Разработка урока "Практическое применение производной"
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Тема урока «Производная и ее применение»

Цели урока Добиться усвоения студентами систематических, осознанных знаний о понятии производной, ее геометрическом и физическом смысле. Показать студентам на примерах  из жизни  механический и геометрический  смысл производной. Учить использовать  производную при решении задач прикладного характера.

Формирование умений анализировать проблему и планировать способы ее решения, развитие навыков самостоятельной работы с дополнительной литературой.

                                                                      Ход урока

1. Организационный момент

Вступительное слово преподавателя: Тема нашего урока «Производная и ее применение». И сегодня мы  попытаемся рассмотреть эту тему и  ответить на вопрос: Мы изучаем производную. Так ли это важно в жизни?

Перед вами была выдвинута гипотеза:

«Дифференциальное исчисление – это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам решать не только математические задачи, но и задачи  практического характера в разных областях науки и техники».

В ходе урока вы должны либо подтвердить, либо опровергнуть  данную гипотезу.

Актуализация знаний (каждой группе задаются вопросы о производной)

Первое задание

      1. Что называют производной функции в точке?

      2.Что необходимо знать для нахождения производной?

      3. В чем заключается геометрический и физический смысл производной?

Второе задание

1.Вычислите производную функции                    Установите соответствии: функция – ее  

                                                                                                            производная                                                                                                                                          

1) У=Х5                                                                  2.   а )  У= tgХ                           1)  У′= - sinх

2) У= Х-3                                                                     б)  У=6∙Х3                           2)  У′=  4Х3

3) У= 3Х2-7Х                                                              в)  У=5+ Х4                         3)  У′= 1/ соs2 х

4) У=5∙sinх+3                                            г) У=1 + соs х            4) У′= 7Х6

5) У=4∙cos(2x+∏)                                       д)  У = Х7                    5) У′= 18Х2

3. Заполните пропуски  а)  (                                )′ = 3х2 -4+1/х2

                                             б) (1/13∙х4-25х –х/3+8)′=

Проверка выполненных заданий у доски.

Проектная деятельность студентов

А сейчас мы рассмотрим работы  каждой группы, чтобы убедиться в важности  роли производной  в исследовании процессов окружающего мира, в практической необходимости и  теоретической значимости  темы « Производная»

Первая группа   Исторические сведения

Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло  в 17 веке в связи с необходимостью решения задач и физики, и механики, и математики: в первую очередь следующих двух:  определения скорости прямолинейного неравномерного движения и построения касательной  к произвольной плоской кривой. Ко второй половине 17 века уже был ясно очерчен круг задач, решаемых методами дифференциального исчисления, выявлена связь понятий мгновенной скорости  и касательной, разработаны  отдельные методы решения задач. Однако еще не был создан алгоритм  для решения таких задач, не было создано  само дифференциальное исчисление.

Общая теория производных и методов их вычисления, т.е. теория дифференциального исчисления (независимо друг от друга) была разработана  И. Ньютоном  и Г.В.Лейбницем в конце 17 века.

Исаак Ньютон (годы жизни 1643- 1727гг) один из создателей  дифференциального исчисления. Главный его труд « Математические начала  натуральной философии» оказал колоссальное влияние на развитие естествознания. Ньютон ввел понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл ее физический смысл.

Лейбниц (годы жизни 1646-1716)

Создатель Берлинской академии наук. Основоположник дифференциального исчисления, ввел большую часть  современной символики  математического анализа.

Лейбниц пришел к понятию производной, решая задачи проведения касательной  к произвольной линии, объяснив тем самым ее геометрический смысл.

Но это не говорит о  том,  что до них эти вопросы не  изучались. Задолго до этого Архимед не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль, но и сумел найти максимум функции f(x)= x2(a-x).

Эпизодически понятие касательной ( которое,  как мы знаем, связано с понятием производной) встречалось в работах итальянского  математика  Н. Тартальи (около 1500- 1557 гг)—здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается  наибольшая дальность полета снаряда.

Большой вклад  в   изучение  дифференциального исчисления  внесли  Лопиталь,  Эйлер, Гаусс, Коши. Первый общий способ  построения касательной  к алгебраической кривой  был изложен  в «Геометрии»  Декарта.

Но, ни Ньютон, ни Лейбниц не дали четкого определения производной.  Впервые четкое ′определение  производной  было сформулировано Огюстен Коши, и именно это определение  стало общепринятым и в настоящее время  используется  во всех курсах  математического анализа. Термин «производная»  и ее  обозначение  y′, f′(x)  ввел Лагранж, и мы  до сих пор используем эти обозначения.

Вторая группа.

 Применение физического смысла производной при решении  физических  задач.

Применение производной в различных областях науки и техники обширно.  При изучении изменяющихся  величин очень часто возникает вопрос о скорости,  о быстроте  происходящего изменения. Так мы говорим о скорости движения самолета,  поезда, ракеты, вращения шкива и т. д. Можно говорить  о скорости  выполнения определенной работы, о скорости протекания химической реакции, о быстроте роста населения в данном городе. О скорости можно говорить по отношению к любой величине, которая изменяется с течением времени. Для всего этого  используется понятие производной.     Так в физике:

     1. Скорость-  это  производная от пути по времени  V(t)= S′(t)

    2.Ускорение- это производная от скорости по времени  а(t)=V′(t)

   3. Мощность- это производная  от работы по времени  N(t)=A′(t)

   4. Сила тока – это производная от заряда по времени   I(t)= q′(t)

   5. Теплоемкость- это производная от количества теплоты  по температуре      C(t)=Q′(t)  

       и т. д.    

Механическое движение  это изменение положения тела  в пространстве относительно других тел с течением времени.

Основной характеристикой механического движения является скорость.

Алгоритм нахождения скорости  тела с помощью производной.

Если закон движения тела задан уравнением  S=S(t)  , то для нахождения мгновенной скорости тела, в какой – нибудь  определенный момент времени   надо:

    1) найти  производную  S′(t)

    2)подставить  в полученную формулу заданное значение времени  

Задача . Автомобиль приближается  к мосту со скоростью 72 км/час. У моста висит дорожный знак «36 км /час». За 7  секунд до въезда на мост, водитель  нажал на тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью  автомобиль  въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой    S=20t-t2(м)

Дано:                                              V=S′(t)=(20t-t2)′= 20-2t  ;   V= 20-2∙7=6 м/с   ; 36км/ч = 10м/с .                                                                                                                              

 S=20t-t2 (м)

t=7c

V1=72км/час=20м/с

V=?

Следовательно, автомобиль въехал на мост с разрешающей скоростью.

Задача. Тело массой 2кг движется прямолинейно по закону x(t)= t2-3t+2, где t- время , с; х- координата ,м. Найдите кинетическую энергии тела через 10с после начала движения.

m=2                                                     Ек = mv2/2

x(t)= t2-3t+2                                       V(t)=x′(t)= (t2-3t+2)′=2t-3 м/с

t=10                                                   V(10)=2∙10-3=17м/с

Eк=?                                                    Eк=2∙172/2=289Дж

                                                          Ответ: 289 Дж

Производная в электротехнике

В наших домах, на заводах, на транспорте - всюду используют электрический ток, причем  в основном переменный ток

Под электрическим током понимают  направленное упорядоченное движение свободных заряженных частиц.

Количественной характеристикой электрического тока является сила тока. Сила тока  - есть производная  заряда по времени  I = q′(t).

Задача. Заряд, протекающий  через проводник, меняется по закону            q=sin(2t-10) Кл. Найти силу тока в момент времени t=5 c.

q= sin(2t-10) Kл            i(t)=q′(t)= (sin(2t-10))′=  cos(2t-10)∙(2t-10)′= 2∙cos(2t-10)A

t=5c                            i(t)=2∙cos(2∙5-10)= 2∙cos0 =2A

i(t)=?

Задача. Конденсатору колебательного контура с электроемкостью 2мкФ и индуктивностью 3 мГн сообщен заряд. Через какое минимальное время   после этого энергия электрического поля будет равна энергии магнитного поля?

C=2                                      Wэ=Wм

L=3’                                     W=q2/2C              W=Li2/2

W’=Wm                                q=qm∙cos ωt

t min=?                                 i=q′(t)= (qm∙ ω∙qm sinωt cosωt)′ =-qm∙sinωt∙ ω

Задача.                                                                                                              Найти силу, действующую на   материальную точку с массой 0,2 кг, движущуюся прямолинейно по закону S( t)= 2t3 –t2, при  t=2с.

 S( t)= 2t3 –t2                              F=m∙a

 T=2c                                                            V=S′(t)=(2t3  - t=2t2 )′=6 t2 -2t                                                                                                                                                     

m=0,2кг                                     a(t)=V′(t)= (6 t2 -2t )′ =12t-2                                                                                                                                                 

F=?                                             a(2)=12∙2-2=22м/с2

                                                  F=0,2∙22=4,4 Н

                                                 Ответ:4.4 Н

Третья группа. Применение геометрического смысла производной

Если функция возрастает на некотором промежутке, то ее производная  во всех точках этого промежутка больше нуля.

Если функция убывает на некотором промежутке, то ее производная  во всех точках этого промежутка  меньше нуля.

Точки, в которых производная равна нулю, называют стационарными. Если в стационарной точке производная меняет знак с «+» на  « - »

И это свойство касательных находит широкое применение.

Великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев (годы жизни 1821-1894) писал, что особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения  по возможности большей выгоды.

С такими задачами приходится  иметь дело представителям  самых разных специальностей-

  ● инженеры –технологи стремятся так организовать производство, чтобы выпускать  как  можно  больше продукции;

 ● конструкторы  стремятся разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей;

 ● экономисты стараются спланировать связи завода  с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались наименьшими.

Но не только людям приходиться решать подобные задачи. Бессознательно с ними справляются  и некоторые виды насекомых и других живых существ. Например, форма ячеек пчелиных сот такова, что при заданном объеме на них идет наименьшее количества воска. Пчелам помогает решать задачи инстинкт. Человек же отличается  от них тем, что ему на помощь приходит разум. Маркс говорил: «Но и самый плохой архитектор от наилучшей пчелы с самого начала отличается тем, что прежде чем строить  ячейку из воска, он уже построил ее в своей голове».

Математикам удалось разработать методы решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения, или,  как их еще называют, задач  на  оптимизацию с помощью производной (от  латинского «оптимум  - наилучший).

Задача.

Дождевая капля падает под действием силы тяжести,  равномерно испаряясь    так, что ее масса изменяется по закону  m(t) =1-2/3 (кг) (m-масса в граммах,   -время в секундах). Через какое время после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшая?

m(t)=1-2|3t (u)                         E=mv2|2

E= max                                     V(t)=ğt

t=?                                          Eк= (1-2|3t)∙ ğ2t2/2= 1/2 ğ2t2- 1/3 ğ2t3

                                               Ек′( )=

Задача.

Расход горючего  легкового автомобиля (литров на 100 км) в зависимости от скорости      Х км/час при движении на четвертой передаче приблизительно описывается  функцией f(х)= 0,0017Х2-0,18Х +10,2,    х >30км/час. При какой скорости расход горючего будет наименьшим?

Решение: исследуем расход горючего с помощью производной

f′(х)=0,0034 х- 0,18 х

f′(х)=0           0.0034 х -0,18=0;          Х =53

Находим знаки производной

Следовательно , расход горючего при скорости Х=53 км/час  будет наименьшим: f(53)=5,43л.

Задача. Предприятие производит х единиц некоторой  однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема  выпуска выражается  формулой f(x)=-0,02 х3+600х- 1000. Исследовать потенциал предприятия.

Находим производную функции f′(x)= (=-0,02 х3+600х- 1000)′= -0,06х2+ 600

                                     -0,06х2+ 600=0

                                  -0,06(х2-10000)=0

                                      Х=+/-100

Получаем, что при х=100  функция достигает максимума.

Следовательно, финансовые накопления предприятия растут с увеличением производства до 100 единиц, при х=100  достигают максимума и объем накопления  равен 79000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению  финансовых накоплений.  

Мы  с вами сейчас говорили об истории развития производной, рассмотрели задачи на применение производной. И кокой мы сделаем вывод?  Подтвердили мы гипотезу или нет?

Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса:  и неравномерное механическое движение,  это и переменный ток, и  мощность, и нахождение наименьшего и наибольшего значения и  многое другое.

  В частности, успехи в учебе – производная роста знаний.

Подведение итогов урока

Выставление оценок

Работа с кроссвордом.

• 1.Французский  математик XVII века Пьер Ферма определяет эту линию так: «Прямая, наиболее тесно примыкающая к кривой в малой окрестности заданной точки »
• 2.В математике это понятие возникло в результате попыток придать точный смысл таким понятиям как «скорость движения в данный момент времени » и «касательной к кривой в заданной точке »
• 3.Приращение какой переменной обычно обозначают ∆x ?
• 4 .Если  существует предел в точке а и этот придел равен значению функции в точке а, то в этой точке функции называют…
• 5.Эта точка лежит внутри области определения функции, и в ней функция принимает самое большое значение по сравнению со значениями в близких точках
• 6. Эта величина определяется как производная скорости по времени
• 7. Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(x)=g(h(x)), где y=g(t) и t=h(x)- некие функции, то функцию f называют…

′