Методические рекомендации по теме: «Решение уравнений с модулем в курсе математики 7-8 класса»
методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме

Методические рекомендации по теме: «Решение уравнений с модулем в курсе математики 7-8 класса»

Автор: Давыдова Наталья Александровна,

учитель математики МОУ «Лицей №4»

города Саратова.

Введение.

Практически каждый учитель знает, какие проблемы вызывают у учащихся задания, содержащие модуль. Это один из самых трудных материалов, с которыми школьники сталкиваются на экзаменах.

Выбор темы обусловлен тем, что, во-первых, задачи, связанные с абсолютными величинами,  часто встречаются на математических олимпиадах и на экзаменах, во-вторых, это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсе высшей математики. Так в математическом анализе понятие абсолютной величины числа используется при определении основных понятий: предела, ограниченности функции и других. В теории приближенных вычислений употребляется понятие абсолютной погрешности. В механике, в геометрии изучается понятие вектора, одной из характеристик которого служит его длина (модуль вектора).

Несмотря на то, что тема «Модуль числа» проходит «красной нитью» через весь курс школьной и высшей математики, для ее изучения по программе отводится очень мало времени (в 6 классе -2 часа, в 8 классе -       4 часа).

Исходя из всего вышесказанного, учителю необходимо находить разнообразные методические приемы, использовать различные подходы и методы в обучении решению задач с модулем. Разнообразие методов будет способствовать сознательному усвоению математических знаний, вовлечению учащихся в творческую деятельность, а также решению ряда методических задач, встающих перед учителем в процессе обучения, в частности, реализации внутрипредметных связей (алгебра-геометрия), расширению области использования графиков, повышению графической культуры учеников.

Указанные обстоятельства обусловили выбор темы творческой работы. Цель работы: показать необходимость более глубокого рассмотрения темы «Решение уравнений с модулем» в школьной программе; разработать методические рекомендации по использованию различных методов при решении задач с модулем.

§1. Основные способы, используемые при решении уравнений, содержащих модуль.

Напомним основные понятия, используемые в данной теме. Уравнением с одной переменной называют равенство, содержащее переменную. Корнями уравнения называются значения переменной, при которых уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнением с модулем называют равенство, содержащее переменную под знаком модуля.

При решении уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа.

Существует несколько способов решения уравнений с модулем. Рассмотрим подробнее каждый из них.

1 способ. Метод последовательного раскрытия модуля.

Опорная информация:

Пример 1. Решим уравнение |х-5|=4.

Исходя из определения модуля, произведем следующие рассуждения. Если выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно, то есть х-5≥0, то уравнение примет вид х-5=4. Если значение выражения под знаком модуля отрицательно, то по определению оно будет равно – (х-5)=4 или х-5= -4. Решая полученные уравнения, находим: х1=9, х2=1.

Ответ: 9; 1.

Решим этим же способом уравнение, содержащее «модуль в модуле».

Пример 2. Решим уравнение ||2х-1|-4|=6.

Рассуждая аналогично, рассмотрим два случая.

1). |2х-1|-4=6, |2х-1|=10. Используя еще раз определение модуля, получим: 2х-1=10 либо 2х-1= -10. Откуда х1=5,5, х2= -4,5.

2). |2х-1|-4= -6, |2х-1|= -2. Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как по определению модуль всегда неотрицателен.

Ответ: 5,5; -4,5.

2 способ. Метод интервалов.

Опорная информация: 

Метод интервалов – это метод разбиения числовой прямой на промежутки, в которых по определению модуля знак абсолютной величины можно будет снять. Для каждого из промежутков необходимо решить уравнение и сделать вывод относительно получившихся корней. Корни, удовлетворяющие промежуткам, и дадут окончательный ответ.

Пример 3. Решим уравнение |х+3|+|х-1|=6.

Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащегося под знаком модуля: х+3=0, х= -3; х-1=0, х=1. Эти значения х разбивают числовую прямую на три промежутка:

Решим уравнение отдельно в каждом из получившихся промежутков. В первом промежутке (х < -3) оба выражения, стоящие под знаком модуля отрицательны, поэтому при записи уравнения без  абсолютной величины знаки этих выражений меняем на противоположные. Получим уравнение:

-х-3-х+1=6. Откуда х= -4. Число -4 является решением данного уравнения, так как оно принадлежит рассматриваемому промежутку. Во втором промежутке (-3 ≤ х < 1) первое выражение положительно, а второе отрицательно. Рассуждая аналогично, получим уравнение: х+1-х+1=6, откуда получаем неверное числовое равенство, то есть в рассматриваемом промежутке уравнение корней не имеет. В последнем промежутке (х ≥ 1) оба выражения положительны, поэтому уравнение записывается так: х+3+х-1=6. Откуда х=2. Это значение удовлетворяет неравенству х ≥ 1. Ответ: -4; 2.

Пример 4. |2-х|=2х+1.

Прежде всего, следует установить область допустимых значений. Возникает естественный вопрос, почему в предыдущих примерах не было необходимости этого делать. В этом уравнении в правой части  стоит выражение с переменной, которое может быть отрицательным. Таким образом, область допустимых значений – это промежуток [-½; +∞). Найдем нуль выражения, стоящего под знаком модуля: 2-х=0, х=2.

В первом промежутке: 2-х=2х+1, х=⅓. Это значение принадлежит ОДЗ, значит, является корнем уравнения.

Во втором промежутке: -2+х=2х+1, х= -3. -3 не принадлежит ОДЗ, а следовательно не является корнем        уравнения. Ответ: ⅓.

3 способ. Графический метод.

Суть данного метода заключается в использовании графиков функций для нахождения корней уравнения. Этот метод реже  других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными.

Пример 5. |х+1|=2. Построим графики функций у=|х+1| и у=2.

       Для построения графика у=|х+1|, построим график функции у=х+1, а затем отразим часть прямой, лежащую ниже оси ОХ. Абсциссы точек пересечения графиков и есть корни уравнения: х1=1, х2= -3. Ответ: 1; -3.

Пример 6. |х2-1|=|4-х2|.

Построим графики функций у=|х2-1| и у=|4-х2|. Для этого построим графики функций у= х2-1 и у=4-х2, а затем отобразим часть графиков, лежащую ниже оси ОХ.

х1≈1,6; х2≈-1,6.

4 способ. Метод решения при помощи зависимостей между числами а и в, их модулями и квадратами этих чисел.

Опорная информация: 

Пример 7. Решим уравнение |х2-8х+5|=|х2-5|.

Учитывая соотношение (1), получим:

х2-8х+5= х2-5          или          х2-8х+5= -х2+5  

х=1,25                                      х=0 или х=4.

Таким образом, корни исходного уравнения: х1=1,25; х2=0; х3=4.

Ответ: 1,25; 0; 4.

Пример 8. |х+3|=|х-5|.

В силу соотношения (2) получаем: (х+3)2=(х-5)2;

                                                            х2+6х+9= х2-10х+25;

                                                             х=1.

Ответ:1.

Пример 9. (1-3х)2=(х-2)2.

Учитывая соотношение (2), получаем: |1-3х|=|х-2|, откуда из соотношения  (1), имеем:

1-3х=х-2          или          1-3х= -х+2

х=0,75                               х= -0,5.

Ответ: 0,75; -0,5.

5 способ. Использование геометрической интерпретации модуля.

Опорная информация: геометрический смысл модуля разности величин – это расстояние между ними. Например, геометрический смысл выражения |х-а| - длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами а и х. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений.

Пример 10. |х-2|+|х-3|=1.

Исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки с абсциссой х до двух фиксированных точек с абсциссами 2 и 3. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами, принадлежащими отрезку [2;3] обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка – нет. Отсюда, множеством решений уравнения является отрезок [2;3].

Ответ: [2;3].

Пример 11. |х-2|-|х-3|=1.

Рассуждая аналогично, получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 2 и 3 равна 1 только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 3. Следовательно, решением данного уравнения будет являться луч, выходящий из точки 3, и направленный в положительном направлении оси ОХ.

Ответ: [3;+∞).

Обобщением вышеприведенных уравнений 10 и 11 являются следующие равносильные переходы:

Проанализировав представленные способы решения уравнений, содержащих модуль, можно сделать вывод, что ни один из них не является универсальным и для получения наилучших результатов необходимо добиваться того, чтобы ученик овладел возможно большим количеством методов решения, оставляя право выбора решения за собой.

§2. Методические рекомендации по использованию методов решения уравнений, содержащих модуль.

Практика обучения учащихся 7-8 классов способам решения уравнений, содержащих модули, позволила выявить достоинства и недостатки каждого способа, которые для удобства сведены в таблицу.

Проанализировав достоинства и недостатки каждого из указанных способов, можно с уверенностью сказать, что на мотивационном этапе формирования умения решать уравнения с модулем ученикам следует показывать все, доступные на данном этапе обучения способы решения, и, главное, на конкретных примерах доказывать, что первый этап решения – выбор самого эффективного способа.

1. Рассмотрим пример |х2+4х+3|=|х2-3|.

Решим это уравнение методом интервалов. Для этого найдем концы интервалов, решив уравнения х2+4х+3=0 и х2-3=0. В результате х1= -1, х2= -3, х3=, х4= -. Видим, что первое уравнение – квадратное, поэтому его решение недоступно ученику седьмого класса, впрочем, также как и второе уравнение, для решения которого необходимо знание арифметического квадратного корня. Кроме того, отметив полученные числа на координатном луче, получим пять промежутков, в каждом из которых, предварительно сняв знак модуля необходимо опять решить квадратное уравнение.

Если же использовать четвертый способ (метод решения при помощи зависимостей между числами, их модулями и квадратами этих чисел), то это уравнение можно решить на более раннем этапе. Итак,

|х2+4х+3|=|х2-3|  х2+4х+3=х2-3 или х2+4х+3= -х2+3.

                                  х1= -1,5;                х2=0; х3= -2.

Ответ: -1,5; -2; 0.

Ясно, что способ решения при помощи зависимостей между величинами, их модулями и квадратами величин, является самым эффективным для решения этого уравнения.

2. Рассмотрим пример |х-7|-|х-8|=1.

Решим это уравнение двумя способами.

а) метод интервалов: Найдем концы интервалов: х=7 и х=8. Отметим эти числа на координатной прямой, а затем решим уравнение в каждом из получившихся промежутков:

-х+7+х-8=1,                             х-7+х-8=1,                               х-7-х+8=1,

-1≠1,                                            2х=16,                                       1=1,

                                                   х=8                                      х – любое число  

Ответ: [8;+∞).

б) использование геометрической интерпретации. Использование равносильных переходов, вытекающих из геометрической интерпретации, позволяют сразу найти ответ: [8;+∞).

3. Рассмотрим пример |(х-1)(х-3)|=х-3. Это уравнение можно решить тремя способами.

а) последовательное раскрытие модуля:

Если (х-1)(х-3) ≥ 0, то                                    Если (х-1)(х-3) < 0, то

х2-4х+3=х-3,                                                    х2-4х+3= -х+3,    

х2-5х+6=0,                                                        х2-3х=0,

х1=3, х2=2.                                                       х1=0, х2=3.

2 – не удовлетворяет условию.                            0, 3 - не удовлетворяет условию.

Ответ: 3.

б) метод интервалов: найдем концы интервалов, решив уравнение    (х-1)(х-3)=0, откуда х1=1, х2=3.

(х-1)(х-3)=х-3,             -(х-1)(х-3)=х-3,                      (х-1)(х-3)=х-3,

х1=2, х2=3.                     х1=0, х2=3.                              х1=2, х2=3.

2 (-∞; 1),                      0  [1; 3).                               2 [3; +∞).

3 (-∞; 1).

 Ответ: 3.

в) графический метод: для решения уравнения построим в одной системе координат графики функций у=|х2-4х+3| и у=-3.

Построим у=|х2-4х+3|. Для этого сначала рассмотрим функцию у=х2-4х+3, графиком которой является парабола, ветви направлены вверх. Вершина параболы в точке (2; -1). Строим график и отображаем часть параболы, которая лежит ниже оси ОХ в верхнюю полуплоскость. Далее в этой же системе координат строим график у=х-3. Графики функций пересеклись в точке с абсциссой 3.

Ответ: 3.

Завершая рассмотрение  различных способов решения уравнений, содержащих знак модуля, еще раз отметим тот важный факт, что ни один из них не является универсальным и для получения наилучших результатов необходимо добиваться того, чтобы ученик овладел возможно большим количеством методов решения, оставляя право выбора решения за собой.

Таким образом, можно сделать следующий вывод: систематическое использование различных способов для решения уравнений, содержащих абсолютную величину, приводит не только к повышению интереса к математике, повышению творческой активности школьников, но и повышает уверенность детей в собственных силах, так как у них имеется возможность выбора того способа решения, который наиболее эффективен в каждом конкретном случае.

ПРИЛОЖЕНИЕ.

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ по теме «Решение уравнений с модулем».

1. Какие числа являются решениями уравнения |х+3|= -4?

а) -7; б) -7; 1; в) нет корней; г) 1.

2.       Решите уравнение |х+3|=7:

а) 7; б) -7;  в) 0; 7; г) 7; -7.

3.      Определите координаты точки пересечения графиков функций у=|2х+1|              и у=0:

а) (0;0); б) (-0,5;0);  в) (0;-0,5); г) (0,5;0).

4.       Решите уравнение |х+3|+|х-1|=6:

а) 3; -2; б) 4; -2;  в) -4; 2; г) 2; -3.

5.    Сколько точек пересечения имеют графики функций у=||5,5х-4|+2| и у=3?

а) 1; б) 2;  в) 3; г) 4.

6. Решите уравнение |3х-7|=1-х:

а) 2; 3; б) -2; 3;  в) -3; 2; г) -2; -3.

7. Сколько решений имеет уравнение (2,5х-5)2=(0,5х-6)2:

а) 1; б) 2;  в) 3; г) 4.

СИСТЕМА КАРТОЧЕК-ЗАДАНИЙ по теме «Решение уравнений с модулем».

1. ЗАДАНИЯ С УКАЗАНИЯМИ ИЛИ АЛГОРИТМИЧЕСКИМИ ПРЕДПИСАНИЯМИ И ОБРАЗОМ ВЫПОЛНЕНИЯ.

2. ЗАДАНИЯ «НАЙДИ ОШИБКУ».

1.

2.

3.

3. ЗАДАНИЯ С СОПУТСТВУЮЩИМИ УКАЗАНИЯМИ И ИНСТРУКЦИЯМИ.

1.

2.

4. ЗАДАНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ КЛАССИФИКАЦИИ.

1.

2.

5. ЗАДАНИЯ С ВЫПОЛНЕНИЕМ НЕКОТОРОЙ ЧАСТИ.

1.

2.

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА  по теме «Решение уравнений с модулем»

1. Решите уравнение |х-3|=7.
2. Решите графически уравнение |2х+1|=3.
3. Решите уравнение методом интервалов |х+1|+|х-1|=3.
4. Решите уравнение методом последовательного раскрытия модулей |-х+2|=2х+1.
5. Решите уравнение (2х+3)2=(х-1)2.
6. Решите уравнение самым удобным способом |х2+6х+2|=3|х+2|.
7. При каком значении а уравнение можно решить, используя геометрическую интерпретацию модуля: |х-а|+|х-9|=1?
8. Решить уравнение  =1. (*)