвести в квадрат.

Пример 1.

Решить уравнение:

,

,

,

,

Подставив полученные корни в исходное уравнение, видим, что они удовлетворяют ему.

 В данном случае. проверку делать было не обязательно, почему?
- Потому что в правой части равенства положительное число.

Ответ: -4; 4.

(Демонстрация презентации 10-й слайд, запись в конспект)

Пример 2.

Решить уравнение:

Решение.

По определению арифметического квадратного корня:  – это неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Ответ: решений нет.

(Демонстрация презентации 11-й слайд, запись в конспект)

Преподаватель: Рассмотрим решение уравнений вида:

Способ решения:  

Пример 3.

Решить уравнение:

(Студент решает у доски, затем проверка с помощью слайда, способы могут не совпадать).

I способ:
 

,

,

.

В результате проверки получаем, что число -7 не является корнем данного уравнения.

Ответ: 3.

II способ: .

При такой записи проверка не нужна.

(Демонстрация презентации 12-й слайд, запись в конспект)

 Преподаватель: Рассмотрим решение уравнения, содержащего более одного радикала. Уравнение вида .

.

Из двух систем решают ту, которая решается проще.

Пример 4.

Решить уравнение: .

Решение.

.

Ответ: -7.

(Демонстрация презентации 13-й слайд, запись в конспект)

Иногда для решения уравнения достаточно найти область допустимых значений (ОДЗ). То есть все значения переменной, при которых уравнение имеет смысл.

 Пример 5.

Решить уравнение: .

ОДЗ:

Ответ: решений нет.

 (Демонстрация презентации 14-й слайд, запись в конспект)

 Запишите в конспекты рекомендации для линейных комбинаций двух и более радикалов.

Если уравнение содержит два и более радикала, то необходимо придерживаться следующих правил:
1. указать область допустимых значений уравнения;
2. распределить радикалы по обеим частям, чтобы обе части уравнения стали неотрицательными;
3. только после этого возводить в квадрат левую и правую части уравнения.

(Демонстрация презентации 15-й слайд, запись в конспект)

Пример 6.

Решить уравнение: .

(Студент у доски решает, затем проверяем с помощью слайда).

Решение.

⇔ 

Возведем в квадрат ещё раз обе части уравнения, получим:
,

,

.

Выполнив проверку, получим, что корнем уравнения является число 5.

Или можно воспользоваться ещё одним правилом равносильного перехода, и тогда проверка не нужна:
.

(Демонстрация презентации 16-й слайд, запись в конспект)

Пример 7 (Решение с привлечением студентов).

Решить уравнение:

Решение.

.

Ответ:

(Демонстрация презентации 17-й слайд, запись в конспект)

 Решение иррациональных уравнений с использованием способа замены переменных.

Пример 8.

Решить уравнение:

Решение.

Пусть , где .

Тогда решаем уравнение:  ⇔ так как , то возвращаемся к замене:

Проверка показывает, что оба числа являются корнями уравнения.

Ответ: -4; 1.

(Демонстрация презентации 18-й слайд, запись в конспект)

 Преподаватель: Рассмотрим решение уравнений вида:

Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0, а второй при этом имеет смысл:
.

Пример 9.

Решить уравнение:

Решение.

Ответ: 0; 2.

(Демонстрация презентации 19-й слайд, запись в конспект)

Преподаватель: Если у нас радикал имеет нечётную степень здесь всё просто, возвести обе части уравнения в эту степень и решить получившееся уравнение.

Пример 10 (Студент у доски решает, затем выполняем проверку с помощью слайда).

Решить уравнение: .

Решение.

,

,

,

,

,

.

Ответ: 0; 2.

(Демонстрация презентации 20-й слайд, запись в конспект)

Преподаватель: И ещё один способ решения иррационального уравнения – графический.

Пример 11.

Графически решить уравнение

Решение. Построим в одной системе координат графики функций . Графики пересекаются в одной точке при .

Ответ: 0,5.

Преподаватель: Методов решения иррациональных уравнений очень много и рассмотреть их подробно в рамках одного занятия нет возможности, для заинтересовавшихся студентов я могу рассказать о других методах во внеурочное время.

6. Закрепление нового материала.

4) Самостоятельная работа.

А теперь, проверим уровень понимания материала, приготовьтесь к выполнению теста. Результаты теста записывайте в листы самопроверки, которые у вас лежат на столе, на выполнение теста у вас 5 минут. Выполнять тест старайтесь самостоятельно, только в этом случае можно определить, как вы поняли материал занятия. (Тест на слайде 21, текст теста приложение 4).

(Демонстрация презентации 22-й слайд)

 Проверка тестового задания.

- Проверяем правильность рассуждений, внимание, посмотрите на слайд и сверьте получившиеся у вас результаты с правильными.

- Кто ответил на все вопросы правильно? Поднимите руки, пожалуйста.

- Кто не ответил ни на один вопрос? Есть у нас такие? (Если да, то поручить студентам, хорошо ориентирующимся в теме объяснить этот материал ещё раз своим товарищам).

- Выполним самостоятельную работу, проверять её будем в парах
(Приложение 2).

23-й слайд. – Обменяйтесь тетрадями с соседом по парте и выполните проверку, а теперь сверьте получившиеся результаты с теми, что на слайде и запишите в лист самоконтроля.

7. Подведение итогов урока.

Подведем итог нашего занятия:

- Какие уравнения мы сегодня научились решать?

- С какими способами решения иррациональных уравнений познакомились?

- Запишите своё отношение к занятию в лист самоконтроля (приложение 1).

8.Задание на дом и его инструктаж.

Запишите задание на дом: Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа.
Учебник. Ч.1- М.: Наука, 1987 § 10 (п.2), карточка с заданиями (приложение 3).
Задание выполнить письменно в тетради к следующему занятию.

9. Заключительная часть урока.

На этом наше занятие окончено, до встречи на следующем занятии.

Самостоятельная работа по теме: Иррациональные уравнения.

  1 вариант.

1. Решите уравнение:

1) -2         2) 3         3) 6         4) -2; 3.

2.  Решите уравнение:

1) – 1       2) 1         3) – 6         4) 6 .

3.Укажите промежуток, которому принадлежат все корни уравнения:

1) (- 2; 2]         2) (- 4; - 3)          3) (- 3; - 2]            4) [0;2]

4. Найдите произведение корней уравнения

5. Найдите суму корней уравнения  (х – 5)

6.Решите уравнение:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  Самостоятельная работа по теме: Иррациональные уравнения.

  2 вариант

      1. Решите уравнение:

1) 4       2) 1       3) – 4        4) – 1

2. Решите уравнение:  

1) 7        2) 4       3) 4; 7       4) нет корней

3. Укажите промежуток, которому принадлежат все корни уравнения =х+1

1)[3; 6]           2) (-2; 0)            3) (0; 2)            4) [- 4; - 1)

4. Найдите сумму корней уравнения

5. Найдите произведение корней уравнения   ( х + 2)

6. Решите уравнение:

Лист самоконтроля студента ________________________________________

                                                                                                           (фамилия, имя)

К занятию по теме « Иррациональные уравнения».

№ 1. Тест                                                  №2 Работа в группе.

                                                                  Карточка № _______  

№ 3 Самостоятельная работа.

Вариант _____

 За каждый верный ответ – 1 балл

Если вы набрали 11 – 13 баллов – оценка «5»

                               8 – 10 баллов – оценка «4»                                Я набрал ________баллов

                                4 – 7 баллов – оценка «3»               Моя оценка ___________________

Ответьте на вопросы и поставьте оценку по 5-ти бальной системе

Как, на ваш взгляд, прошел урок, все ли вам было понятно? _______________

Вы себя уверенно чувствовали на уроке? ___________________

Достаточно ли было вам знаний, полученных ранее? ____________