РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ.
статья по алгебре по теме

РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ.

Многие математические задачи допускают несколько вариантов решения. Часто первый избранный бывает далеко не самым удачным. Нахождение «наиболее простых», оригинальных путей решения нередко является результатом длительной и кропотливой работы. Умение решать задачу различными способами является одним из признаков хорошей математической подготовки.

Существуют способы решения алгебраических задач методами, основанными на наглядно-геометрических интерпретациях.

Необходимо сказать о том, что, например, алгебраические выводы у Евклида приводятся исключительно в геометрическом виде. Выражение вида √A вводится как сторона квадрата с площадью А, произведение ab — это площадь прямоугольника со сторонами а и b и т.д.

Этот набор методов было принято называть геометрической алгеброй.

Нелишне вспомнить крылатую фразу замечательного французского математика Софии Жермен (1776-1831), которая сказала: «Алгебра - не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия — это просто алгебра, воплощенная в фигурах».

Геометрия — уникальный школьный предмет, внутри которого заложены богатейшие возможности развития логического мышления и пространственного воображения. Почему же этот потенциал, как правило, не используется на уроках алгебры? Зачастую алгебру и геометрию вообще воспринимают как два различных предмета, забывая о том, что это составляющие одного целого.

Математика – предмет, изучающийся с первого по выпускной класс. Объем материала, терминов, которыми должен оперировать старшеклассник по математике, чрезвычайно велик. Необходимо знать и уметь применять такие методы для решения задач, которые позволят сэкономить время и будут наглядны, т.е. решение задачи будет выглядеть очевидным. Многие задачи алгебры очень трудно решить аналитическим путем. Поэтому любое представление условия задачи в виде рисунка или чертежа облегчает решение задачи. Многие задачи ЕГЭ из части 2 можно решить геометрическим методом.

 Геометрический метод состоит в том, что само доказательство или решение задачи направляется наглядным представлением. (В старинных индийских сочинениях бывало так, что доказательство сводилось к чертежу, подписанному одним словом «Смотри!».)

ПРИМЕРЫ

1. Решение тригонометрических задач

Многие тригонометрические задачи не решаются привычными для них методами или решаются очень сложно, а использование какого-нибудь геометрического приема дает короткое решение.

Пример1: выразить                            через все остальные аркфункции. 

Решение: Так как                                                                              

 то                    можно         рассматривать как радианную меру острого угла

прямоугольного треугольника, в котором противолежащий ему катет а = 7, гипотенуза с =√50

По теореме Пифагора другой катет равен:

Угол α можно рассматривать как арккосинус или арктангенс, или арккотангенс соответствующих чисел (рис. 4).

Пример 2. Вычислить arctg2+arctg3+arctg1

Определение:  arctg а  (арктангенс  а)  —  это такое число  из интервала  тангенс которого равен а.

Решение: На основании этого определения arctg 1 = π/4  Что же такое arctg2 ?

Это число из интервала (-π/2:π/2) тангенс которого равен 2. Аналогично и arctg3.

Воспользуемся графической интерпретацией (рис.5). Из рисунка видно, что arctg2 = x1 ,  arctg3 = x2 . Ясно, что числа х1 и х2 иррациональные и указать их значения можно только приближенно. По рис. 6 видно, что arctg2= α,  а аrctg3 = β. Однозначно определить ответ невозможно.

Использование геометрического подхода делает данную задачу практически устной.

Выполним следующие построения: arctg3 = (рис. 7). Тогда arctg1=<ВАС, где <ВАС - острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника ABC (ВС = АС=√5, АВ = √lO , а по теореме, обратной теореме Пифагора, АВ2 = АС2+ВС2, следовательно <ВСА = 90°, а <ВАС = 45°). Таким образом, arctg2 + arctg3 + arctg1 = <ВАМ + <ВАС + Ответ: π .

2. Решение систем уравнений

   Решить систему уравнений:                    

                                            Решение:

        По теореме обратной теореме Пифагора, из уравнения х2 + у2 =32 , числа х и у являются катетами АBD ( D – прямой) с гипотенузой АВ = 3. Рассматривая второе уравнение у2 + z2 = 16, построим BDC, где у и z – катеты, а ВС = 4 – гипотенуза. Третье уравнение y2 = xz подсказывает, что число у есть среднее пропорциональное чисел х и z.

 По теореме обратной теореме о пропорциональных отрезках     <АВС = 900            АС = ( х + z ) = = 5, тогда

           AB2 = AD • AC,  9 = х • 5,  х =9/5

BC2 = DC • AC, 16 = z • 5, z = 16/5

BD2 = y2 = x • z =   9/5 • 16/5      и    BD =12/5 = y.

Однако, такой прием дает потерю корней, легко убедиться, что х = ± 9/5; у = ± 12/5; z = ± 16/5.

Для данной системы задания могут быть и другие.

Например, чему равно значение выражения ху + уz ; х + у + z; х + у; х + z;

3.Решение текстовых задач на движение

Очень многие задачи на составление уравнений (или систем уравнений) можно решать графически. К ним относятся задачи на движение и на совместную работу. Решение задачи основывается на точных геометрических соотношениях.

Преимущество геометрического решения в его наглядности, так как чертёж помогает глубже понять условия задачи.

Пример1: Расстояние между двумя городами равно 450 км. Два автомобиля выходят одновременно навстречу друг другу. Один автомобиль мог бы пройти все расстояние за 9 часов, другой – вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся?

                          Читаем с чертежа ответ: 3 часа.

Пример 2: Два всадника выезжают одновременно из пунктов A и B навстречу друг другу. Один прибывает в B через 27 мин после встречи, а другой прибывает в A через 12 мин после встречи. За сколько минут проехал каждый всадник свой путь?

Решение: Рассмотрим две системы координат tAy и  t’By’. На оси At откладываем время движения первого всадника, а на оси Bt’ -  время движения второго всадника. Оси пройденного пути противоположно направлены, а длина отрезков AB в каждом случае равна пройденному пути. Отрезок AB1 – график движения первого всадника, а отрезок BA1 – график движения второго всадника (рис).

Точка O соответствует моменту их встречи. Время движения всадников до встречи обозначим t. Из геометрических соображений ясно, что полученные треугольники подобны.

Тогда из этого следует   = , откуда t = 18. Таким образом, первый всадник проехал весь путь за 18 + 12 = 30(мин), а второй за 18+27 = 45(мин).

Ответ: 30 мин, 45 мин.

Данные навыки могут пригодиться на уроках физики, где часто практикуются графические подходы к решению задач на движение.

4. Решение конкурсных задач и задач ЕГЭ

Геометрическим методом хорошо решаются уравнения и

неравенства с параметрами, а также их системы

Пример1: При каком  a система уравнений           |x|+|y|  =1      

имеет ровно четыре решения?                                  x2+y2=a      

Решение: Построим линии, определяемые уравнениями системы.

r=√2/2. Четыре решения могут быть только в двух случаях,

когда a=R2=1, или a=r2=1/2.

                                                                   Ответ:1;1/2.

Пример2: При каких значениях a система уравнений       x2+y2=z;

                                                                                                   x+y+z=a   

имеет единственное решение?        

Решение: Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда уравнение  x2+y2+ x+y=a, полученное из системы                  x2+y2= z;

                                                                                                                 x+y+z=a                         имеет единственное решение.

Преобразуем полученное уравнение:

x2+y2+ x +y=(x2+x+0,25)+(y2+y+0,25)-0,25-0,25=a

(x+0,5)2+(y+0,5)2=0,5+a  (*)

Итак, уравнение(*) задает на плоскости окружность с центром (-0,5;0,5)  и радиусом R=√0,5+a.

1) Если 0,5+а <0, т.е. при а < -0,5, множество точек, задаваемых на плоскости уравнением(*), пусто, а следовательно, исходная система решений не имеет;

2)Если 0,5+а=0, т.е. при а=-0,5, уравнение(*) имеет единственное решение, т.к. и окружность вырождается в точку(-0,5;0,5);

3)Если 0,5+a>0,т.е. при a>-0,5, множество точек, задаваемых на плоскости уравнением (*), является окружностью с центром(-0,5;0,5) и R√0,5+а. В этом случае уравнение (*), а следовательно, и исходная система, имеет бесконечно много решений.

                                                                                Ответ: а = - 0,5.

Пример 3: Вычислить (без калькулятора и таблиц) sin18.

Приведём геометрический способ решения (рис 14).

Рассмотрим сектор OAB окружности с центром в точке O и

 радиуса 1,

Проведём хорду  AB, на отрезке OB построим точку C так,

чтобы AC = AB, при этом =

Таким образом, , следовательно, OC = AC.

Пусть AB = x, СВ = 1-x.

Поскольку АС – биссектриса треугольника ОАВ, справедлива пропорция  = , откуда

х2+х-1=0,  (х>0), х=(√ 5-1)/2

По теореме косинусов:АВ2=ОА2+ОВ2 -2ОА*ОВ*cos<АОВ, х2=1+1 – 2cos360,

х=   2(1-cos360) =     2(1-cos2180+sin2180)= 2sin180

 Тогда sin 180=(√ 5-1)/4

Ответ: (√ 5-1)/4

Преимущества решения задач геометрическим способом:

• При решении задачи этим методом четко определяется начало действия;
• Графическая иллюстрация облегчает проведение анализа, составления уравнений, помогает найти несколько способов решения;
• Расширяется область использования графиков, повышается графическая культура учеников;
• Совершенствуется техника решения уравнений (разделений переменных);
• Реализуются  внутрипредметные (алгебра и геометрия) и межпредметные (математика и физика) связи.

Литература:

1. Куликова Л. В., Литвинова С. А., За страницами учебника математики, М. - Глобус, 2008.
2. Киселева Ю. С., Методическое пособие по теме: Использование геометрических методов

   при решении алгебраических задач.

3. Г.З Генкин, геометрические решения алгебраических задач– Математика в школе №7, 2001