Уравнения с модулем
план-конспект занятия по алгебре (9 класс) на тему

БОУ ТР ОО ТСОШ

Методические разработки

к урокам по теме:

«Уравнения с модулем»

в 9 классе

Составила

учитель математики

Билык Т.В.

Тросна – 2013-2014 уч.год

Пояснительная записка.

Программный материал математики в средней школе не предусматривает подробного изучения модуля как абсолютной величины действительного числа, нет в программе и отдельно выделенного материала, который бы подробно рассматривал выполнение тех или иных заданий, содержащих модуль.      

Следует отметить, что понятие абсолютной величины (модуля) действительного числа является одной из существенных его характеристик. Это понятие имеет широкое распространение в различных разделах физико-математических и технических наук.  В практике преподавания курса математики в средней школе в соответствии с Программой МО РФ понятие «абсолютная величина числа» встречается неоднократно: в 6 – м классе вводится определение модуля, его геометрический смысл; в 8 – м классе формируется понятие абсолютной погрешности, рассматривается решение простейших уравнений и неравенств, содержащих модуль, изучаются свойства арифметического квадратного корня; в 11 – м классе понятие встречается в разделе «Корень n-ой степени».

           Опыт преподавания показывает, что учащиеся часто сталкиваются с трудностями при решении заданий, требующих знания данного материала, а нередко пропускают, не приступая к выполнению. В текстах экзаменационных заданий за курс 9 – ого и 11 – ого классов также включены подобные задания. Кроме того, требования, которые предъявляют к выпускникам школ Вузы, отличаются, а именно, более высокого уровня, чем требования школьной программы.  

            Для жизни в современном обществе очень важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определённых умственных навыках. В процессе решения задач с модулями требуется умение применять такие приёмы, как обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия. Решение подобных заданий позволяет проверить знание основных разделов школьного курса, уровень логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности.  

             Данная работа посвящена одному из разделов – решению уравнений, содержащих модуль. Основное назначение данной работы – это оказание методической помощи преподавателям при подготовке к урокам и при организации факультативных курсов. Материал также может быть использован в качестве учебного пособия для старшеклассников. Задания, предлагаемые в работе, интересны и не всегда просты в решении, что позволяет сделать учебную мотивацию учащихся более осознанной, проверить свои способности, повысить уровень подготовки выпускников школ к поступлению в Вузы. Дифференцированный подбор предлагаемых упражнений предполагает переход от репродуктивного уровня усвоения материала к творческому, а также возможность научить применять свои знания при решении нестандартных задач.

              В своей работе я стараюсь  использовать данный материал как на уроках, так и на занятиях-практикумах, дополнительных занятиях и т.п.        

1 занятие. Вводное.

  Определение: Абсолютной величиной (модулем) действительного числа а называется

                               неотрицательное число: а  или  –а.

      Обозначение:  │а│    Запись читается следующим образом: «модуль числа а» или

                                 «абсолютная величина числа а»

│ а, если а > 0

│а│ = │  0, если а = 0      (1)

                                                                      │ - а, если а < 0

      Примеры:  1) │2,5│ = 2,5    2) │-7│ = 7     3) │1 -  √2│ = √2 – 1

4. Раскрыть модуль выражения:

а) │х - 8│, если х > 12      б)  │2х + 3│, если х ≤ -2

        │х – 8│= х – 8                    │ 2х + 3│= - 2х – 3

        Рассмотрим основные свойства абсолютной величины.

        Свойство №1: Противоположные числа имеют равные модули, т.е. │а│=│- а│

                                   Покажем верность равенства. Запишем определение числа – а :

                                         │- а│=         (2) 

         Сравним совокупности (1) и (2). Очевидно, что определения абсолютных величин  чисел а и – а совпадают. Следовательно, │а│=│- а│

                При рассмотрении следующих свойств ограничимся их формулировкой.

          Свойство №2: Абсолютная величина суммы конечного числа действительных

                                     чисел не превосходит суммы абсолютных величин слагаемых:

                                         │а1 + а2 +…+ аn│ ≤│а1│+│а2│+ … + │аn│

          Свойство №3: Абсолютная величина разности двух действительных чисел не

                                     превосходит суммы их абсолютных величин:   │а - в│ ≤│а│+│в│

          Свойство №4: Абсолютная величина произведения конечного числа

                                     действительных чисел равна произведению абсолютных величин

                                     множителей:    │а · в│=│а│·│в│

          Свойство №5: Абсолютная величина частного действительных чисел равна

                                     частному их абсолютных величин:

    Геометрическая интерпретация понятия модуля числа.

        Каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку на числовой прямой, которая будет геометрическим изображением данного действительного числа. Каждой точке на числовой прямой соответствует её расстояние от начала отсчёта, т.е. длина отрезка от начала отсчёта до данной точки. Это расстояние рассматривается всегда как величина неотрицательная. Поэтому длина соответствующего отрезка и будет геометрической интерпретацией абсолютной величины данного действительного числа

Представленная геометрическая иллюстрация наглядно подтверждает свойство №1, т.е. модули противоположных чисел равны. Отсюда легко понимается справедливость равенства: │х – а│= │а - х│.  Также более очевидным становиться решение уравнения │х│= m, где m ≥ 0, а именно х1,2 = ± m.

          Примеры:  1) │х│= 4   х1,2 = ± 4  2) │х - 3│= 1       х1,2 = 2; 4

     График функции у = │х│

         Область определения данной функции все действительные числа.  Область значений данной функции – неотрицательные числа. Поэтому график функции расположен выше оси Оx, т.е. в первой и второй координатных четвертях.

    Условные обозначения.

         В дальнейшем при рассмотрении примеров решения уравнений будут использованы следующие условные обозначения:

        {  - знак системы  (понятие «и»);    [  - знак совокупности   («или») 

При решении системы уравнений (неравенств) находится пересечение решений входящих в систему уравнений (неравенств). При решении совокупности уравнений (неравенств) находится объединение решений входящих в совокупность уравнений (неравенств).

Понятия «и» и «или» встречаются в математике на протяжении всего курса, поэтому важно дать эти понятия как можно раньше, чаще применять их при решении упражнений.

2 занятие. Решение уравнений вида |f(x)|=c,

                   c R на  основе понятия модуля.

Уравнение данного вида называется простейшим. Оно имеет решение тогда и только тогда, когда m ≥ 0. По определению модуля, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

                                 │F(х)│= m

         Примеры:

№1. Решите уравнение:

       │7х - 2│= 9    

         Ответ: х1  = - 1;  х2 =  1 4/7

№2. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней:

        │х2 + 3х + 1│= 1   

          х2 + 3х + 2 = 0           х2 +3х = 0

          х1 = -1; х2 = -2           х · ( х + 3) = 0

                                             х1 = 0; х2 = -3

         Ответ: сумма корней равна  - 2.

№3. Решите уравнение, в ответе укажите количество корней:

          │х4 -5х2 + 2│= 2  

           х4 – 5х2 = 0                х4 – 5х2 + 4 = 0

           х2 · ( х2 – 5) = 0         обозначим  х2 = m, m ≥ 0

           х = 0; ±√5                   m2 – 5m + 4 = 0

                                               m = 1;  4 – оба значения удовлетворяют условию m ≥ 0

                                               х2 = 1         х2 = 4

                                               х = ± 1       х = ± 2

         Ответ: количество корней уравнения 7.

           Упражнения для самостоятельной работы:

№1. Решите уравнение и укажите сумму корней: │х - 5│= 3

№2. Решите уравнение и укажите меньший корень: │х2 + х│= 0

№3. Решите уравнение и укажите больший корень: │х2 – 5х + 4│= 4

№4.Решите уравнение и укажите целый корень:  │2х2 – 7х + 6│= 1

№5.Решите уравнение и укажите количество корней: │х4 – 13х2 + 50│= 14

3  занятие. Решение уравнений вида  |F(x)| = G(x),

где F(x)  и  G(x) – некоторые функции.

Правая часть уравнения данного вида зависит от переменной и, следовательно, имеет решение тогда и только тогда, когда правая часть функция G(х) ≥ 0. Исходное уравнение можно решить двумя способами:

1 способ: Стандартный, основан на раскрытии модуля исходя из его определения и заключается в равносильном переходе к совокупности двух систем.

                              │F(х)│ = G(х)    

Данный способ рационально использовать в случае сложного выражения для функции G(x) и мене сложного – для функции F(х), так как предполагается решение неравенств с функцией F(х).

2 способ: Состоит в переходе к равносильной системе, в которой накладывается условие на правую часть.

                                │F(x)│= G(x)   

Данный способ удобнее применять, если выражение для функции G(х) мене сложное, чем для функции F(х), так как предполагается решение неравенства G(х) ≥ 0. Кроме того, в случае нескольких модулей этот способ рекомендуется применять второй вариант.

         Примеры:

№1. Решите уравнение:

                            │х + 2│= 6 -2х             (1 способ)

        Ответ: х = 11/3

В экзаменационных работах встречаются задания, в которых необходимо не только решить уравнение, содержащее модуль, но и найти сумму, произведение корней и т.п. Поэтому при решении упражнений необходим уделять внимание на суть задания. Например.

№2.Решите уравнение, в ответе укажите произведение корней:

                              │х2 – 2х - 1│= 2·(х + 1)  

                                                                                                                                                                                                                            (2 способ)

         Ответ: Произведение корней – 3.

  №3. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней:

      │х - 6│= х2 - 5х + 9  

          Ответ: сумма корней равна 4.

          Упражнения:

№9. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней:│х + 4│= - 3х

№10. Решите уравнение, в ответе укажите число решений:│х2 + х - 1│= 2х – 1

№11. Решите уравнение, в ответе укажите произведение корней:│х + 3│= х2 + х – 6

 Уравнения вида │F(x)│= F(x) и  │F(x)│= - F(x)

              Уравнения данного вида иногда называют «красивейшими». Так как правая часть уравнений зависит от переменной, решения существуют тогда и только тогда, когда правая часть неотрицательна. Поэтому исходные уравнения равносильны неравенствам:

   │F(x)│= F(x)  F(x) ≥ 0   и  │F(x)│= - F(x)   F(x) < 0

          Примеры:

№1. Решите уравнение, в ответе укажите меньший целый корень:

        │5х - 3│= 5х – 3    5х – 3 ≥ 0

                                              5х ≥ 3

                                               х ≥ 0,6

         Ответ: х = 1

№2. Решите уравнение, в ответе укажите длину промежутка:

         │х2 - 9│= 9 – х2    х2 – 9 ≤ 0

                                              (х – 3) (х + 3) ≤ 0

                                                      [- 3; 3]

         Ответ: длина промежутка равна 6.

№3. Решите уравнение, в ответе укажите число целых решений:

          │2 + х – х2│= 2 + х – х2    2 + х – х2 ≥ 0

                                                            х2 – х – 2 ≤ 0

                                                                [- 1; 2]

          Ответ: 4 целых решения.

№4. Решите уравнение, в ответе укажите наибольший корень:

        │4 – х - │= 4 – х –  

             х2 – 5х + 5 = 0  

                                      Д = 5     х1,2 =   ≈ 1,4      

            Ответ: х = 3.

             Упражнения:

№12. Решите уравнение, в ответе укажите целый корень: │х2 + 6х + 8│= х2 + 6х + 8

№13. Решите уравнение, в ответе укажите число целых решений:

            │13х – х2 - 36│+ х2 – 13х + 36 = 0

№14. Решите уравнение, в ответе укажите целое число, не являющееся корнем уравнения:

 4  занятие. Решение уравнений вида

F(|x|) = G(x), где F(x)  и  G(x) – некоторые функции.

Аргумент функции в левой части находится под знаком модуля, а правая часть не зависит от переменной. Рассмотрим два способа решения уравнений данного вида.

1 способ: По определению абсолютной величины исходное уравнение равносильно совокупности двух систем, в каждой из которых накладывается условие на подмодульное выражение.

                                       F (│х│) = m               

Так как функция F(│х│) – чётная на всей области определения, то корни уравнений     F(х) = m и F(- х) = m – это пары противоположных чисел. Поэтому достаточно решить одну из систем (при рассмотрении примеров указанным способом будет приводиться решение одной системы).

2 способ: Применение метода введения новой переменной. При этом вводиться обозначение │х│= а, где а ≥ 0. Данный способ менее объёмный по оформлению.

         Примеры:

№1. Решите уравнение:

        3х2 – 4│х│= - 1  Воспользуемся введением новой переменной. Обозначим │х│= а,

        где а ≥ 0. Получим уравнение 3а2 - 4а + 1 = 0

                                                            Д = 16 – 12 = 4

                                                             а1 = 1   а2 = 1/3

         Возвращаемся к исходной переменной: │х│=1 и │х│= 1/3. Каждое уравнение имеет

         два корня.

        Ответ: х1= 1;  х2= - 1;  х3= 1/3;   х4= - 1/3.

№2. Решите уравнение:

        5х2 + 3│х│- 1 = 1/2 │х│ + 3х2 

        Найдём решение первой системы совокупности:  4х2 + 5х – 2 =0                

                                                                                             Д = 57     х1= -5+√57/8     х2=-5-√57/8       

        Заметим, что х2 не удовлетворяет условию х ≥ 0. Решением  второй системы будет

         число, противоположное значению х1.

         Ответ: х1= -5+√57/8;  х2= 5-√57/8.

№3. Решите уравнение:

        х4 – │х│= 0  

       Обозначим │х│= а, где а ≥ 0. Получим уравнение а4 – а = 0

                                                                                              а · (а3 – 1) = 0

                                                                                              а1= 0   а2= 1

        Возвращаемся к исходной переменной: │х│=0   и  │х│= 1

                                                                              х = 0; ± 1

          Ответ: х1= 0;  х2= 1;  х3= - 1.

          Упражнения:

 №6. Решите уравнение: 2│х│ - 4,5 = 5 – 3/8│х│

 №7. Решите уравнение, в ответе укажите количество корней: 3х2 - 7│х│ + 2 = 0

 №8. Решите уравнение, в ответе укажите целые решения: х4 + │х│ - 2 = 0

5  занятие. Уравнения вида │F(x)│= │G(x)│

      Так как обе части уравнения неотрицательные, то решение предполагает рассмотрение двух случаев: подмодульные выражения равны или противоположны по знаку. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:                                  

                                      │F(x)│= │G(x)│ 

          Примеры:

№1. Решите уравнение, в ответе укажите целый корень:              

        │х + 3│=│2х - 1│

          Ответ: целый корень х = 4.

№2. Решите уравнение:                                                                                                               │х – х2 - 1│=│2х – 3 – х2│

          Ответ: х = 2.

№3. Решите уравнение, в ответе укажите произведение корней:

        Корни уравнения 4х2 + 2х – 1 = 0  х1,2 = - 1±√5/4

           Ответ: произведение корней равно – 0,25.

          Упражнения:

 №15. Решите уравнение, в ответе укажите целое решение:│х2 – 3х + 2│= │х2 + 6х - 1│

 №16. Решите уравнение, в ответе укажите меньший корень:│5х - 3│=│7 - х│

 №17. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней:

6  занятие. Примеры решения нестандартных              уравнений.

        Рассмотрим примеры нестандартных уравнений, при решении которых абсолютная величина выражения раскрывается по определению.

            Примеры:

     №1. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней:

         х · │х│- 5х – 6 = 0  

            Ответ: сумма корней равна 1

 №2..Решите уравнение, в ответе укажите меньший корень:

            х2 - 4х ·  - 5 = 0

          Ответ: меньший корень х = - 5.

   №3. Решите уравнение:

           Ответ: х = -1.

           Упражнения:

№18. Решите уравнение и укажите сумму корней: х · │3х + 5│= 3х2 + 4х + 3

№19. Решите уравнение: х2 – 3х =

№20. Решите уравнение:

7 занятие. Уравнения вида │F(x)│+│G(x)│=0.

            Нетрудно заметить, что в левой части уравнения данного вида сумма

      неотрицательных величин. Следовательно, исходное уравнение имеет решение тогда и

      только тогда, когда оба слагаемых одновременно равны нулю. Уравнение равносильно

      системе уравнений:

                                            │F(x)│+│G(x)│=0  

           Примеры:

  №1. Решите уравнение:  

            Ответ: х = 2.

   №2. Решите уравнение:

             Ответ: х = 1.

             Упражнения:

   №21. Решите уравнение:

   №22. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней:

   №23. Решите уравнение, в ответе укажите количество решений:

 8 занятие. Уравнения вида

│а1х + в1│±│а2х + в2│± … │аnх +вn│= m.

             Для решения уравнений данного вида применяется метод интервалов. Если его решать последовательным раскрытием модулей, то получим n совокупностей систем, что очень громоздко и неудобно. Рассмотрим алгоритм метода интервалов:

        1). Найти значения переменной х, при которых каждый модуль равен нулю (нули подмодульных выражений):                          

        2). Найденные значения отметить на числовой прямой, которая разбивается на интервалы (количество интервалов соответственно равно n+1)

        3). Определить, с каким знаком раскрывается каждый модуль на каждом из полученных интервалов (при оформлении решения можно использовать числовую прямую, отметив на ней знаки)

        4). Исходное уравнение равносильно совокупности n+1 систем, в каждой из которых указывается принадлежность переменной х одному из интервалов.

          Примеры:

      №1. Решите уравнение, в ответе укажите наибольший корень:  

              1). Найдём нули подмодульных выражений:  х = 2; х = -3

              2). Отметим найденные значения на числовой прямой и определим, с каким знаком раскрывается каждый модуль на полученных интервалах:

                                         х – 2                    х – 2                      х – 2

                                            -                           -                             + 

                                                        - 3                           2                         х

                                        2х + 6                  2х + 6                    2х + 6

                                            -                            +                            +

       3)      -  нет решений

        Уравнение имеет два корня.  

           Ответ: наибольший корень х = 2.

       №2. Решите уравнение, в ответе укажите целый корень:  

               1). Найдём нули подмодульных выражений:  х = 1,5;  х = - 1

               2). Отметим найденные значения на числовой прямой и определим, с каким знаком раскрывается каждый модуль на полученных интервалах:

                                            х + 1                 х + 1                   х + 1

                                                -                       +                         +

                                                         -1                         1,5                     х

                                            2х – 3                2х – 3                   2х – 3

                                                 -                        -                            +

           3).            

    Последняя система не имеет решений, следовательно, уравнение имеет два корня. В ходе решения уравнения следует обратить внимание на знак « - » перед вторым модулем.

          Ответ: целый корень х = 7.

      №3. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней:  

              1). Найдём нули подмодульных выражений:  х = 5;  х = 1;  х = - 2

              2). Отметим найденные значения на числовой прямой и определим, с каким знаком раскрывается каждый модуль на полученных интервалах:

                                 х – 5            х – 5             х – 5            х – 5

                                    -                   -                    -                   +

                                             -2                   1                  5                    х

                                 х – 1           х – 1             х – 1            х – 1  

                                    -                  -                   +                  +

                                 х + 2          х + 2             х + 2            х + 2

                                    -                 +                   +                  +

        3).

           Уравнение имеет два корня х = 0 и 2.

             Ответ: сумма корней равна 2.

        №4. Решите уравнение:

               1). Найдём нули подмодульных выражений: х = 1;  х = 2;  х = 3.

               2). Определим, с каким знаком раскрывается каждый модуль на полученных интервалах.

   3).   

             Объединим решения первых трёх систем.

            Ответ: [1;2]; х = 5.

            Упражнения:

        №24. Решите уравнение:  

        №25. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней:

        №26. Решите уравнение, в ответе укажите меньший корень:

        №27. Решите уравнение, в ответе укажите больший корень:

     9 занятие. Уравнения, содержащие несколько модулей.

              Уравнения, содержащие несколько модулей, предполагают наличие абсолютных величин в подмодульных выражениях. Основной принцип решения уравнений данного вида – это последовательное раскрытие модулей, начиная с «внешнего».

            Примеры:

         №1. Решите уравнение:          

           Ответ: х = 1;  - 11.

           №2. Решите уравнение:

            Ответ: х = 0; 4; - 4.

           №3. Решите уравнение, в ответе укажите произведение корней:

            Ответ: произведение корней равно – 8.

             №4. Решите уравнение:

              Обозначим уравнения совокупности (1) и (2) и рассмотрим решение каждого из них отдельно для удобства оформления. Так как оба уравнения содержат более одного модуля, то удобнее осуществить равносильный переход к совокупностям систем.

(1)

(2)  

         Ответ: [4; +∞)

      №5. Решите уравнение:  

Каждое уравнение совокупности относится к виду F(│x│) = m и равносильно совокупности двух систем:    

В разделе 2 было замечено, что решением систем  (1) и (2),  (3) и (4) соответственно, являются пары противоположных чисел. Поэтому, достаточно решить системы (1) и (3).

           Ответ: х = ± 1; ± (1+√2).

            Упражнения:

         №28. Решите уравнение, в ответе укажите количество корней: │3 - │х - 2││=2

         №29. Решите уравнение: ││х│+ х + 1│=1

         №30. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней: ││2х - 3│- 1│= х

         №31. Решите уравнение, в ответе укажите число решений: │х2 -│х│- 1│= 1