Изучение темы: Применение производных: разработка по ФГОС СОО
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме
Презентация и разработка изучения темы
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 1.21 МБ |
![]() | 810.01 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Поможет в планировании и изучении темы «Применение производной к исследованию графиков функций»: в разработке целей с учётом прогнозируемых результатов, в использовании в качестве средств обучения современных образовательных ресурсов, в обучении к разработке технологической карты изучения темы.
Реализация требований ФГОС СОО при изучении темы: «Применение производной к исследованию графиков функций».
1. Выявить теоретические основы обучения теме теме «Применение производной к исследованию графиков функций», связанные с реализацией ФГОС СОО.
2. Выполнить отбор средств обучения теме, в том числе средства ИКТ.
3. Разработать таблицу целей и карту обучения теме.
4. Составить учебную рабочую программу «Тематическое и почасовое планирование образовательных результатов освоения темы теме «Применение производной к исследованию графиков функций».
5. Разработать методические рекомендации обучения теме и применить их в учебном процессе
Самостоятельные работы Николенко Эльвиры Владимировны\Группа Дмитров проект Николенко Э.В..docx
Предварительный просмотр:
ГБОУ ДПО МО
ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ПОСЛЕДИПЛОМНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН
ПРОЕКТ
Реализация требований ФГОС СОО при обучении учащихся 11 класса
теме: «Применение производной к исследованию графиков функций»
Выполнил:
слушатель учебного курса
«Актуальные проблемы развития профессиональной компетентности учителя математики (в условиях реализации ФГОС)»
учитель математики МОУ Яхромская СОШ № 1
Николенко Эльвира Владимировна
Руководитель курса: старший преподаватель
кафедры математических дисциплин
Кузнецова М.В.
Москва 2012
Содержание
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Теоретические основы обучения теме «Применение производной к исследованию графиков функций»
§ 1. Требования ФГОС СОО к школьному курсу математики
§ 2. Логико-математический анализ содержания темы
§ 3. Цели обучения теме «Применение производной к исследованию графиков функций»
ГЛАВА 2. Методические рекомендации обучения теме
§ 4. Карта изучения темы и её использование
§ 5. Учебный план темы
§ 6. Примеры реализации целей обучения теме
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Список литературы
Приложение
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность работы:
Разработка темы «Применение производной к исследованию графиков функций» по ФГОС СОО имеет практическое значение в применении не только с 2020 года, когда ФГОС СОО вступит в силу, а сейчас, в соответствии с развитием образования, информационных технологий, контрольно-измерительными материалами ЕГЭ по математике. Кроме того, учитывается, что в 11 классе личностные и метапредметные результаты, наряду с предметными, имеют важнейшее значение. Данный проект поможет в планировании и изучении темы «Применение производной к исследованию графиков функций»: в разработке целей с учётом прогнозируемых результатов, в использовании в качестве средств обучения современных образовательных ресурсов, в обучении к разработке технологической карты изучения темы.
Цель проекта: Реализация требований ФГОС СОО при изучении темы: «Применение производной к исследованию графиков функций».
Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:
Задачи исследования.
1. Выявить теоретические основы обучения теме теме «Применение производной к исследованию графиков функций», связанные с реализацией ФГОС СОО.
2. Выполнить отбор средств обучения теме, в том числе средства ИКТ.
3. Разработать таблицу целей и карту обучения теме.
4. Составить учебную рабочую программу «Тематическое и почасовое планирование образовательных результатов освоения темы теме «Применение производной к исследованию графиков функций».
5. Разработать методические рекомендации обучения теме и применить их в учебном процессе (фрагментов двух уроков, иллюстрирующих развитие и формирование УУД при обучении теме теме «Применение производной к исследованию графиков функций»школьного курса математики).
Решение поставленных задач потребовало использования следующих методов исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования, учебников и учебных пособий по математике; беседы с учителями, тестирование учащихся, проведение опытной проверки.
Объектом исследования является процесс обучения теме «Применение производной к исследованию графиков функций» в условиях реализации ФГОС СОО.
Предмет исследования – тема «Применение производной к исследованию графиков функций» в курсе алгебры и начала анализа в 10-11 классе.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ
ГЛАВА 1. Теоретические основы обучения теме «Применение производной к исследованию графиков функций»
§ 1. Требования ФГОС СОО к школьному курсу математики
Специфика современного мира состоит в том, что он меняется всё более быстрыми темпами. Каждые десять лет объём информации в мире удваивается. Поэтому знания, полученные людьми в школе, через некоторое время устаревают и нуждаются в коррекции, а результаты обучения не в виде конкретных знаний, а в виде умения учиться становятся сегодня всё более востребованными. Исходя из этого, Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования определил в качестве главных результатов не только предметные, а личностные и метапредметные универсальные учебные действия: Важнейшей задачей современной системы образования является формирование универсальных учебных действий, обеспечивающих школьникам умение учиться, способность к саморазвитию и самосовершенствованию.
Для учителя и для школы особенно актуальными в настоящее время являются вопросы:
Как обучать? С помощью чего учить? Как проверить достижение новых образовательных результатов?
Во всех трёх документах – Федеральном государственном стандарте начального общего образования – утверждённом Приказом Министерства образования и науки РФ № 373 от 6 октября 2009 г. , зарегистрированном Минюстом России 22.12.2009 № 15785 с изменениями в 2011, 2012 году, Федеральном государственном стандарте основного общего образования - утверждённом Приказом Министерства образования и науки РФ № 1897 от 17.12.2010 г и зарегистрированном Минюстом России 01 февраля 2011 года № 19644, Федеральном государственном образовательном стандарте среднего (полного) общего образования утверждённом Приказом № 413 от 17. 09. 2012г Министерства образования и науки РФ и зарегистрированном Минюстом России 07.06.2012г. № 24480 - указаны требования к основным результатам – личностным, метапредметным и предметным.
Личностные результаты – это готовность и способность обучающихся к саморазвитию, сформированность мотивации к обучению и познанию, ценностно-смысловые установки обучающихся, отражающие их индивидуально-личностные позиции, социальные компетенции, личностные качества; сформированность основ гражданской идентичности; самоопределение: внутренняя позиция школьника; самоидентификация: самоуважение и самооценка; смыслообразование: мотивация (учебная, социальная), границы собственного знания и «незнания»; ценностная и морально – этическая ориентация: ориентация на выполнение морально-нравственных норм; способность к решению моральных проблем на основе децентрации; оценка своих поступков.
Метапредметные результаты - освоенные обучающимися универсальные учебные
действия (познавательные, регулятивные и коммуникативные), обеспечивающие
овладение ключевыми компетенциями, составляющими основу умения учиться, и
межпредметными понятиями. Регулятивные: управление своей деятельностью; контроль и коррекция; инициативность и самостоятельность. Коммуникативные: речевая деятельность;
навыки сотрудничества. Познавательные: работа с информацией;, абота с учебными моделями, использование знако - символических средств, общих схем решения, выполнение логических
операций сравнения, анализа, обобщения, классификации, установление аналогий, подведения под понятие.
Предметные результаты – освоенный обучающимися в ходе изучения учебного предмета опыт специфической для данной предметной области деятельности по получению нового знания, его преобразованию и применению, а также система основополагающих элементов научного знания, лежащих в основе современной научной картины мира.
Учителю предоставляется свобода в выборе путей, средств, способов достижения результатов образовательной деятельности.
Предвиденные, социально желаемые результаты личностного и познавательного развития обучающихся мотивированно определяют цели личностного, социального и познавательного развития обучающихся: основная цель: развитие личности обучающегося на основе усвоения универсальных учебных действий, познания и освоения мира.
В Федеральном государственном стандарте нового поколения учитывается интегративный результат: создание комфортной развивающей образовательной среды, которая: обеспечивает высокое качество образования, его доступность, открытость и привлекательность для обучающихся, их родителей (законных представителей) и всего общества, духовно- нравственное развитие и воспитание обучающихся; гарантирует охрану и укрепление физического, психологического и социального здоровья обучающихся.
Основные требования предъявляются ФГОСами начального общего образования, основного общего образования, среднего общего образования:
• к структуре и условиям освоения основной образовательной программы, учитывающим возрастные и индивидуальные особенности обучающихся, в особенности тех, кто в наибольшей степени нуждается в специальных условиях обучения, – одаренных детей и детей с ограниченными возможностями здоровья:
• на ступени начального общего образования, учитывая самоценность ступени начального общего образования как фундамента всего последующего образования;
• на ступени основного общего образования, учитывая значимость ступени общего образования для дальнейшего развития обучающихся;
• на ступени среднего (полного) общего образования, учитывая значимость данной ступени общего образования для продолжения обучения в образовательных учреждениях профессионального образования, профессиональной деятельности и успешной социализации.
Исходя из предвиденных результатов определяются цели.
Цели определяют стратегию организации учебного процесса: по ФГОС нового поколения главная задача развития каждого ученика – а значит, - развития личности будущего выпускника на каждом этапе - это формирование и развитие его универсальных учебных действий: в широком значении – это воспитание умения учиться, т.е. способности к саморазвитию и самосовершенствованию путем сознательного и активного присвоения нового социального опыта, в узком смысле – развитие совокупности способов действия учащегося (а также связанных с ними навыков учебной работы), обеспечивающих самостоятельное усвоение новых знаний, формирование умений, включая организацию этого процесса.
Обеспечить качество организации образовательного процесса поможет – по ФГОС - системно – деятельностный подход: формирование готовности к саморазвитию и непрерывному образованию; проектирование и конструирование социальной среды развития обучающихся в системе образования; активную учебно-познавательную деятельность обучающихся; построение образовательного процесса с учётом индивидуальных возрастных, психологических и физиологических особенностей обучающихся.
Задачи формирования универсальных учебных действий на уроках математики: предметные, логические (варьирование необходимых и достаточных условий), психологические задачи (противоречие логических посылок и наглядных признаков). Исходя из этих задач, стратегия деятельности учителя – это разработка заданий для совместной учебной деятельности на уроках и внеурочных занятиях, обеспечивающих формирование регулятивных (контроль, оценка, планирование), коммуникативных, логических и личностных действий в группах или парах.
Говоря о прогнозируемом результате, необходимо подчеркнуть такой обязательный аспект как рефлексию собственного результата каждым учеником. Развитая способность обучающихся к рефлексии предполагает: осознание учебной задачи (что такое задача? какие шаги необходимо осуществить для решения любой задачи? что нужно, чтобы решить данную конкретную задачу?); понимание цели учебной деятельности (чему я научился на уроке? каких целей добился? чему можно было научиться ещё?); оценка обучающимся способов действий, специфичных и инвариантных по отношению к различным учебным предметам (выделение и осознание общих способов действия, выделение общего инвариантного в различных учебных предметах, в выполнении разных заданий; осознанность конкретных операций, необходимых для решения познавательных задач).
Развитию рефлексии на уроках математики способствуют приёмы: постановка всякой новой задачи как задачи с недостающими данными; анализ наличия способов и средств выполнения задачи; оценка своей готовности к решению проблемы; самостоятельный поиск недостающей информации в любом «хранилище» (учебнике, справочнике, книге, у учителя); самостоятельное изобретение недостающего способа действия (практически это перевод учебной задачи в творческую).
Развитию универсальных учебных действий способствует проектная форма работы – при которой, кроме направленности на конкретную проблему (задачу), создания определённого продукта, межпредметных связей, соединения теории и практики, обеспечивается совместное планирование деятельности учителем и обучающимися. цели и задачи этих видов деятельности обучающихся определяются как их личностными, так и социальными мотивами, Организация учебно-исследовательских и проектных работ школьников обеспечивает сочетание различных видов познавательной деятельности. Учебно-исследовательская и проектная деятельность должна быть организована таким образом, чтобы обучающиеся смогли реализовать свои потребности в общении со значимыми, референтными группами одноклассников, учителей.
Изучение математики – как составляющей предметной области «Математика и информатика» должно обеспечить:
- осознание значения математики в повседневной жизни человека;
- формирование представлений о социальных, культурных и исторических факторах становления математической науки;
- формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления.
В результате изучения математики обучающиеся развивают логическое и математическое мышление, получают представление о математических моделях; овладевают математическими рассуждениями; учатся применять математические знания при решении различных задач и оценивать полученные результаты; овладевают умениями решения учебных задач; развивают математическую интуицию.
Предметные результаты изучения математики должны отражать:
1) формирование представлений о математике как о методе познания действительности, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления;
2) развитие умений работать с учебным математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию), точно и грамотно выражать свои мысли с применением математической терминологии и символики, проводить классификации, логические обоснования, доказательства математических утверждений;
3) развитие представлений о числе и числовых системах от натуральных до действительных чисел; овладение навыками устных, письменных, инструментальных вычислений;
4) овладение символьным языком алгебры, приёмами выполнения тождественных преобразований выражений, решения уравнений, систем уравнений, неравенств и систем неравенств; умения моделировать реальные ситуации на языке алгебры, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры, интерпретировать полученный результат;
5) овладение системой функциональных понятий, развитие умения использовать функционально-графические представления для решения различных математических задач, для описания и анализа реальных зависимостей;
6) овладение геометрическим языком; развитие умения использовать его для описания предметов окружающего мира; развитие пространственных представлений, изобразительных умений, навыков геометрических построений;
7) формирование систематических знаний о плоских фигурах и их свойствах, представлений о простейших пространственных телах; развитие умений моделирования реальных ситуаций на языке геометрии, исследования построенной модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры, решения геометрических и практических задач;
8) овладение простейшими способами представления и анализа статистических данных; формирование представлений о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, о простейших вероятностных моделях; развитие умений извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках, описывать и анализировать массивы числовых данных с помощью подходящих статистических характеристик, использовать понимание вероятностных свойств окружающих явлений при принятии решений;
9) развитие умений применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием при необходимости справочных материалов, компьютера, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчётах.
Для реализации ФГОС СОО в школе разрабатывается Основная образовательная программа - на основе примерной основной общеобразовательной программы, в частности, для изучения предмета математики программа составляется на основе примерных программ по учебным предметам, составленных с учётом основной образовательной программы.
§ 2. Логико-математический анализ содержания темы : «Применение производной к исследованию графиков функций»
Логико –математический анализ изучения темы «Применение производной к исследованию графиков функций» представлен в таблице 1 и таблице 2; составлен на основе учебника Ш.А. Алимова, Ю.М. Колягина., Ю.В.Сидорова и др.:«Алгебра и начала математического анализа для 10 – 11классов», а также дидактических материалов по подготовке к ЕГЭ- 2013: «Математика. Типовые тестовые задания ЕГЭ- 2013 » под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко ( 3 сборника : 2 – по 10 вариантов, 1 – 30 вариантов с дополнительными 800 заданиями части С) ; А.В. Семенов, А.С.Трепалин, И.В.Ященко, П.И.Захаров: «Оптимальный банк заданий для подготовки учащихся. ЕГЭ-2013» .
Таблица1
ФГОС | Фундаментальное ядро содержания общего образования | Программа по предмету | Кодификатор ЕГЭ |
Овладение символьным языком алгебры и начал анализа, овладение приёмами исследования в простейших случаях функции на монотонность, нахождения наибольших и наименьших значений функций, построения графиков многочленов и простейших рациональных функций с использованием аппарата математического анализа; | Производная и её применение для исследования графиков функций | - формирование представлений о промежутках возрастания и убывания функции, о достаточном условии возрастания функции, о промежутках монотонности функции, об окрестности точки, о точках максимума и минимума функции, о точках экстремума, о критических точках; | 4. Начала математического анализа 4.1. Производная. 4.2. Исследование функций |
Уметь исследовать функции на монотонность, описывать по графику поведение и свойства функции, находить по графику функции наибольшее и наименьшее значения, экстремумы функции, асимптоты графиков, строить графики функций по данным их исследования. | 4.2.1. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. 4.2.2. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально – экономических, прикладных задачах | ||
развитие умений извлекать информацию, представленную в таблицах формул производных, на графиках, в учебниках, справочном дидактическом материале, полезных сайтах Интернет. | Представление данных, их числовые и графические характеристики. Таблицы, схемы, графики, формулы. | Использовать основные способы представления и анализа данных | Представление данных в виде таблиц, формул, схем интервалов, графиков. |
Таблица 2
№ п/п | Раздел, название урока в поурочном планировании | Дидактические единицы образовательного процесса | Контроль знаний учащихся | Коли- чество часов | Дата | Корректи ровка |
4 | Глава IX Применение производной к исследованию функций | Знать и понимать: - понятие стационарных, критических точек, точек экстремума; | 18 | |||
4.1. | §49. Возрастание и убывание функции | Обучающий урок. Урок практическая работа. Самостоятельная работа обучающая. | 2 | 30.11. 03.12. | ||
4.2. | § 50 Экстремумы функции. | Изучение и первичное закрепление новых знаний. Тестирование (задания В8, В14 ЕГЭ-2013) | 3 | 05.12. 07.12. 10.12., | ||
4.3. | § 51 Применение производной к построению графиков функций. | Уроки усвоения новых знаний, умений и навыков. Различные формы контроля. Он-лайн тестирование (В8, В14 ЕГЭ- 2013) Самостоятельная работа в группах обучающая. | 5 | 12.12. 14.12. 19.12. 21.12. 24.12. | ||
4.4. | § 52 Наибольшее и наименьшее значение функции. | Обучающий урок. Урок практическая работа. Самостоятельная работа обучающая. Тестирование (задания В8, В14 ЕГЭ-2013) | 4 | 26.12. 28.12 14.01. 16.01. | ||
4.5. | § 53 Выпуклость графика функции, точки перегиба. | Обучающий урок. Урок практическая работа. Самостоятельная работа обучающая. Тестирование (задания В8, В14 ЕГЭ-2013) | 3 | 18.01. 21.01 23.01. | ||
4.6. | Контрольная работа №3 по теме «Применение производной к исследованию функций» § 49 - § 53, задания ЕГЭ – 2013: В8, В14 | Уметь применять изученный теоретический материал при выполнении письменной работы. | Урок контроля, оценки и коррекции знаний учащихся. Фронтальный контроль. | 1 | 25.01. |
§ 3. Цели обучения теме «Применение производной к исследованию графиков функций»
Таблица целей для обучения по теме: «Применение производной к исследованию графиков функций» представлена в таблице 3 , где учитываются 5 направлений целей:
- Ц 1: приобретение и преобразование учебной информации и формирование познавательных учебных действий;
- Ц 2: контроль усвоения теории и процесса изучения темы;
- Ц 3: применение знаний и умений при решении задач и исследовании графиков функций с применением производной;
- Ц 4: формирование, развитие и становление коммуникативных умений;
- Ц 5: формирование, развитие и становление организационных умений старшеклассника – как выпускника школы.
В данной таблице содержится аббревиатура: УИ - учебная информация; ПУД – познавательные учебные действия; КУД – коммуникативные учебные действия; РУД – регулятивные учебные действия.
Таблица 3
Формулировки обобщённых целей | Формулировки учебных задач, с помощью которых достигается обобщённая цель | Средства помощи | ||
цель считается достигнутой, если Вы на уровнях: | ||||
первом | втором | третьем | ||
Ц 1: приобретение УИ, формирование логических ПУД | а) сравниваете понятия монотонности функций: возрастание, убывание; понятия стационарных, критических точек, экстремумов функций; точек перегиба, чётности и нечётности функции; наибольшего и наименьшего значений функции; б) понимаете сущность понятия: асимптоты графиков функции; сравниваете теоремы Лагранжа, теорему о достаточном условии возрастания функции, теорему Ферма, теорему о достаточном условии того, что стационарная точка является точкой экстремума функции; свойств функции, устанавливаемых с помощью второй производной | а) составляете схему нахождения промежутков монотонности функции, критических точек, экстремумов функции, нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, нахождения промежутков выпуклости функции; построения графиков непрерывных функций, определённых на отрезке, б) выполняете анализ и выявляете основные алгоритмы исследования графиков функций, решения текстовых задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения с помощью производной; а также –– с нахождением асимптот функций, определённых не на всей области R | а) даёте определение монотонности функций, критических, стационарных точек, экстремумов функций, наибольшего и наименьшего значения функций на отрезке, выпуклости функции, точек перегиба, дополняете исследование функции необходимыми этапами, построением графика по составленной собственной схеме; б) выполняете анализ и исследуете функции, с учётом их свойств, устанавливаемых с помощью первой и второй производной, с опорой на геометрический и физический смысл производнойв) составляете схемы и приёмы решения текстовых задач на применение производной – нахождение наименьшего и наибольшего значений, в том числе - нестандартных задач, типа С5 на ЕГЭ, ; г) выполняете по собственной схеме исследование функций, имеющих асимптоты при построении. | а) схема определения понятия; б) 1) таблица производных; таблица графиков функций, в) 2) учебник: Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10 - 11. /Учебник : Алимов Ш.Ф., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. курс «Алгебра и начала анализа» для 10– 11 классов: М., «Просвещение» , 2012 г) 4) карточки с приёмами; 5) подсказки к поиску ответов на вопросы, решения задач; school-collection.edu.ru, fcior.edu.ru, http://uztest.ru/jurnal |
Ц 2: кон-троль усвоения теории; | первом | втором | третьем | 1) приёмы исследования функций 2) таблицы производных, пределов, схемы исследования функций, 3) эвристические рекомендации для решения заданий 3 уровня сложности, 4) карточки с направляющими подсказками, 5) классификация заданий по определению интервалов монотонности, экстремумов, выпуклости и точек перегиба, нахождения наибольшего и наименьшего значения; 6) подсказки - приложения 1-5, учебник, дидактические материалы по подготовке к ЕГЭ; 7) ЭОР, 8) Карты для оценки необходимого уровня выполнения заданий, знаний материала |
Знаете: а) понятия: 1) монотонности функций: возрастание, убывание; точек перегиба, чётности и нечётности функции; наибольшего и наименьшего значений функции; 2) стационарных, критических точек, экстремумов функций; асимптот графиков функции; б)теоремы: б) суть исследования графиков функций, в) приводите примеры в соответствии с теоретическими сведениями; | Знаете: а) понятия асимптот графиков функций, б) теоремы: 1)Лагранжа, 2) о достаточном условии возрастания функции, 3) теорему Ферма, о достаточном условии того, что стационарная точка является точкой экстремума функции; 4)свойства функций, устанавливаемые с помощью второй производной б) умеете составлять схемы исследования функций, применяя производные; в) приводите примеры в соответствии с применением теорем и понятий, связанных с исследованием функций на монотонность, поиском критических точек, определением их стационарности, выявлением экстремумов, наибольшего и наименьшего значений функций на отрезках, выпуклости и нахождения точек перегиба; | Знаете: 1) процесс исследования функций на монотонность, определение экстремумов функций, на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, на исследование графиков функций, на построение графиков функций, учитывая и нахождение вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот; 2) приёмы и способы решения текстовых задач на применение геометрического и физического смысла производной, вычисление наибольшего или наименьшего значения с помощью производной; 3) классификацию задач по методам решения - аналитическому и графическому, по уровню сложности – стандартных и нестандартных. | ||
Ц3: применение знаний и умений | первом | втором | третьем | 1) приёмы исследования функций 2) таблицы производных, пределов, схемы исследования функций, 3) эвристические рекомендации для решения заданий 3 уровня сложности, 4) карточки с направляющими подсказками, 5) классификация заданий по определению интервалов монотонности, экстремумов, выпуклости и точек перегиба, нахождения наибольшего и наименьшего значения; 6) подсказки - приложения 1-5, учебник, дидактические материалы по подготовке к ЕГЭ; 7) ЭОР, 8) Карты для оценки необходимого уровня выполнения заданий, знаний материала 9) презентация заданий с подсказками для самостоятельного решения 10) ЦОР: school-collection.edu.ru, fcior.edu.ru, http://uztest.ru/jurnal, http://live.mephist.ru/show/matheg, http://ege.yandex.ru/mathematics., 10) приём саморегуляции |
умеете: а) использовать знания в исследовании функций 1 уровня сложности типа №№ 899-901 на нахождение интервалов возрастания и убывания функций; б) строить эскизы графиков непрерывных функций 1 уровня сложности, определённых на отрезке; в) находить критические , стационарные точки функции, точки экстремума в заданиях 1 уровня сложности типа №№ 910-916; г) применять производную к исследованию простейших функций и построению графиков типа №№ 923-928; д) находить наибольшее и наименьшее значения функций аналогично №№ 936-943; е) решать простейшие задачи с использованием ориентиров, ж) решать задания типа В8 из сборников по подготовке к ЕГЭ, з) добывать информацию, работать с учебником, ЭОР. | умеете: а) использовать знания для исследования функций в заданиях 2-го уровня сложности типа №№ 902-906, 918-920, 929-932, 944-946, 953-955, 966-974; б) исследовать функции на выпуклость, нахождение точек перегиба; в) решать текстовые задачи 2-го уровня сложности на поиск наибольших и наименьших значений, на нахождение скорости и ускорения с применением производной, г) решать задания типа В14 из сборников по подготовке к ЕГЭ, д) анализировать, структурировать и классифицировать информацию из учебной литературы, ЦОР, выделять главное. | умеете а) использовать знания для исследования и построения графиков функций в заданиях 3-го уровня сложности типа №№ 907-909, 921-925, 947-952, 975-982 с учётом поиска вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот; б) решать текстовые задачи 3-го уровня сложности; в) использовать эвристики для решения заданий с параметром, г) решать задания типа С в сборниках по подготовке к ЕГЭ, д)контролировать правильность выполнения каждого задания, анализировать возможность применения различных способов решения, е) самостоятельно составлять алгоритмы, схемы решения.. | ||
Ц 4: формирование КУД | Ц 4: а) работаете в группе, оказываете взаимопомощь, рецензируете ответы товарищей; б) организуете взаимоконтроль, взаимопроверку и взаимопомощь на всех этапах учебно-познавательной деятельности (УПД) по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; в) оказываете помощь, работающим на предыдущих уровнях; г) осуществляете поиск информации для подготовки письменного сообщения и устного выступления в соответствии с изучаемой темой, используя правила коммуникативного взаимодействия; д) осуществляете совместную проектную деятельность: распределяете обязанности; е) составляете свою контрольную работу в соответствии со своим уровнем освоения темы, предлагаете её для решения товарищу и проверяете решение. | приёмы контроля, оценки; таблица коммуникативной компетентности , схемы и карточки самопроверки, взаимопроверки, схема деятельности пар (групп) сменного состава | ||
Ц 5: формирование общих ПУД и РУД | Ц 5: а) самостоятельно выбираете уровни освоения темы и прогнозируете достижение целей в соответствии с формулировкой цели своей учебной деятельности; б) выбираете задания и решаете их; в) осуществляете самопроверку с использованием образцов, приёмов; г) составляете контрольную работу для своего уровня усвоения; д) оцениваете свою итоговую деятельность, ПУД по данным объективным критериям; по собственным критериям, сравнивая их с объективными критериями; е) делаете выводы по итогам предыдущей ПУД о дальнейших действиях, направленных на коррекцию, планируете коррекцию учебно-познавательной деятельности, ж) выбираете темы для дополнительного изучения и работы над проектами, | Приёмы постановки целей и саморегуляции УПД |
ГЛАВА 2. Методические рекомендации обучения теме
§ 4. Карта изучения темы и её использование
Карта изучения темы «Применение производной к построению графиков функций» показана в таблице 4.
В карте предусмотрены цели, ожидаемые результаты и применяемые средства на каждом этапе изучения темы.
Таблица 4
I. Логическая структура и цели изучения темы (таблица целей) | |||||||||||||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
Ц 1,2,4,5 | Ц 1 -5 | Ц 1,2,4,5 | Ц 1- 5 | Ц 2- 5 | Ц 1 -5 | Ц 1-5 | Ц1 -5 | Ц 2,3,5 | Ц 2-5 | Ц 1 - 5 | Ц 1 - 5 | Ц 1-5 | Ц1-5 | Ц 1 - 5 | Ц 1 - 4 | Ц 2,3,5 | Ц 2, 3, 4, 5 |
П. 4.1 §49 | П. 4.1. §49 | П. 4.2 §50 | П. 4.2 §50 | П. 4.2, 4.1 §49 §50 | П. 4.3 §49, §50 §51 | П. 4.3 §49, §50 §51 | П. 4.3 §49, §50 §51 | П. 4.3 §49, §50 §51 | П. 4.3 §49, §50 §51 | П. 4.4 §52 | П. 4.4 §52, §49, §50 | П. 4.4 §52, §49, §50 | П. 4.4 §52, §49, §50 | П. 4.5 §53 | П4.5. §49 §50 §51 §52 §53 Обобщение, систематизация | Контрольная работа | Урок коррекции |
II. Блок актуализации знаний учащихся | |||||||||||||||||
Знать: определения: производной, геометрического и физического смысла производной; основных понятий и определений: элементарных функций – линейной, квадратичной, степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических; понятия: монотонности, чётности и нечётности функций, области определения и множества значений; формулы производных; графики функций; уравнение касательной функции; приёмы исследования функций, решения неравенств и решения текстовых задач . Уметь: строить и исследовать графики линейной, квадратичной, степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических функций; решать неравенства различными методами; составлять уравнения и неравенства к текстовым задачам; вычислять производные элементарных функций, производные суммы, разности, произведения, частного и сложных функций; решать текстовые задачи, решать физические задачи с применением определения производной. III. Предметные результаты (Ц 2, 3 таблицы целей): уметь решать задачи по нахождению интервалов возрастания и убывания функций; построению эскизов графиков непрерывных функций, определённых на отрезке; нахождению стационарных, критических точек и точек экстремума; применению производной к исследованию функций и построению графиков; нахождению наибольшего и наименьшего значений функции, выпуклости графиков функции и точек перегиба, определению асимптот графиков функций; поиску наибольших и наименьших значений в прикладных задачах, используя понятия: монотонности функции: промежутков возрастания и убывания, стационарных точек, критических точек, экстремумов функции, точек максимума, точек минимума, точек перегиба, асимптот графиков функции, чётности и нечётности функции; наибольшего и наименьшего значений функции; теорему Лагранжа, теорему о достаточном условии возрастания функции, теорему Ферма, теорему о достаточном условии того, что стационарная точка является точкой экстремума функции; свойств функции, устанавливаемых с помощью второй производной; представления о типах задач на нахождение промежутков монотонности функции, критических точек, экстремумов функции, нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, нахождение промежутков выпуклости функции; на построение графиков непрерывных функций, определённых на отрезке, а также – нестандартных задач – с нахождением асимптот функций, определённых не на всей области R, с учётом их свойств, устанавливаемых с помощью первой и второй производной, с опорой на геометрический и физический смысл производной; на решение текстовых задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения с помощью производной; уметь добывать, анализировать и обрабатывать информацию: работать с учебником, цифровыми образовательными ресурсами, отбирать и структурировать материал, уметь анализировать, конкретизировать, выделять главное, исследовать, рассуждать и обобщать, быть способным к самоконтролю и самокоррекции деятельности, к саморегуляции и рефлексии; IV. Средства обучения теме: 1)приём исследования функций на монотонность; 2) приём исследования функций на экстремумы; 3) приём исследования функций на наибольшее и наименьшее значения; 4) приём исследования функций на наличие точек перегиба, выпуклость, 5)приёмы нахождения вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот; 6) приёмы решения текстовых задач на вычисление наименьшего и наибольшего значений величин с применением производной, 7)эвристические рекомендации – карточки – подсказки, направляющие вопросы, опоры для составления схемы исследования функции или решения задач; 4) приёмы саморегуляции при выполнении преобразований и решении уравнений 5) таблица производных; таблица графиков функций 6) учебник: Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 7) Дидактические материалы по подготовке к ЕГЭ 8) интернет-сайты: school-collection.edu.ru, fcior.edu.ru, http://uztest.ru/jurnal, http://live.mephist.ru/show/matheg, http://ege.yandex.ru/mathematics.; | |||||||||||||||||
IV. Образцы заданий итоговой контрольной работы (Ц 5) | |||||||||||||||||
1 уровень | Б. | 2 уровень | Б. | 3 уровень | Б. | ||||||||||||
1. На рисунке изображен график производной функции f(x), определённой на интервале (-2;9). В какой точке отрезка [2;8] f(x) принимает наименьшее значение? 2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определённой на интервале (-5;16). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [0;15] 3. . На рисунке изображен график производной функции f(x), определённой на интервале (-15;4). Найдите промежутки возрастания функции f(x) . В ответе укажите длину наибольшего из них | 1 1 1 | 1. Исследуйте функцию на монотонность f(x) = x3 – x2 – x + 8 1. Найдите наименьшее значение функции на отрезке 2. Найдите экстремумы функции f(x) = | 1 2 2 | 1. Исследуйте функцию y=(x2 – 7x + 7) e4-x на монотонность, экстремумы 2. Найдите экстремумы функции . f(x) = sin2x – cos x 3. Исследуйте функцию и постройте её график: f(x) = . | 1 2 2 |
| |||||||||||
VI. Задания для внеаудиторной самостоятельной работы (Ц 2, 3,4, 5) | |||||||||||||||||
1 уровень (обязательный уровень стандарта): №№ 899-901, 910-916, 923-928, 936-943, из ЕГЭ – В8 | |||||||||||||||||
2 уровень: №№902-906, 918-920, 929-932, 944-946, 953-955, 966-974, ЕГЭ – В14 | |||||||||||||||||
3 уровень: №№907-909, 921-925, 947-952, 975-982 | |||||||||||||||||
4 уровень: №№ 1585, 1586, 1587, 1590,1591, 1619-1622 (в разделе «Задачи повышенной трудности»), ЕГЭ – С5 | |||||||||||||||||
VII. Темы индивидуальных заданий (Ц 5) | |||||||||||||||||
1. Подготовка выступлений с презентациями проектов на конференцию на тему: «Применение производной» к неделе математики. 2. Подготовка выступлений на математический вечер к декаде математики на тему: 1) Задачи Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница, приведшие к открытию дифференциального исчисления 2) История производной: выдающийся вклад учёных разных времён. 3. Подготовка презентаций по решению задач В8, В14 и С5 (по применению производной) на «Круглый стол» факультатива «Практическая подготовка к ЕГЭ по математике». 4. Темы проектов: 1) Применение производной для исследования функций 2) Применение производной для решения задач физического содержания; 3) Применение производной для задач геометрического содержания. 4) Алгебра и математический анализ: история дифференцирования 5). Самостоятельно выбранная тема. | |||||||||||||||||
YIII. Метапредметные результаты: перечень учебных действий (умений) для освоения темы (Ц 1 - 5) | |||||||||||||||||
Познавательные УУД Сравнение, обобщение, конкретизация, анализ; составление схемы определения понятия, подведение под понятие; постановка и решение проблемы при составлении задач, исследование, поиск информации, эвристическая деятельность с консультированием учителя, одноклассника; построение логических цепочек рассуждений, включающих установление причинно-следственных связей, выдвижение гипотез и их обоснование, осознанный выбор наиболее эффективных способов решения учебных и познавательных задач; анализ истинности утверждений. | Регулятивные УУД Приёмы саморегуляции, целеполагание, планирование пути достижения цели, умение самостоятельно контролировать свое время, выбирать уровни освоения темы и прогнозировать достижение целей в соответствии с формулировкой цели своей учебной деятельности и управлять своей учебной деятельностью, адекватная самостоятельная оценка правильности выполнения действий и внесение необходимых корректив; рефлексивная оценка своей итоговой деятельности, способность анализировать свою деятельность и делать выводы по итогам предыдущей познавательной учебной деятельности о дальнейших действиях, направленных на коррекцию, планирование этой коррекцию учебно-познавательной деятельности. | Коммуникативные УУД Умение участвовать в диалоге, понимание собеседника, сотрудничество с учителем, взаимодействие в паре, работа в группе, оказание взаимопомощи, рецензирование ответов товарищей; организация взаимоконтроля, взаимопроверки и взаимопомощи, распределение обязанностей в группе; умение слушать, выступать, рецензировать, писать текст выступлений. | Личностные УУД Рефлексия собственной деятельности Установление обучающимися связи между целью учебной деятельностью и ее мотивом, независимость и критичность мышления, воля, настойчивость в достижении цели, развитие навыков сотрудничества с учителем и сверстниками в разных учебных ситуациях. |
§ 5. Учебный план темы «Применение производной к построению графиков функций».
Учебный план соответствует учебному плану школы – изучение алгебры и начал анализа – 3 часа в неделю в инвариантной части и 2 часа – внеурочные занятия: факультатив «Решение практических задач по подготовке к ЕГЭ», клуб «Исследователь».
Учебно - тематическое планирование для 11 класса по теме «Применение производной к исследованию графиков функций» представлено в таблице 5.
Таблица 5
Условные обозначения: ПУУД – познавательные УУД; ПЛ УУД - познавательные логические УУД; ПО УУД - познавательные общеучебные УУД; РУУД – регулятивные УУД; КсУУД – коммуникативные УУД сотрудничество; КрУУД – коммуникативные УУД для общения: развитие устной и письменной речи; Ц1 – Ц 5 – цель 1 – 5; ДЗ – домашнее задание; УПД – учебно-познавательная деятельность. | Средства обучения 1) таблица производных; таблица графиков функций 2) учебник: Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10 - 11. /Учебник : Алимов Ш.Ф., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. курс «Алгебра и начала анализа» для 10– 11 классов: М., «Просвещение» , 2012 3) Дидактические материалы по подготовке к ЕГЭ- 2013: «Математика. Типовые тестовые задания ЕГЭ- 2013 » под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко ( 3 сборника : 2 – по 10 вариантов, 1 - 30 вариантов с дополнительными 800 заданиями части С) ; А.В. Семенов, А.С.Трепалин, И.В.Ященко, П.И.Захаров: «Оптимальный банк заданий для подготовки учащихся. ЕГЭ-2013» 3) Карта темы 4) карточки с приёмами; 5) подсказки к поиску ответов на вопросы, решения задач; 6) презентация заданий с подсказками для самостоятельного решения 7) компьютер 8) интерактивная доска 9) мультимедийный проектор 10) интернет-сайты: school-collection.edu.ru, fcior.edu.ru, http://uztest.ru/jurnal, http://live.mephist.ru/show/matheg, http://ege.yandex.ru/mathematics. | Форма урока: Уроки:
Формы обучения: - фронтально - индивидуальная (эвристическая беседа: частично – поисковый метод); - групповая; - парная; - коллективная. | |
№ уро- ков | Раздел, тема урока | Форма урока; форма обучения | Предметные и метапредметные результаты Ц 1 (ПЛ УУД), Ц 2 (ПО УУД, РУУД), Ц 3 (ПЛ УУД , ПО УУД, РУУД) , Ц 4 (КсУУД, КРУУД), Ц 5 (ПОУУД, РУУД) |
1 - 18 | Тема: «Применение производной к исследованию графиков функций» | Ц 1: приобретение учебной информации и развитие интеллектуальных умений при изучении: а) понятий монотонности функции: промежутков возрастания и убывания, стационарных точек, критических точек, экстремумов функции, точек максимума, точек минимума, точек перегиба, асимптот графиков функции, чётности и нечётности функции; наибольшего и наименьшего значений функции; б) теорем: теоремы Лагранжа, теоремы о достаточном условии возрастания функции, теоремы Ферма, теоремы о достаточном условии того, что стационарная точка является точкой экстремума функции; свойств функции, устанавливаемых с помощью второй производной; в) типов задач на нахождение промежутков монотонности функции, критических точек, экстремумов функции, нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, нахождение промежутков выпуклости функции; на построение графиков непрерывных функций, определённых на отрезке, а также – нестандартных задач – с нахождением асимптот функций, определённых не на всей области R ; Ц 2: контроль усвоения теоретических знаний: а) понятий, указанных в Ц 1; б) теорем, свойств, указанных в Ц 2; в) типов задач, указанных в Ц 1: на исследование функций на монотонность, определение экстремумов функций, на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, на исследование графиков функций, на построение графиков функций, решение текстовых задач на применение геометрического и физического смысла производной, решение текстовых задач на вычисление наибольшего или наименьшего значения с помощью производной; по сложности – стандартных и нестандартных; классов задач, предусматривающих методы решения – аналитический или графический. Ц 3: применение знаний и интеллектуальных умений при решении задач по нахождению интервалов возрастания и убывания функций; построению эскизов графиков непрерывных функций, определённых на отрезке; нахождению стационарных точек функции, стационарных, критических точек и точек экстремума; применению производной к исследованию функций и построению графиков; нахождению наибольшего и наименьшего значений функции; использованию приобретенных знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни для решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения; моделированию реальных ситуаций на языке алгебры и начал анализа, исследованию построенных моделей с использованием аппарата алгебры и начал анализа, интерпретированию полученного результата; учебных задач - достижения умения добывать, анализировать и обрабатывать информацию: работать с учебником, цифровыми образовательными ресурсами, отбирать и структурировать материал, умения анализировать, конкретизировать, выделять главное, умения исследовать, рассуждать и обобщать, способности к самоконтролю и самокоррекции деятельности, развития способности к саморегуляции и рефлексии; Ц 4: развитие коммуникативных умений через: включение в парную и групповую работу; взаимопомощь, рецензирование ответов; организацию взаимоконтроля и взаимопроверки на всех этапах УПД; активное включение в участие в эвристической беседе с учителем во время изучения нового материала; взаимообучение, взаимоконтроль, оказание помощи товарищам, работающим на предыдущих уровнях при коллективной форме работы; совместный поиск информации во время работы над проектами. Ц 5: развитие организационных умений: развитие способности к целеполаганию, планированию собственной деятельности на каждом этапе изучения темы, способности к прогнозированию результата, формулированию цели своей учебной деятельности, реализации собственного плана деятельности: самостоятельного выбора уровня освоения темы, выбора темы для дополнительного изучения и работы над проектом, осуществления самопроверки с использованием образцов решения задания, алгоритма исследования графиков функций, аналитических и графических приёмов исследования графиков функции с помощью дифференциального исчисления, развитие способности к саморегуляции УПД: рефлексивной оценке своей учебно-познавательной деятельности, осознанию связи полученных итогов учебно-познавательной деятельности с предыдущими итогами, прогнозированию и планированию дальнейшей коррекционной деятельности. | |
1 | Возрастание и убывание функции | Изучение и первичное закрепление новых знаний (эвристическая беседа) Фронтально-индивидуальная Групповая, парная | Ц 1: приобретение учебной информации и развитие интеллектуальных умений при изучении понятий монотонности функции: промежутков возрастания и убывания; Ц 2: контроль усвоения изученного материала в процессе эвристической беседы Ц 4: развитие коммуникативных умений через: включение в участие в эвристической беседе с учителем во время изучения нового материала, активное включение в парную работу; построение речевых высказываний, посредством смыслового разделения текста из учебника, опоры в тетради на части и подбор заголовка к опорным сигналам нового материала; составление плана изучения темы. Ц 5: введение в тему, постановка и формулирование целей своей учебной деятельности, прогнозирование результата, планирование своей УПД. Выбирает тему для исследования и работы над проектом из истории производной либо её применения. |
2 | Возрастание и убывание функции | Урок постановки учебной задачи Групповая работа Индивидуальная | Ц 1: развитие интеллектуальных умений при решении задач на нахождение промежутков монотонности функции: на первом уровне - сравнение решения задач из учебника, из ЦОР, анализ решения, решение с помощью подсказки заданий типа №№ 899-901в учебнике, В8 – ЕГЭ; на втором уровне – самостоятельное решение с последующей проверкой с образцом заданий типа №№ 902-906 в учебнике, В14 - ЕГЭ, на третьем уровне – обобщение решения, самостоятельное составление алгоритма задач типа №№ 907-909. Ц 2: контроль усвоения теоретических знаний: 1) указание признаков монотонности функции: промежутков возрастания и убывания; формулирование и понимание теоремы Лагранжа, теоремы о достаточном условии возрастания функции; 2) самоконтроль при переходе от одной модели задач – первого уровня в учебнике, в ЦОР, в ЕГЭ - типа В 8, к другой – второго уровня – в учебнике и ЦОР, в ЕГЭ - типа В 14; к третьей – задачам третьего уровня – с параметром – в учебнике 3) контроль выполнения: 1) №№ 899-901(по 1), В8 из указанных вариантов ЕГЭ, 2) перечисление основных аспектов исследования функции на возрастание и убывание, применение их к решению задач из №№ 902-906 в учебнике, В14 - ЕГЭ; 3) самостоятельный поиск решения задач типа №№ 907-909 Ц 3: применение знаний и интеллектуальных умений при решении задач по нахождению интервалов возрастания и убывания функций; учебных задач - умения добывать, анализировать и обрабатывать информацию: работать с учебником, цифровыми образовательными ресурсами, отбирать и структурировать материал, умения анализировать, конкретизировать, выделять главное, умения исследовать, рассуждать и обобщать, способности к самоконтролю и самокоррекции деятельности, развития способности к саморегуляции и рефлексии. Ц 4: развитие коммуникативных умений через: включение в парную и групповую работу; взаимопомощь, рецензирование ответов; организацию взаимоконтроля и взаимопроверки Ц 5: формулирует цели своей учебной деятельности, реализации собственного плана деятельности; выбирает уровень усвоения темы, осуществляет самопроверку по готовым схемам из опорных карточек учителя (приложение 1), учебника (§49) или ссылок ЭОР. |
3 | Экстремумы функции | Изучение и первичное закрепление новых знаний (эвристическая беседа). | Ц 1: приобретение учебной информации и развитие интеллектуальных умений при изучении понятий стационарных точек, критических точек, экстремумов функции: точек максимума, точек минимума; теоремы Ферма, теоремы о достаточном условии того, что стационарная точка является точкой экстремума функции; Ц 2: контроль усвоения изученного материала в процессе эвристической беседы Ц 4: развитие коммуникативных умений через: включение в участие в эвристической беседе с учителем во время изучения нового материала, активное включение в парную работу; построение речевых высказываний, посредством смыслового разделения текста из учебника, опоры в тетради на части и подбор заголовка к опорным сигналам нового материала; составление плана изучения темы. Ц 5: Введение в тему, постановка и формулирование целей своей учебной деятельности; прогнозирование результата, планирование своей УПД; анализ хода реализации собственного плана деятельности; самоконтроль и самокоррекция исследовательской работы над проектом. |
4 | Экстремумы функции | Урок постановки учебной задачи Групповая работа Индивидуальная | Ц 1: развитие интеллектуальных умений при решении задач на нахождение критических точек, экстремумов функции; Ц 2: 1) указывает признаки понятий стационарных точек, критических точек, экстремумов функции: точек максимума, точек минимума; 2) перечисляет: основные понятия и отношения между ними, теоремы Ферма, теоремы о достаточном условии того, что стационарная точка является точкой экстремума функции; переходит от одной модели к другой; 3) выполняет №№ 910-916 (по1); 2) перечисляет ключевые аспекты нахождения стационарных точек, критических точек, экстремумов функции: точек максимума, точек минимума, применяет их к решению задач №№ 918-920 (3) - учебник, В8, В14 - ЕГЭ; Ц 3 Умеет находить экстремумы функций, применяя предыдущие знания по вычислению производных, определению промежутков монотонности функций. Определяет критические точки функции, отвечает на вопросы: будут ли эти точки стационарными. Ц 4 Работая в группе, оказывает помощь, сам формулирует и задаёт вопросы, организует взаимоконтроль, участвует и организует во взаимопроверке на всех этапах УПД по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием. Ц 5: Выбирает уровень сложности, осуществляет самопроверку с использованием схемы из карточки учителя (приложение 2), учебника (§ 50) или ЭОР |
5 | Экстремумы функции | Урок комплексного применения знаний и умений (урок закрепления) Парная, индивидуальная, коллективная (взаимопомощь) | Ц 2: 1) использует определения понятий стационарных точек, критических точек, экстремумов функции: точек максимума, точек минимума для решения задач; 2) формулирует теоремы, заполняет пропуски в формулировке, в доказательстве, используя готовый план (схему); переходит от одной модели теоремы к другой; 3) составляет план и схемы поиска доказательств теоремы Ферма, теоремы о достаточном условии того, что стационарная точка является точкой экстремума функции; 2. 1) перечисляет использованную теорию; 2) находит ошибки в решении задач своего уровня сложности; решает задачи своего уровня сложности, используя готовый план или схему поиска;3) решает задачи второго №№ 918-920 (4) и третьего уровня сложности №№ 921-922, С5 - ЕГЭ, составляя схемы поиска и план; Ц 3: Находит экстремумы функций, вычисляя производные сложных функций, суммы, разности, произведения, частного, решает полученные неравенства на промежутках монотонности функции; применяет вторую производную для определения точек экстремума. Ц 4 Работая в группе, оказывает помощь, сам формулирует и задаёт вопросы, организует взаимоконтроль, участвует и организует во взаимопроверке на всех этапах УПД по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием. Получает информацию в одной группе и объясняет в другой решения заданий разного уровня сложности. Ц 5: Выбирает уровень сложности, осуществляет самопроверку с использованием схемы из карточки учителя (приложение 2), учебника (§ 50) или ЭОР. Оценивает свою УПД по данным объективным критериям, по собственным критериям, сравнивая их с объективными критериями, делает выводы по итогам предыдущей УПД, о дальнейших действиях, направленных на коррекцию, планирует коррекцию УПД. |
6 | Применение производной к построению графиков функций. | Вводный обзорный семинар Групповая работа | Ц 1: приобретение учебной информации и развитие интеллектуальных умений при решении различных типов задач на нахождение промежутков монотонности функции, критических точек, экстремумов функции, исследование графиков функций с опорой на геометрический и физический смысл производной; Ц 2: 1) контроль изучаемого материала: исследование графика функции №№ 923-928 по готовой схеме ; 2) находит ошибки в решении задач своего уровня сложности; решает задачи своего уровня сложности, используя готовый план или схему поиска; 3) решает задачи второго №№ 929-930 (4) и третьего уровня сложности № 923, С5 - ЕГЭ, составляя схемы поиска и план; Ц 3: Умеет вычислять производную функции, находить интервалы монотонности, определять критические точки и находить экстремумы функции, строить графики функций. Ц 4: Работая в группе, оказывает помощь, сам формулирует и задаёт вопросы, организует взаимоконтроль, участвует и организует во взаимопроверке на всех этапах УПД по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием. Ц 5: Выбирает уровень сложности, осуществляет самопроверку с использованием схемы из карточки учителя (приложение 3), учебника (§ 51) или ЭОР. |
7 | Применение производной к построению графиков функций. | Урок постановки учебной задачи Парная, индивидуальная | Ц 1: развитие интеллектуальных умений при решении различных типов задач на нахождение промежутков монотонности функции, критических точек, экстремумов функции, с опорой на геометрический и физический смысл производной; Ц 2: 1) контроль изучаемого материала: исследование графика функции по готовой схеме №№ 923-928 ; 2) находит ошибки в решении задач своего уровня сложности; решает задачи своего уровня сложности, используя готовый план или схему поиска; 3) решает задачи второго №№ 931-932 и третьего уровня №№ 924-925 сложности, В8, В14, С5 - ЕГЭ, составляя схемы поиска и план; Ц3. Умеет вычислять производную сложных функций, находить интервалы монотонности, определять критические точки и находить экстремумы функций на различных этапах сложности, строит графики функций, учитывая область определения функции и итоги исследования; умеет решать задания В8, В14, С5 заданий ЕГЭ Ц4: Работая в паре, оказывает помощь, сам формулирует и задаёт вопросы, организует взаимоконтроль, участвует и организует во взаимопроверке на всех этапах УПД по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием. Осуществляет поиск информации для сообщения, устного выступления с презентацией проекта по исследованию функции. Ц 5: Оценивает свою УПД по данным объективным критериям, по собственным критериям, сравнивая их с объективными критериями, делает выводы по итогам предыдущей УПД, о дальнейших действиях, направленных на коррекцию, планирует коррекцию УПД. |
Применение производной к построению графиков функций. | Урок комплексного применения знаний и умений (урок закрепления) Парная, коллективная (взаимообучение) | Ц 1: приобретение учебной информации при изучении понятия асимптот графиков функций; развитие интеллектуальных умений при решении различных типов задач на нахождение промежутков монотонности функции, критических точек, экстремумов функции, нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, на построение графиков непрерывных функций, определённых на отрезке, а также – нестандартных задач – с нахождением асимптот функций, Ц 2: 1) контроль изучаемого материала: исследование графика функции по готовой схеме ; 2) находит ошибки в решении задач своего уровня сложности; решает задачи своего уровня сложности, используя готовый план или схему поиска; 3) решает задачи второго № 970 и третьего уровня сложности №№ 921, С5 - ЕГЭ, составляя схемы поиска и план; Ц3. Умеет вычислять производную сложных функций, находить интервалы монотонности, определять критические точки и находить экстремумы функций на различных этапах сложности, строит графики функций, учитывая область определения функции и итоги исследования; умеет решать задания В8, В14, С5 заданий ЕГЭ Ц 4. Формулирует и задает вопросы товарищам, рецензирует ответы и оказывает помощь, объясняет решение заданий одноклассникам, имеющим трудности в составлении схемы построения графиков функций; рецензирует ответы и организовывает взаимопроверку, взаимоконтроль. Получает информацию в одной паре и передаёт другой по исследованию различных функций. Ц 5: Оценивает свою УПД по данным объективным критериям, по собственным критериям, сравнивая их с объективными критериями, делает выводы по итогам предыдущей УПД, о дальнейших действиях, направленных на коррекцию, планирует коррекцию УПД. | |
9 | Применение производной к построению графиков функций. | Урок контроля знаний и умений Индивидуальная Самостоятельная работа обучающая. | Ц 2: Контроль умения применять теоретический материал к практическому решению задач первого, второго и третьего уровня сложности. Ц3. Умеет вычислять производную сложных функций, находить интервалы монотонности, определять критические точки и находить экстремумы функций на различных этапах сложности, строит графики функций, учитывая область определения функции и итоги исследования; умеет решать задания В8, В14, С5 заданий ЕГЭ Ц 5: Анализирует свои УПД, свои предметные результаты и составляет собственный план коррекции, планирует дельнейшую работу, прогнозирует будущие желаемые результаты и формирует дальнейшие цели, корректируя существующие, осознает собственный уровень усвоения темы на данном этапе. |
10 | Применение производной к построению графиков функций. | Урок коррекции знаний, умений и навыков Индивидуальная, коллективная (взаимопомощь) | Ц 2: Контроль коррекции собственных знаний – на каждом уровне понимания материала. Ц3. Умеет вычислять производную сложных функций, находить интервалы монотонности, определять критические точки и находить экстремумы функций на различных этапах сложности, строит графики функций, учитывая область определения функции и итоги исследования; умеет решать задания В8, В14, С5 заданий ЕГЭ Ц 4: рецензирует ответы товарищей по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях; составляет проверочную работу в соответствии со своим уровнем усвоения темы, предлагает её для решения товарищу и проверяет решение; сам решая задания товарища, обменивается полученной информацией после взаимопроверки с другими группами, снова осуществляя взаимопроверку и взаимоконтроль. Ц 5: Оценивает свою УПД, делает выводы по итогам предыдущей УПД, о дальнейших действиях, направленных на коррекцию; выбирает задачи и решает их, осуществляет самопроверку с использованием образцов, приёмов; составляет контрольную работу для своего уровня усвоения (в качестве ДЗ); |
11 | Наибольшее и наименьшее значение функции. | Вводный обзорный семинар Фронтально-индивидуальная, парная, групповая | Ц 1: приобретение учебной информации и развитие интеллектуальных умений при изучении: понятий наибольшего и наименьшего значений функции; Ц 2: Контроль усвоения изученного материала в процессе эвристической беседы Ц 3: решает задачи своего уровня сложности, составляет задачи: по готовому чертежу и требованию, по неполному условию и требованию (выведение следствий из требования) , по условию без требования (выведение следствий из условия); аналогичные, обратные задачи и решает, используя помощь. Ц 4: развитие коммуникативных умений через: включение в участие в эвристической беседе с учителем во время изучения нового материала, активное включение в парную работу; построение речевых высказываний, посредством смыслового разделения текста из учебника, опоры в тетради на части и подбор заголовка к опорным сигналам нового материала; составление плана изучения темы. Ц 5: Введение в тему, постановка и формулирование целей своей учебной деятельности; прогнозирование результата, планирование своей УПД; анализ хода реализации собственного плана деятельности; самоконтроль и самокоррекция исследовательской работы над проектом. |
12 | Наибольшее и наименьшее значение функции. | Урок постановки учебной задачи Парная, индивидуальная | Ц 1: развитие интеллектуальных умений при решении задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, на решение текстовых задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения с помощью производной; Ц2: 1) использует определения понятий наибольшего и наименьшего значений функции , их определения с помощью производной для решения задач; 2) формулирует схему анализа нахождения наибольшего и наименьшего значения функций с помощью производной, заполняет пропуски в исследовании готовой функции, определенной на интервале, используя готовый план (схему); 3) составляет план и схему анализа функции на исследование её наибольшего и наименьшего значений на отрезке, №№ 936-943, 4) находит ошибки в решении задач своего уровня сложности; решает задачи своего уровня сложности, используя готовый план или схему поиска; 5) решает задачи второго и третьего уровня сложности №№ 944-946, 947-952, составляя схемы поиска и план; Ц3. Умеет находить наибольшее и наименьшее значение функций, используя знания об основных формулах вычисления производных, а также знания о применении производной для определения наибольшего и наименьшего значений функций, умеет решать задания В8, В14, С5 из сборников по подготовке к ЕГЭ, а также из он-лайн тестирования. Ц 4. Работая в паре, оказывает помощь, сам формулирует и задаёт вопросы, организует взаимоконтроль, участвует и организует во взаимопроверке на всех этапах УПД по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием. Осуществляет поиск информации для сообщения, устного выступления с презентацией проекта по исследованию функции. Ц 5: Выбирает уровень сложности, осуществляет самопроверку с использованием схемы из карточки учителя (приложение 4), учебника (§ 52) или ЭОР. |
13 | Наибольшее и наименьшее значение функции. | Урок комплексного применения знаний и умений (урок закрепления) Парная, индивидуальная, коллективная (взаимопомощь) | Ц 1: Формирование ПУУД: на первом уровне – анализирует решение задач в учебнике, сравнивает их решения с алгоритмом; на втором уровне – обобщает решение практических задач второго уровня сложности и составляет алгоритмы для задач одного типа, используя частично заполненную схему; на третьем уровне – обобщает решение практических задач третьего уровня сложности и составляет алгоритм решения задач одного типа, используя пустую схему. Ц2: Выбирает необходимые алгоритмы для поиска наибольшего и наименьшего значений, объясняет связь решения текстовой задачи на вычисление наибольшего и наименьшего значений функции с графиками функций на отрезке, с производной функции. Ц3. Умеет находить наибольшее и наименьшее значение функций, используя знания об основных формулах вычисления производных, а также знания о применении производной для определения наибольшего и наименьшего значений функций, умеет решать задания В8, В14, С5 из сборников по подготовке к ЕГЭ, а также из он-лайн тестирования Ц 4. Формулирует и задает вопросы товарищам, рецензирует ответы и оказывает помощь, объясняет решение заданий одноклассникам, имеющим трудности в составлении схемы построения графиков функций; рецензирует ответы и организовывает взаимопроверку, взаимоконтроль. Получает информацию в одной паре и передаёт другой по нахождению наибольшего и наименьшего значений функций или величин в текстовых задачах. Ц 5: Оценивает свою УПД по данным объективным критериям, по собственным критериям, сравнивая их с объективными критериями, делает выводы по итогам предыдущей УПД, о дальнейших действиях, направленных на коррекцию, планирует коррекцию УПД. |
14 | Наибольшее и наименьшее значение функции. | Урок систематизации и обобщения знаний и умений Коллективная (сменные пары, взаимопомощь групп) | Ц1: Умение выбрать из множества различных задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функций на отрезке либо величин из текстовых задач типовые, способность определить схему решения, составить свой алгоритм. Ц2: Может чётко определить схему анализа функции на нахождение наибольшего или наименьшего значения; Ц3. Умеет находить наибольшее и наименьшее значение величин в текстовых задачах, используя знания об основных формулах вычисления производных, а также знания о применении производной для определения наибольшего и наименьшего значений функций, умеет решать задания В8, В14, С5 из сборников по подготовке к ЕГЭ, а также из он-лайн тестирования Ц 4: рецензирует ответы товарищей по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; оказывает помощь, работающим на предыдущих уровнях; составляет проверочную работу в соответствии со своим уровнем усвоения темы, предлагает её для решения товарищу и проверяет решение; сам решая задания товарища, обменивается полученной информацией после взаимопроверки с другими группами, снова осуществляя взаимопроверку и взаимоконтроль. Ц 5: Анализирует свои УПД, свои предметные результаты и составляет собственный план коррекции, планирует дельнейшую работу, прогнозирует будущие желаемые результаты и формирует дальнейшие цели, корректируя существующие, осознает собственный уровень усвоения темы на данном этапе. |
15 | Выпуклость графика функции, точки перегиба. | Урок постановки учебной задачи Парная, индивидуальная | Ц 1: анализ текста учебника и составление схемы определения понятия выпуклости графика функции, нахождения точек перегиба, понятий производной второго и третьего порядков, приобретение учебной информации и развитие интеллектуальных умений при изучении: понятий точек перегиба, свойств функции, устанавливаемых с помощью второй производной; развитие интеллектуальных умений при решении задач на нахождение промежутков выпуклости функции; на построение графиков функций; Ц2: контроль усвоения изученного материала в процессе эвристической беседы и практической работы на первом , втором уровнях сложности. Ц3. Умеет вычислять производные второго и третьего порядков, используя умения вычислять производные первого порядка. Ц4: развитие коммуникативных умений через: включение в участие в эвристической беседе с учителем во время изучения нового материала, активное включение в парную работу; построение речевых высказываний, посредством смыслового разделения текста из учебника, опоры в тетради на части и подбор заголовка к опорным сигналам нового материала; составление плана изучения темы. Ц 5: Введение в тему, постановка и формулирование целей своей учебной деятельности; прогнозирование результата, планирование своей УПД; анализ хода реализации собственного плана деятельности; самоконтроль и самокоррекция исследовательской работы над проектом. Выбирает уровень сложности, осуществляет самопроверку с использованием схемы из карточки учителя (приложение 5), учебника (§ 53*), решения вариантов заданий В8, В13, С5 ЕГЭ или ЭОР. |
16 | Выпуклость графика функции, точки перегиба. | Урок систематизации и обобщения знаний и умений Коллективная (сменные пары, взаимопомощь групп) | Ц1 Обобщение исследования функции и учётом выпуклости, точек перегиба, составление схем анализа графика функций с помощью производных, выявление разных типов задач на исследование графиков функций и применение производных как для исследования графиков функций, так и для решения текстовых задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений. Ц2: : 1) контроль изучаемого материала: исследование графика функции по готовой схеме №№ 956-965 ; 2) находит ошибки в решении задач своего уровня сложности; решает задачи своего уровня сложности, используя готовый план или схему поиска; 3) решает задачи второго №№ 953-955, 966-974 и третьего уровня сложности №№ 975-982, С5 - ЕГЭ, составляя схемы поиска и план; Ц3. Строит графики функций с определением асимптот, промежутков монотонности, определяет экстремумы, находит точки перегибы и определяет выпуклость функции на промежутке. Ц 4: формулирует и задает вопросы товарищам, рецензирует ответы и оказывает помощь, объясняет решение заданий одноклассникам, имеющим трудности в составлении схемы построения графиков функций; рецензирует ответы и организовывает взаимопроверку, взаимоконтроль. Получает информацию в одной паре и передаёт другой по решению заданий разного типа. |
Контрольная работа | Урок контроля знаний и умений Индивидуальная | Ц 2, 3, выбирает задачи своего уровня сложности , решает их, осуществляет самопроверку; делает выводы о качестве собственных знаний, необходимых для выполнения контрольной работы Ц 5: Осознает свои УПД, свои предметные результаты по изучению темы. и составляет собственный план коррекции, планирует дельнейшую работу, прогнозирует будущие желаемые результаты и формирует дальнейшие цели, корректируя существующие, осознает собственный уровень усвоения темы на данном этапе. | |
Урок коррекции и рефлексии | Урок коррекции знаний, умений и навыков Индивидуальная, коллективная (взаимопомощь) | Ц 2, Ц3, Ц 4: анализирует собственные ошибки с помощью товарища и исправляет их; анализирует ошибки товарища, оказывает помощь в коррекции, обменивается информацией по анализу различных ошибок и обменивается информацией о необходимой коррекции с товарищами – от одной пары – к другой, организуя коллективную взаимопомощь в группах или парах сменного состава. Ц 5: вспоминает планируемые цели своей учебной деятельности; осознанно оценивает свою итоговую деятельность по данным объективным критериям; по собственным критериям, сравнивая их с объективными критериями; делает выводы о результатах своей деятельности, дальнейших действиях, определяет и прогнозирует результаты изучения последующей темы «Первообразная и интеграл», планирует коррекцию учебной познавательной деятельности для последующей деятельности, определяет, что необходимо повторить и что скорректировать. | |
Внеурочная самостоятельная деятельность: 1. Факультатив: «Практическая подготовка к ЕГЭ по математике»: Применение умений применения производной к исследованию графиков функций к решению заданий типа В8, В14, С5. 2. Кружок: «История математики» | |||
I. Тематика для подготовки рефератов, выступлений на конференцию, математический вечер, декаду математики и др. (по итогам изучения курса за четверть, за 1-е полугодие, за год: 1. Подготовка выступлений с презентациями проектов на конференция на тему: «Применение производной» к неделе математики. 2. Подготовка выступлений на математический вечер к декаде математики на тему: 1) Задачи Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница, приведшие к открытию дифференциального исчисления 2) История производной: выдающийся вклад учёных разных времён. 3. Подготовка презентаций по решению задач В8, В14 и С5 (по применению производной) на «Круглый стол» факультатива «Практическая подготовка к ЕГЭ по математике». II. Тематика долгосрочных проектов по разделу «Применение производной» 1) Применение производной для исследования функций 2) Применение производной для решения задач физического содержания; 3) Применение производной для задач геометрического содержания. 4) Алгебра и математический анализ: история дифференцирования |
§ 6. Примеры реализации целей обучения теме «Применение производной к построению графиков функций»
Для примера приведена технологическая карта урока «Применение производной к построению графиков функций» - урока обобщения. Так как планируемые результаты обучения представляют собой систему личностно – ориентированных целей образования, актуальным является учёт не только видов деятельности учителя и обучающихся на уроке, но и прогнозирование предметных, личностных и метапредметных результатов. Разработка уроков показана в таблицах 6-8 и приложениях.
Технологическая карта урока
Тема: Применение производной к построению графиков функций
Таблица 6
Тема | Применение производной к построению графиков функций | |
Цели урока |
| |
Планируемый результат Уметь исследовать функции на монотонность, описывать по графику поведение и свойства функции, находить по графику функции экстремумы функции, асимптоты графиков, строить графики функций по данным их исследования. | Предметные умения | Универсальные учебные действия |
Представления о промежутках возрастания и убывания функции, о достаточном условии возрастания функции, о промежутках монотонности функции, об окрестности точки, о точках максимума и минимума функции, о точках экстремума, о критических точках. | Личностные:
развитие навыков сотрудничества с учителем и сверстниками в разных учебных ситуациях Регулятивные:
Познавательные:
Коммуникативные:
| |
Основные понятия | - промежутки возрастания и убывания функции, достаточное условие возрастания функции, промежутки монотонности функции, точки максимума и минимума функции, точки экстремума, критические точки; |
Средства обучения: 1) таблица производных; таблица графиков функций
2) учебник: Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10 - 11. /Учебник : Алимов Ш.Ф., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. курс «Алгебра и начала анализа» для 10– 11 классов: М., «Просвещение» , 2012
3) Дидактические материалы по подготовке к ЕГЭ- 2013: «Математика. Типовые тестовые задания ЕГЭ- 2013 » под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко ( 3 сборника : 2 – по 10 вариантов, 1 - 30 вариантов с дополнительными 800 заданиями части С) ; А.В. Семенов, А.С.Трепалин, И.В.Ященко, П.И.Захаров: «Оптимальный банк заданий для подготовки учащихся. ЕГЭ-2013»
3) Карта темы
4) карточки с приёмами;
5) подсказки к поиску ответов на вопросы, решения задач;
6) презентация заданий с подсказками для самостоятельного решения
7) компьютер
8) интерактивная доска
9) мультимедийный проектор
10) интернет-сайты: school-collection.edu.ru,
fcior.edu.ru, http://uztest.ru/jurnal, http://live.mephist.ru/show/matheg, http://ege.yandex.ru/mathematics, тетрадь, чертежные принадлежности
Таблица 7
Этап урока | Формы, методы, задания обучающей деятельности | Ресурсы |
Постановка цели и задач урока. Актуализация знаний, мотивация учебной деятельности учащихся к изучению темы | Групповая, парная формы по выбору ответов на вопросы; - «мозговой штурм» - какие цели урока, какие результаты можно получить, какая информация, какие знания и умения уже есть для дальнейшей деятельности | 1. Найдите функцию по свойствам её производных 2. Определение производной 3. А.В. Семенов, А.С.Трепалин, И.В.Ященко, П.И.Захаров: «Оптимальный банк заданий для подготовки учащихся. ЕГЭ-2013»: презентация заданий в Power Point 4. Он-лайн тестирование (В8, В14 ЕГЭ- 2013) |
Первичное усвоение новых знаний Объяснение материала | 1. Эвристическая беседа 2. Организация работы в парах 3. Индивидуальная форма Организация исследовательской деятельности по поиску новой информации по теме, выбору ключевых понятий, ссылок на необходимые ресурсы. | 1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10 - 11. /Учебник : Алимов Ш.Ф., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. курс «Алгебра и начала анализа» для 10– 11 классов: М., «Просвещение» , 2012 § 51 Применение производной к построению графиков функций. 2. Электронный учебник «Математика в школе, XXI век» Построение графика http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/835a2f61-d0b4-4532-b208-b952c6e926b4/Modules_11/Modules_11-1.5-3/M11_1.5-3.html 3. «Алгебра и начала анализа», 10 класс, Колмогоров А.Н. и др. 24. Примеры применения производной к исследованию функции 4. Применение производной к исследованию функций http://fcior.edu.ru/card/22856/primenenie-proizvodnoy-k-issledovaniyu-funkciy.html |
Первичная проверка понимания | Организация самостоятельной работы в парах: самопроверка, взаимопроверка первичного понимания исследования функции, применения производной для этого исследования и построения графика | 1. Задачник и редакторы задач по основам математического анализа для 11 класса "Задачники для ученика" http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/0b00517f-fdbf-421f-bd9d-55dd682117b8/114714/?interface=pupil&class=54&subject=16 2. Электронный учебник «Математика в школе, XXI век» Исследование функции http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/835a2f61-d0b4-4532-b208-b952c6e926b4/Interactive_11/Extremum_Function_research_11/Function_research/index.html 3. Практикум по теме "Применение производной к исследованию функций" http://fcior.edu.ru/card/6129/primenenie-proizvodnoy-k-issledovaniyu-funkciy.htm |
Первичное закрепление материала | Организация исследовательской деятельности в парах для исследования графиков функции с применением производной. | 1. Коллекция иллюстраций (моделей) и тестов по разделу "Графики функций" 2. Применение производной к исследованию графиков функции http://fcior.edu.ru/card/6129/primenenie-proizvodnoy-k-issledovaniyu-funkciy.html |
Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция | Взаимоконтроль в парах, самоконтроль – индивидуальная работа (дифференцированно) первичного умения исследовать графики функции с применением производной | 1. Электронный учебник «Математика в школе, XXI век» Самостоятельная работа 2. Контрольный ЭУМ по теме "Применение производной к исследованию функций" http://fcior.edu.ru/card/680/primenenie-proizvodnoy-k-issledovaniyu-funkciy.html |
Домашнее задание | Индивидуальная | 1. Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа 10 - 11. /Учебник : Алимов Ш.Ф., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. курс «Алгебра и начала анализа» для 10– 11 классов: М., «Просвещение» , 2012 § 51 Применение производной к построению графиков функций. №№ 928(1), 931(1) 2. Математический конструктор 3. Решение заданий В8, В14 «Математика. Типовые тестовые задания ЕГЭ- 2013 » под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко |
Рефлексия знаний Подведение итогов | «Открытый микрофон» - обсуждение в форме эвристической беседы: - дать выводы по заданиям, - обсудить: какие выводы верны, - что поняли, зачем, где будет применяться, - какие результаты получил каждый для себя, исходя из целей - что необходимо и возможно изучать на следующем уроке | 1. «Математика, 5-11 классы. Практикум» http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/b203b90d-74bb-2ec8-00e6-2d9cddb851d4/118867/?interface=catalog&class=53&subject=16 2.Исследование функции на монотонность, отыскание точек экстремума. http://fcior.edu.ru/card/5305/issledovanie-funkcii-na-monotonnost-otyskanie-tochek-ekstremuma-k1.html |
Ход урока:
Таблица 8
Этап урока | Приёмы |
1. Постановка цели и задач урока. Актуализация знаний, мотивация учебной деятельности учащихся к изучению темы Ответьте на вопросы: 1). На рисунке изображён график функции f(x) и семь точек на оси абсцисс Х1, Х2,Х3…Х7. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна? 2) На рисунке изображён график y=f /(x) – производной функции f(x),определённой на интервале (-1;13). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. 3) На рисунке изображён график y=f /(x) – производной функции f(x),определённой на интервале (-2;10). Найдите точку экстремума функции f(x) на интервале (-1;9). 4). На рисунке изображён график y=f /(x) – производной функции f(x),определённой на интервале (-8;5). В какой точке отрезка [-3;2] функция f(x)принимает наибольшее значение? | Логические познавательные УУД: Приём анализа , приём сравнения Общеучебные познавательные УУД (приёмы решения учебных задач): Приём составления классификационной или систематизационной схемы взаимосвязи понятий. Регулятивные УУД: Приём контроля усвоения понятия |
2. Первичное усвоение новых знаний. Эвристическая беседа по теме: Применение производной к построению графиков функций – с применением ресурсов , указанных в таблице 7 Организация работы в парах: 1. Составить алгоритм исследования и построения графиков функций с использованием учебника, информационных ресурсов, карточек (таблица 7, приложения – карточки – предписания – приложение 5) Найти вертикальные асимптоты графика функции . 2. Обменяться членами групп – для взаимопроверки результатов. 3. Совместная проверка, взаимокоррекция и самокррекция результатов деятельности. 4. Выводы. | Логические познавательные УУД: Приём анализа. Приём подведения под понятие. Общеучебные познавательные УУД (приёмы решения учебных задач): Приём составления схемы понятия. Приём составления информационной схемы элементов учебного содержания. Приём алгоритмизации – составления учащимися предписания для исследования функций и построения графиков. Регулятивные УУД: Приём контроля усвоения понятия Приём работы с учебником и информационными ресурсами. Приём коррекции собственной деятельности. Приём рефлексии достижения целей. Приём рецензирования ответа. |
3. Первичное закрепление материала Работа в парах: выполнение дифференцированно - заданий, указанных в таблицах 6-7, с использованием ресурсов из таблицы 7. 1. Исследовать функцию: f( x ) = x4 – 8x2 и построить график. 2. Исследовать функцию f( x ) = 3x5 – 5x3 и построить её график. 3. Найти вертикальные асимптоты и построить график функции . 4. Найти асимптоты и построить график функции. 5. Чему равна наименьшая площадь боковой поверхности прямого кругового конуса объема 3π? | Логические познавательные УУД: Приём анализа текста задачи. Приём записи решения задачи. Общеучебные познавательные УУД (приёмы решения учебных задач): Приём составления схемы поиска решения задачи. Приём составления информационной схемы элементов учебного содержания. Приём построения изображения графика функции. Регулятивные УУД: Приём работы с учебником и информационными ресурсами. Приём рецензирования ответа. |
4. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция Проверка по карточкам – предписаниям из приложений 3,4,5. Взаимопроверка – смена в группах – коллективная работа, сравнение результатов. Самооценка деятельности. | Регулятивные УУД: Приём контроля усвоения понятия. Приём коррекции собственной деятельности. Приём контроля решения задачи. Приём рефлексии достижения целей. Приём оценки собственной учебно – познавательной деятельности. |
5. Домашнее задание: индивидуально: 1. Выполнить задания В8, В14 из Заданий ЕГЭ-2013 (30 вариантов) 2. Составить задание на исследование и построение графика функций, нахождение наибольшего и наименьшего значения на заданном отрезке. Выполнить самому – как предписание для контроля товарища. Оценка учитывает : кроме правильного составления и решения – сложность задания: наличие вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот. | Логические познавательные УУД: Приём анализа текста задачи. Приём записи решения задачи. Общеучебные познавательные УУД (приёмы решения учебных задач): Приём составления схемы поиска решения задачи. Приём составления задачи. Приём построения изображения графика функции. Регулятивные УУД: Приём контроля усвоения понятия. Приём рецензирования (самоанализа) ответа. Приём коррекции собственной деятельности. |
6. Рефлексия знаний Подведение итогов | Регулятивные УУД: Приём рефлексии достижения целей. Приём оценки собственной учебно – познавательной деятельности. |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В проекте решены запланированные задачи: выявлены теоретические основы обучения теме «Применение производной к исследованию функций», выполнен отбор средств обучения теме, в том числе средства ИКТ; разработаны таблицы целей и карта обучения теме; составлена учебная рабочая программа «Тематическое и почасовое планирование образовательных результатов освоения темы теме «Применение производной к исследованию графиков функций». Разработана методика и представлена схема урока, демонстрирующая развитие УУД старшеклассников.
Материалы практико-ориентированного проекта по теме «Применение производной к исследованию функций» в данное время апробируются в учебном процессе в текущем учебном году в 11 классе.
Данный практико-ориентированный проект был представлен на заседании школьного математического объединения.
Было отмечено, что:
1) проект имеет большой образовательный и воспитательный потенциал; создает условия для проведения анализа изученного материала;
2) в данном проекте учтены требования ФГОС СОО, выявлены теоретические основы и практические аспекты обучения теме «Применение производной к исследованию графиков функций», связанные с реализацией ФГОС СОО.;
3) реализация поставленных целей будет способствовать достижению предметных результатов, подготовке их к ЕГЭ, овладению учащимися основами математической культуры, развитию и становлению личностных результатов, метапредметных результатов – универсальных учебных действий.
Список литературы
БИБЛИОГРАФИЯ
1) Федеральный государственный образовательный стандарт общего основного образования / М-во образования и науки Рос. Федерации. – М.: Просвещение, 2011. – 48 с
2) Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования, утвержденный приказом Министерства образования и науки № 413 от 17 мая 2012 года (текст) : http://standart.edu.ru/catalog.
2) Асмолов А.Г. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя/под ред. А.Г. Асмолова. - М.: Просвещение, 2010. - 159 с.
3) Данилюк А.Я., Кондаков А.М., Тишков В.А.. Концепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России. - М.: Просвещение, 2009. - 24 с.
4) Примерные программы по математике. – М.: Просвещение, 2010. – 67 с.
5) Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.; Под ред. Ш.А. Алимова.– М.: Просвещение, 2006.– 384 с.: ил.
6) Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под ред. А.Н. Колмогорова.– М.: Просвещение, 2007.– 384 с.: ил.
7) Башмаков М.И. Уровень и профиль школьного математического образования / М.И. Башмаков. // Математика в шк.– 1993.– № 2.– С. 8-9.
8) И.Р. Высоцкий, П.И.Захаров, В.С. Панферов, А.В. Семенов, И.В.Ященко и др.: «Математика. Типовые тестовые задания ЕГЭ- 2013 » - 30 вариантов с дополнительными 800 заданиями части С; М.: «Экзамен», 2013 – 217 с.
9) А.В. Семенов, А.С.Трепалин, И.В.Ященко П.И.Захаров.: «Оптимальный банк заданий для подготовки учащихся. ЕГЭ-2013» - М.: «Интеллект-центр», 2013 – 76с.
10) Л.И.Боженкова Стереометрия: таблицы, предписания, УУД – Калуга: КГУ им. К.Э. Циолковского, 2012 – 60 с.
11) Л.И.Боженкова Алгебра в схемах, таблицах, алгоритмах – М,, Калуга: КГУ им. К.Э. Циолковского, 2012 – 56 с.
12) Л.И.Боженкова Планиметрия: схемы, таблицы, УУД– М,, Калуга: КГУ им. К.Э. Циолковского, 2012 – 62 с.
Приложения
Приложение 1
Возрастание и убывание функции
Предписание 1:
Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:
1. Найти область определения функции;
2. Найти производную функции;
3. Решить неравенства и на области определения;
4. К полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.
Предписание 2:
Задание для проверки аналогии:
Найти промежутки возрастания и убывания функции:.
Решение:
1. . Область определения: выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, значит, .
2. Производная функции:
3. Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства:
и на области определения.
x = 2, а знаменатель обращается в ноль при x = 0.
Если , функция на этом интервале возрастает, если , - функция на данном интервале убывает.
4. ; .
В точке x = 2 функция определена и непрерывна, поэтому ее включаем.. В точке x = 0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем.
Ответ: Функция возрастает : ; убывает:
Предписание 3
Решение: Так как на промежутках убывания функции производная меньше нуля, то это точки Х1, Х2, Х3, Х4, Х7, Х8– для отрицательных значений функции у – производной данной функции: обратите внимание, что дан график не функции, а её производной. Ответ: 6
Предписание 4
Для графика функции указать количество точек, в которых значение производной отрицательно.
Решение: Так как значение производной отрицательно на промежутках убывания функции, то это – отмеченные точки. Ответ: 2
Приложение 2
Экстремумы функции
Предписание 1
Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума.) Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x0 экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.
Теорема 2. (Достаточное условие существования экстремума.) Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x0, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x0). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке Х = Х0 функция имеет максимум. Если же при переходе через Х0 слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.
Если 1. f '(x)>0 при x<x0 и f '(x)<0 при x> x0, то x0 – точка максимума;
2. при x<x0 и f '(x)>0 при x> x0, то x0 – точка минимума.
Пусть f '(x1)=0 и для любых x, достаточно близких к x1, выполняются неравенства
f '(x)<0 при x< x1, f '(x)>0 при x> x1.
Тогда слева от точки x1 функция возрастает, а справа убывает, следовательно, при x = x1 функция переходит от возрастания к убыванию, то есть имеет максимум. Аналогично можно рассматривать точки x2 и x3.
На схеме справа видно – как исследования с помощью производной показали, что изображенная на графике точка Х1 – точка максимума, а точка Х2 – точка минимума. Точка Х3 не является точкой экстремума.
Предписание 2
Правило исследования функции y=f(x) на экстремум
- Найти область определения функции f(x).
- Найти первую производную функции f '(x).
- Определить критические точки, для этого:
- найти действительные корни уравнения f '(x)=0;
- найти все значения x при которых производная f '(x) не существует.
- Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки.
- Вычислить значение функции в точках экстремума.
Предписание 3
Исследовать функции на экстремумы:
.
1. Область определения функции D(y)=R.
2. Найдем производную заданной функции:
3. Определим критические точки: .
Производная не существует при х2= 0. Следовательно, критические точки: 0 и 2/5. Нанесем их на числовую ось и определим знак производной на каждом из полученных промежутков.
Ответ:
Предписание 4
Задание из сборника подготовки к ЕГЭ:
Решение: Так как дан график не функции, а её производной, обращаем внимание на то, что: 1) так как видно, что производная существует на всей области определения, в точках экстремума производная равна нулю; 2) в точке минимума функция от убывания переходит в возрастание, а значит, производная – менет знак от отрицательных значений – к положительным. Вывод: это точки х=-5, х= 6, но так как ни одна из этих точек не принадлежит данному в условии отрезку, то получаем ответ: нет точек
Приложение 3
Применение производной к построению графиков функций
Предписание 1
Для исследования свойств функции необходимо найти:
1) область ее определения;
2) производную;
3) стационарные точки;
4) промежутки возрастания и убывания;
5) точки экстремума и значения функции в этих точках.
Предписание 2
Исследовать функцию: f( x ) = x4 – 8x2
Функция четная и ее график симметричен оси ОУ. остаточно исследовать её на интервале от 0 до + .
Данные исследования заносим в таблицу:
х | ( - , -2) | -2 | ( -2, 0 ) | 0 | ( 0, 2 ) | 2 | ( 2, + ) |
f’ (x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | убывает | -16 | возрастает | 0 | убывает | -16 | возрастает |
Предписание 3
Построить график функции .
Ответить, используя график, на вопросы:
1. Сколько критических точек имеет функция ? ( 3 )
2. Чему равна точка минимума ? ( 1 )
3. Чему равен минимум функции ? ( - 2 )
4. Чему равна точка максимума ? ( - 1 )
5. Чему равен максимум функции ? ( 2 )
6. При каком наименьшем натуральном значении а уравнение f(x)=a имеет одно решение ? ( а = 3 )
7. При каком наибольшем целом значении а это уравнение имеет 3 решения ?
8. При каких значениях а уравнение имеет 2 решения ? ( - 2 и 2)
9. Есть ли значения а, при которых уравнение не имеет корней ? ( нет )
Приложение 4
Наибольшее и наименьшее значение функций
Предписание 1
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b]:
- Найти все критические точки функции в интервале (a, b) и вычислить значения функции в этих точках.
- Вычислить значения функции на концах отрезка при x = a, x = b.
- Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Предписание 2:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–2; –0,5].
1. Найдем критические точки функции:
2. Вычислим значения функции в найденной точке и на концах заданного отрезка.
3.
Ответ:…
Предписание 3
Чему равна наименьшая площадь боковой поверхности прямого кругового конуса объема 3π?
По теореме Пифагора
.
Следовательно, .
.
Найдем критические точки функции S: S' = 0, т.е.
Покажем, что при найденном значении h функция Sбок достигает минимума.
.
Предписание 4
Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.
Пусть r – радиус основания цилиндра, h – высота.
Нам нужно максимизировать объем цилиндра .
Используя условие задачи, найдем связь между r и h. По теореме Пифагора из треугольника ABC следует, что . Отсюда .
, по смыслу задачи 0≤h≤2R.
.
Покажем, что при найденном значении h функция V принимает наибольшее значение.
Предписание 5
Решение: На данном в условии интервале функция принимает наибольшее значение либо на концах отрезка, либо – в точке максимума функции. Так как дан график не функции, а её производной, то точка максимума – для нулевого значения производной - при переходе от положительного значения производной (где функция возрастает) к отрицательному (убыванию функции): х= -3.Так как далее – после точки максима – функция убывает на всем отрезке (производная меньше нуля, график – ниже оси абсцисс) – то все значения функции будут меньше чем в точке максимума – значит, наибольшее значение функции на данном отрезке – для х=-3. Ответ: -3
Приложение 5
Выпуклость функции. Точки перегиба. Исследование и построение графиков функций
Предписание 1
Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.
Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:
если f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой вниз (вогнутой) на интервале ( a, b );
если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой вверх на интервале ( a, b ) .
Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость вверх на выпуклость вниз или наоборот, называется точкой перегиба. Если в точке перегиба x0 существует вторая производная f '' ( x0 ), то f '' ( x0 ) = 0.
График функции y=f(x) называется выпуклым вверх на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.
График функции y=f(x) называется выпуклым вниз или вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.
.
Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x0) = 0 или f ''(x0) не существует и при переходе через значение x = x0 производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x0 есть точка перегиба. Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x0) = 0 или f ''(x0) не существует и при переходе через значение x = x0 производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x0 есть точка перегиба.
Предписание 2
Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой y = 2 – x2.
Найдем y '' и определим, где вторая производная положительна и где отрицательна. y' = –2x, y'' = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.
Предписание 3
y = ex. Так как y'' = ex > 0 при любых x, то кривая всюду вогнута.
Предписание 4
1. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутости .
Найдем производные заданной функции до второго порядка.
.
. Вторая производная не существует при x = 1. Исследуем эту точку на возможный перегиб.
Точка перегиба x = 1. Функция выпукла на (1; +∞), вогнута на (–∞; 1).
2. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутости
Возможные точки перегиба найдем, решив уравнение 2x2 – 1 = 0. Отсюда .
Точки перегиба . Функция выпукла на и вогнута на .
Предписание 5
Асимптоты
1. Вертикальные асимптоты
1. Пусть при x→ x0 с какой-либо стороны функция y = f(x)неограниченно возрастает по абсолютной величине, т.е. или или . Тогда из определения асимптоты следует, что прямая x = x0 является асимптотой. Очевидно и обратное, если прямая x = x0 является асимптотой, т. О. .
Таким образом, вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий x→ x0 – 0 или x → x0 + 0, x = x0
2. Найти вертикальные асимптоты графика функции .
Так как , то прямая x = 2 является вертикальной асимптотой
2. Наклонные асимптоты
1. Поскольку асимптота – это прямая, то если кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту, то ее уравнение будет y = kx + b. Необходимо найти коэффициенты k и b.
Теорема. Прямая y = kx + b служит наклонной асимптотой при x → +∞ для графика функции y = f(x) тогда и только тогда, когда . Аналогичное утверждение верно и при x → –∞.
1) Теорема показывает, что для нахождения асимптот достаточно найти два указанных предела. Причем, если хотя бы один из пределов не существует или обращается в бесконечность, то кривая асимптот не имеет.
2) В случае, когда k = 0 асимптота y = b называется горизонтальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты означает, что существуют пределы
.
3) Пределы для отыскания k и b могут быть различны при x → +∞ и x → – ∞ и, следовательно, график функции может иметь две различные асимптоты при x → +∞ и x → –∞.
2. Найти асимптоты .
- .
- Вертикальные:
x = 0 – вертикальная асимптота.
- Наклонные:
.
При x → - ∞ получим те же значения k и b. Следовательно, прямая y = x + 2 является наклонной асимптотой.
3. Найти асимптоты:
y = e–x sin x + x.
1. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, следовательно, вертикальных асимптот нет.
2. а) При x → +∞ наклонная асимптота у= х.
б) , т. к.
, поэтому при x → - ∞ наклонных асимптот нет.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Разработка учебного занятия по теме" Применение производной к исследованию функций и построеннию графиков. Схема исследования функции"
Разработка учебного занятия по теме :" Применение производной к исследованию функций и построеннию графиков. Схема исследования функции". Урок является логическим продолжением изучаемого материала. Р...
![](/sites/default/files/pictures/2012/11/07/picture-136109-1352307056.jpg)
Методическая разработка урока по теме "Применение производной"
Применение производной функции при решении задач на оптимизацию....
Разработка урока по теме "Применение производной к исследованию функции" 10 класс
Урок "Примеры применения производной к исследованию функции". 10-й класс Учитель: Зайцева Галина Геннадиевна Цели:Образовательные:Развивающие: развивать навыки исследования функц...
![](/sites/default/files/pictures/2014/09/04/picture-475741-1409827990.jpg)
Разработка урока по алгебре для 11 класса. Тема: "Применение производной в различных областях науки"
Данный материал содержит план-конспект урока, презентацию к данному уроку, а также раздаточный материал для самостоятельной работы детьми. Презназначен для закрепления и обобщения темы "Производная" ,...
![](/sites/default/files/pictures/2016/09/13/picture-815551-1473789089.jpg)
Методическая разработка интегрированного урока математики и физики по теме "Применение производной к решению физических задач"
Данный урок показывает метапредметную связь математики и физики. Выбор данной темы обусловлен её актуальностью. Многие задачи физики решаются с помощью производной. При помощи производной можно найти ...
![](/sites/default/files/pictures/2016/09/13/picture-815551-1473789089.jpg)
Методическая разработка интегрированного урока математики и физики по теме "Применение производной к решению физических задач"
Данный урок показывает метапредметную связь математики и физики. Выбор данной тема обусловлен её актуальностью. Многие задачи физики решаются с помощью производной....
![](/sites/default/files/pictures/2022/10/22/picture-1429676-1666418652.jpg)
Методическая разработка урока по алгебре и началам анализа по теме: «Применение производной при исследовании функции на монотонность и экстремумы»
Методическая разработка предназначена для проведения спаренного урока по теме "Применение производной при исследовании функции на монотонность и экстремумы". Содержание методической разработ...