Элективный курс "Решение задач с параметрами"
элективный курс по алгебре (11 класс) на тему

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ

Элективный курс для учащихся 10-11  классов физико-математического, информационно-технологического профиля.

Курс рассчитан на 70часов.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Данная программа элективного курса своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся 10-11 классов, которым интересна математика и ее приложения и которым захочется глубже и основательнее познакомиться с ее методами и идеями.

Задачи с параметрами традиционно представляют для учащихся сложности в логическом, техническом и психологическом плане. Однако именно решение таких задач открывает перед учащимися большее число эвристических приемов общего характера, применяемых в исследованиях на любом математическом материале. Кроме того, задачи с параметрами обладают высокой диагностической и прогностической ценностью, поэтому они стали неотъемлемой частью единого государственного экзамена.

Школьная базовая программа уделяет мало внимания решению этих задач, поэтому более глубокое изучение их возможно на элективных курсах.

Целью данного курса является изучение основных типов задач с параметрами и отработка различных способов решения этих задач, а именно аналитического и  графического решения относительно параметра.

Данный курс позволяет формировать умения и навыки по решению задач с параметрами, сводящихся к исследованию линейных и квадратных уравнений, квадратных неравенств, уравнений и неравенств, содержащих модуль, показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Задачи курса:

1. Расширить представления учащихся об уравнениях и неравенствах с параметрами; познакомить с алгоритмами решения задач с параметрами.
2. Повысить уровень математической подготовки учащихся через решение задач с параметрами.
3. Развивать логическое мышление, умение анализировать, сравнивать, обобщать.
4. Формировать такие качества личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли, точность.

Предлагаемый элективный курс соответствует:

•современным целям образования;

•основным положениям Концепции профильной школы.

МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ

  Доминантной формой учения является поисково-исследовательская деятельность учащихся, которая реализуется как на занятиях в классе, так и в ходе самостоятельной работы учащихся.

 В ходе проведения курса предполагается использовать следующие методы: экспериментально-исследовательский, метод дебатов, лекционно-семинарский метод.

Запланированный данной программой объем знаний необходим для овладения учащимися различными методами решения задач с параметрами. В результате изучения курса учащийся должен:

• усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств, систем уравнений с параметрами;
• применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр,
• проводить полное обоснование при решении задач с параметрами;

Основные формы организации учебных занятий:  беседы, лекции, семинары, научно-исследовательская работа, практические занятия, самостоятельные работы, индивидуальные работы, работа в группах.

ВИДЫ КОНТРОЛЯ

• Самостоятельная работа;
• Творческие задания;
• Итоговая зачетная работа.

ОРГАНИЗАЦИЯ И ПРОВЕДЕНИЕ АТТЕСТАЦИИ УЧЕНИКОВ

Чтобы оценить динамику усвоения учениками теоретического материала и поставить учащегося перед необходимостью регулярно заниматься, психологически очень важно предоставить подростку достаточно объективную информацию об уровне его знаний и умений, значит, и об ожидающей его оценке. Кроме того, знание учителем уровня владения его учениками теорией и навыками ее применения поможет ему внести определенные коррективы в учебный процесс (изменить темп и стиль проведения занятий, вернуться к ранее изученному материалу и повторить его, внести изменения в ранее данное индивидуальное задание ученику или группе учащихся для домашнего выполнения).

Наконец, надо помнить о необходимости и даже проблеме накопления оценок для итоговой аттестации. Последняя же, необходима для оценивания общих успехов обучающихся в освоении выбранного ими курса.

Критерии по выставлению оценок следующие:

Оценка «отлично» (5) - учащийся блестяще освоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных математических задач; он отличился активным участием в диспутах и обсуждениях проблем, поставленных и решаемых в данном курсе; кроме того, ученик отличился творческим подходом и большой заинтересованностью как при освоении курса в целом, так и при выполнении порученных ему учителем заданий. Он научился работать в малых группах, находить и использовать информацию в рекомендованных бумажных и электронных изданиях, очевиден и несомненен его интеллектуальный рост и рост его общих умений.

Оценка «хорошо» (4) - учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартным заданием; выполнил домашние задания; можно сказать, что оценка «хорошо» - это оценка за усердие и прилежание, которые привели к определенным положительным результатам, свидетельствующим об интеллектуальном росте, и о возрастании общих умений слушателя курса.

Оценка «удовлетворительно» (3) - учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему успешно выполнить в итоговой работе самого простого состава 4-5 задач.

Оценка «неудовлетворительно» (2) - ученик не проявил ни прилежания, ни заинтересованности в освоении курса; дискуссии были для ученика неинтересны, и он уклонялся от участия в них, в итоговой контрольной работе самого простого состава задач он справился всего с 1-2 заданиями.

Критерии оценивания самостоятельных работ и итоговой контрольной работы :

Оценка «отлично» (5) - 90% выполнения работы;

Оценка «хорошо» (4) - 75-85%;

Оценка «удовлетворительно» (3) - 60-70%;

Оценка «неудовлетворительно» (2) - менее 60%.

Содержание программы

Учебно-тематический план

ЛИТЕРАТУРА

Для учащихся:

Дудницын Ю.П. «Контрольные работы по алгебре и началам анализа. 11 класс», М., 1999 г.

Гимаев Р.Г. «Сборник задач по математике для подготовки к вступительным экзаменам», Уфа, 2001 г.

Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. «Математика. Учимся решать задачи с параметром. Подготовка к ЕГЭ. Задание С5», Легион-М, Ростов-на-Дону, 2011г.

Саакян С.М. и др «Задачи по алгебре и началам анализа для 10-11 классов», М. 1990 г.

Шабунин М.И. и др. «Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы для 10-11 классов», М., Мнемозина, 1997 г.

Терешин Н.А., Терешина А.М. И. «2000 задач по алгебре и началам анализа», М., 1998 г.

Для учителя:

Васильева В. «Тригонометрия и параметры»,Математика № 25\2002 г.

Власова А.П. «Задачи с параметрами. Логарифмические и показательные уравнения, неравенства, системы уравнений. 10-11 классы», Дрофа, Москва, 2005 г.

Горштейн П.И., Болтянский В.Б., Якир М.С. «Задачи с параметрами», М., Илекса, 1998 г.

Кожухов С.К. «Различные способы решения задач с параметром», Математика в школе №6\ 1998 г.

Кочагин В «Курс: Уравнения и неравенства с параметрами», Математика № 27-28\2002 г.

Кочарова К.С. «Об уравнениях с параметрами и модулем», ж.Математика в школе № 2\1995 г.

Мордкович А. «Уравнения и неравенства с параметрами», Математика № 38\1994 г.

Полякова Е.А. «Уравнения и неравенства с параметрами в профильном 11 классе», ИЛЕКСА Москва, 2010г.

Шарыгин И.Ф. «Факультативный курс по математике», М., Просвещение, 1991 г.

Цыпкин А.Г., Пинский А.И. «Справочник по методам решения задач по математике», М., Наука, 1998 г

Подборка устных упражнений по теме «Параметры»

При решении заданий с параметрами обязательным этапом практически на каждом уроке или факультативном занятии является этап решения устных упражнений. При устном решении учащиеся проговаривают решение вслух, при этом развивается речь, логическое мышление.

Беглое решение несложных заданий с параметрами обеспечивает в дальнейшем более быстрое восприятие нового материала.

Ниже  приведена подборка устных упражнений, которые (или аналогичные им) можно использовать на занятиях.

1. Решение простейших уравнений и неравенств.

3.        При каких а система,

   имеет единственное решение?

4.        При каких а неравенство (x-a)<0 имеет единственное решение?

5.        Найти все значения а, при которых уравнение:

а)        (x-a)(9)=0,

б)        (x-a)log2x=0,

в)        (x-3)log2a=0,

г)        (x-a)arccos(x+3)=0,

д)        (x-l)arccosa=0 имеет единственный корень.

6.        При каких значениях а любое значение х, большее -1, является решением неравенства 2а+х>8?

Задачи с параметрами по теме «Показательные уравнения и неравенства»

1. При   каких значениях параметра а уравнение х2-(2а-1)х-3(4а-1-2а-2)=0 имеет равные корни?                                                                                    (а=-2, а=0)
2. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственный корень:

а)  4х-(5а-3)2х+4а2-3а=0                  а(0;0,75]{1);

б) 9х+(4а+3)3х+3а2+4а+=0                  а({-1}[-;-1/2);.

в)25-х+(a+8)5-x-2a2-5a+7=0                 а (-;-){-2}(1;+);

г) 2(а-1)х+2(а+3)х+а =                                                                    а=-2,2;  а=1;

д)3(а+1)х²-2(а-2)х+а=27                                                                    а=-1;а=3,5;

е)2ах²-4х+2а=1/-4                                                                    а=-1; а=0; а=2;

ж)3a х²+2х-а=1/-4 ?                                                                   а=-1; а=0.

3. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра а:

а)        ()х - 6()х = а

(Ответ: если а<-9,то корней нет; если а=-9, то х=1; если а0, то х=log 1/3(3; если -9<а<0, то х1;2= log 1/3 (3±)  

б)2|x|=а?                                                                                                                              (Ответ: при а>1 - два корня, при а=1 - один корень, при а<1 - нет корней)

4. При        каких значениях параметра а уравнение имеет два действительных различных корня:

а)        36х+(а-1)6х+а-2а2=0             а( (0;1/3) (1/3;1/2);

б)16х-(5-а)4х+6-2а=0        а(-; 1 ) ( 1 ;3);

в)9х-2(3а-2)3х+5а2-4а=0?          а( (0,8;1) (1;+ ).

5. При        каких значениях параметра а уравнение 9х-Зх+1-а2+5а-4=0

имеет один действительный корень?        а(-;l]{2,5} [4;+ )

6. При каких значениях параметра а уравнение

а)49х+(а-1 )7х-2а2+4а-2=0,                                               а=1;

б)        (а-3)4х-8-6х+(а+3)9х=0                                  a (-;-3][5;+)                        не имеет ни одного действительного корня?

7. Найти все значения а, при которых уравнение имеет хотя бы один корень:

а)  4х-а·2х-а+3=0        а[2;+);

б)        16x+(a+3)4x+3a=o        а (-;0);

в)        9х+(а+2)Зх+2а=0        а(-;0).

8.  При каких значениях параметра а уравнение

а) 22х-(а-3)2х-3а=0        а (0;+ );

б)        32х-(а-2)3х-2а=0        а(0;+ );

в)        52х-(а-5)5х-5а=0        а(0;+ );

г) 4х+2х+2-7=а-4-х-2·21-х              а[17;+оо)                                                                             имеет корни?

9. Для каждого значения параметра а решите уравнение =1-2х.

Ответ: если а(0; 1], то x=log2a; если а(-;0] [1;+), то нет корней;

10. Найти все решения неравенства а2-9х+1-8·Зха>0.

Ответ: нет решений при а=0; x<-2+log3a при а>0; x3(-a) при а<0.

11. Найти все значения параметра а, при которых неравенство 4х-а-2х-а+3<0 имеет хотя бы одно решение.        а[2; +).

12,Найти все значения параметра а, при которых неравенство а·9х-4(а-1)Зх+а>1 справедливо для всех xR.                                                                   а[1; +).

1. При каких положительных значениях параметра а уравнение имеет единственный корень:

а)        (log3a)x2-(21og3a-l)x+log3a-2=0        (при а=1;;

б)        (log4a)x2-(21og4a+l)x+log4a+2=0?        (при а=; .

2. При каких значениях параметра а выражения принимают одинаковые значения:

а)        (a+l)lg(2a+3) и а+1        (при а=-1; 3,5);

б)        (3a+l)lg(l-a) и 3а+1?        (при а=-; -9).

3. При каких значениях параметра а уравнение logx-а(x2 -х+а2-а)=2 имеет единственный корень?                                                      (при а(-;-)u(-;0)u[;+))
4. Найдите, при каких значениях параметра а уравнение log3(9x+9a3)=x имеет два корня.                                                                                                              (при а = 0; 1)

5. При каких значениях а уравнение log2x+1(3x2 -ах-0,25а)=2 имеет ровно два различных корня?                                                                                             (при  а (-;-4))
6. Для каждого значения а решите уравнение:

а)        log3(x-5)=log9(x2+3х-а)             ( если а40, то корней нет;

     если а>40, то х=;

б)        log0,5(x+3)=log0,25(x2-7x-a)                (если а<30, то х=-;

       если а30, то корней нет);

в)        log2|x|=а        (для любого хR - два корня).

7. При каком значении а решением неравенства:

а)        log2(a-3x)>log2(x2-3x) является интервал (-3;0)        (при  а=3);

б)        log3(x2+2x)3(2x+a) является интервал (0;2)?        (при а =8).

8. При каких а число t является решением неравенства

logx+t2(x2+ax+3а2-1)  1 ?

(при а [-1;-)(0;])

9.Найдите        все значения параметра а, при которых для любого xR

log а/(а+1) (х2+2)>1                                                                               (при а (-; -2)).

Задачи с параметрами по теме «Тригонометрия»

1 .Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет корни:

а)        asinx - 4cosx = 5        (-;-3][3;+);

б)        3sinx + acosx = 5        (-;-4] [4;+);

в)        3sin2x + cos (x + 4a) = 4        -/8 + п/2, Z;                   r)         3 sin (x + 6a) + 2cos2x = 5                                                 /12 + п/6, nZ;

д)        cos2x + 4sin (ax) = 5        (1 + 4к)/2, n, kZ;

е)        cos2x + sin (ax) +1=0        (4n - 1)/(2 к + 1), к,nZ;

ж)        5sin3x - 6cos3x = a        [-;;];

з)        7cos(x/2) - 3sin(x/2) = a           [;;];

и)        (l-cosx)/sin(x/2) = a        [-2;0) (0;2],

2.        Найти все значения параметра а, при которых уравнение

2cos2x + 2а sinx + а—1=0 имеет единственный корень на интервале (л/2;0).

                                                                                                             (-;-3]{-2} [-l;+)

3.Найти        все значения параметра а, при которых уравнение:

а)        sin2x-(5a + 6)cosx - а2 = 0                                                   (-;-3) (-2;-l) (6;)

б)        cos2x + 6sinx = 4а2 - 2        [-; ]

в)        5cos (х/4 - Зл/8) + asin (З/8 - х/4) =6                                   (-;-] [;+)

г)        3sin (4х - 5/13) - acos (5л/13 - 4х) = 4                                 (-;-] [;+)

д)        tg2x+tgx-a=0                                                                          (-;3/4) (l;+)  имеет корни.

4.        Определите, при каких значениях параметра а уравнение:

а)           cos2x+(a+0,5)cosx+a/2=0        имеет на отрезке [- /6;5 /3] четыре корня;

                                                                                                     (-l;-/2] [-l/2;l/2) (l/2;l)

б)         sin24x+(a2-3)sm4x+a2-4=0 имеет на отрезке [3/2;2] четыре корня;

                                                                                                                                а=-2, а=2

в)        cos2x+(a-l)cosx+a-l=0 имеет на отрезке [-/2; З/2] три корня;

                                                                                                                                а=0,5; а=1

г)               cos x=a имеет на отрезке [- /3;5 /3] три корня;                              а=0,5

д)        cos2x+2cosx-2a2-2a+l=0 имеет на промежутке [0;2) ровно один корень;

                                                                                                                                 а=-2,а=1

е)        cos2x+2(2a-l)sinx-2a2+2a-l=0 имеет на промежутке [0;2) три корня;

ж)              sin2x = а имеет пять корней на отрезке [0;2]                                   а=0;а=1.

5.        Решите уравнение для всех действительных значений параметра а:

а)      (5а - 1) cosx = 2а + 3

                                                                                  x=±arccos+2, nZ

                                                при а (-;-2/7] [4/3;+), корней нет при а (-2.7;4.3)

б)      sin6х + cos6x = а              х=±1/4 arccos +/2, neZ    при а [1/4; 1],

            нет корней, при а (-;1/4) (1; )

в)              sin4x+(a-6)sin2x-4(a-2)=:0            x=±arcsin +, nZ при а [1;2];

г)        cos4x-(a+2)cos2x-(a+3)=0             x=±arccos -, nZ при а [-3;-2].

6.        При каких значениях параметра а уравнение не имеет корней:

а)        sin2x -2(а-3) sinx +а2-6а+5=0        (-;0) (2;4) (6;+);

б)        cos2x-(3+2a)cosx+6a=0        (-;-0,5) (0,5;+

в)        2cos2x-(2a+5)cosx+5a=0         (-;-l) (l ;+);

г)        2sin2x-(3-2a)sinx-3a=0        (-;-l) (l;+);

д)        sin4x+cos2x-a=0?                                           (-4;0).

7.        Найти все значения параметра а, при которых неравенство 2a-4+a(3-sin2x) + cos2x<0 выполнено при всех действительных значениях х.

                                                                                                                     (-; 3/11)

Задачи с параметром по теме «Производная»

1 .При каких значениях параметра а функция имеет одну стационарную точку, если:

а)f(x) =ах3-6х2 +4х+7,         (а = 0, а=3);

б)f(x) =ах3 +6х2 -2х+7?                                                                   (а=0; а=6).

2.При каком значении параметра а касательная к графику функции                          у=ах2+5х+4 в точке с абсциссой хо=1 образует с осью ОХ угол 135°?         (а=3).

З.Найти все такие положительные значения параметра а, что функция

а)y=ax2- lnx        убывает на интервале (0;5),           (0;1/50];

б)у = Inх-ах2        убывает на интервале (2; +),        [1/8; +).

4.При каких значениях параметра а функция возрастает на всей числовой прямой, если:

а)у=ах3 +3ax2 +6х+7,          [0;2);

б)у=(а2-1)х3/3+(а-1)х2 +2х+1,                  (- ;-3] u (1; +);

в)у=2х3-3(а+2)х2+48ах+6х-5?        (0;28).

5.При каком значении параметра а функция f(x)=-x3+4x2-ax-8 возрастает на интервале (1;2)? (4)

6.При каких значениях параметра а прямая является касательной к графику функции f(x):

а)y=3x-2,      f(x)=x2+ax+2           а=-1;а=7;

б)у=3х-2,     f(x)=ax2+4x           а=1/3;

в) у= а-х,     f(x)=4/x             а=-4; а=4;

г)у=4х+1,      f(x)=a                       а=4;

д)у=2х+1,    f(x)= 4х2 +а +3х                                                             а=4/3;

е)у=ах-2,     f(x)=1+lnx?         а = е.

7.Выяснить, при каких значениях параметра р касательная, проведенная к графику функции у=х3-рх в его точке с абсциссой хо=1, проходит через точку М (2;3).        р=0,5

8.Найти значения параметров а и b, при которых прямая у=кх+b касается графика функции y=f(x) в точке М:

а)у=7х-2, f(x)=ax2+bx, М(1;5)        а=2,b=3;

б)у=-8х-6,1(х)=ах2+bx-3, М(-1;2)        а=3,b=-2.

9.Выяснить,        при каких значениях параметра а :

а)наибольшее значение функции у=х3 -3x+а на отрезке [—2;0] равно 5, (а=3);

б)наименьшее значение функции у=х3 -12х+а на отрезке [1;3] равно 0; (а=16).

10.Выяснить,        при каких значениях а точка xо= а является точкой:

а)минимума функции у=2х3 -3(а+1 )х2+6ах-1,        а >1;

б)максимума функции у=2/3х3 –(а-2)х2 -4ах+3          а <-2.

11.Найти все такие значения параметра а, при которых касательная к графику функции у=х7 в точке с абсциссой xо = а и касательная к графику у=х8 в точке с абсциссой xо = а, не пересекаются.

12.При каких положительных значениях параметра а максимум функции:

а)у = lnх - ах  равен 2;                а=1/2;

б)у = bх - lnх  равен27?                 а=1/27.

13.При        каких значениях параметра а функция:

а)у=2х3 -6а2х +3 имеет минимум в точке хо=3,                а=-3;а=3;

б)у = asin2х- V3cos х имеет минимум в точке хo=π/6,        а=-1;

в)у= (ах+З)/(х2 +16) имеет максимум в точке хо =2?                  а=1.

Конспект занятия по теме

«Тригонометрия и параметры»

Цели: 1) расширить представление учащихся об уравнениях с параметрами, отработка умений применять ранее полученные знания в нестандартных ситуациях;

2)        развитие логического мышления, исследовательской деятельности;

3)        воспитание сознательного восприятия учебного материала.

Тип урока: урок комплексного применения знаний, умений и навыков.

Ход урока

I.О. момент, постановка целей и задач урока.

II.        Проверка домашней работы; цель: подготовка учащихся к восприятию нового материала.

У доски работают два ученика.

1)        Решите уравнения:

а)        sin5x+sinx=2+cos2x

Решение.

Левая часть уравнения не превосходит 2, а правая не меньше 2. Отсюда следует, что уравнение может иметь решения только при одновременном выполнении условий:       

Ответ.      k, n, m Z.

б)        4cosx+3sinx=:2.

        Решение.

Так как 22, то уравнение имеет корни.

Разделив обе части уравнения на =5, получим уравнение

cosx+sinx=,                                                                                                 sin(x+)=, где sin =, cos =,      x+ =(-l)narcsin+, nZ,                                  х=- +(-1 )narcsin+, neZ,                          x=(-l)narcsin- arcsin +7n, nZ.

Ответ. x=(-l)narcsin- arcsin +7n, nZ

III.        Устные упражнения.

1)При каких значениях а уравнение 2sin3x=a не имеет корней?

                                                                                     Ответ. (-;-2)(2;+)

2)        Решить уравнение: cosx=5a

                                                       Ответ. x=±arccos5a+n, nZ при a [-;]

3)        При каких значениях параметра а уравнение asinx+8cosx=10 имеет корни?                                                                              Ответ. (-;-6)(6;+)

IV.   Решение задач.

1)        Решить уравнение: sin4x+(a-6)sin2x-4(a-2)=0.

Решение.

Данное уравнение является квадратным относительно sin2x. Пусть sin2x=t, где 0tl, тогда t2-(a-6)t-4(a-2)=0,

D=(a-6)2+16(а-2)=(а+2)2,

t=2-a или 1=4-не удовлетворяет условию замены.

Имеем, sinx=2-a, (l-cos2x)/2:=2-a, cos2x=2-3a, х=±arccos(2-3a)+, ; допустимые значения а: -12-3а1,- а1.

Ответ. х х=±arccos(2-3a)+,   при а [-;1].

2)        При каких значениях параметра а уравнение sin(x+5a)+3cos² х=4 имеет корни?

Решение.

Решим уравнение методом оценки. Так как левая часть уравнения не превосходит четырех, а правая равна четырем, то данное уравнение равносильно системе:              

Имеем, sin(5a+)=l,

5a+ =+2, nZ,             a=+, nZ.

Ответ. a=+, nZ.

3)        При каких значениях параметра а уравнение

cos2x+2cosx-2a2 -2а+1=0 имеет ровно один корень на [0;)?

Решение.

2cos2x-1+2cosx-2a2-2a+1=0, cos2x+cosx-(a2+a)=0,                                                cosx=a    при-11 или  cosx=-a-l   при-2а0.

Исходное уравнение имеет единственный корень на полуинтерввале [0:2) лишь в следующих случаях:

1)        cosх=-a-l=l; а=-2, х=0; уравнение cosx=a=-2 не имеет корней;

2)        cosx=a=l; х=0; уравнение cosx=-a-l =-2 не имеет корней.

Ответ. -2; 1.

V.        Задание на дом, подведение итогов урока.

Конспект занятия по теме «Производная и ее применение»

Цели: 1. Обобщение и систематизация знаний и способов деятельности по теме «Производная»; формирование умений решать задачи с параметрами.

 2.Развитие исследовательской и познавательной деятельности.

 3. Воспитание интереса к предмету через содержание учебного материала; развитие таких качеств характера, как настойчивость в достижении цели, силы воли, умение не растеряться в проблемной ситуации.

Тип урока: систематизация и обобщение изученного материала.

Ход урока

I.Организационный момент, сообщение учащимся цели урока.

II.Актуализация знаний учащихся.

1. Найти производные функций: у = х4 + 3х2–12, у = ln(x–1);
2. В чем заключается геометрический смысл производной?
3. Написать уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х0.
4. Рассказать, как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a;b].
5. При каком условии функция непрерывно возрастает на всей числовой прямой?

III.Проверка домашнего задания:

1. Построить график функции y=x4- 3 - x2+2.

Ученики сверяют свои графики с графиком, заранее построенном на доске (или через проектор)

Используя график, решите задачу «Сколько действительных корней имеет уравнение y=x4- 3 - x2+2=а при различных значениях параметра а»?

С помощью рисунка ученики отвечают на вопрос задачи.

Ответ: при а<-9 –нет корней;

 при а = -9 - один корень;

 при 9 < а<, а>2 – два корня;

 при  а = , а = 2 – три корня;

 при  < a < 2 – четыре корня.

2. При каких значениях параметра а прямая у=ах-2 является касательной к графику функции у=1+lnx?

Решение задачи рассказывает ученик, вызванный к доске.

Решение.

Для того, чтобы прямая у=кх+b была касательной к графику функции y=f(x), необходимо и достаточно существование хотя бы одного числа х, для которого выполняется система          

Записав условие касания  

 получим

Ответ: при а=е2.

III. Решение задач.

1.При каких значениях параметра а функция f(x)=ax3-6x2+4x+7 имеет одну стационарную  точку?

Решение.

D(f) = R.

Стационарные точки – это точки, в которых производная равна нулю.

 fʹ(x)= 3ax2 -12x+4,

 3ax2 -12x+4=0,

при а≠0: D1=36-12a=0, a=3;

при а=0: 12x+4=0, х =.

Ответ: при а=0, а=3.

2.Выяснить, при каких значениях параметра а наименьшее значение функции y=x2-12x+a на отрезке  равно нулю.

Решение.

Функция непрерывна на [1;3] и дифференцируема на (1;3).

Найдем стационарные точки:уʹ(х) =3х2-12, 3х2-12 =0, х=-2;-2

Найдем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке: у(1) = а – 11;

у(3)=а-16; у(2) = а-9; а-16 – наименьшее значение функции, следовательно, а-16 = 0, а=16.

Ответ: при а =16.

3. Найти все такие значения параметра а, при которых касательная к графику функции у = х7 в точке х0 = а и касательная к графику функции у = х8 в точке х0=а не пересекаются.

Решение.

Так как прямые не пересекаются, то они параллельны или совпадают, то есть их угловые коэффициенты равны.  Составим уравнения касательных к графикам данных функций в точке х0 = а:

а) у ʹ(х) = 8х7,  у ʹ(а) = 8а7,  у(а) = а8,   у = а8 + 8а7 (х – а),   у = 8а7х – 7а8;

б) у ʹ(х) = 7х6,  у ʹ(а) = 7а6, у(а) = а7, у = а7 + 7а6 (х – а),   у = 7а6х – 6а7.

Имеем: 8а7 = 7а6,

 а6 (8а – 7) = 0,   а =0 или а = .

Ответ: при а = 0; .

4.При каких значениях параметра а функция возрастает на всей числовой прямой, если     у = (а2- 1)х3/3 + (а – 1)х2 + 2х + 1?

Решение.

D(у) = R.

Чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, ее производная должна быть больше нуля для всех действительных значений х.

Найдем производную функции: уʹ(х) = ( а2 – 1)х2 + 2(а – 1)х +2   и решим неравенство

(а2 – 1)х2 + 2(а – 1)х +2  0. Это неравенство верно для всех х  R, если а2 – 1 0 и дискриминант уравнения ( а2 – 1)х2 + 2(а – 1)х +2=0 меньше нуля.

        D = ( а – 1)2 - 2(а2 – 1) = -а2 – 2а  + 3,

        а2 – 2а  + 3 < 0,

        а2 + 2а  -3 > 0.

Решая данное неравенство и учитывая решение неравенства  а2 – 1 0, получаем:

а(-;-3)  (1; +).

Рассмотрим случай, когда а2 – 1 0. Имеем  а =-1 или а =1.

Если а = -1, то -4х + 2 >0, x < - не удовлетворяет условию задачи.

Если а = 1, то 2 >0 – неравенство верно для всех х R.

Ответ.(-;-3)  [1; +).

IV.Задание на дом.

1. При каких значениях параметра а функция возрастает на всей числовой прямой, если у=ах2 + 3ах2 + 6х + 7?
2. Выяснить, при каких значениях параметра а наименьшее значение функции y=x3-3x+a на отрезке  равно 5.
3. Выяснить, при каких значениях параметра а точка х0 = а является точкой минимума функции у = 2х3- 3(а +1)х2 + 6ах – 1.

V.Подведение итогов занятия.