Элективный курс "Задачи с параметрами" 10-11 класс
элективный курс по алгебре (11 класс) по теме

Муниципальное общеобразовательное учреждение

 «Средняя общеобразовательная школа № 97» г. Кемерово

Элективный курс

"Задачи с параметрами"

10-11 класс

                                                                                        Составитель:

                                                                                        Бердникова Е.Л.,

                                                                                        учитель математики

                                                                                        МОУ «СОШ № 97»

Кемерово, 2011

Содержание

1. Пояснительная записка                                                        стр. 3-5
2. Содержание курса                                                                 стр. 6
3. Учебно-тематический план                                                  стр. 7-9
4. Приложение

1. Рекомендации для обучающихся                                  стр. 10
2. Перечень ключевых слов                                               стр. 11
3. Список литературы для учителя                                    стр. 12
4. Список литературы для ученика                                    стр. 12

Пояснительная записка

Задачи с параметрами давно вошли в практику вступительных экзаменов по математике ведущих учебных заведений. Это обусловлено тем, что задачи с параметрами позволяют в полной мере проверить знание основных разделов школьной математики, выяснить уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности, а главное, перспективные возможности успешного овладения курсом математики данного вуза.

Необходимость введения элективного курса «Задачи с параметрами» обусловлена тем, что практика вступительных экзаменов далеко оторвалась от школы и достаточно велики “ножницы” между требованиями, которые предъявляет к своему выпускнику школа, и требованиями, которые предъявляет к своему поступающему вуз, особенно вуз высокого уровня.

Программа данного элективного курса ориентирована на приобретение определенного опыта решения задач с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент образовательного учреждения учебного плана. Изучение данного курса тесно связано с такими дисциплинами, как алгебра, алгебра и начала анализа, геометрия.

Элективный курс «Задачи с параметрами» рассчитан на 35 учебных часов для профильной подготовки учащихся 10-11 классов.

Целью прохождения настоящего курса является формирование логического мышления и математической культуры, повышение уровня математической подготовки школьников. Обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме  «Параметры», приобретение практических навыков выполнения заданий с параметром.

В процессе обучения учащихся по данному элективному курсу реализуются следующие задачи:

1. познакомить учащихся с понятием параметра (параметров), с аналитическими и графическими приемами решения, с основными подходами к решению задач с параметрами;
2. научить находить количество корней при графическом способе решения задач с параметром: решение уравнений, неравенств, их систем;
3. сформировать умения и навыки применения равносильности уравнений и неравенств, использовать свойство экстремальности, монотонности, четности, периодичности и обратимости функций, использовать свойство гомотетии, параллельного переноса, т.е. геометрический аспект при решении алгебраический задач с параметром.

          В результате изучения данного курса ученик должен 

знать:

1. основные типы задач с параметрами
2. основные методы решения (аналитический и геометрический)
3. свойства функций в задачах с параметром;

 уметь:

1. использовать полученные знания при решении уравнений, неравенств, систем содержащих параметр;
2. читать и строить графики функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины;
3. применять аналитические и геометрические приёмы к решению задач части «С» Единого государственного экзамена.

В структуре изучаемой программы выделяются следующие основные разделы:

1. “Основные методы решения задач с параметрами”.

2. “Линейные уравнения, неравенства и их системы”.

3. “Квадратные уравнения”.

4. “Квадратные неравенства”.

5. “Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами”.

6. “ЕГЭ на 100 баллов”.

Программа предусматривает чтение установочных лекций, проведение практических занятий, семинаров, практикумов.

При изучении курса для обучающихся предусмотрены большие возможности для самостоятельной работы, творческого подхода, исследовательской деятельности.

Оценка знаний и умений обучающихся проводится с помощью итогового теста, который включает в себя задачи с параметрами из вариантов ЕГЭ.

Программа курса “Задачи с параметрами” общим объемом 35 часов изучается в течение одного учебного года.

Содержание курса

Тема 1. Основные методы решения задач с параметрами.

Задачи с параметром. Первое знакомство. Типы задач с параметрами. Параметр и поиск решений уравнений, неравенств и их систем (ветвление). Аналитический метод решения задач с параметрами. Геометрический метод решения задач с параметрами. Метод решения относительно параметра.

Тема 2. Линейные уравнения, неравенства и их системы.

Алгоритм решения линейных уравнений с параметром. Решение линейных уравнений с параметром. Решение линейных неравенств с параметром. Параметр и количество решений системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений с параметром. Решение систем линейных неравенств с параметром.

Тема 3. Квадратные уравнения.

Свойство квадратного трехчлена. Алгоритмическое предписание решения квадратных уравнений с параметром. Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции. Решение квадратных уравнений с параметром первого типа (“для каждого значения параметра найти все решения уравнения.”) Решение квадратных уравнений второго типа (“найти все значения параметра при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям”).

Тема 4. Квадратные неравенства.

Решение квадратных неравенств с параметром первого типа. Решение квадратных неравенств с параметром второго типа. Решение квадратных неравенств с модулем и параметром.

Тема 5. Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами.

Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами. Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств. Использование симметрии аналитических выражений.

Тема 6. ЕГЭ на 100 баллов.

Решение тригонометрических уравнений, неравенств с параметром. Решение логарифмических уравнений, неравенств с параметром. Решение задач на нахождение области определения функции с параметром.

Учебно-тематический план

Приложение

Рекомендации для обучающегося.

Прежде, чем приступить к решению задачи с параметрами, советуем разобраться в ситуации для конкретного числового значения параметра. Например, возьмите значение параметра а=1 и ответьте на вопрос: является ли значение параметра а=1 искомым для данной задачи. Отметим, что подстановка фиксированного значения параметра позволяет во многих случаях нащупать путь решения задачи.

При решении многих задач с параметрами удобно воспользоваться геометрическими интерпретациями. Если изобразить графики функций, входящих в левые и правые части рассматриваемых уравнений, то тогда точки пересечения графиков будут соответствовать решениям уравнения, а число точек пересечения- числу решений. Аналогично, при решении систем уравнений или неравенств можно изобразить геометрические места точек плоскости, удовлетворяющих рассматриваемым уравнениям или неравенствам. Это часто позволяет существенно упростить анализ задач, а в ряде случаев представляет собой единственный “ключ” к решению.

Решение многих задач с параметрами требует умения правильно формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие различным условиям расположения корней квадратного трехчлена на числовой оси.

Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы “ветвится” в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа - это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения. Также рекомендуем прежде, чем записывать ответ, еще раз внимательно прочитать условие задачи и четко уяснить, что именно спрашивается.

Для того, чтобы освоить приемы решения задач с параметрами, необходимо внимательно разобрать приведенные примеры решения таких задач и постараться прорешать как можно больше задач для самостоятельного решения.

Перечень ключевых слов

асимптота

гомотетия

график функции

дискриминант

иррациональность

касательная

коэффициент

критические точки

максимум

минимум

многочлен

монотонность

нечетность

область определения

область значений

параметр

периодичность

поворот

производная

симметрия

точка экстремума

функция

четность

экстремум функции

Список литературы для учителя

1. Амелькин, В.В. Задачи с параметрами [Текст]: учебное пособие / В.В. Амелькин, Н.Л. Рабцевич. – Минск: Яхонт, 1996. – 313 с.
2. Габович, И.Г. Сколько корней имеет уравнение? [Текст]: учебное пособие / М. Квант, 1985. – 264 с.
3. Гольдич, В.А. 3000 задач по алгебре 5 – 9 [Текст]: книга для учителя / В.А. Гольдич – М.: Eksmo Education, 2009. – 352 с.
4. Горнштейн, П. И., Полонский В.Б. Необходимые условия задач с параметрами [Текст] / М. Квант, 1991. – 272 с.
5. Лепёхин, Ю.В. Задания для подготовки к олимпиадам. Математика 7-8 [Текст]: пособие для преподавателей / Волгоград: Учитель, 2010. – 296 с.
6. Колесникова, С.И. Математика. Решение сложных задач Единого Государственного экзамена [Текст]  / С.И. Колесникова – М.: Айрис-пресс, 2007.- 213 с.

Список литературы для ученика

1. Галицкий, М.Л. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов [Текст]: учебное пособие / М.Л. Галицкий. – М.: Просвещение, 1997. – 271 с.
2. Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами [Текст]: учебное пособие / П.И. Горнштейн. – М.: Илекса, 2003. – 336 с.
3. Ткачева, М.В. Сборник задач по алгебре [Текст]: книга для учащихся 7-9 кл. образовательных учреждений / М.В. Ткачева. – М.: Просвещение, 2007. – 207 с.
4. Шарыгин, И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач [Текст]: учебное пособие / И.Ф. Шарыгин. – М.: Просвещение, 1989. – 252 с.
5. Ястребинецкий, Г.А. Задачи с параметрами [Текст]: учебное пособие / Г.А. Ястребинецкий. – М.: Просвещение, 1986. – 128 с.