Нестандартные приемы решения алгебраических задач
план-конспект занятия по алгебре (10 класс) по теме
решение задач нестандарными способами
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
nestandartnye_priemy_resheniya_algebraicheskikh_zadach.doc | 91 КБ |
Предварительный просмотр:
Нестандартные приёмы решения алгебраических задач.
Ключевая идея решения – создание геометрической модели алгебраической задачи на основе теоремы косинусов.
Пример 1. Найдите положительные корни уравнения.
4+x2 - 2 3x + x2- 3 xy +y2 + 9+y2- 3 3y = 13.
Решение: По условию задачи x>0, y>0.
Введём обозначения:
4+x2 -2 3x = a; x2- 3xy +y2 = b; 9+y2-3 3 y = c. Тогда a+b+c = 13.
Возведя в квадрат обе части каждого из равенств, получим:
a2 = 4+х2 -2 3 х; b2 = x2 - 3 xy+y2; c2 = 9+y2-3 3 y. Преобразуя их к виду
.
a2 = 22 +х2 - 2∙ 2х ∙ 3 ; b2 = x2 + y2 – 2xу 3; c2 = 32 + y2 -2∙3у 3 ,
2 2 2
первое из них можно рассматривать как теорему косинусов для треугольника со сторонами a, 2, x и углом φ1= 30°, где φ 1 = ∠(2,х),
второе – как теорему косинусов для треугольника со сторонами
b, х, y и углом φ2= 30°, где φ2 = ∠(х,y),
третье равенство – как теорему косинусов для треугольника со сторонами
с, y, 3 и углом φ3= 30°, где φ3 = ∠(y,3).
1) 2) 3)
2 a x b y c
30° 30° 30°
x y 3
Совместив эти треугольниками сторонами x и y, получим пифагоров треугольник. (22+32=13.)
Обозначим ∠ B через α. Рассмотрим ∆CDB: по теореме синусов:
CD BC
sin ∠B sin∠CDB
∠CDB=180°- (α +30°)=150°- α. Значит:
y 3 3∙sin α
sin α sin (150°- α) sin (150°- α)
Воспользуемся формулой: sin(α-β) = sin α ∙ cos β - sin β ∙ cos α.
3∙sin α
sin 150° ∙ cos α - sin α ∙ cos 150°
2 3
Из ∆ACB: sin α= 13; cos α= 13.
3 ∙ 2
Значит, 13 6∙2 13 12 12(2 3 -3)
1 ∙ 3 2 ∙ 3 13(2 3 +3) 2 3 +3 3
2 13 13 2
=4(2 3 - 3).
CE CB
Из ∆BCE по т. косинусов: sin β sin BEC , т.е.
x 3 3∙sin α
sin α sin (120°- α) sin (120°- α)
3 ∙ 2 6
13 13 3 ∙ 3 1 ∙ 2 6 ∙ 2 13
sin 120° ∙ cos α - sin α ∙ cos 120° 2 13 2 13 13 (3 3 + 2)
12 12(3 3 -2)
3 3 +2 23 .
Ответ: x =; y =4 (2 -3).
Пример 2: Найти положительные решения системы уравнений:
x2+xy+y2=9,
z2+yx+y2=16,
x2+xz+z2=100.
Решение. По условию x>0, y>0, z>0.
Преобразуем каждое уравнение системы к виду:
x2+y2+2xy = 32; y2+z2+2yz .= 42; z2+x2+2zх= 102.
Каждое из уравнений можно рассмотреть как теорему косинусов, записанную для треугольников со сторонами:
1) x, y, 3 и углом φ1= 60°, где φ 1 = ∠(x,y).
2) y, z, 4 и углом φ2= 60°, где φ2 = ∠(y,z).
3) z, x, 10 и углом φ3= 60°, где φ3 = ∠(z,x).
Совместив эти треугольники, получим следующую модель:
Проверим неравенство треугольника для наибольшей стороны:
10<3+4(неверно). Значит, такой треугольник не существует, т.е. система
уравнений не имеет положительных решений.
Ответ: решений нет.
Источники информации: по материалам Осенней математико-английской школы УРЭК г. Белорецк.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Проект урока.«Нестандартные приемы решения квадратных уравнений».
Урок обобщения и систематизации знаний. «Нестандартные приемы решения квадратных уравнений». Цель: систематизация и расширение сведений о способах решений квадратных урав...
Нестандартные приемы решения уравнений и задач.
В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), олимпиадах, конкурсных экзаменах встречаются задачи с параметрами и модулями, задания, решаемые нестандартными методами. Появление таких з...
Презентация к уроку "Нестандартные приемы решения квадратных уравнений"
Различные примы рашения квалратных уравнений, краткая историческая справка...
Открытый урок 11 класс "Решение логарифмических уравнений. Нестандартные приемы решения"
Решение логарифмических уравнений....
ОБУЧЕНИЕ УЧАЩИХСЯ НЕСТАНДАРТНЫМ ПРИЕМАМ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: нестандартный прием, уравнение, действия, задачи, обучение методам решения задач.АННОТАЦИЯ: В статье описываются этапы обучения учащихся решению уравнений нестандартными приемами....
Нестандартные приемы решения уравнений. (подборка задач)
Рассматриваемые уравнения решаются, в основном, на функциональном уровне, т.е. сопоставлением некоторых свойств функций, содержащихся в уравнении....
Нестандартные приемы решения уравнений с модулями
В школьной программе , на мой взгляд, не разобраны в системе методы и приемы решения задач с модулем. У многих модуль вызывает страх. Есть замечательные задания с модулем, у которых своя с...