Урок-семинар по теме "Решение уравнений и неравенств с параметрами", 11 класс
учебно-методический материал по алгебре (11 класс) на тему

Урок-семинар  по подготовке к ЕГЭ.  Решение уравнений и неравенств с параметрами.

Цель:

• Формировать у учащихся умения и навыки по решению задач с параметрами
• Развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся.
• Обеспечить условия для самостоятельной творческой работы.
• Способствовать подготовке обучающихся к сдаче ЕГЭ по математике.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Решение задач.

Задание 1.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

x2 – (│a+ 5│- │a - 5│)x + (a-12)(a+12) = 0

два различных отрицательных корня.

Решение:

-5 и 5 делят числовую прямую на три промежутка, на которых подмодульные выражения имеют знаки

           - -                                           + -                       ++

                               -5                                              5                                                x

Рассмотрим три случая:

1). а ≤ -5

x2 – (- a - 5 + a - 5)x + (a-12)(a+12) = 0

x2 + 10х + а2 -144 = 0 

Используем теорему Виета

Отсюда получаем а

2) -5 < a < 5

x2 – (a + 5 + a - 5)x + (a-12)(a+12) = 0

Из этого следует, что решений нет.

3. a ≥ 5

Решений нет.

Ответ:  

Задание 2

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых все корни уравнения  3ах2 + (3а3 – 12а2 -1)х – а(а-4)=0 удовлетворяют неравенству │х│≤ 1.

Решение:

1) При а =0   x = 0, а это удовлетворяет условию задачи.

2)Рассмотрим случай при  а ≠ 0

 Раскроем скобки и разложим выражение в левой части уравнения на множители

3ах2 + 3а3х – 12а2х -х – а2 + 4а = 0

х(3ах – 1) + а2(3ах – 1) – 4а(3ах – 1) = 0

(3ах -1)(х + а2- 4а) = 0

Решим первое уравнение 3ах -1 = 0     х =

учитываем, что │х│≤ 1

Решаем систему

 Решаем второе уравнение х + а2- 4а = 0  х = 4а - а2

учитываем, что │х│≤ 1

Решаем систему

Решением первого неравенства является

Решение второго неравенства  

Объединяя все решения, получаем  

Ответ:  

Задание 3.

Найдите  значения параметра а, при каждом из которых уравнение

 имеет единственный корень

1) при а = 0 уравнение имеет единственный корень

х + 1=‌‌‌|1|‌     х = 0

2) рассмотрим два случая:

а) 1 – ах ≥ 0  ах ≤ 1

уравнение при этом условии имеет вид:

1- ах = 1 + (1-2а)х + ах2

-ах2 + ах – х  = 0  

‌     х(-ах + а - 1) = 0

Корень х=0 удовлетворяет неравенству ах ≤ 1 при любом а

Значит, необходимо найти те значения а, при которых других решений нет.

При  а ≠ 0 корнем является также . Это значение удовлетворяет неравенству

ах ≤ 1    при а ≤ 2. То есть при  а ≤ 2, а ≠ 0 уравнение имеет как минимум два корня. Однако эти корни совпадают при а=1

б) Осталось выяснить, сколько корней имеет уравнение при а > 2 в случае

1 – ах < 0 , так как а > 2, неравенство можно переписать в виде  х ≥ .

Уравнение при этих условиях имеет вид

-1+ ах = 1 + (1-2а)х + ах2

-1 + ах – 1 –х + 2ах - ах2 = 0

ах2 + (1-3а )х + 2 = 0.

Получили квадратное уравнение с ограничениями на корни. Так как  f при а > 2, то существует ровно один корень у этого уравнения.

Итак, при всех а ≠ 0, а ≠ 1 исходное уравнение имеет по крайней мере два корня.

При а=0, а=1 х=0.

Ответ: а=0, а=1,

Задание 4. Найти все значения параметра а, при каждом из которых для любого значения х выполняется неравенство

│3sin2x + 2asinx ∙ cosx + cos2x + a│≤ 3,

Решение:

Заданное неравенство эквивалентно системе неравенств

Используя тождество sin2 + cos2 =1, запишем систему в виде

Последняя система имеет решение для любого х, если

Если а = 0, то система также разрешима для любого х.

Ответ:

Задание 5.

Найти наибольшее значение параметра b, при котором неравенство

имеет хотя бы одно решение.

Решение:

При b< 0 неравенство не имеет смысла.

При  b=0 неравенство верно при всех допустимых значениях х

     Рассмотрим случай b >0.

Умножим обе части неравенства на  -1, получим

Так как b >0, разделим обе части неравенства на b

Заметим, что выражение в правой части принимает значения от 0 до .

Оценим выражение в левой части неравенства.

Пусть ,  (х-4)2 = а. Рассмотрим функцию f(a) =  , a ≠ 0

f '(a) = .  Найдем точки, в которых производная равна 0.

= 0  

a =

Следовательно,  a = является точкой минимума функции.

f() = = 2t.

Так как, выражение в правой части принимает значения от 0 до , то исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при   0 < 2t ≤  , а наибольшее значение выражение 2t принимает в случае равенства .

2t =    t =  

Так как , b = .

Ответ:

3. Задание на дом:

1.Найти все значения параметра а, при которых неравенство  имеет одно решение.

2. При каких значениях параметра p уравнение  разрешимо.

3. При каких значениях параметра а уравнение

 имеет три различных корня.

4. Найти все значения параметра а, при которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство

 выполняется для любого числа х  R.

4. Подведение итогов.