Квадратный трёхчлен и его применение к решению задач с параметрами
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс) на тему

Квадратный трёхчлен и его применение к решению задач с параметрами

Квадратный трехчлен и применение его к решению задач с параметром.

Квадратный трехчлен с полным правом можно назвать основной из функций, изучаемых в школьном курсе математики. Поэтому знание свойств квадратного трехчлена и умение применять их являются необходимыми условиями успешного выполнения ЕГЭ и вступительной экзаменационной работы.

Многочисленные задачи из совсем иных, на первый взгляд, областей математики (исследование экстремальных свойств функций, тригонометрические, логарифмические и показательные уравнения, системы уравнений и неравенств) зачастую сводятся к решению квадратных уравнений или исследованию квадратного трехчлена.

В данной работе рассмотрены теоремы о расположении корней квадратного трехчлена и показаны приемы решения задач на основе свойств квадратного трехчлена и графических изображений.

Понятие квадратного трехчлена и его свойства.

Квадратным трехчленом называется выражение вида ax2+bx+c, где a0. Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола. При a<0 ветви параболы направлены вниз; при a>0 ветви направлены вверх.

Выражение x2+px+q называется приведенным квадратным трехчленом.

В зависимости от величины дискриминанта D=b2- 4ac возможны следующие случаи расположения графика квадратного трехчлена:

при D>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных корня трехчлена);

при D=0 эти две точки сливаются в одну, то есть парабола касается оси Ох (один корень трехчлена);

при D<0 точек пересечения с осью Ох нет ( и корней трехчлена нет).

В последнем случае при а>0 парабола лежит целиком выше оси Ох, при а<0- целиком ниже оси Ох (см. приложение 1, приложение 2 и приложение 3).

Знание свойств квадратного трехчлена и умение применять их являются необходимым условием успешного решения многочисленных задач элементарной математики.

Рассмотрим некоторые свойства квадратного трехчлена.

Важнейшей теоремой о корнях квадратного трехчлена является теорема Виета.

Теорема Виета. Между корнями квадратного трехчлена ax2+bx+c и коэффициентами этого

трехчлена существуют соотношения : x1+x2= -b/a,

x1•x2= c/a.

Данная теорема справедлива и для приведенного квадратного трехчлена x2+px+q : x1+x2= -p,

x1•x2= q.

Теорема, обратная теореме Виета, применяется лишь для приведенного квадратного трехчлена.

Если числа x1 и x2 таковы, что x1+x2= -p, x1•x2=q, то x1 и x2 – корни приведенного

квадратного трехчлена.

Теорема Виета успешно применяется при решении различных задач, в частности, задач на исследование знаков корней квадратного трехчлена. Это мощный инструмент решения многих задач с параметрами для квадратичной функции.

Теоремы о знаках корней квадратного трехчлена.

Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и

достаточно выполнения соотношений: D=b2-4ac0; x1•x2=c/a>0.

При этом оба корня будут положительны, если дополнительно выполняется условие :

x1+x2= -b/a>0 ,

а оба корня будут отрицательны, если x1+x2= -b/a<0.

 Теорема 2. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели разные знаки, необходимо и

остаточно выполнения соотношения x1•x2=c/a<0.

В данном случае нет необходимости проверять знак дискриминанта, поскольку при выполнении условия c/a<0 будет выполняться и условие c•a<0, а это значит, что дискриминант D=b2-4ac>0.

Расположение корней квадратного трехчлена (см. приложение).

Дидактический материал для учащихся.

1. Найти все значения параметра а , при каждом из которых корни квадратного трехчлена х2 +ах+1 различны и лежат на отрезке [0 ; 2].

2. При каких значениях параметра а уравнение х2-(2а-1)х+1-а=0 имеет два различных  положительных корня?

3. При каких значениях параметра а уравнение х2-(2а-6)+3а+9=0 имеет корни разных знаков?

4. Найдите все значения параметра а , при которых корни уравнения х2+(а+1)х-2а(а-1)=0 меньше, чем 1 .

5. Найдите все значения параметра а , при которых один из корней уравнения х2-2(а+1)х+4а+1=0 меньше 1, а другой – больше 1?

6. При каких значениях параметра а уравнение 2х2+(3а+1)х+а2+а=2=0 имеет хотя бы один корень?

7. При каких значениях параметра а уравнение (а2+а+1)х2 + (2а-3)х+а-5=0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1?

8. При каких значениях параметра а корни уравнения (а-1)х2-2ах +а=3=0 положительны?

9. Существуют ли такие значения параметра а, при которых оба корня уравнения х2-2(а-3)х-а+3=0 заключены в интервале (-3; 0)?

10. При каких значениях параметра а корни уравнения х2-2ах+(а+1)•(а-1)=0 принадлежат отрезку [-5; 5]?

11. При каких значениях параметра а один корень квадратного уравнения х2+(а+1)х-а2=0 больше числа 1/2 , а другой меньше 1/2?

12. При каких значениях параметра а уравнение х2-4х+(2-а)•(2+а)=0 имеет корни разных знаков?

13. При каких значениях параметра а уравнение х2+2(а+1)х+9=0 имеет два различных положительных корня?

14. Найти все значения параметра а при которых все корни уравнения (2-а)х2-3ах+2а=0 больше 1/2?

15. При каких значениях параметра а все корни уравнения х2-2ах+а2-а=0 расположены на отрезке [-2; 6]?

16. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения х2-2ах+2(а+1)=0 равна 20?

17. При каких значениях параметра а сумма корней уравнения х2-2а(х-1)-1=0 равна сумме квадратов его корней?

18. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (а-3)х2-2ах+6а=0 положительны?

19. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (1+а)х2-3ах+4а=0 больше 1?