Реализация требований ФГОС ООО при обучении учащихся 8 класса теме «Квадратные уравнения»
учебно-методический материал по алгебре (8 класс) на тему

ГБОУ ВПО «Академия социального управления»

Дополнительное профессиональное образование

кафедра математических дисциплин

ИТОГОВАЯ ПРАКТИКО-ЗНАЧИМАЯ РАБОТА

Реализация требований ФГОС ООО при обучении учащихся 8 класса теме «Квадратные уравнения»

                                                      Выполнил

                                                      Слушатель учебного курса

                                                      «Актуальные проблемы развития

                                                      профессиональной компетентности

                                                      учителя математики (в условиях реализации

                                                      ФГОС)»

                                                      учитель математики МОУ СОШ №5

                                                      г. Королев Московской области

                                                      Ромайская И.А.

                                                      Руководитель курса: КПН

                                                      кафедры математических дисциплин

                                                      Ф.И.О. Кашицина Ю.В.

Москва 2014

Содержание

Глава 1. Теоретические основы обучения теме «Квадратные уравнения»

1. Введение в ФГОС ООО как фактора модернизации системы образования.
2. Логико-дидактический анализ содержания темы.

Глава 2. Методические рекомендации обучения теме «Квадратные уравнения»

3. Цели обучения теме (карта целей).
4. Учебный план темы.
5. Примеры реализации целей обучения теме.

Заключение

Список литературы

Введение

Актуальность. Перемены, происходящие в современном обществе, требуют ускоренного совершенствования образовательного пространства, определение целей образования, учитывающих государственные, социальные и личностные потребности и интересы. В связи с этим приоритетным направлением становится обеспечение развивающего потенциала новых образовательных стандартов.

Цель работы: Реализация требований ФГОС ООО при изучении темы: «Квадратные уравнения». Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач.

Задачи исследования:

1. Выявить теоретические основы обучения теме, связанные с реализацией ФГОС ООО.
2. Выполнить отбор средств обучения теме, в том числе средства ИКТ
3. Разработать таблицу целей и карту обучения теме
4. Составить фрагмент учебной рабочей программы «Поурочное планирование образовательных результатов освоения математики»
5. Разработать методические рекомендации обучения теме и применить их в учебном процессе

Решение поставленных задач потребовало использования следующих методов исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования, учебников и учебных пособий по математике; беседы с учителями, тестирование учащихся, проведение опытной проверки.

Глава 1. Теоретические основы обучения теме «Квадратные уравнения»

1. Введение в ФГОС ООО как фактора модернизации системы образования

Перемены, происходящие в современном обществе, требуют ускоренного совершенствования образовательного пространства, определение целей образования, учитывающих государственные, социальные и личностные потребности и интересы. В связи с этим приоритетным направлением становится обеспечение развивающего потенциала новых образовательных стандартов.

Федеральные государственные образовательные стандарты общего образования отражают понимание научно-педагогическим сообществом вызовов, возникших перед отечественной системой образования в условиях её интеграции в мировое образовательное пространство. На современном этапе информационной революции в значительной степени изменились требования к образованному человеку. Сегодня ему невозможно знать всё о достижениях в естественных и гуманитарных науках, но очень важно научиться применять свои знания в конкретных жизненных ситуациях.

В XXI в. актуальным становится формирование личностной готовности и способности к непрерывному образованию, формированию компетенций, востребованных на рынке труда. В условиях повышения мобильности, развития миграционных процессов все более значимым становится воспитание российской гражданской идентичности молодых россиян, выпускников общеобразовательных учреждений.

Принципиальным отличием государственных образовательных стандартов второго поколения является усиление их ориентации на результаты образования как системообразующий компонент конструкции стандартов. В новых стандартах объектом стандартизации стало не содержание образования, ориентированное на достижение относительно частных предметных образовательных результатов, а система требований к образовательным результатам – личностным, метапредметным, предметным.

В соответствии с новым методологическим подходом изменились структура и содержание стандартов. Основными документами, составляющими нормативный пакет ФГОС, выступают требования к результатам, структуре и условиям освоения основной образовательной программы основного общего образования. В сочетании с документами инструктивно-методического и рекомендательного характера они образуют систему всестороннего и разноуровневого сопровождения стандартов (нормативное, методологическое, инструментальное, технологическое, информационно-методическое).

ФГОС общего образования должен обеспечивать: 

• единство образовательного пространства Российской Федерации;
• преемственность основных образовательных программ (далее – ООП) начального, основного и среднего (полного) общего образования.

ФГОС общего образования включает в себя требования: 

• к структуре ООП общего образования;
• условиям реализации ООП общего образования (кадровым, финансовым, материально-техническим и иным);
• результатам освоения ООП общего образования.

Все более актуальным становится использование в образовательном процессе приемов и методов, которые формируют умения самостоятельно добывать новые знания, собирать необходимую информацию, умение выдвигать гипотезы, делать выводы и умозаключения. Общая дидактика и частные методики в рамках учебного предмета призывают решать проблемы, связанные с развитием у школьников умений и навыков самостоятельности и саморазвития. А это предполагает поиск новых форм и методов обучения, обновление содержания образования. в связи с этим системно-деятельный подход, лежащий в основе разработки стандартов нового поколения, позволяет выделить основные результаты обучения и воспитания и создать навигацию проектирования универсальных учебных действий, которыми должны владеть учащиеся. Логика развития универсальных учебных действий, помогающая ученику почти в буквальном смысле объять необъятное, строится по формуле: от действия к мысли.

Развитие личности в системе образования обеспечивается прежде всего через формирование универсальных учебных действий, которые являются инвариантной основой образовательного и воспитательного процесса. Овладение учащимися универсальными учебными действиями создает возможность самостоятельного успешного усвоения новых знаний, умений и компетентностей, включая организацию усвоения, то есть умения учиться.

        Универсализация содержания общего образования в форме выделения неизменного фундаментального ядра общего образования включает совокупность наиболее существенных идей науки и культуры, а так же концепцию развития универсальных учебных действий.

        В связи с тем, что приоритетным направлением новых образовательных стандартов является реализация развивающего потенциала общего среднего образования, актуальной задачей становится обеспечение развития универсальных учебных действий как собственно психологической составляющей фундаментального ядра образования наряду с традиционным изложением предметного содержания конкретных дисциплин. Качество усвоения знаний определяется многообразием и характером видов универсальных учебных действий.

        Математическое образование является обязательной и неотъемлемой частью общего образования на всех ступенях школы. Содержание математического образования в основной школе формируется на основе фундаментального ядра школьного математического образования. математическое образование играет важную роль как в практической так и в духовной жизни общества. Практическая сторона математического образования связана с формированием способов деятельности, духовная – с интелектульным развитием человека, формированием характера и общей культуры.

Без базовой математической подготовки невозможно стать образованным современным человеком. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках.

2. Логико-дидактический анализ содержания темы: «Квадратные уравнения»

   Тема: «Квадратные уравнения» изучается в 8 классе. Учащиеся должны уметь распознавать квадратные уравнения, решать их, исследовать по дискриминанту и коэффициентам. Решать текстовые задачи алгебраическим способом, переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путем составления уравнения, решать составленное уравнение, интерпретировать результат.

        При изучении этой темы в учебнике Макарычева рассматриваются понятия:

• определение квадратного уравнения
• понятие приведенного квадратного уравнения
• понятие неполного квадратного уравнения
• понятие дискриминанта
• вводятся формулы дискриминанта и корней уравнения

Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений и неравенств. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. В значительной мере именно на материале этой темы осуществляется синтез материала, относящегося к уравнениям.

        Термин, и объем понятия квадратного уравнения одинаковы. Понятие вводится посредством явного определения, что обязывает организовать работу по усвоению его формальных признаков. Это тем более необходимо, что соответствующие признаки существенно используются при построении теории квадратных уравнений, в частности при выводе формулы корней и в теореме Виета.

        Вывод формулы корней квадратного уравнения может быть осуществлен следующим способом: сначала для приведенного квадратного уравнения, сведением к уравнению  = 0 или к уравнению . Приходиться использовать выделение полного квадрата в трехчлене      , сводящее уравнение к двучленному. Выделение последовательности шагов, приводящих к решению квадратных уравнений, проводится сначала на конкретных примерах.

        Необходимым этапом при выводе формулы корней квадратного уравнения служит исследование, выявляющее три возможных случая: отсутствие корней, наличие одного или двух корней. При этом вводится дискриминант уравнения. В результате исследования формулируется вывод: «Если дискриминант квадратного уравнения  отрицателен, то оно не имеет действительных корней; если дискриминант равен нулю, то имеется один корень, равный ; если дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня ».

Учитывая этот вывод, решение конкретных квадратных уравнений проводится следующим образом: сначала вычисляется дискриминант, сравнивается с нулем, и если он неотрицателен, то применяются формулы для нахождения корней.

        Кроме основной формулы для корней квадратного уравнения        , приводятся еще формулы корней уравнения                     или . Использование этих формул упрощает вычисления.

        При изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются и неполные квадратные уравнения. Они изучаются перед выводом корней общего квадратного уравнения. Хотя различные виды неполных квадратных уравнений имеют разные алгоритмы решения, при изучении данной темы необходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев.

        Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной – только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета. Например, при нахождении корней квадратного уравнения подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виета, а не на прямую, как часто делают учащиеся. Для того, чтобы распространить теоремы Виета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители.

        Владение теорией квадратных уравнений существенно расширяет возможности решения уравнений методами, изучаемыми в курсе алгебры. Так, прямо сводятся к квадратным дробно-рациональные уравнения вида  и биквадратные уравнения. Еще один класс составляют алгебраические уравнения, которые разложением на множители могут быть сведены к линейному и квадратному уравнениям. Богатство и разнообразие приемов, имеющихся у учащихся, овладевших сведением различных уравнений к квадратным, служат необходимой предпосылкой перехода к завершающему этапу освоения методов решения уравнений. Особенно это сказывается на приложении к алгебраическому методу решения текстовых задач. Сюжеты их становятся более разнообразными, возрастает так же сложность перевода на язык математики. В целом, можно сказать, что освоение темы «Квадратные уравнения» поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики.

Анализ математических задач по теме показал, что в учебнике Макарычева задания разбиваются на уровни: подчеркнутые номера – это задания обязательного уровня, выделенные номера – это задания повышенной сложности, отдельно выделены задания для повторения. Упражнения для домашней работы никак не обозначены. В теме решения текстовых задач рассматриваются две старинные задачи, часть задач носит геометрический характер, есть несколько задач с практическим содержанием. Для разнообразия работы с учащимися в учебнике предлагаются дополнительные задания разного уровня сложности. Так же есть параграф под рубрикой «Для тех, кто хочет знать больше» - это уравнения с параметром. В этом параграфе все задания, кроме двух первых, отмечены как задачи повышенной сложности. Однако, данная тема рассматривается с учащимися только по усмотрению учителя.

Во всей теме всего три задания для решения устно, большая часть задач направлена на отработку навыков решения уравнения по формулам. Однако, заданий для исследовательской и проектной деятельности нет. Очень трудно по этим задачам организовать проблемные или эвристические уроки, нет задач на развитие логического мышления. Практически все задания предназначены для развития вычислительных навыков.

Глава 2. Методические рекомендации обучения теме «Квадратные уравнения»

Таблица целей и карта учебной темы: «Квадратные уравнения»

Цель: реализация требований ФГОС ООО при изучении темы: «Квадратные уравнения»

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:

1. Выполнить отбор средств обучения теме.
2. Разработать таблицу целей и карту обучения теме.
3. Разработать методические рекомендации обучения теме и применить их в учебном процессе.

Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках. В процессе математической деятельности в арсенал приемов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия.

        Объекты математических умозаключений и правила их конструирования раскрывают механизм логических построений, вырабатывают умения формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление.

        Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления и воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые. В ходе решения задач – основной учебной деятельности на уроках математики – развиваются творческая и прикладная стороны мышления.

        Обучение математике дает возможность развивать у учащихся точную, экономную и информативную речь, умение отбирать наиболее подходящие языковые (в частности, символические, графические) средства.

Карта изучения темы: «Квадратные уравнения»

1. Логическая структура и цели изучения темы (таблица целей)

2. Блок актуализации знаний учащихся

Знать: формулы сокращенного умножения, правила преобразования выражений, свойства арифметического квадратного корня, определение понятий уравнения, корень уравнения.

Уметь: выполнять преобразования, вычислять арифметические квадратные корни, вычислять значения выражения по формулам, решать линейные уравнения.

3. Предметные результаты (Ц 2, 3 таблицы целей)

Знают: определение квадратного уравнения (полного, неполного, приведенного), формулы для решения квадратных уравнений, теорему Виета (и обратную к ней).

Умеют: решать квадратные уравнения , вычислять дискриминант и корни, находить корни уравнения; используя теорему Виета и обратную к ней использовать квадратные уравнения по дискриминанту, решать текстовые задачи, используя квадратные уравнения.

4. Образцы заданий итоговой контрольной работы (Ц 5)

5. Средства обучения:

• систематизационная схема уравнений;
• общая схема определения понятия;
• схемы определений понятий;
• таблица приемов саморегуляции при решении уравнений;
• схема решения текстовых задач;
• карточки – задания.

6. Задания для внеаудиторной самостоятельной работы ( Ц 2,3,5)

1 уровень: №515, №518, №535, №541, №561, №563, №582, №584

2 уровень: №520, №522, №538, №547, №553, №567, №571, №594

3 уровень: №530, №554, №555, №591, №592, №667

4 уровень: №688, №689, №670

7. Темы индивидуальных заданий (Ц 4,5)

• Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
• Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения
• Квадратные уравнения в Индии
• Квадратные уравнения у Ал-Хорезмис
• Геометрический способ решения квадратных уравнений
• Свободная тема

8. Метапредметные результаты:

9. Фрагмент урока

• На предыдущем уроке была организована группа из 4х человек третьего (продвинутого) уровня. Они получили для коллективного решения в домашних условиях задачу исследовательского (практического) характера. Она полезна для развития логического мышления. Группу мы назвали экспериментальной.
• Вызывается для отчета один член экспериментальной группы.

Учитель: «Конечно решать уравнения по формуле проще, чем выполнять замысловатые построения. Но нам интересно отметить сейчас важный факт: квадратные уравнения могут быть решены геометрическим путем. Могут быть! Иногда в науке важно установить саму возможность решения задачи заданными средствами, а уж надо будет решать именно этими средствами или не надо – другое дело.

Ученик: У нас была задача, пользуясь  изученным материалом по алгебре и геометрии решить уравнение: x2+10x+9=0.

Выполним следующее построение. Сначала по катету BC===3 и гипотенузе AB===5 построим прямоугольный треугольник. Заметим сразу, что АС===4. А теперь радиусом, равным =5, проведем окружность с центром в точке А. Она пересечет продолжение катета АС в двух точках, которые обозначим D и E. Заметим, что отрезок DC составлен из АС==4 и AD==5, т.е. DC=9=. Отрезок же CE есть разность отрезков АЕ==5 и АС==4, т.е. отрезок СЕ=1=. Почему так хорошо получилось? Да потому, что отрезок ВС есть корень квадратный из произведения отрезков и .

Итак, получился такой порядок. Сначала, имея уравнение , построим отрезки  и . Это всегда можно сделать. Начнем строить прямоугольный треугольник по двум отрезкам – гипотенузе и катету. Сначала отложим катет, равный . Это тоже всегда получится. Возьмем теперь раствор циркуля, равный , ножку циркуля поместим в точку В и проведем дугу окружности, чтобы получить точку А. а вот это получится далеко не всегда! Если катет  больше гипотенузы , то треугольника не построить. Иначе можно сказать, что если , то -q – дискриминант квадратного уравнения, отрицателен и, как вы знаете из учебника, такое уравнение решений не имеет.

Но если p0? А ничего особенного – лишь бы q было положительным числом, а все остальное делается одинаково и для p. Надо только знать, какие знаки приписать числам, выражающим длины отрезков СЕ и ВС. На этот вопрос ответьте сами. (См. Приложение 1).

Приложение 1

Поурочное планирование учебной  программы по математике

Приложение 1

Задание №1

Дайте название математическим объектам и распределите их на две группы

                   53x + 6 = 0

3x + 2 = 5                               5x – 5 = 5

Задание №2

Из уравнений, предложенных на рис.1 выберите те, которые имеют структуру

, где с≠0

, где b≠0

Задание №3

Найдите число корней уравнения

Задание №4

Докажите, что если числа m и n корни уравнения , то корни уравнения  являются числа  и

Задание №5

Докажите, что если уравнение  имеет корни, то корни уравнения  им противоположны

Задание №6

Длины сторон египетского треугольника выражаются последовательными натуральными числами 3, 4 и 5. Существует ли еще какой-нибудь прямоугольный треугольник, длины сторон которого так же выражаются последовательными натуральными числами?

Задание №7

Решите древнюю индийскую задачу и сделайте к ней рисунок-иллюстрацию.

На две партии разбившись,

Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась

Криком радостным двенадцать

Воздух свежий оглашали

Вместе сколько, ты мне скажешь

Обезьян там было в роще

Задание №8

Вокруг детской площадки прямоугольной формы сооружены изгородь, длина которой 30 м. Определите размеры площади, если ее S = 50 м2. Составьте сами практические задачи.

Задание №9

Составьте квадратное уравнение, корни которого

,

Задание №10

Составьте квадратное уравнение, корни которого

1. На 2 меньше корней уравнения
2. На 3 больше корней уравнения

Задание №11

Докажите, что при любом значении переменной значение выражения положительно

(p2 – 6p +18) : (p2+1)

Задание №12

Решите каждое из квадратных уравнений не менее, чем двумя способами

Фрагмент урока:

1. Устный опрос:

1. Что значит решить уравнение?
2. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
3. Какое квадратное уравнение называется приведенным?
4. Всегда ли можно применять теорему Виета?
5. Сколько видов неполных квадратных уравнений существует?

2. На доске записаны два уравнения:

 и

Выясните, имеют ли они корни?

3. Составьте блок-схему решения квадратных уравнений.
4. Не применяя формулу корней, найдите второй корень уравнения, если известен первый

, =2

5. На доске записано уравнение:

Учитель: «Придумайте вопрос к этому уравнению»

6. Решите уравнение в тетради. Кто желает объяснить свое решение?

(2 – x)2 – x – (x – 5) = -7

Цифровые образовательные ресурсы

1. Виртуальная школа юного математика http://math.ournet.md/indexr.htm
2. Образовательный портал мир алгебры http://www.algmir.org/index.html
3. Математика и ее приложения http://www.etudes.ru
4. Тестирование on-line 5-11 классы http://www.kokch.kts.ru/cdo
5. Информационно-поисковая система «Задачи» http://zadachi.mccme.ru/easy
6. http://school-collection.edu.ru

Решение квадратных уравнений

Урок алгебры в 8 классе

Цель урока: применение знаний и умений для решения квадратных уравнений.

Задачи урока:

1. Личностные

• Формирование коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве с учащимися при групповой работе, при составлении задач.
• Умение контролировать процесс и результат учебной деятельности.

2. Метапредметные

• Умение самостоятельно планировать пути достижения целей.
• Осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач.
• Умение строить логическое рассуждение.

3. Предметные

• Умение использовать формулы и преобразования для решения квадратных уравнений.
• Умения составить приемы решения задач и уравнений.
• Умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера.

Тип урока:

урок общеметодологической направленности по теме: «Решение квадратных уравнений и решение задач с помощью квадратных уравнений».

Виды деятельности учащегося:

фронтальная работа, групповая работа, индивидуальная и исследовательская работа.

План урока

1. Актуализация знаний:

Мы живем в реальном мире и для понимания всего окружающего нас нам необходимы знания.

Но прежде, чем подняться на следующую ступеньку, нужно убедится, что мы крепко стоим на ногах, имеем хорошие, прочные знания по изучаемой теме.

2. Фронтальный опрос

1. Какую тему мы изучали?
2. Какими знаниями по этой теме вы можете поделиться?
3. Дайте определение квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения, приведенного?
4. Сформируйте теорему Виета и обратную к ней.
5. Вариант 1.

Составьте блок-схему решения квадратного уравнения.

Вариант 2.

Оформите текст изучаемого материала в виде грозди.

Поменяйтесь тетрадями. Оцените работу соседа.

3. Проверим домашнее задание

Вам было предложено составить карточку с заданиями для самостоятельной работы подходящего для вас уровня сложности.

4. Работа в парах

У вас на партах лежат бланки заданий для работы в парах, заполните их, проконсультируйтесь с соседом, помогите друг другу с решением.

Вариант 1.                                                             Вариант 2.

№1. Вычислить дискриминант квадратного уравнения, определите 1) имеет ли уравнение корни; 2) если имеет, то сколько? 3) рациональными и иррациональными числами они являются?

а)                                             а)

б)                                                 б)

№2. Укажите, чему равны произведения и сумма корней уравнения; и определите знаки корней:

а)                                                а)

б)                                                б)

Какая пара желает объяснить свое решение? (один ученик диктует, а другой записывает решение на доске). Согласны ли вы с этим решением? (Оцениваю ответ пары, подвожу итог данного этапа урока).

5. Работа с листами самоконтроля

Возьмите лист самоконтроля, подпишите его, оцените на сколько вы готовы к выполнению теста и поставьте прогностическую оценку. И пока лист отложите.

6. Работа с тестом

Возьмите тест, решите его. Заполните потом лист самоконтроля

 №1. Выпишите коэффициенты квадратного уравнения

а) 5y2 - 7y + 1 = 0

б) 14x  - 6x2 + 5 = 0

в) 9x – 6 + x2 = 0

№2. Решите уравнения:

а)

б)

в)

№3. Решите уравнения:

а)

б)

в)

№4. Найти корни уравнения:

5(x-2)=(3x+2)(x-2)

№5. Найдите три последовательных четных числа, если известно, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего числа.

№6. Составьте квадратное уравнение имеющее корни:

а) 11 и 4                                 б) – 4 и – 5

№7. Найти все целые значения р, при которых данное уравнение имеет целые корни:

Во время работы с тестом формируем группу из 4-5 человек по своему усмотрению или по желанию учащихся, которая во время решения теста всем классом работает над задачей исследовательского характера:

Вам, вероятно, приходилось слышать о золотом сечении, или, иначе, золотой пропорции. Это число, выражающее геометрическую гармонию, широко использовалось в древней архитектуре. Сооружения, построенные в золотой пропорции, поражают своей соразмерностью, законченностью, красотой.

Золотое сечение выражает определенное отношение длин и может быть описано следующим образом: точка делит отрезок на две неравные части в отношении, равному золотому сечению, если отношение большей части к меньшей равно отношению длины всего отрезка к длине большей его части.

1. Если длину меньшей части принять за единицу, то золотое сечение будет равно длине большей части. Найдите число, выражающее золотое сечение. Приведите его точное значение и десятичное приближение с тремя знаками после запятой.
2. Постройте какой-нибудь прямоугольник, отношение сторон которого равно золотому сечению. «Отрежьте» от него квадрат. Найдите отношение большей стороны получившегося прямоугольника к его меньшей стороне (в вычислениях используйте точное значение золотого сечения).

7. Перед заполнением листа самоконтроля дополняем рефлексивным этапом. Мои действия – «Взгляд назад»

• Что делал правильно?
• Что делал неправильно? Почему?
• Сколько раз двигался вперед наугад и менял свои ошибочные действия (какие) на другие? Что помогло исправиться?
• Что было легко сделать? Почему?

           Мои чувства – «Взгляд назад»

• В работе меня порадовало (что) потому что
• Меня огорчило (что) потому что
• Другие чувства, которые у меня появились

8. Заслушиваем отчет исследовательской группы. Оцениваем.

9. Отдайте составленными вами карточки с заданиями соседям. Это и будет ваше домашнее задание.

10. Заполняем листы самоконтроля

Набрано баллов ____  Отметка____

Критерии оценивания

19-23 балла отметка «5»

13-18 баллов отметка «4»

9-12 баллов отметка «3»

Подведем итоги нашей работы.

Посчитайте баллы и согласно критериям поставьте итоговую оценку. Если вы довольны результатом, то под своей оценкой поставьте подпись.

Проанализируйте свой уровень знаний. Если не все получилось, подумайте, над чем надо поработать перед контрольной работой.

К заданиями, в которых вы допустили ошибки подберите аналогичные и решите их. Результаты вашей работы покажут листы самоконтроля.

1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а так же с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнение умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. В их клинописных текстах встречаются полные и неполные квадратные уравнения. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

2. Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариапхаттиам» составленном в 499 году индийским математиком и астрономом «Арипхаттой». В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говориться по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи. Задачи часто облекались в стихотворную форму. Вот одна из задач знаменитого индийского математика Бхаскары:

«Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок

Ты скажи мне в этой стае».

3. Квадратное уравнения в Европе 13-17 вв

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры, решения задач и первый в Европе подошел введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в 16 веке учитывают и отрицательные корни. Лишь в 17 веке благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Библиография

1. Федеральный государственный образовательный стандарт общего основного образования / М-во образования и науки Рос. Федерации. – М.: Просвещение, 2011. – 48 с
2. Асмолов А.Г. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя/под ред. А.Г. Асмолова. – М.: Просвещение, 2010. – 159 с.
3. Данилюк А.Я., Кондаков А.М., Тишков В.А.. Концепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России. – М.: Просвещение, 2009. – 24 с.
4. Предметные программы по математике. – М.: Просвещение, 2010. – 67 с.
5. «Технология подготовки урока в современной информационной образовательной среде» Е.В. Чернобай. – М.: Просвещение, 2012. – 55 с.
6. «Исследовательская и проектная деятельность. Здоровый и безопасный образ жизни», С.В. Третьякова, А.В. Иванов. – М.: Просвещение, 2013. – 96 с.
7. «Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе», А.Г. Асмолов. – М.: Просвещение – 2011. – 152 с.
8. «Алгебра 8 класс» под редакцией С.А. Теляковский. – М.: Просвещене, 2010.
9. «История математики в школе», Г.И. Глейзер. – М.: Просвещение, 1982. – 240 с.
10. «Внеклассная работа по математике», А.В. Фарков. – М.: Просвещение, 2007. – 285 с.