Программа элективного курса по математике « Методы решения уравнений и неравенств с параметром» 10 класс
рабочая программа по алгебре (10 класс) на тему

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Лицей №24»

Программа элективного курса по математике

« Методы решения уравнений и неравенств с параметром»

   Программа рассчитана на учащихся 10 класса

     Срок реализации программы – 1 учебный год

Авторы-составители:

учитель первой квалификационной категории

Привальцева Елена Ивановна

г. Гуково

2013-2014 учебный год

Содержание программы:

1. Пояснительная записка

1. Актуальность и практическая значимость курса.
2. Место курса в базисном учебном плане.
3. Психолого-педагогическое, концептуальное  и нормативно-правовое обеспечение
4. Особенности курса и его назначение
5. Цель и задачи курса.
6. Планируемый результат изучения курса.

2.        Организация образовательного процесса:

1. Формы организации занятий.
2. Виды деятельности учащихся.
3. Образовательные технологии и ИКТ.

3. Система контроля уровня образовательных достижений учащихся и критерии оценивания.
4. Содержание элективного курса.
5. Учебно-тематический план.
6. Результативность деятельности по реализации программы элективного курса
7. Примерные домашние самостоятельные работы (приложение 1)
8. Информационные ресурсы (список литературы, медиаресурсы, интернет-ресурсы).

Пояснительная записка

Современное общество нуждается в интеллектуально развитых людях, творчески мыслящих, любознательных, активных, умеющих принимать нестандартные решения и брать ответственность за их принятия, а также умеющих осуществлять жизненный выбор.

Поэтому федеральный государственный образовательный стандарт  (ФГОС) основного общего образования предъявляет новые требования к результатам освоения обучающимися основной образовательной программы. При этом очень важная роль отводится ориентации образования на формирование универсальных (метапредметных) и общеучебных умений и навыков, общественно-значимого ценностного отношения к знаниям, на развитие познавательных и творческих способностей.

Актуальность и практическая значимость данного курса обусловлена, прежде всего, тем, что способствует формированию и развитию универсальных учебных действий каждого учащегося, вводит его в мир ценностей математической науки. Также она связана с тем, что задачи с параметрами являются одновременно одними из самых сложных и самых интересных математических задач. Обычно такие задачи нестандартны и  требуют всякий раз индивидуального подхода к своему решению, что в свою очередь предъявляет высокие требования к математическому мышлению решающего ее учащегося. Кроме того, большое разнообразие методов решения задач с параметрами делают эту тему популярной в современном математическом сообществе. В последние годы стало едва ли не традиционным включение таких задач в тексты    математических олимпиад, в КИМ ЕГЭ и ГИА, на вступительных экзаменах в ведущие ВУЗы России. Это связано с высокой диагностической и прогностической ценностью задач с параметрами, которая заключается, прежде всего, в возможности выявить уровень фактических математических знаний, степень интеллектуального развития учащихся, умения преодолевать трудности, связанные с исследованием искомых решений в зависимости от  значений параметров. 

     В дополнение следует отметить, что имеющиеся программы по математике,  соответствующие учебному плану общеобразовательных школ,  не позволяют в достаточной степени глубоко вникнуть в суть этой темы и максимально обеспечить возможности творческой реализации математических способностей обучающихся в профильных классах.

Следовательно,  появилась необходимость ввести в профильном физико-математическом классе элективный курс: «Методы решения уравнений и неравенств с параметром».

Место курса в учебном плане образовательной программы школы

Программа  элективного курса адресована группе учащихся 10-х классов, избравших для себя в дальнейшем деятельность, непосредственно связанную с математикой. Курс рассчитан на 35 часов в системе лекционно-практических занятий в течение  одного учебного года (по 1 часу в неделю). Данный элективный курс изучается за счет вариативной части (школьного компонента) Базисного учебного плана. 

Особенности курса и его назначение

Элективный курс разработан в рамках реализации концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования. При разработке программы учитывалось, что элективный курс как компонент образования должен быть направлен на удовлетворение познавательных потребностей и интересов старшеклассников, на формирование у них новых видов познавательной и практической деятельности, которые не характерны для традиционных учебных курсов.

 Основное содержание курса соответствует современным тенденциям развития школьного курса математики, идеям дифференциации, углубления и расширения знаний учащихся.  

Методологической основой данной программы являются современные психологические, педагогические идеи и теории: теория развития, как ведущая и значимая применительно к становлению личности в образовании (Бондаревская Е.В., Сериков В.В., Якиманская И.С. и др.); теория деятельности (Л.С. Выготский, В.В.Давыдов, А.Н.Леонтьев, С.Л. Рубинштейн и др.); идея субъектности, имеющая ценность в психологии и педагогике личности (Петровский В.А., Мухина В.С. и др.).

Программа элективного курса разработана в логике ФГОС на основе следующих нормативно-правовых документов, обеспечивающих реализацию данной программы: Закон РФ «Об образовании в  Российской Федерации» от 29.12.2012г.; Обязательный минимум содержания основного общего образования по математике, 2004г.; Федеральный компонент государственного стандарта общего образования по математике, 2004г.; Конвенция «О правах ребенка».

          Цель сформулирована в логике ФГОС:

организация в процессе изучения данной темы продуктивной деятельности обучающихся, направленной на интеллектуальное развитие личности учащихся при изучении методов решения уравнений и неравенств с параметром и достижение ими следующих результатов:

• личностные

приобрести и (или) реализовать:

•  ответственность, инициативность, находчивость, активность при решении математических задач.
•  трудолюбие, усидчивость, заинтересованность.
•  любознательность, стремление к самостоятельности в поисках дополнительных источников информации.
•  критичность мышления;
• метапредметные:
• Познавательные

• умение самостоятельно и мотивированно организовывать свою познавательную деятельность (от постановки цели до получения и оценки результата);
• исследовать несложные реальные связи и зависимости;
•  осуществлять самостоятельный выбор критериев для сравнения, сопоставления, оценки и классификации объектов;
• уметь организовать и провести учебно-исследовательскую работу;
• уметь выдвигать гипотезы, осуществлять их проверку на правдоподобие;
• владеть приемами исследовательской деятельности, элементарными умениями прогноза (уметь отвечать на вопрос: «Что произойдет, если...»);
• формулировать полученные результаты;
• самостоятельно создавать алгоритмы познавательной деятельности для решения задач творческого и поискового характера;

• Коммуникативные

• уметь точно грамотно излагать свои мысли, выстраивать аргументацию;
• использовать примеры для иллюстрации, а контрпримеры для опровержения утверждений;
• участвовать в диалоге, полилоге, дискуссии, признавать право другого человека на «иное» мнение;
• владеть умениями совместной деятельности;
• умение развернуто обосновывать суждения, давать определения, приводить доказательства (в том числе от противного);
• объяснение изученных положений на самостоятельно подобранных конкретных примерах;
• регулятивные

• понимать ценность образования как средства развития культуры личности;
•  уметь объективно оценивать свои учебные достижения, поведение, черты своей личности;
• учитывать мнения других людей при определении собственной позиции и самооценке;
• уметь самостоятельно обнаруживать и формулировать учебную проблему, определять цель учебной деятельности.
• фиксировать затруднения и устанавливать их причины, а затем устранять их;
• овладеть навыками самоконтроля и оценки собственной деятельности;

• предметные:

• знать, понимать и правильно употреблять термин «параметр»: уравнение с параметром, неравенство с параметром; понимать его в тексте, в речи учителя; понимать формулировку задания;
• уметь осуществлять выбор метода решения уравнений и неравенств с использованием свойств квадратного трехчлена;
• различать линейные и квадратные уравнения (неравенства) с параметром;
• владеть алгебраическим, аналитическим и графическим способами решения уравнений и неравенств с параметрами;
• уметь находить все значения параметра при которых уравнение (неравенство) имеет конечное множество решений (ровно одно, ровно два и т.д.), бесконечное множество решений (интервал, отрезок, луч, прямая, часть плоскости - область), не имеет решений;
• понимать графическую интерпретацию решения уравнений (неравенств) с параметром;

• уметь использовать для описания математических ситуаций графический и аналитический языки, а также - электронные программы;

• расширить и углубить систему имеющихся знаний по исследованию значений параметра;
• овладеть опытом решения разнообразных задач с параметром, относящихся к различным разделам содержания школьного курса математики.

2.   Организация образовательного процесса

Формы организации занятий элективного курса – это лекции, беседы, дискуссии, групповые соревнования, индивидуальные консультации, теоретические практикумы по решению задач, практическая и исследовательская работа в группах, в парах и индивидуально.

Виды деятельности учащихся:

• работа с источниками  информации, с современными средствами коммуникации;
• критическое осмысление  полученной информации, поступающей из разных источников, формулирование на этой основе собственных заключений и оценочных суждений;
• решение познавательных и практических задач, отражающих типичные ситуации;
• освоение типичных социальных ролей через участие в обучающих играх и тренингах, моделирующих ситуации из реальной жизни;
• умение вести аргументированную защиту своей позиции, оппонирование иному мнению через участие в диалоге, полилоге, дискуссиях;  
• выполнение творческих работ и исследовательских проектов по разделам курса.

Образовательные технологии, применяемые на занятиях курса:

• проблемное изложение;
• проблемно-исследовательское обучение;
• «мозговая атака» (технология групповой творческой деятельности);
• проблемная дискуссия с выдвижением идей проектов; 
• технология деятельностного метода;
• технология сотрудничества.

3. Система контроля уровня образовательных достижений учащихся

и критерии оценивания

Формы контроля

Установление степени достижения учащимися промежуточных и итоговых результатов производится на каждом занятии благодаря использованию практикумов, самостоятельных работ, тестов, консультаций.

Формой итоговой отчетности учащихся является выполнение итогового проекта или защита реферата, или составление папки «Энциклопедии задач»  (по выбору учащихся).

Примерные темы рефератов:

1. Уравнения с параметром в заданиях ЕГЭ.
2. Неравенства с параметром в заданиях ЕГЭ.
3. Решение квадратичных уравнений и неравенств в заданиях ЕГЭ.
4. Из истории возникновения параметра.
5. Графическое решение уравнений‚ неравенств‚ систем с параметром.
6. Классификация текстовых задач с параметром.

Темы творческих работ:

1. Графические методы решения линейных уравнений и неравенств с параметрами
2. Графические методы решения квадратных уравнений с параметром
3. Графические методы решения комбинированных задач с параметрами
4. Графические методы решения задач математического анализа с параметрами
5. Графические методы решения квадратных неравенств с параметрами

Темы проектов:

1. Основные методы решения рациональных уравнений и неравенств с параметрами.
2. Основные методы решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами.
3. Основные методы решения системы двух линейных уравнений с одним или несколькими параметрами.
4. Основные методы решения систем уравнений с параметрами второй степени.
5. Различные виды уравнений и неравенств с модулем и параметром.
6. Применение различных методов при решении задач с параметрами (обобщенный метод интервалов, графический метод, использование специальных свойств функций, метод решения относительно параметра).

Критерии оценки реферата

• новизна авторского текста (самостоятельность в постановке проблемы и формулировании нового аспекта известной проблемы),
• соответствие реферата теме,
• глубина и полнота раскрытия темы,
• адекватность передачи первоисточника,
• логичность, связность,
• доказательность,
• структурная упорядоченность (наличие введения, основной части, заключения, их оптимальное соотношение),
• оформление (наличие плана, списка литературы, культура цитирования, сноски и т. д.),
• языковая правильность.

Организация и проведение аттестации учеников

    Чтобы оценить динамику усвоения учениками теоретического и практического материала  и поставить учащегося перед необходимостью постоянно заниматься, психологически очень важно предоставить подростку достаточно объективную информацию об уровне его знаний и умений. Кроме того, знание учителем уровня владения его учениками теорией и навыками её применения  поможет ему внести определённые коррективы в учебный процесс.

    Поэтому контроль знаний планируется проводить        в виде «Смотра знаний», который состоит из двух частей: коллоквиума и зачета, защиты проектов.

    Коллоквиум (от лат.colloquium-собеседование)- это собеседование по теоретической части курса, на котором учащиеся обосновывают методы решения задач, проводят рефлексию своей учебной деятельности, выявляют «зоны неразрешённых вопросов».

Зачёт предполагает решение определённого количества задач, предложенного учителем  в соответствии с уровнем учебной цели учащихся.    

     На защите проектов учащиеся представляют и отстаивают решения задач, подобранных ими для «Энциклопедии задач» из дополнительной литературы.

    На заключительном занятии элективного курса планируем провести конференцию учащихся с подведением итогов решения задач и предоставлением каждым слушателем своей папки с решенными в ней задачами, заинтересовавшими их (за одно занятие в папку должно отбираться не менее двух задач). Составление папки с задачами способствует закреплению и систематизации знаний учащихся. В будущем она может пригодиться при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. Каждый учащийся на итоговом занятии  презентует свою творческую  работу, реферат или проект.

Критерии оценивания

Критерии по выставлению оценок могут быть следующими.

Отметка «отлично» ставится, если учащийся

• блестяще освоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных математических задач;
• В процессе написания и защиты рефератов, проектов, выполнения работы над индивидуальными домашними заданиями ученик продемонстрировал умение работать с дополнительной  литературой;
• он отличился активностью в исследовании проблем, решаемых в данном курсе, творческим подходом в составлении «Энциклопедии Задач с параметрами», в которую вошло не менее 50 различных задач;
• он научился руководить работой малой группы, организовывать деятельность её участников;
• очевиден и несомненен его интеллектуальный рост и рост его общих умений.

Отметка «хорошо» ставится, если учащийся

• освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартным заданием;
• в выполнении рефератов, домашних заданиях  проявил   прилежание и усердие, но без проявления явных творческих способностей;
• умеет работать в составе группы, являясь хорошим аккуратным исполнителем;
• регулярно участвовал в работе семинаров, защите проектов;
• «Энциклопедия» содержит не менее 30 задач:
• добился положительных результатов в  интеллектуальном росте и возрастании общих умений.

Отметка «удовлетворительно» ставится, если учащийся

• освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему достаточно успешно выполнять индивидуальные домашние задания соответствующего уровня;
• участвовал в работе не менее двух семинаров в виде подготовки сообщений по некоторым вопросам;
• подобрал и защитил решение 20 задач  для «Энциклопедии»
• добился определённых положительных результатов в  интеллектуальном росте и возрастании общих умений.

4. Содержание курса

Модуль 1.

 Знакомство с параметром.

 Основная цель – сформировать у обучающихся понятие о параметрах; познакомить обучающихся с многообразием вопросов в задачах с параметрами, с основными методами их решений .

Задачи с параметром. Первое знакомство. Типы задач с параметрами. Параметр и поиск решений уравнений, неравенств и их систем (ветвление). Аналитический метод решения задач с параметрами. Геометрический метод решения задач с параметрами. Метод решения относительно параметра.

Модуль 2.

 Аналитические способы решения основных типов задач с параметрами.

Основная цель – систематизировать умения обучающихся в решении линейных и рациональных  уравнений, неравенств; сформировать умения решать уравнения и неравенства указанных видов с параметром.

Линейное уравнение с параметром. Схема исследования линейного уравнения с параметром. Аналитическое решение линейного уравнения с параметром.

Линейное неравенство с параметром. Схема исследования линейного неравенства с параметром. Решение линейных неравенств с параметром.

Простейшие рациональные уравнения с параметром. Исследование решений по параметру. Определение модуля. Решение простейших уравнений типа │f(x)│= a. Решение более сложных уравнений │f(x)│= │g(x)│, │f(x)│= g(x). Уравнения с параметрами. Простейшие рациональные  неравенства с параметром. Метод интервалов. Графическая иллюстрация решения. Возможные случаи расположения нулей числителя и знаменателя. Решение простейших неравенств типа │f(x)│> a, │f(x)│< a.  Решение более сложных неравенств │f(x)│> │g(x)│ , │f(x)│< g(x), │f(x)│< │g(x), │f(x)│>g(x). Неравенства с параметром.

Квадратные уравнения с параметром. Графический прием решения квадратных уравнений. Схема исследования. Различное количество корней уравнения.

Приложения теоремы Виета. Различные равенства, содержащие корни квадратного уравнения. Использование теоремы, обратной теореме Виета  при решении квадратных уравнений. Квадратные неравенства с параметром. Схема исследования квадратного неравенства. Краткие теоретические сведения. Таблица расположения корней относительно одной точки, относительно двух и более точек.  Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичного трехчлена.

Модуль 3.

Функциональный и графический методы решения задач с параметрами.

Основная цель – систематизировать знания обучающихся о функциях, сформировать представление обучающихся о методах решения задач с параметром с использованием графических интерпретаций; научить анализировать исходные данные и на основе анализа осуществлять выбор метода решения.

Свойства функций и их графики. Построение графика функции. Построение графика дробно-линейной функции. Построение графиков функций и уравнений, выражения которых содержат знак модуля. Построение множеств точек плоскости, заданных неравенствами, системами неравенств. Выполнение построения графиков с использованием параллельного переноса, растяжения, сжатия, симметрии. Решение задач с параметром с использованием изображения на плоскости (х;а), где а – параметр Решение задач с параметром с использованием изображения на плоскости (х;у). Сравнительный анализ аналитического, функционально-графического способов при решении уравнений и неравенств с параметром. Решение задач с параметрами из КИМ ЕГЭ.

Тематическое планирование  элективного курса

Самостоятельное изучение модулей

курса «Решение задач с параметрами»

Результативность деятельности по реализации элективного курса

Задачи с параметрами вызывают наибольшие затруднения у школьников на ЕГЭ и вступительных экзаменах в вузы. Задачи это рода являются незаменимым средством для тренировки логического мышления, обладают диагностической ценностью, позволяют изучать физические, химические, экономические и многие другие закономерности. Однако в учебниках математики им отводится менее 1% от общего числа задач. Поэтому мы решили во внеурочной деятельности остановиться на этой теме.

Авторская программа элективного курса по выбору « Методы решения уравнений и неравенств с параметром» была разработана, апробирована и системно реализуется в образовательной программе школы с 2010 года.  

В 2010- 2011, 2011-2012 учебном  году этот курс преподавался учащимся 11 класса МБОУ СОШ №24  г. Гуково. А в прошлом учебном году –учащимся 10 класса

В таблице отражено качество знаний обучающихся по отдельным модулям элективного курса. Как видно из таблицы,  в процессе изучения курса прослеживается динамика качества.  

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

Банк заданий по разделам   курса для домашней самостоятельной работы:

Модуль 2.

Тема 1. Аналитические методы решения линейных уравнений и неравенств.

I часть:

1. При всех  решите уравнение:

 2.  

3. При всех  решите  уравнение                                                                                  4.

5. Найдите все значения p, при которых все решения уравнения  удовлетворяют неравенству

6. Найдите все a, при которых множества решений уравнений   ( и

( совпадают.

7. При всех  m решите неравенство

8. При всех  решите неравенство  

9. При всех  решите неравенство  

10. При всех  решите неравенство    

11. Исследуйте, при каких значениях a все решения неравенства являются решениями неравенства

12. Исследуйте, при каких значениях a уравнение   имеет бесконечное число решений.

13.  Определите, при каких  значениях a  уравнение    не имеет решений.

14. Проведите исследование значений параметра a  и  установите,  при каких a  множества решений уравнения     и неравенства    совпадают.

I I часть: (Более трудные задачи)

15. Определите,  при каких  неравенство     выполняется при всех

16.  Найдите, при каких  множество решений неравенств     и    совпадают.

17.  Найдите все значения параметра  , при которых уравнение    имеет решения при любом .

Тема 1. Аналитические методы решения  квадратных уравнений и неравенств.

Уравнения:

Неравенства

Задачи, содержащие модуль

Решение задач с параметром  при помощи графиков

                     Задачи с параметром для решения в координатной плоскости (хОу)

1. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение lg 2|х|+ lg(2-х)-lg(lg b) = 0 имеет единственное решение.
2. При каком наименьшем натуральном значении n уравнение х3 +3х2 - 45х + n = 0 имеет ровно один корень?
3. При каких значениях параметра анеравенство > а-х имеет решения?
4. Найдите все значения параметра k, при которых система уравнений  имеет два различных решения.
5. Найдите все пары чисел р и q, при которых неравенство  не имеет решений на отрезке [1;5].
6. При каких значениях параметра а уравнение  3 -  = а  имеет одно решение?
7. При каких значениях параметра а уравнение ах – 1 = имеет единственное решение?
8. Сколько корней имеет уравнение ?

Задачи с параметром для решения в координатной плоскости (хОа)

1.    При каких значениях параметра а уравнение имеет два корня?
2.    Найдите все значения параметра а, при которых система  имеет единственное решение.
3.    При каких значениях параметра а уравнение (а+4х-х2-1)(а+1-|х-2|)=0 имеет три корня?
4.    Найти все значения параметра а, при которых неравенство 3‌‌-‌‌‌>х2‌ имеет хотя бы одно отрицательное значение.
5.    Найдите множество значений параметра а, для каждого из которых уравнение   имеет только два различных корня.
6. При каких значениях параметра а система  имеет решение?
7. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет одно решение.

Информационные ресурсы (список литературы, медиаресурсы, интернет-ресурсы).

Список литературы для педагога: 

1. Горнштейн П.И., Полонский В. Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – М: Илекса, 2007., 326 с.
2. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л.. Задачи с параметрами. Минск, «Асар»,1996
3. Высоцкий В.С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ.-М.:Научный мир, 2011
4. Козко А.И., Чирский В.Г.. Задачи с параметром и другие сложные задачи.-М.: МЦНМО,2008
5. Дворянинов С.В., Письменная С.А. «Функции, графики, задачи с параметром». Самара, 1998.
6. Джиоев Н.Д. Нахождение графическим способом числа решений уравнений с параметром. Математика в школе – 1996. - №2. – С. 54-57.
7. Кожухова, С.А. Свойства функций в задачах с параметром. Математика в школе – 2006. - №7. – С. 17-24.
8. Кочерова, К.С. Об уравнениях с параметром и модулем (графический способ решения). Математика в школе – 1995. - №2. – С. 2-4.
9. Кушнир И. Шедевры школьной математики. 1,2 том «АСТАРТА», Киев, 1995. 573с., 509с.
10.  «Математика 5 – 11 классы. Практикум», учебное электронное издание, компакт – диск для работы на компьютере.
11. Мещерякова Г.П. Функционально-графический метод решения задач с параметром Математика в школе – 1999. - №6. – С. 69-71.
12. Ястребицкий Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры: пособие для учителей. М: Просвещение, 1972.
13. Крамор, В.С. Примеры с параметрами и их решение [Текст]: Пособие для поступающих в вузы / В.С. Крамор. – М.: АРКТИ, 2000. – 342 с.
14. www.spin.nw.ru/student/dist_ed/math_problem1.htm

Список литературы для учащихся: 

1. Балаян Э.Н. Математика. Сам себе репетитор. Задачи повышенной сложности. Серия «Абитуриент», Ростов на – Дону: Изд-во «Феникс», 2004.
2. Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач Единого государственного экзамена. – 3-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2007. – 272 с. – (Домашний репетитор Подготовка к ЕГЭ).
3. Локоть В.В. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы: Учебное пособие. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: АРКТИ, 2005. – 96 с. (Абитуриент).
4.  «Математика абитуриенту. Версия 2.0.: «1145 задач по математике», компакт – диск для работы на компьютере.
5. Моденов В.П. Задачи с параметрами. Координатно-параметрический метод. Учебное пособие для школьников и абитуриентов. ООО «Экзамен» 2007 г, 288 с.
6. Под редакцией А.И. Прилепко «Сборник задач по математике для поступающих в вузы». М., 1989.
7. «Репетитор: Математика, часть 1», компакт – диск для работы на компьютере.
8. Скорикова Л.А. Математика 10 – 11 класс. Задачи с параметром. Волгоград. Учитель, 2010, 166 с.
9. Ястребицкий Г.А. Задачи с параметром. М: Просвещение, 1986.