Презентация на тему - Производная второго порядка, выпуклости, точки перегиба. (11 класс)
презентация к уроку по алгебре (11 класс) на тему

Слайд 1

ГБОУ №1392 имени Д. Рябинкина Давтян Римма Артемовна ПРОИЗВОДНАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ВЫПУКЛОСТИ, ТОЧКИ ПЕРЕГИБА.

Слайд 2

Содержание Производные второго порядка Вогнутость, выпуклости и точки перегиба

Слайд 3

Касательной к данной непрерывной кривой в данной ее точке М (точка касания) называется предельное положение секущей ММ', проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения М' неограниченно приближается по кривой к первой. Рис. 1 Определение: Понятие касательной

Слайд 4

Общее определение производной Производной функции у = f (х) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует Определение : Найти производную функции у = х 2 = (х + ) 2 (х2)' = 2х

Слайд 5

Смысл производной Физический Геометрический Например касательной к графику функции y=f (x) в точке, абсцисса которой равна x. Если функция описывает какой-либо физический процесс, то есть скорость протекания этого процесса. Точка движется прямолинейно по закону .Найти скорость движения в момент времени t=3 Уравнение касательной к кривой в точке А(1;2) y=kx+b k=2*1=2 2=2*1+b b=0 y=2x

Слайд 6

Если у = f ( z )и z = ( x ) — дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции у по промежуточному аргументу z , умноженной на производную самого промежуточного аргумента г по независимой переменной х, т. е. Производная сложной функции ТЕОРЕМА : Например

Слайд 7

Производная обратной функции ТЕОРЕМА. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции. Доказательство. Пусть у = f (х) Например y=arctg x x = tg x обратная для y

Слайд 8

Если y как функция от x задается соотношением F ( x , y )=0, где F ( x , y ) - выражение, содержащее x и y , то y называется неявной функции от x . Производная неявной функции Определение: Алгоритм нахождения производных заданных функций в неявном виде. 1) Находим производную от левой части равенства F ( x , y )=0, рассматривая y как функцию от x и приравниваем ее к нулю. 2) Решаем полученное уравнение относительно y , в результате будем иметь выражение производной от неявной функции в виде y = f ( x ) Пример. Найти

Слайд 9

Производная функции, заданной параметрически Если функция у от аргумента х задана параметрически и где функции и дифференцируемы и , то производная этой функции есть ТЕОРЕМА : Например

Слайд 10

Понятие о производных высших порядков Производная f '(х) от функции f (х) называется производной первого порядка и представляет собой некоторую новую функцию. Может случиться, что эта функция сама имеет производную. Тогда производная от производной первого порядка называется производной второго порядка или второй производной и обозначается так: f "(х). Итак, Пример 1)Пусть y = sin x Тогда имеем последовательно 2)Пусть Найти:

Слайд 11

График дифференцируемой функции у = f (х) называется вогнутым вверх (или выпуклым вниз) в промежутке (а, b ), если соответствующая часть кривой расположена выше касательной, проведенной в любой ее точке М(х, f ( x )). Аналогично, график дифференцируемой функции у = f (х) называется выпуклым вверх (или вогнутым вниз) в промежутке (а, b ), если соответствующая часть кривой расположена ниже касательной, проведенной к любой ее точке М(х, f (х)) Вогнутость и выпуклость графика функции. Точки перегиба Определение : Определение : Точкой перегиба графика дифференцируемой функции у = f (х) называется его точка, при переходе через которую кривая меняет свою вогнутость на выпуклость или наоборот

Слайд 12

Если для дважды дифференцируемой функции y = f (х) вторая ее производная f "(х) положительна внутри промежутка (а, b ), то график этой функции вогнут вверх в данном промежутке. ТЕОРЕМА : Доказательство : Пусть f "(х) > 0 при а<х< b их 0 — любая точка промежутка (а, b ). Сравним в точке х ординату у кривой y = f ( x ) ординатой у ее касательной M о N , проведенной в точке

Слайд 13

Достаточные условия вогнутости (выпуклости) графика функции . Теорема: Если же вторая производная f "(х) отрицательна внутри промежутка (а, b ), то график функции у = f (х) вогнут вниз в этом промежутке. Доказательство : Аналогично доказывается, что если f "( x ) < 0 при а < х < b , то график функции у = f (х) вогнут вниз на промежутке (а, b ).