"Метод рационализации при решении неравенств" ( в соавт)
статья по алгебре (10, 11 класс) на тему

МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ НЕРАВЕНСТВ

Ю.В. Зайчикова, Л.В. Чвирова учителя математики высшей категории

МАОУ СМТЛ

Как известно, ЕГЭ по математике длится 235 минут, и, чтобы распределить это время рационально, не помешало бы узнать короткие пути решения той или иной задачи. Так, на задание 15 (бывшее С3), оцениваемое в 2 балла, рекомендовано 30 минут (при условии, что ученик намерен решать все задания).

В этой работе, мы хотим посмотреть, как проводить решение методом рационализации, и поможет ли это не только сэкономить время, но и снизить риск логических и вычислительных ошибок.

Увидим преимущества метода на примере неравенства:  .

Представим число 0 в виде логарифма с заданным основанием от единицы.

ОДЗ:

Стандартный прием решения:

Даже сумев составить совокупность и не запутаться, ребенок пугается объема работы, который ему еще предстоит. Это же неравенство после преобразований методом рационализации выглядит так: .

Сравните это неравенство и совокупность в первом варианте решения.

Как красиво помогает метод рационализации и справиться со страхом, и уменьшить объем работы.

Ответ:  х 

Метод рационализации неравенств известен около 50 лет, встречался под названиями:

•  метод декомпозиции
• метод замены множителей
• обобщение метода интервалов.

Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Любое неравенство приводимо к виду                       v 0.

При решении этого неравенства нас интересует только знак каждого множителя, а не его конкретное значение. Метод рационализации состоит в том, чтобы заменить множители на другие, «более удобные», совпадающие по знаку с исходными на первоначальной области определения. Эти замены можно выполнить, благодаря следующим известным фактам:

Утверждение 1. Если функция f(x) строго возрастает, то для любых двух значений аргумента,  из области определения функции, знак разности   f()- f() совпадает со знаком выражения   ().

Утверждение 2. Если функция f(x) строго убывает, то для любых двух значений   знак разности       f()-f() совпадает со знаком выражения  ().

           Ведущим преподавателем МФТИ Колесниковой С.И. сформулированы 10 правил условий равносильности, позволяющих за один шаг свести решение сложного неравенства к более простому, решаемому методом интервалов. Существует таблица, предложенная Ф.Ф. Лысенко наиболее часто встречающихся замен. (См. таблицу 1), в которой эти правила собраны. Она помогает эффективно решать очень многие неравенства, которые принято относить к разряду задач повышенной сложности.

Хочется отменить тот факт, что знакомить ребят с этим методом мы начинаем во втором полугодии 11 класса, когда проводим итоговое повторение и обобщение методов решения уравнений и неравенств. Все базовые способы уже изучены. Это позволяет нам при предъявлении Таблицы1 доказывать вместе с ребятами все переходы-следствия.

 Пример1. Рассмотрим знак разности выражения: .

Функция  является строго возрастающей, а значит, знак выражения  совпадет со знаком выражения на области определения исходной функции.

Пример 2.  Знак выражения   =

Пример3.      

 получим:

 v 0.

Таким образом учащиеся получают возможность самостоятельно вывести необходимые преобразования. Выполнив эту работу, они уже не задают вопросы «как это получилось, и откуда что взялось».

Таблица1. Таблица часто встречающихся замен.

Вместе с ребятами устанавливаем, что при этих преобразованиях мы получаем неравенство - следствие. Это означает, что новое неравенство содержит все решения неравенства исходного и, возможно, некоторые другие решения. Чтобы отфильтровать лишнее, нужно множество решений полученного неравенства пересечь с областью допустимых значений исходного. Примеры полного перехода, с учетом ОДЗ можно увидеть в таблице 2.

Таблица 2 Полные условия равносильности, с учетом ОДЗ при рационализации логарифмических и показательных неравенств.

Особенно нравятся учащимся решать неравенства с модулем, не записывая условия раскрытия каждого.

Пример 4. Решая неравенство ,

не нужно рассматривать никакие случаи, достаточно заменить разности модулей в числителе и знаменателе разностями квадратов: .

После разложения числителя и знаменателя на множители получим:

.                        Выписываем ответ: .

Пример 5. Решите неравенство:

,  получим: . Разобрав условия равносильности, решив ряд неравенств, полезно дать ребятам на самостоятельную работу следующие задания, чертой отделены задания повышенного уровня сложности:

 С/р «Метод рационализации при решении неравенств»

 Решите неравенства                                                               Ответы:

1)                                      ;                                                                                            .

3)                                                                            

_____________________________________________________________________

4);                                                                        

5)                                        

Итак, нами были рассмотрены решения методом рационализации логарифмические, показательно-степенные неравенства и неравенства, содержащие модуль. Предложены задания (с ответами) для самостоятельного решения. Надеемся, что данная статья будет полезна как педагогам, осуществляющим подготовку школьников по алгебре, так и учащимся, интересующимся математикой.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Земляков А.Н. Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Методическое пособие – Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.-118 с.
2. Земляков А.Н. Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи. Элективный курс: Учебное пособие – Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.-319 с.
3. Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач Единого государственного экзамена. – Москва: Айрис-пресс, 2005.-272 с.- (Домашний репетитор: Подготовка к ЕГЭ)
4. Колесникова С.И. Уравнения и неравенства, содержащие модули. ЕГЭ. Математика.- Москва: ООО «Азбука-2000», 2010-120с
5. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2014: решаем задание С3 методом рационализации: учебно-методическое пособие /под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова.- Ростов-на-Дону: Легион, 2013.- 32 с – (Готовимся к ЕГЭ)
6. В помощь абитуриентам / Составители В.И. Голубев, А.А. Егоров, В.А. Тихомирова, А.И. Черноуцан. – Москва: Бюро Квантум, 2009.- 208 с (Приложение к журналу «Квант» № 1 /2009.)
7. Сборник задач по алгебре и началам анализа. Для 11-х классов физико-математического лицея / Под редакцией В.А. Осколкова. Переиздание. Москва: МИФИ, 2004. 176 с
8. Потенциал. Журнал для старшеклассников и учителей. № 7, июль, 2005.