Урок по алгебре "Введение в теорию вероятностей" 9 класс.
план-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме

Тема: Введение в теорию вероятностей

9 класс (90 мин.)

        Автор урока Майорова Юлиана Алексеевна, учитель математики и информатики МБУ СОШ № 79 г.Тольятти.

Тип урока: урок формирования и совершенствования знаний, умений и навыков.

Цели урока: познакомить с элементами теории вероятности и научить решать задачи на заданную тему.

Задачи урока:

- образовательные:  

научить  в процессе реальной ситуации  определять термины теории вероятностей:  достоверные, невозможные, равновероятностные, противоположные, совместные и несовместные  события; научить решать задачи из жизни.

- воспитательные:  

умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие.

- развивающие:

выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Используемые технологии: развивающее обучение, групповая технология, ИКТ, элементы исследовательской деятельности, элементы блочного изучения тем.

Оборудование и материалы для урока: компьютер,  мультимедийный проектор, доска, экран, презентации учащихся. На партах учащихся: тексты задач, таблицы для опытов, учебники. 3 компьютера, по 1 для каждой группы.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Вводная беседа. Актуализация знаний.
3. Постановка темы, цели, задач урока.
4. Изучение нового материала.
5. Групповая работа. Решение задач и проведение экспериментов.
6. Отчет каждой группы о проделанной работе. Выводы.
7. Экскурсия в прошлое.
8. Подведение итогов урока.
9. Домашнее задание.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Учитель приветствует учеников.

2. Вводная беседа. Актуализация знаний.

Задача. Студент при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех  25 билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность того, что студенту достанется на экзамене выученный билет?

Кому не случалось идти на экзамен с одним и более не выученными билетами?

При этом каждый из нас задавался вопросом: повезет или нет?

Начнем урок с проблемной задачи, ведь скоро вы станете студентами и можете попасть в такую же ситуацию. Как вы считаете, что надо применить для решения этой задачи? Встречались ли вы раньше с такого рода задачами? Где? Когда? Что вы помните из изученного раньше? Приведите примеры  таких задач из своего жизненного опыта. /Учащиеся приводят примеры/.

Покупая лотерейный билет или играя в игровые автоматы, задумываемся ли мы о том,  какова вероятность выигрыша?

Кто чаще выигрывает: игрок или казино? Можно ли выиграть у компьютера?

На эти вопросы мы  постараемся  ответить с  помощью науки  Теория  Вероятностей.

Так вот, чтобы помочь студенту, научиться решать задачи по теории вероятностей и успешно сдать экзамен по математике за курс основной школы, необходимо обновить свои знания и изучить этот раздел математики.

3. Учитель вместе с учениками определяет тему и цель урока. Знакомит с  планом урока.

4. Изучение нового материала.

4.1 Как вы понимаете, что такое «теория вероятностей»?

Многие учащиеся класса при подготовке к нашему  уроку показали своё стремление к самостоятельному изучению этой темы. Они просмотрели  много книг, энциклопедических словарей, интернет и выбрали основные понятия теории вероятностей и вероятности вообще.

Слово ученикам (работали 5-6 человек). Учащиеся знакомят с определиниями теории вероятностей. Например:

Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Боровков, А. А. «Теория вероятностей»,

М.: Наука, 1986.

Теория вероятностей - математическая наука, позволяющая по данным вероятностям одних событий находить вероятности других событий, связанных каким-либо образом с первыми.

Б.А. Введенский. Энциклопедический словарь.
изд. «Большая Советская Энциклопедия». М.1955.

Вероятность (вероятностная мера) — численная мера степени объективной возможности наступления случайного события. Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента. Согласно определению П. Лапласа мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель — число всех возможных случаев.

Купцов В.И. Детерминизм и вероятность.

М., 1976.-256 с.

Вероятность является предметом исследования и изучения не только математики, но и философии, логики, психологии.

Российский создатель теории вероятности А. Н. Колмогоров писал: «вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определённого события в тех или иных определённых, могущих повторяться неограниченное число раз условиях». Предметом изучения теории вероятностей должна быть именно вероятность математическая (Р), как объективная мера возможности появления случайных событий.

Спасибо большое ребята.

4.2 Переходим к детальному изучению теории вероятностей.

Начнём (под запись) с элементов теории вероятностей.

Случай является неотъемлемой частью жизни.

Если случай помог нам в чем-то, мы говорим—повезло, если оказался не в нашу пользу, мы сокрушаемся—что за судьба!

В теории вероятностей основным является понятие события.

В жизни под событием понимают любое явление, которое происходит или не происходит.

Используем ЭОР Первое знакомство с понятием вероятность [3].

Но события бывают разные. (ЭОР Достоверные, невозможные и случайные события (определение) [4]).

Невозможным называют событие, которое в данных условиях произойти не может.

Достоверным называют событие, которое в данных условиях обязательно произойдет.

Случайным называется событие, которое в данных условиях может произойти, а может и не произойти.

Для дельнейшей работы используется ЭОР «Сетевой программный комплекс «Вероятность и статистика в школьном курсе математики» [5]

Эксперимент (или опыт) заключается в наблюдении за объектами или явлениями в строго определенных условиях и измерении значений заранее определенных признаков этих явлений.

Исходом (n) эксперимента называют значение наблюдаемого признака, полученного по окончании эксперимента. Каждый эксперимент заканчивается одним и только одним исходом.

Событием (А), наблюдаемым в эксперименте, называют появление исхода, обладающего заранее указанным свойством.

/ЭОР[5] п.2.1/

4.3 Рассмотрим каждое событие отдельно при решении задач.

(После каждого слайда с теорией решаются совместно задачи на доске и в тетради, сопровождение — ЭОР [5] рассматривается теория, тест, практикум, игра).

Задача: Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным. /ЭОР [5] п. 2.2/

Сегодня в Сочи барометр показывает нормальное атмосферное давление. При этом: 1). Вода в кастрюле закипела при t=800С, 2). Когда температура упала до -50С, вода в луже замерзла.

Решение: 1). В описанных условиях (вода чистая, атмосферное давление нормальное) это событие невозможное, т.к. температура кипения воды при нормальном давлении равна 1000С. При 800С вода могла бы закипеть на вершине горы высотой 7000 метров (в районе Сочи таких гор нет). При нормальном давлении и t=800С может закипеть бензин. 2). В описанных условиях это событие невозможное, т.к. температура плавления воды при нормальном давлении равна 00С, т.е. вода замерзает при t=00С. Снижение этой t для воды имеет место при повышенном давлении.

Ответ: 1). Невозможное, 2). Невозможное.

Два  события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называются совместными, а те, которые не могут происходить одновременно,- несовместными.  /ЭОР [5] п. 2.2/

Приведите примеры этих событий.

Задача. Среди событий, связанных с одним бросанием  игральной кости:

1) выпало 2 очка; 2) выпало 5 очков; 3) выпало более 2 очков ; 4) выпало число очков, кратное двум – найти пары совместных и пары несовместных событий.

Ответ. Совместные 3 пары : 1и 4; 2 и 3; 3 и 4 . Несовместные 3 пары : 1 и 2; 1 и 3; 2 и 4.

Равновозможными называются события, когда в их наступлении нет преимуществ.

Неравновозможные события те, у которых в наступлении одного из событий есть какое-то преимущество. 

Встречались ли вы с такими событиями в жизни?

Задача. Перечислить все элементарные равновозможные события, которые могут  произойти в результате:

1. подбрасывания одной монеты;
2. подбрасывание игрального кубика;
3. подбрасывание тетраэдра  с гранями, занумерованными числами 1, 2, 3, 4;
4. раскручивание стрелки рулетки, поверхность которой разделена на 5 одинаковых секторов, обозначенных буквами A, B, C, D, E.

 Решение.

1. «Герб» и «Решка» (n=2)
2. На верхней грани - 1, или 2, или 3, или 4, или 5, или 6 (n=6)
3. На нижней грани, лежащей на поверхности стола - 1, или 2, или 3, или 4 (n=4)
4. Конец стрелки рулетки остановится либо в секторе A, либо в B, либо в C, либо в D, либо в E (n=5)

Ответ: 1) 2 исхода; 2) 6 исходов; 3) 4 исхода; 4) 5 исходов.

Противоположное событие (по отношению к рассматриваемому событию А) – это событие Ā, которое не происходит, если А происходит, и наоборот.

/ЭОР [5] п. 2.4/

Приведите примеры противоположных событий.

Задача. Укажите противоположные события.

а) Мою новую соседку по парте зовут Таня или Аня. 

б) Явка на выборы была от 40% до 47%.

в) Из 5 выстрелов в цель попали хотя бы 2.

г) На контрольной я не решил, как минимум, 3 задачи из 5.

Решение:

а) Мою новую соседку по парте зовут не Таня и не Аня.

б) Явка на выборы была менее 40% или более 47%.

в) Из 5 выстрелов в цель попали менее 2.

г) На контрольной я решил максимум  2 задачи из 5.

Ответ: 4 противоположных события.

4.4 Численное значение вероятности рассчитывается из классического определения, по которому вероятность равна отношению числа случаев, «благоприятствующих» данному событию, к общему числу «равновозможных» случаев.

Математическую вероятность случайного события сопоставляют с частотой повторения этого события, т.е. имеется в виду следующее: при конечном числе n повторений заданных событий доля числа случаев m равна частоте m/n, которая, как правило, мало отличается от вероятности этого случая Р. Чем больше число повторений n, тем реже встречаются сколько-либо значительные отклонения частоты m/n от вероятности Р.

[ЭОР [5] п. 2.6, 3.2]

Итак, запишем, как рассчитывается вероятность события.

Если опыт, в котором появляется событие А, имеет конечное число n равновозможных исходов, то вероятность события А равна P (A) =  , где

m  - количество исходов, при которых событие А появляется.

Используя ЭОР [5] проведем эксперимент из п. 2.6 пример 1 «Подбрасывание монеты».

Вот теперь мы вернемся к решению задачи, которую я поставила перед вами в начале урока.

Задача. Студент при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех  25 билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность того, что студенту достанется на экзамене выученный билет.

Решение. Общее число билетов n=25; выбор каждого билета равновозможен. Событие A - «студенту достанется на экзамене выученный билет»; количество благоприятствующих исходов m=25-1=24. Вероятность события A:

            Ответ: .

Подведем итог этой части урока.

Что является элементами теории вероятности?

Какие события вы можете назвать? Охарактеризуйте каждое из них.

По какой формуле вычисляется вероятность события.

5. Решение задач в группах.  

А теперь перейдем к работе в группах. Разделимся на 3 групы. Ваша задача: решить задачи, оформить их в тетрадях, провести эксперимент и рассказать о проделанной совместной работе. Листочки с заданиями, таблицы и материалы  для экспериментов на столах.

(Учитель, в процессе работы учащихся, оказывает помощь каждой группе).

Задачи 1 группы.

Задача 1. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?

Решение. На последнем месте в номере телефона может стоять одна из 10 цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9; n =10; все предыдущие цифры никакого значения не имеют. Из  n=10 только одна цифра верна, поэтому m=1

P (A) =  =                 Ответ:  

Задача 2.  Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное. Вы открыли эту книгу на любой странице и прочитали первое попавшееся существительное. Оказалось, что:

1. В написании выбранного слова есть гласная буква
2. В написании выбранного слова есть буква «О»
3. В написании выбранного слова нет гласных букв
4. В написании выбранного слова есть мягкий знак.

Решение: а). Событие достоверное, т.к. в русском языке нет существительных состоящих только из согласных букв.

b). Событие случайное.

c). Событие невозможное (см. а)

d). Событие случайное.

Ответ: a). Достоверное, b). Случайное, с). Невозможное, d). Случайное.

Задача 3. Из событий: 1). «идет дождь»; 2). «на небе нет ни облачка»; 3). «наступило лето» – составить среди них пары совместимых и пары несовместимых.

Решение. Из трех событий можно образовать 3 различных пары (порядок событий в паре значения не имеет); количества пар равно

                                          Это: 1). – 2). ; 1). – 3). ; 2). – 3).

События в 1 паре несовместные, во 2 паре – совместные, в 3 – совместные.

Ответ:  1 пара несовместных и 2 пары совместных событий.

Задача 4.

Выполнить ЭОР [6]

Задача 5.

Выполнить ЭОР [5] п.2.6. Пример 4. Случайный выбор двух шаров.

Задачи 2 группы.

Задача 1. Из 10 деталей, лежащих в ящике, 3-бракованные. Из ящика наугад вынимают одну деталь. Какова вероятность того, что эта деталь окажется без брака?

Решение. Общее число деталей n=40, извлечение каждой из них – равновозможно. Событие А - «вынутая деталь окажется без брака».  Искомая вероятность            

Ответ: .

Задача 2. В мешке лежат 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Охарактеризуйте следующее событие как достоверное, невозможное или случайное:

1. Из мешка вынули 4 шара, и все они синие;
2. Из мешка вынули 4 шара, и все они красные;
3. Из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета;
4. Из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета.

Решение: а). Событие невозможное, т.к. в мешке только 3 синих шара, 4 синих вынуть нельзя. b). Событие случайное. c). Событие невозможное, т.к. в мешке лежат шары только трех разных цветов.d). Событие достоверное т.к. в мешке нет шаров черного цвета.

Ответ:  а). Невозможное, b). Случайное, c). Невозможное, d). Достоверное.

Задача 3.  Укажите, какие из описанных пар событий являются совместными, а какие – несовместными. Брошена игральная кость. На верхней грани оказалось:

 1). 6 очков; 5 очков, 2). 6 очков; четное число очков.

Решение: 1). Событие несовместимые, т.к. в результате одного бросания кости на верхней грани может оказаться только одно число (либо 6, либо 5).

2). Событие совместимое, т.к. если выпадает 6 очков, то при этом произойдет и второе событие – выпадает четное число очков. Обратно невозможно.

Ответ: 1). Несовместимые, 2). Совместимые.

Задача 4.

Выполнить ЭОР [6]

Задача 5.

Выполнить ЭОР [5] п.2.6 Пример 3. Случайный выбор одного шара.

Задачи 3 группы.

Задача 1. В мешке находятся жетоны с номерами от 1 до 15. Из мешка наугад вынимают один жетон. Какова вероятность того, что номер вынутого жетона не делится ни на 2, ни на 3?

Решение. Количество жетонов n=15; извлечение каждого жетона считаем равновозможным. Рассмотрим событие A - «номер вынутого жетона не делится ни на 2, ни на 3».

Исключаем 7 четных номеров жетонов (делятся на 2), а также нечетные номера 3, 9, 15(делятся на 3); получаем   Тогда   Ответ:

Задача 2. Из полной колоды карт вынимается одна карта. Выяснить, являются совместными или несовместными события: 1). «вынута карты красной масти» и «вынут валет»;  2). «вынут король» и «вынут туз».

Решение:1). События совместны, т.к. вынутая красная карта может оказаться валетом червей или валетом бубей.

2). События несовместимы, т.к. если вынутая карта король, то она не может одновременно быть и тузом.

Ответ: 1). Совместны, 2). Несовместны.

Задача 3. Из 25 учащихся класса двое справляют день рождения: 1). 30 января; 2). 30 февраля. Определите, каким является каждое из событий: невозможным, достоверным, или случайным.

Решение:1). Событие, заключающееся в том, что двое из 25 учащихся родились 30 января – случайное, оно может произойти, а может и не произойти (все зависит от состава группы из 25 учащихся).

2). Второе событие – невозможное, поскольку даты 30 февраля не существует, следовательно, никто из учащихся не мог родиться в такой день.

Ответ: 1). Случайное, 2). Невозможное.

Задача 4.

Выполнить ЭОР [7]

Задача 5.

Выполнить ЭОР [5] п.2.6 Пример 2. Подбрасывание тгрального кубика.

6. Отчет каждой группы о проделанной работе. Выводы.

На слайдах показывается условие задач, а после отчета, каждая задача сверяется с решением на слайдах, исправляются ошибки, устраняются пробелы в знаниях. Учащиеся рассказывают, какой опыт проводили и к какому выводу пришли. Учащиеся оценивают работу каждого члена группы.

7. Экскурсия в прошлое.

Вы проделали огромную работу, а теперь отдохните и посмотрите краткие презентации своих одноклассников об ученых, которые стояли у истоков возникновения теории вероятности и внесли огромный вклад в её развитие.

8. Итоги урока.

Учитель предлагает учащимся обобщить приобретённые знания на уроке. Что нового узнали на уроке? Понравились ли подобранные задачи? Чем? Просит учеников оценить свою работу на уроке? Что понравилось на уроке, а что нет? Учащиеся высказывают своё мнение, подводят общий итог урока. Учитель отмечает, в какой мере достигнуты цели, выполнены задачи урока; говорит о дальнейшем плане изучения темы; выставляет ученикам оценки за урок.

9. Домашнее задание.

Учебник на странице 187. Дома вам надо будет прочитать и понять параграфы  №34, 35, 36 с учётом того, что вы записывали в классе. Выполните практические задачи №789, 791, сделайте выводы. Решите задачи №798, 800.

Используемые источники

1. Алгебра. 9класс: учебник для общеобразовательных учреждений / А45 [Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; под ред.С.А.Теляковского.-16-е изд.- М.: Просвещение, 2009.
2. Алгебра: элементы статистики и теории вероятности: учебное пособие для учащихся 7-9кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк; под. ред. С.А. Теляковского. - 6-е изд.-М.: Просвещение, 2008.
3. ЭОР. Первое знакомство с понятием вероятность (N207147) http://school-collection.edu.ru/catalog/res/e70766e5-c136-47f0-ad32-9c7648df5343/?from=ab9a5f35-410a-40d3-88a6-d27f37dcd725&interface=teacher&class%5B%5D=47&class%5B%5D=48&class%5B%5D=49&class%5B%5D=50&class%5B%5D=51&subject%5B%5D=16&subject%5B%5D=17
4. ЭОР. Достоверные, невозможные и случайные события (определение) (N206529) http://school-collection.edu.ru/catalog/res/4b639e80-e4f3-4041-b68c-a2d1ccf78b30/?from=608887c4-68f4-410f-bbd4-618ad7929e22&interface=teacher&class%5B%5D=47&class%5B%5D=48&class%5B%5D=49&class%5B%5D=50&class%5B%5D=51&subject%5B%5D=16&subject%5B%5D=17)
5. ЭОР. Сетевой программный комплекс «Вероятность и статистика в школьном курсе математики» (N 174040), авторы Бунимович Е.А., Булычев В.А. http://school-collection.edu.ru/catalog/res/5ecef2ca-3192-11dd-bd11-0800200c9a66/
6. ЭОР. Элементарные и сложные события. Вероятность суммы несовместных событий, вероятность противоположного события. К1 http://fcior.edu.ru/card/8160/elementarnye-i-slozhnye-sobytiya-veroyatnost-summy-nesovmestnyh-sobytiy-veroyatnost-protivopolozhnog.html 
7. ЭОР. Решение практических задач с применением вероятностных методов. К1 http://fcior.edu.ru/card/3519/reshenie-prakticheskih-zadach-s-primeneniem-veroyatnostnyh-metodov-k1.html