Презентация по теме "Производная"
методическая разработка (алгебра, 11 класс) по теме

Слайд 1

МБОУ СОШ № 37 Туренко Екатерина Леонидовна г. Хабаровск

Слайд 2

Задача о касательной Общее определение производной Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции Основные правила Дифференцирования функций Производная сложной функции Производная неявной функции Производная функции, заданной параметрически Теорема о конечном приращении функции и ее следствия Возрастание и убывание функции одной переменной Экстремум функции одной переменной Вогнутость и выпуклость графика функции. Точки перегиба Задача о скорости движения Понятие касательной Смысл производной Производная обратной функции Понятие о производных высших порядков Теорема Ролля Теорема Ферма

Слайд 3

Касательной к данной непрерывной кривой в данной ее точке М (точка касания) называется предельное положение секущей ММ', проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения М' неограниченно приближается по кривой к первой. Рис. 1 Определение: Понятие касательной

Слайд 4

Зная уравнение непрерывной линии найти уравнение касательной в данной ее точке М (х, у), предполагая, что касательная существует . Задача о касательной Рис. 2.

Слайд 5

Задача о скорости движения Задача. Зная закон движения S=f(t), найти скорость движущейся точки для любого момента времени. ОМ = х

Слайд 6

Общее определение производной Производной функции у = f (х) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует Определение : Найти производную функции у = х 2 = (х + ) 2 (х2)' = 2х

Слайд 7

Смысл производной Физический Геометрический Например касательной к графику функции y=f (x) в точке, абсцисса которой равна x. Если функция описывает какой-либо физический процесс, то есть скорость протекания этого процесса. Точка движется прямолинейно по закону .Найти скорость движения в момент времени t=3 Уравнение касательной к кривой в точке А(1;2) y=kx+b k=2*1=2 2=2*1+b b=0 y=2x

Слайд 8

Мы видели, что функция называется непрерывной в точке х, если в этой точке Функция называется дифференцируемой в точке х, если в этой точке она имеет производную, т. е. если существует конечный предел: Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Слайд 9

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке функция непрерывна. Обратное утверждение неверно: непрерывная функция может не иметь производной. ТЕОРЕМА : Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Слайд 10

I . Производная постоянной величины равна нулю . Основные правила дифференцирования функций : II . Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных этих функций. III. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению первого сомножителя на производную второго плюс про­изведение второго сомножителя на производную первого. IV . Производная частного. Если числитель и знаменатель дроби — дифференцируемые функции и знаменатель не обра­щается в нуль, то производная дроби равна также дроби, числитель которой есть разность произведений знаме­нателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя.

Слайд 11

Если у = f ( z )и z = ( x ) — дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции у по промежуточному аргументу z , умноженной на производную самого промежуточного аргумента г по независимой переменной х, т. е. Производная сложной функции ТЕОРЕМА : Например

Слайд 12

Производная обратной функции ТЕОРЕМА. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции. Доказательство. Пусть у = f (х) Например y=arctg x x = tg x обратная для y

Слайд 13

Если y как функция от x задается соотношением F ( x , y )=0, где F ( x , y ) - выражение, содержащее x и y , то y называется неявной функции от x . Производная неявной функции Определение: Алгоритм нахождения производных заданных функций в неявном виде. 1) Находим производную от левой части равенства F ( x , y )=0, рассматривая y как функцию от x и приравниваем ее к нулю. 2) Решаем полученное уравнение относительно y , в результате будем иметь выражение производной от неявной функции в виде y = f ( x ) Пример. Найти

Слайд 14

Производная функции, заданной параметрически Если функция у от аргумента х задана параметрически и где функции и дифференцируемы и , то производная этой функции есть ТЕОРЕМА : Например

Слайд 15

Понятие о производных высших порядков Производная f '(х) от функции f (х) называется производной первого порядка и представляет собой некоторую новую функцию. Может случиться, что эта функция сама имеет производную. Тогда производная от производной первого порядка называется производной второго порядка или второй производной и обозначается так: f "(х). Итак, Пример 1)Пусть y = sin x Тогда имеем последовательно 2)Пусть Найти:

Слайд 16

Доказательство : Конечное приращение дифференцируемой функции равно соответствующему приращению аргумента, умноженному на значение ее производной в некоторой промежуточной точке, т. е. если f (х) есть дифференцируемая функция на некотором промежутке и х 2 (х 1 < х 2 ) — любые значения из этого промежутка, то где ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА : у = f (х) A B Теорема о конечном приращении функции и ее следствия

Слайд 17

Доказательство : В самом деле, если f (х) — дифференцируемая функция и то из формулы имеем или, так как , где ТЕОРЕМА РОЛЛЯ : Между двумя последовательными корнями дифференцируемой функции всегда содержится, по меньшей мере, один корень ее производной.

Слайд 18

Если функция y = f (х) определена и непрерывна ( a , b ) и пусть эта функция принимает max во внутренней точке этого интервала, тогда если существует то Доказательство: Пусть в точке функция принимает max значение для любых , для любых, следовательно для любых Существует функция т.е. Следовательно, ТЕОРЕМА ФЕРМА :

Слайд 19

Возрастание и убывание функции одной переменной 1) Если дифференцируемая функция возрастает в некотором промежутке, то производная этой функции неотрицательна в этом промежутке. ТЕОРЕМА 1 : ( Необходимый признак возрастания функции ) 1) Пусть дифференцируемая функция f (х) возрастает в промежутке ( a , b ). Согласно определению производной, Доказательство :

Слайд 20

Если дифференцируемая функция убывает в некотором промежутке, то ее производная неположительна в этом промежутке. Пусть дифференцируемая функция f (х) убывает в промежутке ( a , b ). Согласно определению производной, ТЕОРЕМА 2 : ( Необходимый признак убывания функции ) Доказательство :

Слайд 21

1) Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка, то функция возрастает на этом промежутке. ТЕОРЕМА : Достаточный признак возрастания функции Доказательство : 1) Пусть, например, дифференцируемая функция f (х) такова, что при Для любых двух значений , принадлежащих промежутку (а, b ), в силу теоремы о конечном приращении функции имеем г де — промежуточное значение между и и, следовательно, лежащее внутри промежутка (а, b ). Так как и то отсюда получим Следовательно, функция f ( x ) возрастет на промежутке (а, b ).

Слайд 22

Максимум или минимум функции называется экстремумом функции, а те значения аргумента, при которых достигаются экстремумы функции, называются точками экстремума функции (соответственно: точками максимума или точками минимума функции). Определение: Экстремум функции одной переменной

Слайд 23

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ ТЕОРЕМА. В точке экстремума (двустороннего) дифференцируемой функции производная ее равна нулю. Доказательство . Пусть, для определенности, есть точка минимума функции f ( x ).

Слайд 24

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ ТЕОРЕМА: Если дифференцируемая функция f (х) такова, что для некоторого значения ее аргумента х производная f '(х) равна нулю и меняет свой знак при переходе через это значение, то число является экстремумом функции f ( x ) , причем: 1) функция f ( x ) имеет максимум при х — ,если изменение знака производной f '(х) происходит с плюса на минус; 2) функция f (х) имеет минимум при х = , если изменение знака производной f '( x ) происходит с минуса на плюс. Доказательство. Пусть f ( ) = 0, f '(х) > 0 при - < х< f '(х) < 0 при <х< + x<

Слайд 25

График дифференцируемой функции у = f (х) называется вогнутым вверх (или выпуклым вниз) в промежутке (а, b ), если соответствующая часть кривой расположена выше касательной, проведенной в любой ее точке М(х, f ( x )). Аналогично, график дифференцируемой функции у = f (х) называется выпуклым вверх (или вогнутым вниз) в промежутке (а, b ), если соответствующая часть кривой расположена ниже касательной, проведенной к любой ее точке М(х, f (х)) Вогнутость и выпуклость графика функции. Точки перегиба Определение : Определение : Точкой перегиба графика дифференцируемой функции у = f (х) называется его точка, при переходе через которую кривая меняет свою вогнутость на выпуклость или наоборот

Слайд 26

Если для дважды дифференцируемой функции y = f (х) вторая ее производная f "(х) положительна внутри промежутка (а, b ), то график этой функции вогнут вверх в данном промежутке. ТЕОРЕМА : Доказательство : Пусть f "(х) > 0 при а<х< b их 0 — любая точка промежутка (а, b ). Сравним в точке х ординату у кривой y = f ( x ) ординатой у ее касательной M о N , проведенной в точке

Слайд 27

Достаточные условия вогнутости (выпуклости) графика функции . Теорема: Если же вторая производная f "(х) отрицательна внутри промежутка (а, b ), то график функции у = f (х) вогнут вниз в этом промежутке. Доказательство : Аналогично доказывается, что если f "( x ) < 0 при а < х < b , то график функции у = f (х) вогнут вниз на промежутке (а, b ).