Компьютерная презентация к занятиям по теме "Кривые второго порядка на плоскости" для студентов 2 курса СПО
презентация к уроку по алгебре (11 класс) на тему

Слайд 2

Повторение Какие линии на плоскости вы можете построить? Какими уравнениями эти линии можно задать? Выделить среди приведенных уравнений уравнения первого порядка, уравнения второго порядка. прямую параболу гиперболу Кубическую параболу

Слайд 3

Определение Алгебраической кривой второго порядка называется кривая Г, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид: А x 2 + 2В xy + С y 2 + 2 Dx + 2Е y + F = 0, где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю.

Слайд 4

Виды кривых второго порядка Окружность. Определение: Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, одинаково удаленных от одной точки, называемой центром. М 0 – центр окружности, М 0 М - радиус

Слайд 5

Уравнение окружности Уравнение окружности с центром в точке Мо ( x0,y0) и радиуса R имеет вид: Пример 1: Написать уравнение окружности с центром в точке С(3;5) и радиусом R=3 . Если центр окружности в начале системы координат, то уравнение имеет вид: Вывод

Слайд 6

Вывод уравнения окружности

Слайд 7

Окружность Пример 2: Найти центр и радиус окружности и построить ее Решение: R=10, M 0 (-3;2)

Слайд 8

Окружность Пример 3 : Доказать, что уравнение задает окружность, найти координаты центра и радиус, построить окружность Решение: R= 5 , M 0 ( 1 ; - 2)

Слайд 9

Окружность Пример 4. Дана окружность x 2 +y 2 -4x+2y-15=0 и хорда x+y-7=0 . Найти длину этой хорды. Решение: Найти уравнение окружности. Построить чертеж Решить систему, найти точки пересечения линий Найти расстояние между двумя точками

Слайд 10

Окружность Пример 5. Дана окружность (x +2 ) 2 +(y+ 3 ) 2 =1 3 и точка на ней с ординатой, равной нулю . Найти ее абсциссу. Пример 6. Написать уравнение окружности, проходящей через три точки А(0;2), В(1;1), С(2,-2).

Слайд 11

Окружность Пример 7. Окружность касается обеих осей координат и проходит через точку А(2;9). Написать уравнение этой окружности. Пример 8. Окружность касается оси О y в точке А(0;-3) и имеет радиус r=2 . Написать уравнение этой окружности.

Слайд 12

Домашнее задание Построить окружности: ( x+3) 2 +(y-2) 2 =16 и x 2 +(y-4) 2 =25 Найти координаты центра и длину радиуса окружности x 2 +y 2 -6x-8y=0 . Составить уравнение окружности, касающейся оси ОХ в начале координат и проходящей через точку А(0;-8).

Слайд 13

Виды кривых второго порядка 2. Эллипс Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и больше расстояния между фокусами

Слайд 14

Эллипс F1 и F2 – фокусы, F1(-c,0), F2(c,0) F1F2 – фокальной расстояние |F1F2|=2 а Пусть М( x;y) – точка на эллипсе, то MF1=MF2

Слайд 15

Эллипс Вывод уравнения эллипса:

Слайд 16

Эллипс Уравнение эллипса: Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Слайд 17

Эллипс Число а называется большой полуосью, b – малой полуосью. Точки А, А1, В, В1 называются вершинами эллипса. Точка О – центр эллипса. Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между его фокусами к длине большей оси (а >b) , т.е.

Слайд 18

Эллипс Располагается симметрично осей. Ограничен прямыми х= ± а, y=±b , т.е. вписан в прямоугольник, стороны которого параллельны координатным осям и имеют длины, равные 2а и 2 b , а диагонали пересекаются в начале координат.

Слайд 19

Эллипс Пример 1. Дан эллипс 16 x 2 +25y 2 =400 . Определить длину его осей, координаты вершин и фокусов, а также величину эксцентриситета. Пример 2. Написать каноническое уравнение эллипса, если фокальное расстояние равно 8, и эллипс проходит через точку М(0,-3)

Слайд 20

Эллипс Пример 3 Определить длину осей и координаты фокусов эллипса 49 x 2 +24y 2 =1176 Пример 4 Составить уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках А(8;0) и А1(-8;0), а фокусы имеют координаты ( ± 5;0)

Слайд 21

Эллипс Пример 5 Написать уравнение эллипса, координаты фокусов которого ( ± 3;0), а длина большей оси равна 12. Пример 6 Найти эксцентриситет эллипса 4x 2 +9y 2 =180

Слайд 22

Эллипс Если координаты центра эллипса смещены относительно центра, то уравнение эллипса имеет вид:

Слайд 23

Эллипс Пример 7 Найти координаты центра, длины осей и эксцентриситет эллипса: Построить эллипс

Слайд 24

Домашнее задание Написать каноническое уравнение эллипса, если даны длины его полуоси a=5 и b=4 . Дан эллипс, определить его оси и расстояние между фокусами:

Слайд 25

Виды кривых второго порядка 3. Гипербола. Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Слайд 26

Гипербола F1, F2 – фокусы гиперболы F1F2 – фокальное расстояние F1(-c,0), F2(c,0)

Слайд 27

Вывод формулы уравнения гиперболы

Слайд 28

Каноническое уравнение гиперболы

Слайд 29

Гипербола Гипербола симметрична относительно оси ОХ, оси О Y Пересекает ось ОХ в точках А1(-а,0),А2(а,0) – вершинах гиперболы. О(0,0) – центр гиперболы А1А2 – вещественная ось, В1В2 – мнимая ось F1M, F2M – фокальные радиусы гиперболы

Слайд 30

Гипербола Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к длине вещественной оси, т.е.

Слайд 31

Гипербола Прямые y= ±b/a x называются асимптотами гиперболы. Если длины полуосей гиперболы равны, т.е. a=b , то гипербола называется равнобочной. Асимптоты равнобочной гиперболы имеют вид: y=±x

Слайд 32

Гипербола Пример 1. Дана гипербола. Узнать, лежит ли точка А(2; 1,5) на какой-либо ее асимптоте. Пример 2. Определить координаты фокусов, длину осей и эксцентриситет гиперболы: 24 x 2 -25y 2 =600

Слайд 33

Гипербола Гипербола называется сопряженной, если ее уравнение имеет вид: Гипербола называется равносторонней, если a=b , т.е.

Слайд 34

Гипербола Пример 3 Написать уравнение гиперболы, если b=6, c=13 . Пример 4. Написать уравнение гиперболы, у которой вещественная ось равна 8, а расстояние между фокусами, лежащими на оси ОХ, рано 10.

Слайд 35

Гипербола Пример 5. Найти острый угол между асимптотами гиперболы 4x 2 -5y 2 =100 . Пример 6. Написать уравнения асимптот, а также найти величину эксцентриситета гиперболы x 2 -2y 2 =6 .

Слайд 36

Гипербола Уравнение гиперболы со смещенным центром:

Слайд 37

Домашнее задание Написать каноническое уравнение гиперболы, если a=6, b=2 . Определить координаты фокусов, длины осей и эксцентриситет гиперболы 16 y 2 -9x 2 =144 .

Слайд 38

Виды кривых второго порядка 4 . Парабола Определение . Параболой называется геометрическое место точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой.

Слайд 39

Парабола F(p/2,0) – фокус Х=- p/2 – уравнение директрисы О(0,0) - вершина Уравнение параболы:

Слайд 40

Парабола Парабола проходит через начало координат Располагается справа от оси О Y если p>0 Парабола симметрична относительно оси ОХ Если уравнение имеет вид х 2 =2 py , то ветви параболы будут направлены вверх.

Слайд 41

Парабола Пример 1 Построить параболу y 2 =6x Пример 2 Дана парабола y 2 =12x . Найти координаты ее фокуса и написать уравнение директрисы. Пример 3. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, зная, что фокус имеет координаты F(4,0)

Слайд 42

Парабола Пример 4. Найти точки пересечения параболы y 2 =9x с прямой y=2x+1 Пример 5. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси ОУ и проходящей через точку А(-4;-2).

Слайд 43

Парабола Уравнение параболы со смещенным центром задается уравнением:

Слайд 44

Парабола Пример 6. Написать уравнение параболы с центром в точке А(1;1), зная что она проходит через точку М(2;0), ее ось симметрии параллельна оси О Y . Пример 7. Дана парабола x 2 -6x+8y-15=0 . Найти координаты вершин и фокуса, а также уравнения ее оси симметрии и директрисы.

Слайд 45

Домашнее задание Выучить лекцию. Задача 1. Построить кривые второго порядка и найти их основные элементы: