Урок для 10 класса. Тема "Правила вычисления производных"
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Тема: Правила вычисления производных.

Цель урока: _        

• Вспомнить физический и геометрический смысл производной. Рассмотрение использования механического смысла производной для решения физических задач.
• Введение понятия второй производной, выяснение её физического смысла.
• Установление связи физических величин с понятием производной.
• Развитие монологической речи.
• Развитие навыков самостоятельной работы (тестовая работа)

Форма проведения: урок-семинар.

Оборудование:

• Листы с алгоритмом поиска производной (в стихотворной форме).
• Грамота
• Письмо-наставление
• Карточки для тестовой самостоятельной работы.

 Ход урока.

Здравствуйте, меня зовут Наталья Юрьевна, я учитель математики в школе № 1.

Ну а там, сидят гости, но это не просто обыкновенные гости, это корпорация  со странным названием “флюксия ”. Кто-нибудь знает откуда произошло такое интересное название?

Отв. По Ньютону “флюэнта” – функция, а «флюксия» - производная.  Впервые  термин  "функция"  вводит  в  рассмотрение  знаменитый  немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Понятие функции является одним из основных  понятии  математики. А кто может рассказать что-нибудь о производной  

Когда возникло понятие производной и в связи с решением каких задач физики, математики? (В XVII в. в связи с решением двух задач: определения скорости прямолинейного неравномерного движения; построения касательной к произвольной плоской кривой).

Так вот, они пришли на наш урок не просто так, а с определенной задачей. Как вы поняли из моих слов, что племя это существует довольно таки долго. Силы их истощались, да и годы уже не те, они уже не справляются со своими обязанностями. И вчера на совете, после долгих споров, они все таки пришли к единому мнению – переложить свою работу на молодые плечи, и как вы догадались, выбор пал на ваш класс. Я надеюсь, как впрочем вся корпорация, что вы не подведете ожидания. Посмотрите на уставшие лица, они очень хотят хоть немножко отдохнуть.

Ну а что бы ваша корпорация выдержала на себе такой большой груз,  нужен ни кто иной, как БОСС. Какая корпорация без босса. Ну а кто из вас будет , это мы узнаем в течении урока.

Как вы думаете, почему, зачем, понадобилась данная корпорация, что такого важного несет в себе производная? И вообще, что такое производная?

Вопрос что такое производная, многих ставит в тупик. Некоторые без труда находят производные, но дать определение…

Учитель: Еще Софья Ковалевская говорила: “Математик должен быть поэтом в душе”. Приведу стихотворение о производной с использованием таблицы алгоритмического поиска производной.

Учитель: Изучение данной темы имеет важное значение т.к. здесь показывается значение элементов дифференциального исчисления в описании и изучении явлений реального мира. А дифференциальное исчисление тесно связано с понятием производной.

Рассмотрим задачу (создание проблемной ситуации для учащихся).

Задача1: Две материальные точки движутся прямолинейно по законам:

S1(t ) = 2,5t2- 6t + 1; S2(t) = 0,5t2 + 2t - 3

В какой момент времени t0 скорости их равны, т.е. V1(t0)=V2(t0)…

Решение: 5t – 6 = t + 2;

                  4t=8;

ответ:        t=2.

Давайте с вами кратко запишем, каждый у себя в тетради краткую характеристику теперь уже вашей корпорации:

Учащимся предлагается заполнить таблицу

Со второй строкой в данной таблице вы справитесь без труда, а вот с третьей, немного будет посложнее. Порассуждаем?

f’’(x0) – данная запись читается, как вторая производная. Т.е. получается производная от производной. Ну тогда, вторая производная допускает простую физическую интерпретацию. Будучи производной от первой производной, она характеризует   скорость изменения этой производной. Первая же производная характеризует скорость изменения функции, таким образом, вторая производная характеризует «скорость изменения скорости изменения» функции. Ну а с подобным понятием вы сталкивались в физике (изучая равноускоренное движение, вводили понятие ускорения как изменения скорости движения  в единицу времени).Поэтому использую язык механики, можно сказать что вторая производная есть ускорение.

Задача № 2.

Найдите ускорение тела, движущегося по закону  s(t) = 2t3+ 5t2+ 4t (s –путь в метрах, t – время в минутах). В момент времени  t =40 сек.

Ответ: 18 м/мин2.

Ну а теперь, пришло время выбрать главного, это должен быть ловкий, умелый и естественно хваткий. Кто самый первый сделает и причем хочу сразу заметить, правильно сделает, будет и боссом.

III. Проверка уровня усвоения прошлого и нового материала:

Самостоятельная работа

(по карточкам)

Вариант 1

1. В чем сущность физического смысла у´?                                                                       А. скорость Б. ускорение В. угловой коэффициент Г. не знаю
2. Точка движется по закону S(t)=2t3 –3t. Чему равна скорость в момент t0=1c?          А. 15    Б. 12   В. 9    Г. 3
3. Зависимость пути S от времени движения выражается формулой     Назовите формулу ускорения:                                                                                                А.      Б. 2gt   В. gt    Г. g 
4. Тело движется прямолинейно по закону . В какие моменты времени t, ее скорость будет равна нулю?                                                                                   А. 1 и 3    Б.1 и 4   В. 2   Г. 2 и 0
5. Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется по формуле V(t)=5t3+t2 .Чему равно ускорение тела в момент времени t0=1c?                                                                 А. 17    Б. 32    В. 30   Г. 16

Вариант 2

1. В чем сущность физического смысла y´´?                                                                                  А. скорость   Б. ускорение    В. угловой коэффициент  Г. не знаю
2. Точка движется по закону S(t)=2t3 –3t. Чему равно ускорение в момент t0=1c?        А. 15     Б. 12     В. 9      Г. 3
3. Зависимость пути S от времени движения выражается формулой    Назовите формулу скорости.                                                                                            А.      Б. 2gt     В. gt      Г. g 
4. Тело движется прямолинейно по закону . В какие моменты времени t, ее ускорение будет равна нулю?                                                                                   А. 1 и 3       Б.1 и 4      В. 2      Г. 2 и 0
5.  Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется по формуле V(t)=15t2+2t .Чему равно ускорение тела в момент времени t0=1c?                                         А. 17      Б. 32      В. 30     Г. 16

Ответы:     Вариант 1 : А, Г, В, А, А.

                    Вариант 2 : Б, Б, Г, В, Б.

Такой вариант также предполагался, но так как ни в каком предприятия, ни в какой организации не бывает по два директора, так и нас возможен только один. Дополнительное задание на доске:

Задайте формулой, хотя бы одну функцию, производная которой равна:

А) 2х + 3;              б) 16х3 – 0,4;

В) 8х – 2;              г) 9х2  - ½. 

Домашнее задание

Большое вам спасибо за урок, вы постарались на славу. Обычно родители – детям, старшие – младшим дают какое-то наставление. Так и бывший состав корпорации – передает вам конверт. Нет – это не денежное вознаграждение, это нечто большее, то что вам пригодится в будущем, кстати, оно уже и не такое далекое.

В конверте вы найдете, …

Дорогие наши приемники!

Спасибо вам, мы сегодня увидели, что вы команда, и вы прекрасно справитесь со своими задачами, помните, наша корпорация, а теперь уже и ваша, никогда не стояла на месте, мы искали, мы находили, мы много читали, иногда не спали и ночами, но так мы сохранили, мы донесли до вас. Все что знали, и вы не растеряйте свои знания, и преумножайте их.

И такое вам задание,

1. Найдите производные до 7-го порядка для функций:

а) у = х5 + 4х3 – 7х2;

б) у = сosx.

2. Докажите, что для функции у = а sinx + b cosx справедливо соотношение yIV=y.

3. Найдите производную 100-го порядка для функции у=sinx cosx

 4.Сколько раз нужно продифференцировать функцию у=(х2+1)100, чтобы в результате получился многочлен 50-ой степени?

Свои ответы вы можете посылать на адрес: nat_em_@mail.ru

Правильное решение, оценивается отметкой «отлично» в журнал.

p.s. договоренность с Евгенией Владимировной есть.

Успехов Вам.

Исторические сведения

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1) о разыскании касательной к произвольной линии

2) о разыскании скорости при произвольном законе движения

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого

Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

      В математике XVII в. самым же большим достижением  справедливо  считается изобретение дифференциального  и  интегрального  исчисления.  Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших учеников. Введение  в

математику  методов  анализа  бесконечно   малых   стало   началом   больших преобразований. Но наряду с интегральными  методами  складывались  и  методы дифференциальные.   Вырабатывались   элементы   будущего   дифференциального

исчисления при решении  задач,  которые  в  настоящее  время  и  решаются  с помощью  дифференцирования.  В  то  время  такие  задачи  были  трех  видов: определение  касательных  к  кривым,  нахождение  максимумов   и   минимумов функций,  отыскивание   условий   существования   алгебраических   уравнений

квадратных корней.

   Первый в мире печатный курс дифференциального  исчисления  опубликовал  в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия  и  10  глав

Применение производной в экономической теории.

Экономический смысл производной, в том что, базовые  законы  теории  производства  и  потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.(которые вы изучите чуть позже).

   Один из базовых законов теории производства звучит так: "Оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода".

Использование производной для решения задач по экономической теории.

Задача 1.

     Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день. Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:К=-х3+98х2+200х. Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200.

Задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции У= -х2+98х+200. На промежутке [20;90].

Вывод: x=49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической точке.

f(20)=1760   f(49)=2601      f(90)=320.

    Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно, можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.

Задача 2.

    Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x3+600x -1000. Исследовать потенциал предприятия.

    Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума.

    Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.